宜城一中 枣阳一中 曾都一中
2024—2025 学年上学期期中考试
襄阳六中 南漳一中 老河口一中
高三数学答案
一选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
B C B A C D B D BC ACD BCD
二．填空题
5π 23312. 192; 13. ; 14
6 3
三．解答题
15. 1 3 1 π【解】（1）f(x)＝ 3sinx cosx＋sin2x－ ＝ sin2x－ cos2x＝sin(2x－ ). 。。。。。。。。3分
2 2 2 6
2kπ π 2x π 2kπ 3π π 5π由 k Z 解得 kπ x kπ k Z ，
2 6 2 3 6
π
所以，函数 f x 的单调递减区间为 kπ ,kπ
5π
k Z 。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分 3 6
π
（2）将函数 y f x 的图象向左平移 个单位长度，可得到函数
6
y sin 2 π π π x sin 2x ，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的 2倍（纵
6 6 6
π
坐标不变），得到函数 y g x 的图象，则 g x sin x ，。。。。。。。。。。。。9分
6
π π π 7π 1
当 x , π 时， x ，则 sin
x π 1
6 3 6 6 2 6
1，则 g x 1，。11 分
2
x π ,π g x g x a a g x g x 1 1 3对任意的x1、 2 ，6 1 2 ，则 max min
，
2 2
a 3故实数 的最小值为 .。。。。。。。。。。。。。。。13 分
2
16解：由题意得
f ( 1) 2
(1) ' = 3 2 + 2 3， 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3分
f ( 1) 0
+ + 3 = 2 = 1
故 33 2 3 = 0 = 0 = 3 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分
（2）过点 A 1,m 向曲线 y f x 作切线，设切点为 x0 , y0 ，
则 y0 x
3
0 3x0， k f x0 3x20 3，则切线方程为
y x30 3x0 3x20 3 x x0 ，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分
将 A 1,m 代入上式，整理得 2x3 20 3x0 m 3 0．
∵过点 A 1,m m 2 可作曲线 y f x 的三条切线，
2x3 2∴方程 3x m 3 0有三个不同实数根．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。9分
g x 2x3 3x2记 m 3， g x 6x2 6x 6x x 1 ，.。。。。。。。。。。。。。。。。。。11分
令 g x 0，得 x 0或 1，则 x， g x ， g x 的变化情况如下表：
x ,0 0 0,1 1 1,
g x + 0 ― 0 +
g x ↗ 极大 ↘ 极小 ↗
当 x 0， g x 有极大值m 3； x 1， g x 有极小值m 2，。。。。。。。。。。。。。。。。。13分
g 0 0, m 3 0,
由题意有，当且仅当 即 解 得 3 m 2时函数 g x 有三个不同
g 1 0, m 2 0,
零点．此时过点 A可作曲线 y f x 的三条不同切线．故 m的取值范围是
3, 2 ．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。15分
17. 解：（1）因为 ， 在△ABC中， ，
所以 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。.2分
在△ABC中，由正弦定理得：
又 ， ， 所以 ，即 ，。。。。。。。。4分
又 ，所以 ，所以 ，
所以 ，因为 ，所以 ， 即 ．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6 分
（2）因为 AD=3DA，BD是角平分线，即 ，
因为 ，所以 c=3a，。。。。。。。。9分
由正弦定理可知 ，所以 ，。。。。。。。。。。11分
所以 ，整理可得 ，。。。。。。。。。。13分
即 ，又因为 ，且 ，
即 ，解得 。。。。。。。。。。。。。。。。。15 分
f (x) 1 x2 3x 2ln x
18.（1）当 a=3时， 2
2
f (x) x 3 2 x 3x 2
x x
当1 x 2, f (x) 0, f (x)在（1,2）单调递增
,0 x 1或x 2, f (x) 0, f (x)在（0,1），（2， ）单调递减.........2
f (x)的极大值为f (2) 4 2ln 2..............3
f (x)的极小值为f (1) 5 .............................4
2
2
（2）由 f (x) 1 x2 ax 2ln x(x 0) f (x) x 2 x ax 2，得 a ．。。。。5分
2 x x
令 g(x) x2 ax 2，则 f (x) g(x) ， x 0，
x
当 a2 8 0，即 2 2 a 2 2时， g(x) 0恒成立，则 f (x) 0，
所以 f (x)在 (0, )上是减函数．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分
当 a2 8 0，即 a 2 2 或 a 2 2．
（i）当 a 2 2时， g(x) 0恒成立，从而 f (x) 0，所以 f (x)在 (0, )上是减函
数．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分
2 2
（ii a a 8 a a 8）当 a 2 2时，函数 g(x)有两个零点： x1 ， x2 ，2 2
（ii）
列表如下：
x 0, x1 x x , x x x , 1 1 2 2 2
f (x) — 0 + 0 —
f (x) 减函数 极小值 增函数 极大值 减函数
综上，当 a 2 2时， f (x)的减区间是 (0, )，无增区间；当 a 2 2时， f (x)的增区间
a a2 8 a a2 8 a a2 8 , a a
2 8
是 ，减区间是
0, 和 , ．。10分
2 2 2 2
（3）由（1）知，当a 2 2时，f (x)有两个极值点x1，x2，x1 x2，则x ，x 是方程 g(x) 01 2
2 2
的两个根，从而 ax1 x1 2，ax2 x2 2，由韦达定理，得 x1x2 2， x1 x2 a．所以
0 x1 2 x2 ，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10分
2 f x f x 1 2 1 2 1 2 2 x2 1 ax1 2ln x1 x ax 2ln x2 2 2 2
x21 2ax1 4ln x -
1 2
1 x ax2 2 2
-2 ln x2
x2 2 x2 2 4ln x - 1 21 1 1 x2 x22 2 -2 ln x2 2
x2 11 x
2
2 - ln x
4
1 x
2
2 6
4 1
22 x2 ln
16
6.
