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专题06 分式方程及其应用
明确分式方程是分母中含有未知数的方程，这是分式方程和整式方程的最根本区别，能准备判断一个方程是否为分式方程。
熟练掌握分式方程转化为整式方程的过程，能够对一些简单的分式方程通过去分母、移项、合并同类项等步骤进行求解。
理解增根产生的原因，会用带入原方程分母或最简公分母的方法检验根的合理性，确保所求的根是原方程的解。
能够从实际问题中找出等量关系式，恰当设未知数，将实际问题中的数量关系用分式方程表示出来。
分母中 的方程叫做分式方程。
解方程方程的步骤
① ：方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程；若遇到互为相反数时。不要忘了改变符号；（注意：最简公分母：①系数取最小公倍数②未知数取最高次幂③出现的因式取最高次幂）
② ：移项，若有括号应先去括号，注意变号，合并同类项，把系数化为1 求出未知数的值；
③ ：求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根。
注意：（1）注意去分母时，不要漏乘整式项。
（2）增根是分式方程去分母后化成的整式方程的根，但不是原分式方程的根。
（3）增根使最简公分母等于0。
（4）分式方程中，如果x为分母，则x应不等于0。
分式方程实际应用解题步骤：
1. ：首先，要仔细阅读题目，理解题目的要求和背景信息，找出题目中的相等关系和数量关系
2. ：根据找到的数量关系，选择合适的未知数，并注意单位的统一
3. ：根据相等关系和数量关系，列出分式方程。
4. ：解这个分式方程，得到未知数的值。
5. ：对解出的方程进行检验，包括两层：一是检验解是否满足题目的实际意义，二是检验解是否使分式方程有意义，避免增根的情况。
6. ：写出分式方程的解，并给出详细的解题过程。
【经典例题1】（2024·上海嘉定·模拟预测）下列关于的方程中，属于分式方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-1】（2024·广西贺州·三模）下列式子是分式方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-2】下列关于的方程：①；②；③；④；⑤，是分式方程的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式训练1-3】（2024·福建莆田·模拟预测）下列式子中，是分式方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-4】在下列各式中，属于分式方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-5】（2024·湖北荆门·模拟预测）下列方程不是分式方程的为（ ）
A． B． C． D．
【经典例题2】（2024·北京·模拟预测）关于x的方程的根为，则a应取值（ ）
A．1 B．3 C． D．
【变式训练2-1】（2024·河北石家庄·模拟预测）若关于x的方程的解为，则a应取值（ ）
A．4 B．3 C． D．
【变式训练2-2】（2024·河北邯郸·模拟预测）是分式方程的解，则（ ）
A．2 B． C．4 D．
【变式训练2-3】（2024·贵州遵义·模拟预测）已知分式方程的解为，则a的值为（ ）
A．2 B．3 C．7 D．13
【经典例题3】（2024·山东枣庄·模拟预测）解分式方程时，去分母后方程变形为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练3-1】解分式方程时，去分母变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练3-2】（2024·河北承德·模拟预测）解分式方程时，去分母正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练3-3】（2024·山东济宁·中考真题）解分式方程时，去分母变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练3-4】（2024·广西桂林·模拟预测）解分式方程时，去分母正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【经典例题4】（2024·安徽·模拟预测）关于的方程的解为非负数，则的取值范围是 ．
【变式训练4-1】（2024·四川成都·二模）若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是 ．
【变式训练4-2】（2024·山东济南·模拟预测）若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围为 ．
【变式训练4-3】（2024·江苏扬州·模拟预测）已知关于x的方程有一个正数解，则m的取值范围 ．
【变式训练4-4】（2024·山东菏泽·一模）若关于x的方程 的解为负数，则m的取值范围是 ．
【经典例题5】（2024·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知关于x的分式方程无解，则k的值为 ．
【变式训练5-1】（2024·广东梅州·模拟预测）若关于x 的方程无解，则a的值为 ．
【变式训练5-2】（2024·山东菏泽·三模）若关于的分式方程无解，则 ．
【变式训练5-3】（2024·山东东营·二模）若关于的分式方程无解，则的值是 ．
【变式训练5-4】（2024·四川巴中·一模）关于的分式方程无解，则 ．
【经典例题6】若关于x的分式方程有增根，则 ．
【变式训练6-1】（2024·云南·模拟预测）若关于x的分式方程有增根，则m的值为
【变式训练6-2】若关于x的方程有增根，则 ．
【变式训练6-3】（2023·湖南永州·中考真题）若关于x的分式方程（m为常数）有增根，则增根是 ．
【变式训练6-4】（2024·辽宁丹东·二模）若关于的方程有增根，则的值是 ．
【经典例题7】（2024·重庆南岸·模拟预测）若关于的一元一次不等式组至少有两个整数解；且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和是 ．
【变式训练7-1】（2024·重庆渝北·模拟预测）若关于x的不等式组有解且至多有4个整数解，且关于y的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数m的值之和为 ．
【变式训练7-2】（2024·重庆·模拟预测）若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程有非负数解，则所有满足条件的整数a的值之和是 ．
【变式训练7-3】（2024·重庆铜梁·一模）若关于的不等式组的解集为，且关于的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数的值之和是 ．
【变式训练7-4】（2024·重庆·模拟预测）若关于x的一元一次不等式组有解且至多有4个整数解，且关于y的分式方程的解是整数解，则所有满足条件的整数m的值之和为 ．
【经典例题8】（2024·安徽·模拟预测）分式方程的解是 ．
【变式训练8-1】（2024·湖南岳阳·模拟预测）分式方程的解为 ．
【变式训练8-2】（2024·湖南长沙·模拟预测）方程的解为 ．
【变式训练8-3】（2024·湖南邵阳·二模）分式方程的解为 ．
【变式训练8-4】（2024·北京西城·模拟预测）方程的解为 ．
【经典例题9】（2024·河北衡水·模拟预测）解方程
(1)
(2)．
【变式训练9-1】（2024·青海西宁·三模）解分式方程：．
【变式训练9-2】（2024·青海西宁·二模）解分式方程：．
【变式训练9-3】（2023·江苏徐州·模拟预测）（1）计算：；
（2）解方程：．
【变式训练9-4】（2024·陕西西安·模拟预测）解分式方程：
【经典例题10】（2024·宁夏银川·一模）下面是小明同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
．
解：．．．．．．第一步，
．．．．．．第二步，
．．．．．．第三步，
．．．．．．第四步，
．．．．．．第五步，
经检验：是原方程的解．
任务一：以上解方程步骤中，第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______；
任务二：直接写出该分式方程的正确结果为_______．
【变式训练10-1】（2024·山东潍坊·二模）（1）计算：；
（2）下面是小亮化简分式的过程，请认真阅读并完成问题．
……………第一步
……………………第二步
………………第三步
………………………第四步
……………………第五步
①以上化简步骤中，从第 步开始出现错误，错误的原因是 ．
②直接写出该分式化简后的正确结果，并在，，0，1，2中选择一个合适的数代入求值．
③给该分式正确结果中的减去1，得到的新代数式记为．请求出时的的值．
【变式训练10-2】先阅读下列解题过程，再回答问题．
解方程：，
解：两边同乘得：①，
去括号得：②，
移项得：③，
解得：④．
(1)以上解答有错误，错误步骤的序号是___________．
(2)请给出正确的解答过程．
【变式训练10-3】（2024·浙江杭州·模拟预测）小王同学解分式方程的过程，请指出他解答过程中最先出现的错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
解：去分母得：①
去括号得：②
移项得：③
合并同类项得：④
系数化为1得：⑤
是原分式方程的解⑥
【经典例题11】（2024·安徽·二模）观察下列等式：
；
；
；
(1)由此可推断：________；
(2)根据上述规律，解方程：．
【变式训练11-1】（2024·广东·中考模拟）先观察下列等式，然后用你发现的规律解答下列问题．
，，，…
(1) ．
(2)探究 ．（用含有n的式子表示）
(3)若的值为，求n的值．
【变式训练11-2】（2024·河南南阳·模拟预测）观察下列算式：
，，，
(1)由此可推断： ；
(2)请用含字母为正整数）的等式表示（1）中的一般规律 ；
(3)仿照以上方法解方程：．
【变式训练11-3】（2024·四川绵阳·一模）阅读下面的材料，并解答下列问题：
已知：，，，…
（1）根据你发现的规律写出第n（n为正整数）个式子是_____；
（2）计算：
（3）用规律解方程：．
【变式训练11-4】（2023·吉林长春·一模）观察下列等式：
将以上二个等式两边分别相加得：
用你发现的规律解答下列问题：
（1）直接写出下列各式的计算结果：
① ；
② ；
（2）仿照题中的计算形式，猜想并写出： 的值；
（3）解方程： .
