7.4平行线的性质同步练习（含解析）

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7.4平行线的性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，a∥b，下列可以表示a，b之间的距离的是(　　)
A．线段AB的长度 B．线段AE的长度
C．线段EF的长度 D．线段BC的长度
2．下列命题是假命题的是（　　）
A．两直线平行，内错角相等
B．两直线平行，同位角相等
C．同旁内角相等，两直线平行
D．同位角相等，两直线平行
3．如图，在同一平面内，于点B，于点C，连接，平分交于点E，点F为延长线上一点，连接，，下列结论：①；②；③；④；⑤若，则．正确的有（ ）个

A．2 B．3 C．4 D．5
4．如图，，点O在直线上，若，，则的度数为（ ）
A．65° B．55° C．45° D．35°
5．如图，直线m∥n，△ABC的顶点B，C分别在直线n，m上，且∠ACB＝90°，若∠1＝30°，则∠2的度数为（　　）
A．140° B．130° C． 120° D．110°
6．下列命题是真命题的是（ ）
A．相等的角是对顶角
B．和为180°的两个角是邻补角
C．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
7．如图，由得到的结论正确的是
A． B．
C． D．
8．下列说法正确的是( )
A．内错角相等
B．任何数的0次方都等于1
C．一个角的补角一定大于它本身
D．平行于同一直线的两条直线互相平行
9．下列命题中的假命题是
A．同旁内角互补
B．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和
C．三角形的中线，平分这个三角形的面积
D．全等三角形对应角相等
10．下列命题中，真命题是（　　）
A．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
B．相等的角是对顶角
C．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
D．同旁内角互补
11．下列命题：① 过一点有且只有一条直线与已知直线平行；② 垂直于同一条直线的两条直线互相平行：③ 垂线段最短；④ 平行于同一条直线的两条直线互相平行；其中是真命题的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．如图，直线c截二平行直线a、b，则下列式子中一定成立的是（ ）
A．∠1=∠5 B．∠1=∠4 C．∠2=∠3 D．∠1=∠2
二、填空题
13．如图，已知，，，则 度．

14．如图，D、E分别是AB、AC上的点，，若，则
15．完成下面推理过程．
如图：在四边形中，，，于点，于点，求证：
证明：，（已知）
　　 　　
　　 　　
，（已知）
　　
　　 　　
　　 　　
　　

16．如图，，且AE平分，，则 ；
17．如图，AD∥BC，∠DAC＝60°，∠ACF＝25°，∠EFC＝145°，则直线EF与BC的位置关系是 ．
三、解答题
18．如图，直线c，d分别截直线a，b，已知，，求和的度数．

