6.4数据的离散程度同步练习（含解析）

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6.4数据的离散程度
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．一组数据：5，3，5，6，5若去掉一个数据5，则下列统计量中发生变化的是（ 　 ）
A．众数 B．中位数 C．平均数 D．极差
2．某校八年级位同学参加数学竞赛，每位同学分数各不相同，按成绩取前名进入决赛，若知道某同学分数，要判断这名同学能否进决赛，只需知道位同学分数的（ ）
A．众数 B．中位数 C．平均数 D．方差
3．下列说法中，正确的是（　　）
A．为检测市场上正在销售的酸奶质量，应该采用全面调查的方式
B．旅客上飞机前的安检，采用抽样调查方式
C．某同学连续5次抛掷质量均匀的硬币，1次正面向上，因此正面向上的概率是20%
D．在连续6次数学测试中，两名同学的平均分相同，方差较小的同学数学成绩更稳定
4．今年小安一家5个人的年龄（单位：岁）分别为：3，8，10，38，40．跟两年前相比，关于这5个人的年龄，下列描述正确的是（ ）
A．平均数变大，方差变大 B．平均数变大，方差不变
C．平均数不变，方差变大 D．平均数不变，方差不变
5．下列说法不正确的是（ ）
A．了解全市中学生对社会主义核心价值观的知晓度的情况，适合用抽样调查
B．若甲组数据方差S2甲＝0.39，乙组数据方差S2乙＝0.27，则乙组数据比甲组数据稳定
C．某种彩票中奖的概率是，买100张该种彩票一定会中奖
D．旅客上飞机前的安检应该进行全面调查
6．某运动品牌专营店店主对上一周新进的某款T恤衫销售情况统计如下：
尺码 39 40 41 42 43 44 45
平均每天销售数量/件 10 23 30 35 28 21 8
该店主决定本周进货时，增加一些42码的T恤衫，影响该店主决策的统计量是（ ）
A．中位数 B．平均数 C．方差 D．众数
7．2022年冬季奥运会将在北京张家口举行，如表记录了四名短道速滑选手几次选拔赛成绩的平均数和方差s2．
甲 乙 丙 丁
平均数（单位：秒） 52 m 52 50
方差s2（单位：秒2） 4.5 n 12.5 17.5
根据表中数据，可以判断乙选手是这四名选手中成绩最好且发挥最稳定的运动员，则m、n的值可以是（　　）
A．m＝50，n＝4 B．m＝50，n＝18 C．m＝54，n＝4 D．m＝54，n＝18
8．下表是某篮球队的年龄分布，对于不同的值，下列关于年龄的数据量不会发生改变的是（ ）
年龄/岁 12 13 14 15
频数 15 25
A．平均数、中位数 B．中位数、众数
C．中位数、方差 D．平均数、方差
9．某农业基地4块实验田，分别抽取的10株苗，测得的平均高度和方差数据如下表，判断哪一块实验田的麦苗长得整齐（ ）
甲 乙 丙 丁
平均高度（cm） 13 13 13 13
方差（） 5.8 13.6 12.3 8.4
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
10．下列叙述正确的是（ ）
A．“打开电视机，中央一套正在直播巴西世界杯足球赛．”是必然事件
B．若甲乙两人六次跳远成绩的方差为，，则甲的成绩更稳定
C．从一副扑克牌中随即抽取一张一定是红桃
D．任意一组数据的平均数一定等于它的众数
11．小华续五次数学测验成绩与班级每次测试成绩平均分的差值分别为0，1，－1，3，2；与小华同班的小梅这五次数学测验成绩的方差为15，小华与小梅这五次数学测试的平均成绩恰好相等，则下列说法正确的是（ ）
A．小华的数学成绩更稳定 B．小梅的数学成绩更稳定
C．小华与小梅的数学成绩一样稳定 D．无法判定谁的成绩更稳定
12．下列说法正确的是（　　）
A．“打开电视机，正在播放《新闻联播》”是不可能事件
B．“明天下雨概率为0.5”，是指明天有一半的时间可能下雨
C．“某彩票中奖概率是1%”，表示买100张这种彩票一定会有1张中奖
D．平均数相同的甲、乙两组数据，若，，则甲组数据更稳定
二、填空题
13．校运会上，七、八、九年级同学分别组建了红、黄、蓝三支仪仗队，各队队员身高（）的平均数（）与方差（）如表所示，则三支仪仗队中身高最整齐的 ．
红队 黄队 蓝队
165 168 170
12.75 8.8 10.45
14．如图，是甲、乙两地6月1—6日日平均气温统计图，则甲、乙两地这6天日平均气温的方差大小关系为： ．（填“”或“”）．
15．已知数据x1，x2，…，xn的平均数是3，方差是3，则数据x1+3，x2+3，x3+3，…，xn+3的平均数是 ，方差是 ．
16．甲、乙、丙、丁四人进行100m短跑训练，统计近期10次测试的平均成绩都是13.2s，10次测试成绩的方差如下表：则这四人中发挥最稳定的是 ．
选手 甲 乙 丙 丁
方差（s2） 0.020 0.019 0.021 0.022