【经典例题12】（2024·江苏南京·模拟预测）先阅读下面的材料，然后回答问题：
阅读材料一：
方程的解为，；
方程的解为，；
方程的解为，；
…
阅读材料二：
在处理分式问题时，当分子的次数不低于分母的次数，运算时我们可以将分式拆分成一个整式和一个分式（分子为正数）的和（差）的形式．
如：；
再如：．
(1)根据上面材料一的规律，猜想关于x的方程的解是________；
(2)根据材料二将分式分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式________________，利用（1）的结论得到关于x的方程的解是________；
(3)利上述材料及（1）的结论解关于x的方程：．
【变式训练12-1】（2024·北京朝阳·模拟预测）下面是一些方程和它们的解．
的解为，；
的解为，；
的解为，；
……
根据上面的方程和它们的解所反映的规律，解答下面问题：
(1)的解为_______；
(2)关于x的方程的解为_______；
(3)关于x的方程的解为_______．
【变式训练12-2】（2024·江苏常州·模拟预测）先阅读下面的材料，然后回答问题：
方程的解为，；
方程的解为，；
方程的解为，；
…
(1)根据上面的规律，猜想关于x的方程的两个解是 ．
(2)解方程：，可以变形转化为的形式，写出你的变形求解过程，运用（1）的结论求解．
(3)方程的解为 ．
【变式训练12-3】（2024·上海金山·模拟预测）阅读下面的材料，然后回答问题：
方程的解为；方程的解为；方程的解为……．
(1)观察上述方程的解，猜想关于的方程的解是_________；
(2)根据上述的规律，猜想关于的方程的解是______；
(3)由（2）可知，在解方程：时，可变形转化为的形式求值，按要求写出你的变形求解过程．
【经典例题13】（2024·江苏宿迁·模拟预测）定义．根据定义，解答下列问题：
(1)________；
(2)计算；
(3)求方程的解．
【变式训练13-1】（2024·山东济南·模拟预测）如果一个正整数的倒数可以分解成两个正整数均不为倒数相乘的形式，我们定义这种分解为“倒分解”；并定义其中两个乘数差最大的一种分解为的“最大倒分解”，这个最大的差记为：．例：12的倒分解为或，因为，所以最大倒分解为，所以．
(1)填空：写出8的一种倒分解：______；
(2)计算的值；
(3)若的最大倒分解为，且，求的值．
【变式训练13-2】（2024·黑龙江哈尔滨·一模）对于实数a、b，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是（ ）
A． B． C． D．无解
【变式训练13-3】（2024·北京东城·模拟预测）定义运算“※”：．若，则x的值为（ ）
A． B．或10 C．10 D．或
【经典例题14】（2024·湖南长沙·模拟预测）九章算术是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到里外的城市，需要的时间比规定时间多一天：如果用快马送，所需的时间比规定时间少天．已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练14-1】（2024·贵州安顺·二模）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则所列出的分式方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练14-2】（2024·广东深圳·模拟预测）深圳市印发加强和改进学校体育工作的实施意见，要求从2024年1月1日起，义务教育阶段学校每天开设一节体育课．这一举措得到了央视的高度评价，认为这是一个很好的开端．在体育课跳绳时，相同时间内小明跳120下，小亮比小明多跳30下．已知小亮每分钟比小明多跳30下，设小明每分钟跳x下，下列方程正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
【变式训练14-3】（2024·湖北武汉·模拟预测）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分元钱，每人分得若干，若再加上6人，平分元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求这两次分钱的人数．答：（1）第一次分钱有 人；（2）第二次分钱有 人．
【经典例题15】（2024·山西忻州·三模）我国快递市场规模巨大，快递业务量连续多年排名世界首位．某快递站点为提高配送效率，引进了无人配送车，在快递配送高峰期，快递员小李原来平均每天能配送100件快递，在无人配送车配合下，小李每小时的配送量达到了原来的倍，每天的工作时间比原来减少了2个小时，每天的快递配送量比原来提高了．求小李现在每天需要工作几小时．
【变式训练15-1】（2024·上海金山·模拟预测）在一次越野比赛中，小明和小杰同时出发，小杰比小明早1分钟跑到离出发点1500米的假山处，已知小杰的平均速度每分钟比小明快50米．
(1)到达假山处时，小杰用了多少分钟？
(2)小杰从假山处以原来速度继续前进，设继续前进的时间为分钟，离出发点的距离为米，与之间的函数关系如图所示，那么点的坐标为 ，与之间的函数解析式为 （不要求写定义域）．
【变式训练15-2】（2024·上海·模拟预测）两台续航里程相同的燃油车和新能源车的相关数据如下所示，若燃油车每千米行驶费用比新能源车多0.5元，则续航里程a的值是多少？
燃油车 邮箱容量：50升 油价：7.5元/升 续航里程： 新能源车 电池电量：75千瓦时 电价：0.5元/千瓦时 续航里程：
【变式训练15-3】（2024·四川南充·模拟预测）如图是一个长为400米的环形跑道，其中A，B为跑道对称轴上的两点，且A，B之间有一条50米的直线通道．甲乙两人同时从A点出发，甲按逆时针方向以速度沿跑道跑步，当跑到B时继续沿跑道前进，乙按顺时针方向以速度沿跑道跑步，当跑到B时沿直线通道跑回A点处，假设两人跑步的时间足够长求：
(1)假如，那么甲跑了多少路程后，两人初次在A点处相遇；
(2)假如，那么乙跑了多少路程后，两人初次在B点处相遇．
【变式训练15-4】（2024·河北邯郸·模拟预测）小李从地出发去相距千米的地上班，他每天出发的时间都相同．第一天步行去上班结果迟到了5分钟．第二天骑自行车去上班结果早到10分钟．已知骑自行车的速度是步行速度的倍．
(1)①求小李步行的速度和骑自行车的速度分别为多少千米/小时？
②小李恰好不迟到时，从地到地所用的时间为______小时；
(2)有一天小李骑自行车出发，出发千米后自行车发生故障．若小李立即跑步去上班，且恰好提前5分钟到达，求跑步的速度为多少千米/小时？
【经典例题16】（2024·江苏扬州·二模）某项工程总造价为21.6万．若由甲队单独做，恰好在规定日期完成；若由乙队单独做，要超出规定日期3天才能完成．现在甲、乙两队合做两天，甲队因参与其他突击任务离开，剩下的任务由乙队单独做，刚好按期完成．若按照各队的工作量计算报酬，那么甲、乙两队分别得到多少万元？
【变式训练16-1】（2024·江西吉安·三模）为建设文明城市，提升居民生活幸福指数，某市政府决定对该市85千米长的老旧燃气管道进行升级改造．通过招标，委托甲、乙两工程队合作完成，已知乙工程队每天改造的效率是甲工程队的1.25倍，若由乙工程队单独完成改造，则能比由甲工程队单独完成改造节省17天．
(1)甲、乙两工程队每天改造管道的长度分别是多少千米？
(2)已知甲工程队工作一天需付费8万元，乙工程队工作一天需付费12万元，若完成城市燃气管道85千米的改造，总费用不能超过800万元，则最多安排乙工程队工作多少天？
【变式训练16-2】（2023·广东肇庆·三模）为加强防汛工作，市工程队准备对米长的河堤进行加固，他们在加固米后，采用了新的加固模式，每天加固的长度是原来的2倍，结果只用8天就完成了加固任务．
(1)求该工程队原来每天加固大坝的米数；
(2)该工程队又接到了加固一段长米大坝的任务，他们以上述新的加固模式进行了1天后，接到命令，必须在4天内完成剩余任务，求该工程队每天至少加固多少米？
【变式训练16-3】（2024·重庆·二模）重庆动物园“四喜丸子”火爆全网，为迎接即将到来的端午节旅游热，重庆一玩具加工厂计划安排甲车间加工熊猫玩偶1000个．甲车间工作一周后还未加工完，于是从乙车间借调了一些工人，增加工人后每天加工玩偶的个数比增加前多40个，又加工了3天才完成了任务．
(1)求甲车间增加工人人数前每天加工熊猫玩偶的个数；
(2)由于该玩偶深受消费者喜欢，工厂决定扩大生产，安排甲，乙车间共同加工生产该熊猫玩偶3000个，在加工完成一半后，改进了加工技术，两个车间每天均比改进技术前多加工，结果比原计划提前2天完成任务，求改进技术前乙车间每天加工玩偶的个数．
【经典例题17】（2023·广西南宁·模拟预测）为丰富“阳光一小时”体育锻炼活动，学校准备购买足球、篮球共100个，经市场了解，发现篮球的单价比足球的单价多30元，用5400元购买的篮球的个数比用4800元购买的足球的个数少20个．
(1)求篮球和足球的单价．
(2)为了支持学校开展体育活动，且保证购买篮球数量不少于足球的一半，商店对篮球及足球进行打折销售，其中篮球打八折，足球打九折，请你给该校设计一个最省钱的购买方案，并求出最少费用为多少元？