19．如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个正方形的顶点叫做格点，四边形的顶点均在格点上，点M是边与网格线的交点．仅用无刻度的直尺在给定网格中按步骤完成下列画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．
(1)过点C画线段，使，且；
(2)在边上画一点F，使直线平分四边形的面积；
(3)过点M画线段，使，且．
20．（1）如图1，，且，求证：；
　图1
（2）如图2，，且，求的值．
　图2
21．如图，这是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支架分别与交于点和点，与交于点，，．
(1)求扶手与支架的夹角的度数．
(2)若扶手与靠背的夹角，请对说明理由．
22．阅读下列材料，解决相应问题．
【学科融合】如图1，物理学光的反射现象中，把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角，反射角入射角，这就是光的反射定律．
（1）在图1中，证明；
【问题解决】根据光的反射定律，人们制造了潜望镜，如图2是潜望镜的工作原理示意图，、是平行放置的两面平面镜，是射入潜望镜的光线，是经平面镜两次反射后离开潜望镜的光线，由（1）可知，光线经过平面镜反射时，有，；
（2）请问和有什么关系？并说明理由；
（3）请问光线和是否平行？并说明理由．
23．如图，∠1＋∠2＝180°，∠B＝∠C，∠3＝∠A，请从中选两个作为条件，另一个作为结论构成一个真命题：
条件：
结论：
证明：
24．推理填空
如图，点在的一边上，过点的直线平行直线，平分，于点.
(1)求证：平分；
证明：∵（已知）
∴（垂直定义）
即
又∵（平角定义）
∴，
∵平分，
∴（角平分线定义）
∴（_____________________）
即平分；
(2)当为多少度时，平分，并说明理由．
解：当时，平分，理由如下：
∵，
∴（____________________________），
∴_________________，
又∵平分，
∴，
∴（等量代换）
即平分.
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C C B C D B D A A
题号 11 12
答案 B A
1．C
【分析】根据平行线间的距离的定义，可得答案．
【详解】由直线a∥b，EF⊥b，得线段EF的长度是直线a，b之间距离，
故选C．
【点睛】本题考查了平行线间的距离，利用平行线间的距离的定义是解题关键．
2．C
【分析】根据平行线的性质对A、B进行判断；根据平行线的判定方法对C、D进行判断．
【详解】解：A、两直线平行，内错角相等，选项为真命题，不符合题意；
B、两直线平行，同位角相等，选项为真命题，不符合题意；
C、同旁内角互补，两直线平行，选项为假命题，符合题意；
D、同位角相等，两直线平行，选项为真命题，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了命题、平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
3．C
【分析】有垂直可得，即可证明①；根据条件证明，即可证明②；根据角平分线的性质和第②问的结论即可证明③；根据角平分线的性质和即可证明④；根据题中条件找到即可证明⑤．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，故①正确；
∵，，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
由②得：，
∴，
∴，故③正确；
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，故④正确；
∵，，
∴，
∵，平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，平分，
∴，
∴，
∴，
∴，故⑤错误；
故选：C
【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系、平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
4．B
【分析】先根据，求出的度数，再由即可得出答案．
【详解】解：∵，，
∴．
∵，
∴．
故选B．
【点睛】本题考查的是平行线的性质、垂线的性质，熟练掌握垂线的性质和平行线的性质是解决问题的关键．
5．C
【分析】先根据平行线的性质求出∠3的度数，再由∠ACB＝90°得出∠4的度数，根据补角的定义即可得出结论．
【详解】解：如图：
∵m∥n，∠1＝30°，
∴∠3＝∠1＝30°．
∵∠ACB＝90°，
∴∠4＝∠ACB﹣∠3＝90°﹣30°＝60°，
∴∠2＝180°﹣∠4＝180°﹣60°＝120°．
故选C．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．
6．D
【分析】分别利用对顶角以及邻补角、平行线的性质分别分析得出答案．
【详解】A. 相等的角不一定是对顶角，故此选项错误；
B. 和为180°的两个角不一定是邻补角，故此选项错误；
C. 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故此选项错误；
D. 过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，正确.
故选D.
【点睛】此题考查命题与定理，掌握定理是解题关键
7．B
【分析】先根据，得出AB∥CD，再由平行线的性质即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴AB∥CD，
∴∠5=∠6．
故选B．
【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．
8．D
【详解】试题分析：A、内错角相等，故选项错误；
B、任何数的0次方都等于1，故选项错误；
C、一个角的补角一定大于它本身，故选项错误；
D、平行于同一直线的两条直线互相平行，故选项正确；
故选D．
考点：1．平行公理及推论；2．有理数的乘方；3．余角和补角；4．同位角、内错角、同旁内角．
9．A
【分析】利用平行线的性质，三角形的外角性质，全等三角形的性质，三角形的中线，对选项进行判断
【详解】A. 在两条直线相互平行的情况下，同旁内角互补，所以A项错误.
B. 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，所以B选项正确
C. 三角形的中线，平分这个三角形的面积，所以C选项正确
D. 全等三角形对应角相等，所以D选项正确
【点睛】本题考查平行线的性质，三角形的外角性质，全等三角形的性质，三角形的中，解题关键在于熟练掌握定义
10．A
【分析】根据平行线的判定、对顶角的性质和平行线的性质逐项判断即可.
【详解】解：A、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，是真命题；
B、相等的角不一定是对顶角，故原命题是假命题；
C、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故原命题是假命题；
D、两直线平行，同旁内角互补，故原命题是假命题；
故选：A.
【点睛】本题考查了真假命题，熟练掌握平行线的判定和性质以及对顶角相等的性质是解题的关键.
11．B
【分析】本题考查的是命题的真假判断，掌握平行公理、平行线的判定定理、垂线段的性质是解题的关键．根据平行公理、平行线的判定定理、垂线段的性质判断即可．
【详解】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本说法是假命题；
②在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故本说法是假命题；
③垂线段最短，故说法是真命题；
④平行于同一条直线的两条直线互相平行，本说法是真命题；
综上所述：正确得是③④，共2个．
故选：B．
12．A
【详解】本题重点考查了平行线的性质
两直线平行，同位角相等，据此可进行判断．
由图可知，
A、∠1和∠2是邻补角，两直线平行不能推出邻补角相等，故错误；
B、∵a∥b，∴∠1=∠3（两直线平行，同位角相等），故正确；
C、由B知，∠1=∠3，又∠3+∠4=180°，∴∠1+∠4=180°，故错误；
D、由C知，∠1+∠4=180°，又∠4=∠5，∴∠1+∠5=180°，故错误；
故选A．
13．65°
【分析】过点作∥，根据平行公理得，再依据平行线的性质求角即可．
【详解】解：过点作∥，如图：
，
．
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
．
故答案为：．