17．甲、乙、丙、丁四人参加射击比赛，经过三轮的初赛，他们成绩的方差分别是=0.2，＝0.3，＝0.25，=0.4，你认为成绩更稳定的是 ．
三、解答题
18．某校初三（1）班进行立定跳远训练，以下是李超和陈辉同学六次的训练成绩（单位：m）
1 2 3 4 5 6
李超 2．50 2．42 2．52 2．56 2．48 2．58
陈辉 2．54 2．48 2．50 2．48 2．54 2．52
（1）李超和陈辉的平均成绩分别是多少？
（2）分别计算两人的六次成绩的方差，哪个人的成绩更稳定？为什么？
（3）若预知参加级的比赛能跳过2．55米就可能得冠军，应选哪个同学参加？为什么？
19．广州市努力改善空气质量，近年来空气质量明显好转，根据广州市环境保护局公布的2006﹣2010这五年各年的全年空气质量优良的天数，绘制折线图如图．根据图中信息回答：
（1）这五年的全年空气质量优良天数的中位数是　 　，极差是　 　．
（2）这五年的全年空气质量优良天数与它前一年相比，增加最多的是　 　年（填写年份）．
（3）求这五年的全年空气质量优良天数的平均数．
20．五一放假前，我市某中学举行了“喜迎二十大，筑梦向未来”知识竞赛，数学王老师从七．八年级各随机抽取了10名学生的竞赛成绩（百分制），进行整理．描述和分析如下：成绩得分用x表示（x为整数），共分成四组：
A.；B.；C.；D.．
七年级10名学生的成绩是：96，80，96，86，99，96，90，100，89，82．
八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：90，92，94．
抽取的七、八年级学生成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 92 b c 52
八年级 92 93 100 50.4

根据以上信息，解答下列问题：
(1)这次比赛中 　　年级成绩更平衡，更稳定．
(2)直接写出图表中a，b，c的值：　　，　　，　　
(3)该校八年级共180人参加了此次竞赛活动，估计八年级参加此次竞赛活动成绩优秀（）的学生人数是多少？
21．为了比较市场上甲、乙两种电子钟每日走时误差的情况，从这两种电子钟中，各随机抽取10台进行测试，两种电子钟走时误差的数据如下表(单位：秒)：
类型 编号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十
甲种电子钟 4 2 1 2 1
乙种电子钟 2 4 1 1 2
(1)计算甲、乙两种电子钟走时误差的平均数；
(2)计算甲、乙两种电子钟走时误差的方差；（方差公式： ）
(3)根据经验，走时稳定性较好的电子钟质量更优．若两种类型的电子钟价格相同，请问：你买哪种电子钟？为什么？
22．某市举行英语口语大赛，现甲、乙两校各人的比赛成绩如下表（分制）：
甲校
乙校
(1)甲校成绩的众数是_______分，乙校成绩的中位数是_______分；
(2)计算甲校的平均成绩和方差；
(3)已知乙校成绩的方差是，则成绩较为整齐的是______校．
23．设是的平均数，则方差，它反映了这组数据的波动性，请完成以下题目：
(1)证明：当平均数变为时，方差对应变为；
(2)证明：；
(3)已知在课堂上王老师给出了5个数据：2，3，5，m，n，它们的方差为2，求解另一组数据：4，5，7，的方差．
24．市射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加省比赛，对他们进行了六次测试，测试成绩如表：
选手 选拔成绩/环 中位数 平均数
甲 10 9 8 8 10 9
乙 10 10 8 10 7 9
(1)把表中所空各项数据填写完整；
(2)已知乙六次测试成绩的方差为；计算甲六次测试成绩的方差，根据你的计算的结果，你认为推荐谁参加省比赛更合适？请说明理由
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B D B C D A B A B
题号 11 12
答案 A D
1．C
【分析】本题主要考查的是众数、中位数、极差、平均数，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键．依据平均数、中位数、众数、极差的定义和公式分别进行求解即可．
【详解】解：A、原来数据的众数是5，去掉一个数据5后众数仍为5，众数没有发生变化，故选项A不符合要求；
B、将5，3，5，6，5从小到大排列得：3，5，5，5，6，则原来数据的中位数是5，去掉一个数据5后中位数仍为5，中位数没有发生变化，故选项B不符合要求；
C、原来数据的平均数是，去掉一个数据5后平均数为，平均数发生变化，故选项C符合要求；
D、原来数据的极差是：，去掉一个数据5后，极差是，极差没有发生变化，故选项D不符合要求；
故选：C.