【变式训练17-1】（2024·贵州铜仁·一模）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售．经了解，每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多元，用元购进甲种粽子的个数与用元购进乙种粽子的个数相同．
(1)甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？
(2)该超市计划购进这两种粽子共个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为元个、元个，设购进甲种粽子个，两种粽子全部售完时获得的利润为元．超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？
【变式训练17-2】（2023·湖北黄冈·模拟预测）清明是二十四节气之一，也是我国的传统节日，清明节吃青团是很多地方的习俗．清明节前市场上肉松蛋黄青团比芝麻青团的进价每盒便宜10元，某商家用800元购进的芝麻青团和用600元购进的肉松蛋黄青团盒数相同．在销售中，该商家发现芝麻青团每盒售价50元时，每天可售出100盒，当每盒售价提高1元时，每天少售出2盒．
(1)求芝麻青团和肉松蛋黄青团的进价；
(2)设芝麻青团每盒售价x元（），y表示该商家每天销售芝麻青团的利润（单位：元），求y关于x的函数解析式并求最大利润．
【变式训练17-3】（2024·山西·模拟预测）2024年4月底，神舟十七号载人飞船返回舱顺利返回东风着陆场，神舟十七号任务取得圆满成功．某飞箭航模店看准商机，购进了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“神舟”模型的进价比“天宫”模型多5元，同样花费200元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多2个．
(1)“神舟”和“天宫”模型的进价各是多少元？
(2)该飞箭航模店计划购进两种模型共100个，且每个“神舟”模型的售价为35元，每个“天宫”模型的售价为28元．设购进“神舟”模型a个，销售这批模型的利润为w元．若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？
【经典例题18】（2024·山东聊城·三模）为落实《健康中国行动（2019—2030）》等文件精神，某学校准备购进一批排球和足球促进校园体育活动，请你根据以下素材，探索完成任务：
如何确定排球和足球购买方案？
素材1 某体育器材店每个排球的价格比足球的价格少20元，用400元购买的排球数量与500元购买的足球数量相等．
素材2 该学校决定购买排球和足球共60个，且购买足球的数量不少于排球的数量的，同时该体育器材店为支持该学校体育活动，对排球提供7.5折优惠，足球提供8折优惠．
问题解决
任务1 请运用适当的方法求出每个排球和足球的价格．
任务2 运用数学知识，确定该学校本次购买排球和足球所需费用最少的方案，最少费用是多少？
【变式训练18-1】（2024·河南信阳·一模）根据以下素材，探索完成任务．
如何确定图书销售单价及怎样进货以获取最大利润
素材1 某书店为了迎接“读书节”决定购进，两种新书，两种图书的进价分别是每本元、每本元．
素材2 已知种图书的标价是种图书标价的倍，若顾客用元按标价购买图书，能单独购买种图书的数量恰好比单独购买种图书的数量少本．
素材3 书店准备用不超过元购进，两种图书共本，且种图书不少于本．经市场调查后调整销售方案为：种图书按照标价的折销售，种图书按标价销售．
问题解决
任务1 探求图书的标价 请运用适当方法，求出，两种图书的标价．
任务2 探究进货方案 ，两种图书进货方案一共有多少种？
任务3 确定如何获得最大利润 书店应怎样进货才能获得最大利润？
【变式训练18-2】（2024·浙江绍兴·模拟预测）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计奖品购买及兑换方案？
素材1 某文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔的单价是笔记本的2倍，用120元购买笔记本的数量比用160元购买钢笔的数量多8件．
素材2 某学校花费400元购买该文具店的钢笔和笔记本作为奖品颁发给“优秀学生”，购买钢笔和笔记本的数量之比为．
素材3 学校花费400元后，文具店赠送张兑换券（如右）用于商品兑换．兑换后，笔记本与钢笔数量相同．
问题解决
任务1 探求商品单价 请运用适当方法，求出钢笔与笔记本的单价．
任务2 探究购买方案 探究购买钢笔和笔记本的数量．
任务3 确定兑换方式 运用数学知识，确定兑换方式．
【变式训练18-3】（2023·云南·模拟预测）为落实《健康中国行动（2019—2030） 》等文件精神，某学校准备购进一批排球和足球促进校园体育活动，请你根据以下素材，探索完成任务：
如何确定排球和足球购买方案
素材1 某体育器材店每个排球的价格比足球的价格少20元，用400 元购买的排球数量与500 元购买的足球数量相等．
素材2 该学校决定购买排球和足球共50个，且购买足球的数量不少干排球的数量，同时该体育器材店为支持该学校体育活动，对排球提供折优惠，足球提供8折优惠．
问题解决
任务1 探求商品单价 请运用适当的方法求出每个排球和足球的价格．
任务2 确定购买方案 运用数学知识， 确定该学校本次购买排球和足球所需费用最少的方案，最少费用是多少 中小学教育资源及组卷应用平台
专题06 分式方程及其应用
明确分式方程是分母中含有未知数的方程，这是分式方程和整式方程的最根本区别，能准备判断一个方程是否为分式方程。
熟练掌握分式方程转化为整式方程的过程，能够对一些简单的分式方程通过去分母、移项、合并同类项等步骤进行求解。
理解增根产生的原因，会用带入原方程分母或最简公分母的方法检验根的合理性，确保所求的根是原方程的解。
能够从实际问题中找出等量关系式，恰当设未知数，将实际问题中的数量关系用分式方程表示出来。
分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
解方程方程的步骤
①去分母：方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程；若遇到互为相反数时。不要忘了改变符号；（注意：最简公分母：①系数取最小公倍数②未知数取最高次幂③出现的因式取最高次幂）
②移项：移项，若有括号应先去括号，注意变号，合并同类项，把系数化为1 求出未知数的值；
③验根：求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根。
注意：（1）注意去分母时，不要漏乘整式项。
（2）增根是分式方程去分母后化成的整式方程的根，但不是原分式方程的根。
（3）增根使最简公分母等于0。
（4）分式方程中，如果x为分母，则x应不等于0。
分式方程实际应用解题步骤：
1. 审题 ：首先，要仔细阅读题目，理解题目的要求和背景信息，找出题目中的相等关系和数量关系
2. 设未知数 ：根据找到的数量关系，选择合适的未知数，并注意单位的统一
3. 列方程 ：根据相等关系和数量关系，列出分式方程。
4. 解方程 ：解这个分式方程，得到未知数的值。
5. 检验 ：对解出的方程进行检验，包括两层：一是检验解是否满足题目的实际意义，二是检验解是否使分式方程有意义，避免增根的情况。
6. 作答 ：写出分式方程的解，并给出详细的解题过程。
【经典例题1】（2024·上海嘉定·模拟预测）下列关于的方程中，属于分式方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了分式方程的定义，掌握分式方程的定义：分母中含有未知数的有理方程是解本题的关键．根据分式方程的定义，判断即可得到结果．
【详解】解：、分母中不含未知数，故本选项不符合题意；
、分母中不含未知数，故本选项不符合题意；
、是无理方程，故本选项不符合题意；
、是分式方程，故本选项符合题意；
故选：．
【变式训练1-1】（2024·广西贺州·三模）下列式子是分式方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了分式方程，分母中含有未知数的有理方程是分式方程，据此进行判断即可．
【详解】解：A．是一元一次方程，故选项不符合题意；
B．不是方程，故选项不符合题意；
C．是分式方程，故选项符合题意；
D．是一元一次方程，故选项符合题意．
故选：C．
【变式训练1-2】下列关于的方程：①；②；③；④；⑤，是分式方程的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键，根据定义逐个分析判断即可．
【详解】①分母中含有未知数，是分式方程；
②，分母中不含有未知数，不是分式方程；
③关于的方程分母b是常数，分母中不含有未知数，不是分式方程；
④关于的方程，分母a是常数，分母中不含有未知数，不是分式方程；
⑤不是等式，且分母中是常数，不是分式方程，
综上所述：是分式方程的有1个，
故选：A．
【变式训练1-3】（2024·福建莆田·模拟预测）下列式子中，是分式方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了分式方程得定义，分母中含有未知数的有理方程是分式方程，据此进行判断即可．
【详解】解：A．是一元二次方程，故选项不符合题意；