【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解题关键是依据平行公理作辅助线，熟练运用平行线的性质解决问题
14．50
【分析】依据，可得，利用，即可得到．
【详解】解：，
，
又，
，
故答案为50．
【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．
15．；同旁内角互补，两直线平行；；垂直的定义；；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；等量代换
【分析】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线定义等知识点，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．
求出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出，根据垂直得出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出，即可得出答案．
【详解】证明：，（已知），
，
（同旁内角互补，两直线平行），
（两直线平行，内错角相等），
，（已知），
（垂直的定义），
（同位角相等，两直线平行），
（两直线平行，同位角相等），
（等量代换），
故答案为：；同旁内角互补，两直线平行；；垂直的定义；；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；等量代换．
16．
【分析】由AE∥BC，∠B=36°，即可求得∠DAE的度数，又由AE平分∠DAC，即可求得答案．
【详解】∵AE∥BC,∠B=36°，
∴∠DAE=∠B=36°，
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAC=2∠DAE=72°.
故答案为72°.
【点睛】此题考查平行线的性质，解题关键在于得到∠DAE的度数.
17．平行
【详解】试题分析：根据AD∥BC，可得∠DAC=∠ACB=60°，由∠ACF=25°，可得∠BCF=35°，因为∠EFC=145°，根据同旁内角互补，两直线平行的判定可得答案.
考点：平行线的性质和判定方法
点评：此题考查的是平行线的判定和性质，熟记平行线的各条性质和判定方法是解题的关键，注意分析图形中角的关系.
18．，
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，邻补角的性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
根据证明，再利用平行线的性质求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴．
19．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查作图-应用与设计，平行线的性质，三角形的面积等知识．
（1）取格点E，连接即可．
（2）连接，交于点O，作直线即可．
（3）取格点G，H，连接交网格线于点N，作线段即可．
【详解】（1）解：如图，线段即为所求；
（2）解：如图，直线即为所求，
由（1）知四边形是平行四边形，
连接，交于点O，则点O为平行四边形的对角线交点，连接并延长交于点F，此时将平行四边形分成两个等底等高的四边形，直线平分四边形的面积；
（3）解：如图，线段即为所求，
取格点G，H，连接交网格线于点N，
，，
，
，
．
20．（1）见解析
（2）
【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握和灵活运用平行线的性质是解题的关键．
（1）作出辅助线，由平行线的性质可得角相等，结合条件即可证明；
（2）作出辅助线，类比（1）的推导即可完成．
【详解】（1）证明：作，
，
，
，
，
，
；
（2）解：作，
，
，
由（1）可知，，，
，
，
，
又，
设，则，
，
．
21．(1)
(2)理由见解析
【分析】本题考查平行线的判定和性质，对顶角相等，
（1）根据平行线的性质得，再由平角的定义即可得解；
（2）根据对顶角相等得，由同位角相等，两直线平行即可得出结论；
掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）解：∵扶手与底座都平行于地面，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的度数为；
（2）∵，，
∴，
∴，
∴．
22．（1）见解析；（2），理由见解析；（3）理由见解析．
【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
（1）根据等角的余角相等解答即可；
（2）根据平行线的性质求解即可；
（3）求出，根据平行线的判定得出即可．
【详解】（1）∵，，
∴；
（2）∵，
∴；
（3）由材料可知，，
∴，
∴，
∴，
∴．
23．见解析
【分析】根据命题的概念，写出条件、结论，根据平行线的判定和性质定理证明．
【详解】解：条件：∠1＋∠2＝180°，∠B＝∠C；
结论：∠3＝∠A；
证明：∵∠B＝∠C，
∴AB∥CD，
∴∠A=∠D，
∵∠1＋∠2＝180°，
∴AD∥EF，
∴∠D=∠3，
∴∠3＝∠A．
【点睛】本题考查的是命题的概念、平行线的性质，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键．
24．(1)见解析
(2)时，平分，理由详见解析
【分析】此题考查了平行线的性质，以及垂线，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．
（1）由与垂直，利用垂直的定义得到一个直角，再由为角平分线，利用等角的余角相等即可得证；
（2）当为60度时，平分，由平行线的性质及角平分线定义验证即可．
【详解】（1）证明：∵（已知）
∴（垂直定义）
即，
又∵（平角定义）
∴，
∵平分，
∴（角平分线定义），
∴（等角的余角相等）
即平分；
（2）解：时，平分，理由如下：
∵，
∴（两直线平行，内错角相等）
∴，
又∵平分，
∴，
∴（等量代换），
即平分.
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