2．B
【分析】人成绩的中位数是第名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．
【详解】解：由于总共有个人，且他们的分数互不相同，第名的成绩是中位数，要判断是否进入前名，故应知道自己的成绩和中位数．
故选B．
【点睛】本题主要考查统计量的选择，主要包括平均数、中位数、众数的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数等，各有局限性，解题的关键是对统计量进行合理的选择和恰当的运用．
3．D
【分析】分别对各个选项进行判断，即可得出结论．
【详解】解：A、为检测市场上正在销售的酸奶质量，应该采用抽样调查的方式；故选项A不符合题意；
B、旅客上飞机前的安检，采用全面调查方式；故选项B不符合题意；
C、某同学连续5次抛掷质量均匀的硬币，1次正面向上，因此正面向上的概率不一定是20%；故选项C不符合题意；
D、在连续6次数学测试中，两名同学的平均分相同，方差较小的同学数学成绩更稳定；故选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了概率、全面调查、抽样调查以及方差知识；熟练掌握有关知识是解题的关键．
4．B
【分析】本题考查了算术平均数，方差与稳定性．熟练掌握算术平均数，方差与稳定性是解题的关键．
由题意知，每个人的年龄都增加2岁，则平均数比原来大2，由数据的波动情况不变，可知方差不变．
【详解】解：由题意知，每个人的年龄都增加2岁，则平均数比原来大2，
∵数据的波动情况不变，
∴方差不变，
故选：B．
5．C
【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似和方差和概率判断即可．
【详解】A.了解全市中学生对社会主义核心价值观的知晓度的情况，适合用抽样调查，正确.
B.若甲组数据方差S2甲＝0.39，乙组数据方差S2乙＝0.27，则乙组数据比甲组数据稳定，正确.
C.某种彩票中奖的概率是，但买100张该种彩票不一定会中奖，错误.
D.旅客上飞机前的安检应该进行全面调查，正确.
故选C.
【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
6．D
【分析】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．销量大的尺码就是这组数据的众数．
【详解】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故影响该店主决策的统计量是众数．
故选：D．
7．A
【分析】根据乙选手是这四名选手中成绩最好且发挥最稳定的运动员，可得到乙选手的成绩的平均数最小，方差最小，即可求解．
【详解】解：因为乙选手是这四名选手中成绩最好的，
所以乙选手的成绩的平均数最小，
又因为乙选手发挥最稳定，
所以乙选手成绩的方差最小．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平均数和方差的意义，理解方差是反映一组数据的波动大小的一个量：方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
8．B
【分析】由频数分布表可知后两组的频数和为20，即可得知总人数，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第30、31个数据的平均数，可得答案．
【详解】解：由表可知，年龄为14岁与年龄为15岁的频数和为，
则总人数为：（人），
因为13岁出现的次数最多为25次，
故该组数据的众数为13岁，
第30、31个数据为13、13，
故中位数为：（岁），
即对于不同的，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数，而平均数与方差都会随x的变化而变化．
故选：B．
【点睛】本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键．
9．A
【分析】本题主要考查平均数及方差．根据平均数及方差可进行判断即可．
【详解】解：由表格可知：甲、乙、丙、丁的平均高度相等，且，
∴甲块实验田的麦苗长得整齐；
故选：A
10．B
【分析】根据随机事件以及众数和和算术平均数的求法分别分析得出即可．
【详解】解：A、“打开电视机，中央一套正在直播巴西世界杯足球赛．”是随机事件，故A错误；
B、若甲乙两人六次跳远成绩的方差为S甲2=0.1，S乙2=0.3，则甲的成绩更稳定，利用方差的意义，故B正确；