B．不是方程，故选项不符合题意；
C．是分式方程，故选项符合题意；
D．是一元一次方程，故选项不符合题意．
故选：C．
【变式训练1-4】在下列各式中，属于分式方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是分式方程的定义，熟知分母中含有未知数的方程叫做分式方程是解答此题的关键．
【详解】解：A、是整式方程，不是分式方程，不符合题意；
B、是整式方程，不是分式方程，不符合题意；
C、不是方程，不是分式方程，不符合题意；
D、是分式方程，符合题意；
故选：D．
【变式训练1-5】（2024·湖北荆门·模拟预测）下列方程不是分式方程的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查分式方程的定义，根据分式方程的定义逐项验证即可得到答案，熟记分式方程的定义是解决问题的关键．
【详解】解：A、是分式方程，不符合题意；
B、是分式方程，不符合题意；
C、不是分式方程，符合题意；
D、是分式方程，不符合题意；
故选：C．
【经典例题2】（2024·北京·模拟预测）关于x的方程的根为，则a应取值（ ）
A．1 B．3 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了分式方程的解及解分式方程，根据方程的解的定义，把代入方程，即可得到一个关于的分式方程，求解检验即可．
【详解】解：把代入方程得：，
在方程两边同乘得：，
解得：，
检验：当时，，
故选：C．
【变式训练2-1】（2024·河北石家庄·模拟预测）若关于x的方程的解为，则a应取值（ ）
A．4 B．3 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了分式方程的解及解分式方程，根据方程的解的定义，把代入方程，即可得到一个关于a的分式方程，求解检验即可．
【详解】解：根据题意得：，
去分母得：，
解得：．
经检验是原方程的解，
，
故选：A．
【变式训练2-2】（2024·河北邯郸·模拟预测）是分式方程的解，则（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【分析】先化简得，再把代入分式方程，求出的值即可．本题考查的是分式方程的解和解分式方程，熟知使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解是解题的关键．
【详解】解：，
，
，
是分式方程的解，
，
解得．
经检验，则，是原分式方程的解，
故选：B．
【变式训练2-3】（2024·贵州遵义·模拟预测）已知分式方程的解为，则a的值为（ ）
A．2 B．3 C．7 D．13
【答案】C
【分析】本题考查了分式方程的解，将代入进行计算即可．
【详解】解：把代入得：，
解得：，
故选：C．
【经典例题3】（2024·山东枣庄·模拟预测）解分式方程时，去分母后方程变形为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了解分式方程的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
方程两边都乘以化简即可．
【详解】解：方程两边都乘以：，
即，
故选D．
【变式训练3-1】解分式方程时，去分母变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】略
【变式训练3-2】（2024·河北承德·模拟预测）解分式方程时，去分母正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了解分式方程的第一步——去分母，注意：当两个分式的分母互为相反数时，要先将两个分式改写成同分母的分式，再去分母，这是解题的关键．先把方程左右两边的分式改写成同分母的分式，再给两边同乘以即可．
【详解】解：原方程变为，
两边同乘以，得．
故选：C．
【变式训练3-3】（2024·山东济宁·中考真题）解分式方程时，去分母变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查通过去分母将分式方程转化为整式方程，方程两边同乘各分母的最简公分母，即可去分母．
【详解】解：方程两边同乘，得，
整理可得：
故选：A．
【变式训练3-4】（2024·广西桂林·模拟预测）解分式方程时，去分母正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了分式方程的解法，解题关键在于最简公分母的确定．先确定分式方程的最简公分母，然后左右两边同乘即可确定答案．
【详解】解：分式方程，
方程两边同时乘以去分母得：，
故选：D．
【经典例题4】（2024·安徽·模拟预测）关于的方程的解为非负数，则的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】本题主要考查解分式方程，分式方程的解，解一元一次不等式，先解出方程的解为，再根据题意列出不等式知且，最后求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：
∴，
由题意可知且，
解得且，
故答案为：且．
【变式训练4-1】（2024·四川成都·二模）若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是根据分式方程的解的情况求参数．先利用表示出的值，再由为负数求出的取值范围即可．
【详解】解：方程两边同时乘以得：，
解得：，
为负数，且，
，且，
解得，且，
的取值范围是，
故答案为：．
【变式训练4-2】（2024·山东济南·模拟预测）若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题考查分式方程的解及解一元一次不等式，去分母把分式方程化成整式方程，解方程后得出且，解不等式组即可得出答案．根据题意得出不等式组是解决问题的关键．
【详解】解：
去分母得：
移项得：
合并同类项得：，
∵，且，
∴，，
∴，
故答案为：．
【变式训练4-3】（2024·江苏扬州·模拟预测）已知关于x的方程有一个正数解，则m的取值范围 ．
【答案】且
【分析】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式．熟练掌握解分式方程，解一元一次不等式是解题的关键．
解分式方程得，由关于x的方程有一个正数解，可得，且，计算求解，然后作答即可．
【详解】解：，
，
解得，，
∵关于x的方程有一个正数解，
∴，且，
解得，且，
故答案为：且．
【变式训练4-4】（2024·山东菏泽·一模）若关于x的方程 的解为负数，则m的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，先解分式方程得到，再根据分式方程的解为负数列出不等式求解即可．
【详解】解：
去分母得：，
解得，
∵关于x的方程 的解为负数，
∴，
∴，
故答案为：．
【经典例题5】（2024·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知关于x的分式方程无解，则k的值为 ．
【答案】或0
【分析】本题主要考查了解分式方程和分式方程的解，先按照解分式方程的一般步骤解分式方程，再根据分式方程无解时分式方程中的分母为0，列出关于k的分式方程，解分式方程即可，解题关键是熟练掌握解分式方程的一般步骤聚和分式方程无解的条件．
【详解】解：，
∴，
∴，
∴，
∵关于x的分式方程无解，
∴，
解得：，即，
∴或，
解得：或，
故答案为：或．
【变式训练5-1】（2024·广东梅州·模拟预测）若关于x 的方程无解，则a的值为 ．
【答案】1或
【分析】此题考查了分式方程的无解问题，先整理方程得到，分和两种情况，分别进行求解即可．
【详解】解：
去分母得：，
整理得：，
当时，方程无解，故；
当时，时，分式方程无解，
则，
∴关于x 的方程无解，则a的值为：1或．
故答案为：1或．
【变式训练5-2】（2024·山东菏泽·三模）若关于的分式方程无解，则 ．
【答案】1或2
【分析】此题主要考查分式方程无解的情况求解，解题的关键是熟知解分式方程的方法．先把分式方程化为整式方程，再根据方程无解分情况讨论即可求解．
【详解】解：
当时，即时，原分式方程无解；
当时，
∵原分式方程无解
∴
解得
综上，或
故答案为：1或2．
【变式训练5-3】（2024·山东东营·二模）若关于的分式方程无解，则的值是 ．
【答案】1
【分析】此题考查了分式方程的无解问题，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．先把分式方程去分母变为整式方程，然后把代入计算，即可求出的值．
【详解】解：∵，
去分母，得：，
∵分式方程无解，
∴，
解得：，
把代入，则
，
解得：；
故答案为：．
【变式训练5-4】（2024·四川巴中·一模）关于的分式方程无解，则 ．
【答案】
【分析】本题考查分式方程无解问题，分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．将原分式方程去分母，并整理得：，再根据该分式方程无解得出，从而几可求出a的值．
【详解】解：，
去分母，得：，
整理，得：．
∵该分式方程无解，
∴，即，
∴．
故答案为：0．