2 x 2 x2 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分2 2
4 1 16
令 t x22 (t 2)， h(t) t- ln 6， t 2，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。13分t 2 t
h (t) 4 1 1 (t 4)(t 2)则 2 2 ，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。15分t 2 t 2t
当 t 2时， h (t) 0，则 h(t)在 (2, )上是增函数，从而 h(t) h(2) 9 3ln 2，
故 2 f (x1) f (x2) 9 3ln 2。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。17分
19.（1）令 x = y = 0则，f(0) + f(0） = 2f2(0），又 f(x) > 0,故 f(0) = 1.....................2分
x 1, y 1 25 5令 ，则 f 2 f 0 2 f 1 f 1 ，则 2(1) = ,f(1) > 0 故 f(1) = 。。。。4分
16 4
（2）令 x n, y 1,n N ，则 f n 1 f n 1 2 f n f 1
5
f n ，
2
2 f n 1 f n 2 2 f n f n 1 ，即 an 2an 1，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分
又 a1 3，所以数列 an 为以 2
n 1
为公比，3为首项的等比数列，即 an 3.2 ，。。。。。。7 分
log 1 + log 2 + + log 100 = 0 + 1 + 2 + + 99 = 0+99则 2 2 。。。。 2 。。。。。。。 × 100 = 4950；3 3 3 2
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。9 分
（3）由题意得：函数 g(x)定义域为 R，定义域关于原点对称，令 x = y = 0,有
g(0) + g(0) = 2g2（0），又 g(0) > 0,故 g(0) = 1.令 x=0,y为任意实数，
则 g(y) + g( y) = 2g(0)g(y)，即 g(y) = g( y),故 g(x)是偶函数，。。10分
因为g(x y) g(x y) 2g(x)g(y)，又因为当 x 0时， g(x) 1，
所以当 x 0时，有 2g(x)g(y) 2g(y)，所以 g(x y) g(x y) 2g(y)，。。。。。12分
p p
x , x x 1 , x 22 1 为有理数，不妨设 1 x , xq 2 q ，令 N 为 2 1 ，分母的最小公倍数，1 2
a b
且 x1 , x2 ,a,b均为自然数，且 a b，N N
C g n 设 n ,g 0 1 g
1
，则 c0 c1，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。14 分
N N
n n 1x , y 1 g
n 1 n
令 ，则 g 2gN N N N N
，
即Cn 1 Cn 1 2Cn ，Cn 1 2Cn Cn 1 Cn Cn Cn 1 Cn ，
故数列 Cn 单调递增，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。16 分
则 g x2 g x1 ，又 g x 是偶函数，所以有 g x2 g x1 .。。。。。。。。。。。。。。。。。17分宜城一中 枣阳一中 曾都一中
2024—2025 学年上学期期中考试
襄阳六中 南漳一中 老河口一中
高三数学试题
时间：120分钟 主命题学校：曾都一中
分值：150 分 命题老师：姜华红 徐士勇 董建勇
注意事项:
1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考
证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2. 选择题的作答:每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写
在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3. 非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸
和答题卡上的非答题区域均无效。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一
个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 已知集合 A x | x2 3x 4 0 , B x x >1,x Z ，则 A B =（ ）
A． 1,2,3 B．{2,3} C． 3, 2 D． 3, 2,0
2. 若 z 1 i则 iz 3z （ ）
A． 4 5 B． 4 2 C．2 5 D． 2 2
3. 已知 x，y是任意实数，则 p： x y 4是 q： x 1且 y 3的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4. 设 a， b 均为非零向量，且 a a b ， b 2 a
，则 a与 b 的夹角为（ ）
A B ． ． C ． D 2 ．
3 4 6 3
5 1 0.1 0.15. 若 a log ， b 2 3 ， c ，则 a，b，c的大小关系为（ ）.2 5 5
A． c a b B． a b c C． a c b D． c b a