C、从一副扑克牌中随即抽取一张不一定是红桃K，故C错误；
D、任意一组数据的平均数不一定等于它的众数，故D错误．
故选B．
【点睛】此题主要考查了随机事件以及众数和和算术平均数的求法等知识，正确把握相关概念是解题关键．
11．A
【分析】计算小华的方差后与小梅的方差比较即可发现谁的波动大．
【详解】小华五次数学测验的平均成绩：，
方差为
，
∵小梅这五次数学测验成绩的方差为15，且，
∴小华这五次数学测验成绩的方差小，
∴小华的数学成绩更稳定，
故选：A
【点睛】本题考查了方差的定义和方差的计算，方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
12．D
【分析】根据随机事件、概率、方差的知识对各选项进行判断即可．
【详解】解：A中是随机事件，故错误，不符合题意；
B中概率为0.5，是指明天有可能下雨，也有可能不下雨，故错误，不符合题意；
C中买100张这种彩票有可能中奖也有可能不中奖，故错误，不符合题意；
D中方差越小越稳定，故正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了随机事件，概率的意义，方差与稳定性等知识．解题的关键在于对知识的灵活运用．
13．黄队
【分析】根据方差的意义：方差越大，则数据的波动越大，稳定性也越小；反之，则数据的波动越小，稳定性越好，即可得出结论．
求解即可．
【详解】解：由表知：黄队身高的方差最小，
所以三支仪仗队中身高最整齐的黄队，
故答案为：黄队．
【点睛】本题考查了方差，掌握方差是反映一组数据的波动大小的一个量是解题的关键．
14．
【分析】本题考查方差的意义，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了折线统计图．根据折线统计图可知：乙地的平均气温波动较小．
【详解】解：观察平均气温统计图可知：乙地的平均气温波动较小；
故乙地的日平均气温的方差较小，气温更稳定．
则，
故答案为：．
15． 6 3
【分析】根据平均数的概念、方差的性质解答．
【详解】∵数据x1，x2，…，xn的平均数是3，方差是3，
∴，
∴数据x1+3，x2+3，x3+3，…，xn+3
平均数，
方差是
，
故答案为：6，3．
【点睛】本题考查的是平均数和方差，当数据都加上一个数（或减去一个数）时，方差不变，当数据都乘上一个数（或除一个数）时，方差乘（或除）这个数的平方倍．
16．乙
【分析】方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
【详解】解：∵，
方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
∴乙最稳定．
故答案为：乙．
【点睛】本题考查了方差，正确理解方差的意义是解题的关键．
17．甲
【分析】根据方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大；方差越小，波动性越小，比较四个人成绩的方差大小即可判断．
【详解】解：∵0.2＜0.25＜0.3＜0.4，
∴＜＜＜，
∴甲的成绩更稳定．
故答案为：甲
【点睛】此题主要考查了用方差判断数据的稳定性，解题的关键是掌握方差的意义，方差越小，成绩越稳定．
18．（1）2．51，2．51；（2）陈辉，理由参见解析；（3）选李超，理由参见解析．
【详解】试题分析：（1）此题是求算术平均数，分别将六个数据加在一起再除以6，就是李超和陈辉的平均成绩；（2）用方差公式求出每个人的方差，方差小的成绩稳定；（3）看训练数据，谁跳过2．55米可能性大，就选谁．
试题解析：（1）李超的平均成绩：（2．50+2．42+2．52+2．56+2．48+2．58）÷6=15．06÷6=2．51；陈辉的平均成绩：（2．54+2．48+2．50+2．48+2．54+2．52）÷6=15．06÷6=2．51；
（2）李超的方差：=0．00277=2．77，
陈辉的方差：=0．000633=6．33；
因为陈辉的方差小．所以陈辉的成绩稳定； （3）看训练数据,李超有两次次高过2．55，而陈辉一次也没有高过2．55的，所以选李超，因为他能跳过2．55米的可能性大．
考点：数据的分析．
19．（1）345；24．（2）2008．（3）343.2天．
【分析】（1）把这五年的全年空气质量优良天数按照从小到大排列，根据中位数的定义解答；根据极差的定义，用最大的数减去最小的数即可．
（2）分别求出相邻两年下一年比前一年多的优良天数，即可得解．
（3）根据平均数的求解方法列式计算即可得解．