【经典例题6】若关于x的分式方程有增根，则 ．
【答案】3
【分析】本题考查了解分式方程 ，利用增根求字母的值，增根就是使最简公分母为零的未知数的值；解决此类问题的步骤：①化分式方程为整式方程；②让最简公分母等于零求出增根的值；③把增根代入到整式方程中即可求得相关字母的值．
先把分式方程去分母转化为整式方程，然后由分式方程有增根求出x的值，代入到转化以后的整式方程中计算即可求出m的值．
【详解】解：去分母得：，整理得：，
∵关于x的分式方程有增根，即，
∴，
把代入到中得：，
解得：；
故答案为：3．
【变式训练6-1】（2024·云南·模拟预测）若关于x的分式方程有增根，则m的值为
【答案】
【分析】此题主要考查分式方程的解．先去掉分母，再把增根代入即可求出m的值．
【详解】解：去分母得，
∵关于x的分式方程有增根，
∴，即增根，
把增根代入得，
解得，
故答案为：．
【变式训练6-2】若关于x的方程有增根，则 ．
【答案】或4/4或
【分析】本题考查了分式方程的增根问题，正确理解分式方程增根的产生原因是解答本题的关键，首先去分母并哈见整理，得，将两个增根分别代入即可求得答案．
【详解】方程两边同时乘以，得，
即，
为增根，
当时，，解得，
当时，，解得，
所以或4，
故答案为：或4．
【变式训练6-3】（2023·湖南永州·中考真题）若关于x的分式方程（m为常数）有增根，则增根是 ．
【答案】
【分析】根据使分式的分母为零的未知数的值，是方程的增根，计算即可．
【详解】∵关于x的分式方程（m为常数）有增根，
∴，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，增根的理解，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．
【变式训练6-4】（2024·辽宁丹东·二模）若关于的方程有增根，则的值是 ．
【答案】
【分析】根据分式方程的增根的定义解决此题．
【详解】解：，
方程两边同乘，得．
移项，得．
的系数化为，得．
关于的方程有增根，
．
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查分式方程的增根，熟练掌握分式方程的增根的定义是解决本题的关键．
【经典例题7】（2024·重庆南岸·模拟预测）若关于的一元一次不等式组至少有两个整数解；且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和是 ．
【答案】20
【分析】根据不等式组的整数解的个数确定a的取值范围，再根据分式方程的非负数解确定a的取值范围，从而求出符合条件的所有整数即可得结论．
本题考查了不等式组的整数解、分式方程的解，解决本题的关键是根据不等式组的整数解的个数及分式方程的解确定a的取值范围．
【详解】解：∵ ，
解不等式①得：；
解不等式②得，
∴的解集为，
∵不等式组至少有两个整数解，
∴，
解得；
∵，
去分母得：，
整理，得，
故，
∵方程有非负数整数解，
∴，
∴，
∵时，是方程的增根，
此时，无意义，舍去，
∴或或或且
∴符合题意的整数a的值为，
∴符合条件的所有整数a的和是，
故答案为：．
【变式训练7-1】（2024·重庆渝北·模拟预测）若关于x的不等式组有解且至多有4个整数解，且关于y的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数m的值之和为 ．
【答案】10
【分析】此题考查了解分式方程，分式方程的解，解一元一次不等式组，以及一元一次不等式组的整数解，解题的关键是掌握以上运算法则．不等式组整理后，表示出解集，由不等式组有解且至多有4个整数解确定出的范围，再由分式方程解为整数，确定出满足题意整数的值，求出之和即可．
【详解】解：不等式组整理得：，
解得：．
∵不等式组有解且至多4个整数解，
，
解得：，
分式方程，
去分母得：，
解得：，
∵，，
∵分式方程的解为整数，，，
或4或6，
则满足题意整数之和为．
故答案为：10．
【变式训练7-2】（2024·重庆·模拟预测）若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程有非负数解，则所有满足条件的整数a的值之和是 ．
【答案】
【分析】根据不等式组的整数解的个数确定a的取值范围，再根据分式方程的非负数解确定a的取值范围，从而求出符合条件的所有整数即可得结论．本题考查了不等式组的整数解、分式方程的解，解决本题的关键是根据不等式组的整数解的个数及分式方程的解确定a的取值范围．
【详解】解：∵ ，
解不等式①得：；
解不等式②得，
∵不等式组的解集为，
∴，
解得；
∵，
去分母得：，
整理，得，
∵方程有非负数整数解，
∴，
∴，
∵时，是方程的增根，
此时，无意义，舍去，
∴且
∴符合题意的整数a的值为，
∴符合条件的所有整数a的和是，
故答案为：．
【变式训练7-3】（2024·重庆铜梁·一模）若关于的不等式组的解集为，且关于的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数的值之和是 ．
【答案】19
【分析】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次方程，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．不等式组整理后，由已知不等式组的解集，确定出的范围，分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解为正整数确定出满足题意整数的值，求出之和即可．
【详解】解：不等式组整理得：，
不等式组的解集为，
，
分式方程去分母得：，
解得：，
分式方程的解为正整数，，
或6或，
解得：或7或9，
则所有满足条件的整数的值之和是．
故答案为：19．
【变式训练7-4】（2024·重庆·模拟预测）若关于x的一元一次不等式组有解且至多有4个整数解，且关于y的分式方程的解是整数解，则所有满足条件的整数m的值之和为 ．
【答案】
【分析】本题考查一元一次不等式组和分式方程，掌握一元一次不等式组和分式方程的解法是解决问题的前提．
根据关于x的一元一次不等式组的解的情况求出m的取值范围，根据关于y的方程的解的情况求出m的取值范围，然后求出满足条件的m的值，即可得出答案．
【详解】解：解关于x的一元一次不等式组得，
∵关于x的一元一次不等式组有解且至多有4个整数解，
，
，
解关于y的分式方程得，
∵分式方程的解为整数，且，
∴满足条件的整数m的值为，，
∴所有满足条件的整数m的值之和是．
故答案为：．
【经典例题8】（2024·安徽·模拟预测）分式方程的解是 ．
【答案】无解
【分析】本题主要考查解分式方程，分式方程两边同乘以得整式方程，解整式方程并检验即可得出方程的解．
【详解】解：
去分母得，，
解得，，
经检验，是增根，
所以，原分式方程无解
【变式训练8-1】（2024·湖南岳阳·模拟预测）分式方程的解为 ．
【答案】
【分析】本题考查了解分式方程，先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得．
【详解】解：
去分母得，，
解得，
检验：将代入，
∴原方程的解为．
故答案为：．
【变式训练8-2】（2024·湖南长沙·模拟预测）方程的解为 ．
【答案】
【分析】该题主要考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤．
根据解分式方程的步骤求解即可；
【详解】解：
去分母得：，
解得：，
检验，将代入，
故是原分式方程的解，
故答案为：．
【变式训练8-3】（2024·湖南邵阳·二模）分式方程的解为 ．
【答案】
【分析】利用去分母将原方程化为整式方程，解得的值后进行检验即可．本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
【详解】解：原方程去分母得：，
整理得：，
解得：，
检验：当时，，
故原方程的解为，
故答案为：．
【变式训练8-4】（2024·北京西城·模拟预测）方程的解为 ．
【答案】
【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解题步骤是解题的关键；
根据分式方程解题步骤解题即可求解．
【详解】解：
两边乘得：
去括号：
将代入，
即
经检验， 是该分式方程的解，
故答案为：．
【经典例题9】（2024·河北衡水·模拟预测）解方程
(1)
(2)．
【答案】(1)无解；
(2)．
【分析】本题主要考查了解分式方程．
（1）两边同时乘以把原方程去分母化为整式方程，再解方程，然后检验即可得到答案；
（1）两边同时乘以把原方程去分母化为整式方程，再解方程，然后检验即可得到答案．
【详解】（1）解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
检验，当时，，
∴是原方程的增根，
∴原方程无解；
（2）解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
检验，当时，，
∴原方程的解为．
【变式训练9-1】（2024·青海西宁·三模）解分式方程：．
【答案】分式方程无解
【分析】本题考查了解分式方程，方程两边都乘得出整式方程，求出方程的解，再进行检验即可．
【详解】解：
方程两边都乘，得，
解得：，
检验：当时，，
所以是增根，