6. 已知等比数列 an 的前 3项和为 28， an 0且 a5 a2 56，则 a6 =（ ）
A．28 B．56 C．64 D．128
鄂北六校联考*高三数学试卷（共 4 页）第 1 页
7. 0 π 4已知 ， sin ， tan tan =2，则 sin sin （ ）
2 5
A 1 B 2 C 1． ． ． D． 2
5 5 2 2
8. 英国数学家牛顿在 17世纪给出了一种求方程近似根的方法—牛顿迭代法，做法如下：如图，
设 r是 f x 0的根，选取 x0作为 r的初始近似值，过点 x0 , f x0 作曲线 y f x 的切线
f x
l : y f x0 f x0 x x0 ，则 l与 x轴的交点的横坐标 x x
0
1 0 f x 0 ，称 xf 0 x 10
是 r的第一次近似值；过点 x1, f x1 作曲线 y f x 的切线，则该切线与 x轴的交点的横
坐标为 x2，称 x2是 r的第二次近似值；重复以上过程，得 r的近似值序列，其中
f x
x x nn 1 n f xn 0 ，称 xn 1是 r的 n 1次近似值，这种求方程 f x 0近似解的f xn
方法称为牛顿迭代法.若使用该方法求方程 x2 3的近似解，则下列正确的是（ ）
A．若取初始近似值为 1，则过点 1, f 1 作曲线 y f x
的切线 y=2x-3
B 7．若取初始近似值为 1，则该方程解的第二次近似值为
5
f x
C 0 f x． x 1 f x 3 x0 2f x0 f x1 f x2
f xD． x x 0 f x1 f x2 f x n 1 0 nf x0 f x1 f x2 f x n
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
9. 设等差数列 an 的前 n项和为 Sn，公差为 d， a1 0， a6 a7 0， a6 a7 0，下列结论正
确的是（ ）
A． a6 0,a7 0 B. d 0
C． S13 0 D．当 n=7时， Sn最大
鄂北六校联考*高三数学试卷（共 4 页）第 2 页
10. 已知实数 a,b满足 lg a lgb lg a 4b ,则下列结论正确的是（ ）
A．a+b的最小值为 9 B 1 1． 的最大值为
ab 4
C 4 1． 的最大值为 2 D．lga+lgb的最小值为 4lg2
a b
x
11. 1 函数 f x a b的图像过原点，且无限接近直线 y=2但又不与该直线相交，则下列结
2
论正确的是（ ）
A．a=2
B． f 2 f 1
C．若 0 x x x1 x2 11 2 ，则 f f x1 f x 2 2 2
D f 2 (x) 1．方程 f (x) 0有 3个实数根
2
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
f 0.5 f 1 f 0.5n
12. 已知函数 y f x ,x R,且f 0 3, 2, 2,..., 2,n N *则
f 0 f 0.5 f 0.5 n 1
f(3)=_____．
13. 如图，函数 f x 3sin x 0,0 π 的部分图象如图所
示，已知点 A,D 为 f x 的零点，点 B,C 为 f x 的极值点，
1 2AB DC AB ,则 .
2
14. 若 an n 1,n N
* 250，记数列 a 2n 的前 n项和为 Sn，则 Sn 的最小值为__________.Sn
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 1（13分）已知函数 f(x)＝ 3 sinx cosx＋sin2x－ .
2
（1）求 f(x)的单调减区间；
（2 π）将函数 y f x 的图象向左平移 个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原
6
2 来的 倍（纵坐标不变），得到函数 y g x 的图象. 若对任意 x1, x2 , , 6
g x1 g x2 a求实数 a的最小值.
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16. （15分） 已知函数 f x ax3 bx2 3x 在点 1，f 1 处的切线方程为 y 2
（1）求函数 f x 的解析式；
（2）若m 2，且过点 1,m 可作曲线 y f x 的三条切线，求实数 m的取值范围．
17. （15分） 在△ABC中，角 A，B，C A C所对的边分别为 a，b，c，且 bsinC csin
2
（1）求角 B的大小；
（2）设 D是边 AC上一点，BD为角平分线且 AD=3DC，求 cosA的值.
18. （17分）已知函数 f (x) 1 x2 ax 2ln x(a R) ．
2
（1）若 a 3，求 f (x)极值；
（2）求函数 f (x)的单调区间；
（3）若函数 f (x)有两个极值点 x1， x2 (x1 x2 )，求证： 2 f (x1) f (x2 ) 9 3ln 2 .
19. （17分）把满足任意 x, y R 总有 f x y f x y 2 f x f y 的函数称为“类余弦型”函
数.
（1）已知 f x 为“类余弦型”函数 f x 0, f 2 17 ，求 f 1 的值；
8
（2）在（1）的条件下，定义数列： a *n 2 f n 1 f n n N ，求
log a1 log a2
a
2 2 ... log
100
3 3 2
的值；
3
（3）若 g x 为“类余弦型”函数，且 g 0 0，对任意非零实数 t，总有 g t 1．设有理
数 x1, x2 满足 x2 x1 ，判断 g x2 与 g x1 的大小关系，并给出证明．
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