【详解】（1）这五年的全年空气质量优良天数按照从小到大排列如下：
333、334、345、347、357，
所以中位数是345；
极差是：357﹣333＝24；
（2）2007年与2006年相比，333﹣334＝﹣1，
2008年与2007年相比，345﹣333＝12，
2009年与2008年相比，347﹣345＝2，
2010年与2009年相比，357﹣347＝10，
所以增加最多的是2008年；
（3）这五年的全年空气质量优良天数的平均数＝ ＝343.2天．
20．(1)八
(2)40，93，96
(3)估计八年级参加此次竞赛活动成绩优秀（）的学生人数是126人
【分析】（1）从方差的角度分析即可，方差小者稳定；
（2）先求出八年级学生成绩落在C组人数所占百分比，进而可求出a，再根据中位数和众数的概念即可求出b、c，
（3）利用样本估计总体的思想解答．
【详解】（1）∵七年级成绩的方差为52，八年级成绩的方差为50.4，
∴八年级成绩的方差小于七年级成绩的方差，
∴八年级成绩更平衡，更稳定；
故答案为：八；
（2）∵八年级学生成绩落在C组人数所占百分比为，
∴，即；
将七年级成绩重新排列为：80，82，86，89，90，96，96，96，99，100，
则这组数据的中位数，，
故答案为：40，93，96；
（3）（人），
答：估计八年级参加此次竞赛活动成绩优秀（）的学生人数是126人．
【点睛】本题考查了统计表、扇形统计图、平均数、中位数、众数、方差以及利用样本估计总体等知识，熟练掌握统计的相关知识是解题的关键．
21．(1)，
(2)，
(3)选甲种电子钟．理由见解析
【分析】本题考查平均数与方差的计算，其中方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
（1）根据平均数的计算公式求解即可；
（2）根据方差的计算公式求解即可；
（3）根据（1）（2）的计算结果进行判断可得结论．
【详解】（1）甲种电子钟走时误差的平均数是；
乙种电子钟走时误差的平均数是；
（2），；
（3）∵
∴甲电子钟走时稳定性更好
∴选甲种电子钟．
22．(1)10，9
(2)平均成绩是9，方差是1.4
(3)乙
【分析】（1）根据众数及中位数的定义解答；
（2）根据平均数及方差的计算公式解答；
（3）比较方差，较小的较为整齐．
【详解】（1）解：甲校成绩中，出现次数最多的是10，出现5次，故众数是10；
乙校成绩由小到大重新排列为7，8，8，9，9，9，10，10，10，10，
第5个和第6个数据分别为9，9，故中位数是9，
故答案为：10，9；
（2）解：甲校的平均成绩是，
方差是；
（3）解：∵甲校的方差是1.4，乙校的方差是1，，
∴乙校的成绩较为整齐，
故答案为：乙．
【点睛】此题考查了求平均数，方差，众数，中位数，利用方差确定稳定性，正确掌握各知识点是解题的关键．
23．(1)见解析
(2)见解析
(3)2
【分析】
本题考查了一组数据的平均数和方差的公式，掌握方差公式是解题的关键．
（1）设，，的平均数为，方差为，根据方差公式即可证明结论；
（2）根据方差公式展开、变形即可证明结论；
（3）设2，3，5，，的平均数为，另一组数据：4，5，7，，的平均数为，方差为，根据方差公式计算即可．
【详解】（1）
证明：设，，的平均数为，方差为，
则，
；
（2）
证明：
；
（3）
解：设2，3，5，，的平均数为，另一组数据：4，5，7，，的平均数为，方差为，
则，
，
．
24．(1)见解析
(2)，推荐甲参加比赛更合适，理由见解析
【分析】此题主要考查了中位数的定义，平均数的求法以及方差的求法和方差与稳定性之间的关系：
（1）根据平均数、中位数的定义，结合图表数据，即可完成表格；
（2）根据平均数，以及方差公式求出甲六次测试成绩的方差，再根据方差越小成绩越稳定进行求解即可．
【详解】（1）解：将甲的成绩从小到大排列为：8，8，9，9，10，10，处在最中间的两个数分别为9、9，
∴甲的中位数为，
甲的平均数为；
设乙缺失的成绩为x，则，解得，
把乙的成绩从低到高排列为：7，8，9，10，10，10，处在最中间的两个数分别为9、10，
∴乙的中位数为，
填表如下：
选手 选拔成绩/环 中位数 平均数
甲 10 9 8 8 10 9 9 9
乙 10 10 8 10 7 9 9
（2）解：甲的方差为，
∵，
∴甲的方差小于乙的方差，
∴两人的平均成绩相等，说明实力相当；但甲的六次测试成绩的方差比乙小，说明甲发挥较为稳定，故推荐甲参加比赛更合适．
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