即原分式方程无解．
【变式训练9-2】（2024·青海西宁·二模）解分式方程：．
【答案】
【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法和步骤是解题关键．首先等号两边同时乘以，再按照去括号，移项、合并同类项，系数化为1的步骤求解，然后检验，即可获得答案．
【详解】解：，
等号两边同时乘以，可得 ，
去括号，得 ，
移项、合并同类项，得 ，
系数化为1，得
经检验，是该分式方程的解，
所以，该分式方程的解为．
【变式训练9-3】（2023·江苏徐州·模拟预测）（1）计算：；
（2）解方程：．
【答案】（1）1；（2）
【分析】（1）首先计算负整数指数幂，特殊角的三角函数值，零指数幂，化简二次根式，然后计算加减；
（2）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得．
【详解】解：（1）
；
（2）
原方程可化为：
方程的两边同乘，得：
解得：，
检验：把代入，
∴原方程的解为：．
【点睛】此题考查了解分式方程，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，零指数幂，解题的关键是掌握以上运算法则．
【变式训练9-4】（2024·陕西西安·模拟预测）解分式方程：
【答案】
【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题关键．
先两边同乘以将方程化成整式方程，再解一元一次方程，然后将所求的方程的解代入分式方程进行检验即可得．
【详解】解：，
方程两边同乘以，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得，
经检验，是原分式方程的解，
故方程的解为．
【经典例题10】（2024·宁夏银川·一模）下面是小明同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
．
解：．．．．．．第一步，
．．．．．．第二步，
．．．．．．第三步，
．．．．．．第四步，
．．．．．．第五步，
经检验：是原方程的解．
任务一：以上解方程步骤中，第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______；
任务二：直接写出该分式方程的正确结果为_______．
【答案】任务一：二；忘乘；任务二：
【分析】此题考查了解分式方程．任务一：查找方程出错的步骤，分析其原因即可；任务二：按照正确的解法求出方程的解，写出正确的结果即可．
【详解】解：任务一：以上解方程步骤中，第二步开始出现错误，这一步错误的原因是忘乘，
任务二：，
两边都乘以，得
解得．
经检验：是原方程的解．
故答案为：任务一：二；忘乘；任务二：．
【变式训练10-1】（2024·山东潍坊·二模）（1）计算：；
（2）下面是小亮化简分式的过程，请认真阅读并完成问题．
……………第一步
……………………第二步
………………第三步
………………………第四步
……………………第五步
①以上化简步骤中，从第 步开始出现错误，错误的原因是 ．
②直接写出该分式化简后的正确结果，并在，，0，1，2中选择一个合适的数代入求值．
③给该分式正确结果中的减去1，得到的新代数式记为．请求出时的的值．
【答案】（1）；（2）①三，通分时分母和分子没有同时变形；②，取时，原式，取时，原式，③
【分析】此题考查了实数的混合运算、分式的化简求值、解分式方程等知识，熟练掌握运算法则和解方程的步骤是解题的关键．
（1）先计算负整数指数幂、零指数幂、算术平方根，再进行四则混合运算即可；
（2）①根据解题过程和分式的基本性质即可得到答案；
②先化简分式，再根据分式有意义的条件选取合适的值代入计算即可；
③根据题意得到分式方程，解方程并检验即可．
【详解】解：（1）
（2）①以上化简步骤中，从第三步开始出现错误，错误的原因是通分时分母和分子没有同时变形．
故答案为：三，通分时分母和分子没有同时变形；
②
∵当或0或1时，分式无意义，
∴取时，原式，
取时，原式，
（3）由题意可得，，
去分母得，，
解得，
经检验，是分式方程的解
【变式训练10-2】先阅读下列解题过程，再回答问题．
解方程：，
解：两边同乘得：①，
去括号得：②，
移项得：③，
解得：④．
(1)以上解答有错误，错误步骤的序号是___________．
(2)请给出正确的解答过程．
【答案】(1)①
(2)
【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步 是解题的关键，注意不要丢了检验．
（1）根据等式的性质判断即可；
（2）根据解分式方程的步骤求解即可．
【详解】（1）解：以上解答有错误，错误步骤的序号是①，
故答案为：①．
（2），
两边同乘得：，
去括号得：，
移项得：
合并同类项得：，
解得：，
检验：当时，，
所以分式方程的解是．
【变式训练10-3】（2024·浙江杭州·模拟预测）小王同学解分式方程的过程，请指出他解答过程中最先出现的错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
解：去分母得：①
去括号得：②
移项得：③
合并同类项得：④
系数化为1得：⑤
是原分式方程的解⑥
【答案】错误的步骤是①、②，正确解答见解析
【分析】本题考查了解分式方程，观察阅读材料中的解方程过程，找出错误的步骤，修改解答过程即可．
【详解】解：错误的步骤是①、②，正确解答如下：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
解得：，
检验：当时，，
所以分式方程的解为．
【经典例题11】（2024·安徽·二模）观察下列等式：
；
；
；
(1)由此可推断：________；
(2)根据上述规律，解方程：．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查数字类规律探究，解分式方程：
（1）根据已有等式，推出结论即可；
（2）方程左边裂项相加后，再解分式方程即可．
【详解】（1）解：由题意，可知：；
故答案为：；
（2），
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
经检验：是原方程的解，
∴原方程的解为：．
【变式训练11-1】（2024·广东·中考模拟）先观察下列等式，然后用你发现的规律解答下列问题．
，，，…
(1) ．
(2)探究 ．（用含有n的式子表示）
(3)若的值为，求n的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意得到规律，据此求解即可；
（2）利用（1）的规律将各分数进行分解，进而化简求出答案；
（3）仿照题意可得，进而分解各数，即可求解．
【详解】（1）解：，
，
，
……
以此类推可得，
∴
，
故答案为：；
（2）解：
；
故答案为：；
（3）解：
．
∵的值为，
∴，
∴，
经检验，是原方程的解
∴．
【点睛】本题主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力，解题的关键是要能发现其规律和拆分法的应用．
【变式训练11-2】（2024·河南南阳·模拟预测）观察下列算式：
，，，
(1)由此可推断： ；
(2)请用含字母为正整数）的等式表示（1）中的一般规律 ；
(3)仿照以上方法解方程：．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据已知等式得出规律，计算即可得到结果；
（2）写出一般性规律即可；
（3）方程变形后，计算即可求出解．
【详解】（1）解：根据题意得：．
故答案为：．
（2）解：根据题意得：．
故答案为：．
（3）解：方程整理得：，
即，
去分母得：，
解得：，
检验把代入得：，
∴是分式方程的解．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，弄清题中的拆项规律，是解本题的关键．
【变式训练11-3】（2024·四川绵阳·一模）阅读下面的材料，并解答下列问题：
已知：，，，…
（1）根据你发现的规律写出第n（n为正整数）个式子是_____；
（2）计算：
（3）用规律解方程：．
【答案】（1）；（2）；（3）a＝2019．
【分析】（1）根据题目中的例子可以写出第n个式子，本题得以解决；
（2）根据题目中的例子可以将所求式子进行变形，然后即可求值；
（3）根据题目中的例子，先将方程化简，然后即可求得a的值．
【详解】（1）∵，，，…
∴第n（n为正整数）个式子是：
故答案为：；
（2）
＝1﹣+…+
＝1﹣
＝；
（3）∵
∴+…+＝
∴＝
∴＝
∴2a＝a+2019
∴a＝2019
经检验：a＝2019是原方程的解．
【点睛】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算、解分式方程，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，求出所求式子的值和所求方程的解．
【变式训练11-4】（2023·吉林长春·一模）观察下列等式：
将以上二个等式两边分别相加得：
用你发现的规律解答下列问题：
（1）直接写出下列各式的计算结果：
① ；
② ；
（2）仿照题中的计算形式，猜想并写出： 的值；
（3）解方程： .
【答案】（1）①；②；（2）；（3）x＝2是原分式方程的解．
【分析】（1）①②原式各项变形，计算即可得到结果；
（2）根据已知等式做出猜想，写出即可；
（3）仿照(2)中的结论，对原式变形，解方程即可得到结果．
【详解】（1）①，
②，
（2）解： =；
（3）解：仿照(2)中的结论，原方程可变形为
即 ，
解得x＝2.
经检验，x＝2是原分式方程的解．
【点睛】考查了关于数字的变化规律，通过观察数字之间的变化规律，得到一般性的结论，再利用此结论解决问题即可.
【经典例题12】（2024·江苏南京·模拟预测）先阅读下面的材料，然后回答问题：
阅读材料一：
方程的解为，；
方程的解为，；
方程的解为，；
…
阅读材料二：
在处理分式问题时，当分子的次数不低于分母的次数，运算时我们可以将分式拆分成一个整式和一个分式（分子为正数）的和（差）的形式．
如：；
再如：．
(1)根据上面材料一的规律，猜想关于x的方程的解是________；
(2)根据材料二将分式分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式________________，利用（1）的结论得到关于x的方程的解是________；
(3)利上述材料及（1）的结论解关于x的方程：．
【答案】(1)，
(2)，
(3)
【分析】本题考查了分式方程求解，读懂材料并且灵活运用是解题关键．
（1）根据材料一的规律直接得出答案即可；
（2）根据材料一的规律可得，结合已知，即可得出结果；
（3）根据材料一的规律可得，进一步求出结果即可．
【详解】（1）解：根据上面材料一的规律，可知 x的方程的解是，，
故答案为：，；
（2）根据材料二：
，
，即，
，，
，
故答案为：，；
（3），
，即，
，，
解得：．
【变式训练12-1】（2024·北京朝阳·模拟预测）下面是一些方程和它们的解．
的解为，；
的解为，；
的解为，；
……
根据上面的方程和它们的解所反映的规律，解答下面问题：
(1)的解为_______；
(2)关于x的方程的解为_______；
(3)关于x的方程的解为_______．
【答案】(1)，；
(2)，；
(3)，．
【分析】本题考查了解分式方程．
（1）观察阅读材料中的方程解过程，归纳总结得到结果；
（2）仿照方程解方程，归纳总结得到结果；
（3）方程变形后，利用得出的规律得到结果即可；
【详解】（1）解：猜想关于x的方程的解是；
故答案为：；
（2）解：猜想关于x的方程的解是，；
故答案为：，；
（3）解：方程变形得：，
∴，
可得或，
解得：，．
【变式训练12-2】（2024·江苏常州·模拟预测）先阅读下面的材料，然后回答问题：
方程的解为，；
方程的解为，；
方程的解为，；
…
(1)根据上面的规律，猜想关于x的方程的两个解是 ．
(2)解方程：，可以变形转化为的形式，写出你的变形求解过程，运用（1）的结论求解．
(3)方程的解为 ．
【答案】(1)，
(2)，，过程见解析
(3)，
【分析】（1）从数字找规律，即可解答；
（2）先将原方程进行变形可得：，然后利用（1）的结论进行计算，即可解答；
（3）利用换元法将原方程化为：，然后利用（1）的结论进行计算，即可解答．
【详解】（1）解：根据上面的规律，猜想关于的方程的两个解是，，
故答案为：，；
（2）解：，
，
，
或，
，，
经检验：，是原方程的根；
（3）解：令，则原方程可化为：，
，
，，
或，
解得：，，
经检验：，是原方程的根，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了解分式方程，分式方程的解，规律型：数字的变化类，准确熟练地进行计算是解题的关键．
【变式训练12-3】（2024·上海金山·模拟预测）阅读下面的材料，然后回答问题：
方程的解为；方程的解为；方程的解为……．
(1)观察上述方程的解，猜想关于的方程的解是_________；
(2)根据上述的规律，猜想关于的方程的解是______；
(3)由（2）可知，在解方程：时，可变形转化为的形式求值，按要求写出你的变形求解过程．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】此题考查了解分式方程，读懂题意并灵活变形是解题的关键．
（1）根据已知材料即可得出答案；
（2）根据已知材料即可得出答案；
（3）把方程转化成，由材料得出，，求出方程的解即可．
【详解】（1）解：关于x的方程的解是：，，
故答案为：，；
（2）关于x的方程的解是：，，
故答案为：，；
（3）解：
，
，
，
即，，
解得：，，
经检验：，是方程的解.
【经典例题13】（2024·江苏宿迁·模拟预测）定义．根据定义，解答下列问题：
(1)________；
(2)计算；
(3)求方程的解．
【答案】(1)3
(2)
(3)
【分析】本题考查有理数的运算，分式的运算，分式方程的解．
（1）根据定义列式计算即可；
（2）根据定义列式计算即可；
（3）根据定义列出分式方程并解方程及检验即可．
【详解】（1）解：
，
故答案为：3；
（2）
；
（3）由题意得，
解得
经检验，是分式方程的解
原方程的解为．
【变式训练13-1】（2024·山东济南·模拟预测）如果一个正整数的倒数可以分解成两个正整数均不为倒数相乘的形式，我们定义这种分解为“倒分解”；并定义其中两个乘数差最大的一种分解为的“最大倒分解”，这个最大的差记为：．例：12的倒分解为或，因为，所以最大倒分解为，所以．
(1)填空：写出8的一种倒分解：______；
(2)计算的值；
(3)若的最大倒分解为，且，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)0
【分析】本题考查了有理数的混合运算，新型定义运算的运用以及分式方程的应用，在解答时找出新运算法则,以及分类讨论思想的应用是关键．
（1）8的倒数为，直接根据“倒分解”的定义写出即可；
（2）先根据“倒分解”的定义写出36的所有“倒分解”，然后找出两个乘数差最大的一种分解，即可求出；
（3）根据的最大倒分解为，讨论当时，当时，分别求出的值，再验证是否符合题意即可求解；
【详解】（1）解： 8的倒数为，，
8的一种倒分解为．
（2）解：的倒分解为：或或或
其中最大的倒分解，
（3）的最大倒分解为：
① 当时，，
解得：经检验，是原方程的根，
当时，，最大倒分解为，故不合题意，舍去；
② 当时，，
解得经检验，是原方程的根，且符合题意，综上可得，的值为0．
【变式训练13-2】（2024·黑龙江哈尔滨·一模）对于实数a、b，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是（ ）
A． B． C． D．无解
【答案】A
【分析】根据新定义可得，，从而可得分式方程，再解分式方程即可求解．
【详解】解：由题意可得，，
∵，
∴，
解得：，
把代入得，，
∴是原方程的解，
故选；A．
【变式训练13-3】（2024·北京东城·模拟预测）定义运算“※”：．若，则x的值为（ ）
A． B．或10 C．10 D．或
【答案】B
【分析】已知等式利用题中的新定义分类讨论，计算即可求出的值．
【详解】解：当时，，即：，
解得：；
经检验是分式方程的解；
当时，，即，
解得：；
经检验是分式方程的解；
故答案为：或．
故选：B．
【点睛】本题考查了新定义运算，解分式方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键，注意检验．
【经典例题14】（2024·湖南长沙·模拟预测）九章算术是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到里外的城市，需要的时间比规定时间多一天：如果用快马送，所需的时间比规定时间少天．已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查列分式方程，设规定时间为x天，根据快马的速度是慢马的2倍列方程即可，理解题意，找到等量关系是解答的关键．
【详解】解：设规定时间为x天，
根据题意得，，
故选：A．
【变式训练14-1】（2024·贵州安顺·二模）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则所列出的分式方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，根据题意可知慢马的速度为，快马的速度为，再根据快马的速度是慢马的倍，即可列出相应的方程，本题得以解决．
【详解】解：根据题意：慢马的速度为，快马的速度为：，
则，
故选：A．
【变式训练14-2】（2024·广东深圳·模拟预测）深圳市印发加强和改进学校体育工作的实施意见，要求从2024年1月1日起，义务教育阶段学校每天开设一节体育课．这一举措得到了央视的高度评价，认为这是一个很好的开端．在体育课跳绳时，相同时间内小明跳120下，小亮比小明多跳30下．已知小亮每分钟比小明多跳30下，设小明每分钟跳x下，下列方程正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了列分式方程，审清题意、明确量之间的关系成为解题的关键．
设小明每分钟跳x下，则小亮每分钟跳绳下，然后根据等量关系“相同时间内小明跳120下，小亮比小明多跳30下”列分式方程即可．
【详解】解：设小明每分钟跳x下，则小亮每分钟跳绳下，
由题意可得：．
故选B．
【变式训练14-3】（2024·湖北武汉·模拟预测）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分元钱，每人分得若干，若再加上6人，平分元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求这两次分钱的人数．答：（1）第一次分钱有 人；（2）第二次分钱有 人．
【答案】 2 8
【分析】本题考查分式方程解决应用问题，根据第二次每人所得与第一次相同列方程求解即可得到答案；
【详解】解：设第一次有个人分，则第二次有个人分，由题意可得，
，
解得：，即，
故答案为：2，8．
【经典例题15】（2024·山西忻州·三模）我国快递市场规模巨大，快递业务量连续多年排名世界首位．某快递站点为提高配送效率，引进了无人配送车，在快递配送高峰期，快递员小李原来平均每天能配送100件快递，在无人配送车配合下，小李每小时的配送量达到了原来的倍，每天的工作时间比原来减少了2个小时，每天的快递配送量比原来提高了．求小李现在每天需要工作几小时．
【答案】小李现在每天需要工作8小时
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设小李现在每天需要工作x小时，原来每天工作小时，根据在无人配送车配合下，小李每小时的配送量达到了原来的倍，列出方程，解方程即可．
【详解】解：设小李现在每天需要工作x小时，原来每天工作小时，
根据题意得：
解得．
经检验，是原方程的解．
答：小李现在每天需要工作8小时．
【变式训练15-1】（2024·上海金山·模拟预测）在一次越野比赛中，小明和小杰同时出发，小杰比小明早1分钟跑到离出发点1500米的假山处，已知小杰的平均速度每分钟比小明快50米．
(1)到达假山处时，小杰用了多少分钟？
(2)小杰从假山处以原来速度继续前进，设继续前进的时间为分钟，离出发点的距离为米，与之间的函数关系如图所示，那么点的坐标为 ，与之间的函数解析式为 （不要求写定义域）．
【答案】(1)5分钟
(2)，
【分析】本题考查了一次函数的应用和分式方程的应用，解可化成一元二次方程的分式方程．
（1）设小明的速度为米/分钟，则小杰的速度为米/分钟，根据小杰比小明早1分钟跑到离出发点1500米的假山处列出方程，解方程即可；
（2）根据题意列出与之间的函数解析式，再把代入解析式从而求出点坐标．
【详解】（1）解：设小明的速度为米/分钟，则小杰的速度为米/分钟，
则，
整理得，
解得，（不合题意，舍去），
经检验，是原方程的根，
小明的速度为250米/分钟，小杰的速度为300米/分钟，
（分钟），
到达假山处时，小杰用了5分钟；
（2）解：设继续前进的时间为分钟，离出发点的距离为米，与之间的函数关系，
当时，，
点的坐标为，与之间的函数解析式为，
故答案为：，．
【变式训练15-2】（2024·上海·模拟预测）两台续航里程相同的燃油车和新能源车的相关数据如下所示，若燃油车每千米行驶费用比新能源车多0.5元，则续航里程a的值是多少？
燃油车 邮箱容量：50升 油价：7.5元/升 续航里程： 新能源车 电池电量：75千瓦时 电价：0.5元/千瓦时 续航里程：
【答案】续航里程a的值是675
【分析】本题考查分式方程解决应用题，根据“两台续航里程相同，燃油车每千米行驶费用比新能源车多0.5元”列出方程即可求解，解题的关键是根据题意找到等量关系式列式求解．
【详解】解：由题意可知，
，
解得：，
经检验：是原方程的解，
答：续航里程a的值是675．
【变式训练15-3】（2024·四川南充·模拟预测）如图是一个长为400米的环形跑道，其中A，B为跑道对称轴上的两点，且A，B之间有一条50米的直线通道．甲乙两人同时从A点出发，甲按逆时针方向以速度沿跑道跑步，当跑到B时继续沿跑道前进，乙按顺时针方向以速度沿跑道跑步，当跑到B时沿直线通道跑回A点处，假设两人跑步的时间足够长求：
(1)假如，那么甲跑了多少路程后，两人初次在A点处相遇；
(2)假如，那么乙跑了多少路程后，两人初次在B点处相遇．
【答案】(1)甲跑了6000米后，两人初次在A点处相遇
(2)乙跑了1200米后，两人初次在B点处相遇
【分析】本题考查了相遇问题，二元一次方程的实际应用，以及整除的运用，解题的关键在于根据题意找出等量关系并求解．
（1）设甲跑了n圈后，两人初次在A点处相遇，再设甲、乙两人的速度分别为，，根据路程速度时间得到乙跑步的路程为，再利用应是250的整数倍，得到的最小值，最后求出甲跑的路程，即可解题；
（2）设乙跑了米，甲跑了米时，两人初次在B处相遇，结合题意设甲、乙两人的速度分别为，，利用两人跑步的时间相同建立等式，得到，进而推出p，q的最小值，以及得到乙跑的路程，即可解题．
【详解】（1）解：设甲跑了n圈后，两人初次在A点处相遇，
，
设甲、乙两人的速度分别为，，
由题意可得在A处相遇时，乙跑步的路程是
因乙跑回到A点处，所以应是250的整数倍，从而知n的最小值是15，
此时，甲跑过的路程为（米），
故甲跑了6000米后，两人初次在A点处相遇；
（2）解：设乙跑了米，甲跑了米时，两人初次在B处相遇，
，
设甲、乙两人的速度分别为，，
由题意可得，即．
所以，即（p，q均为正整数），
p，q的最小值为4与2．
此时，乙跑过的路程为（米），
故乙跑了1200米后，两人初次在B点处相遇．
【变式训练15-4】（2024·河北邯郸·模拟预测）小李从地出发去相距千米的地上班，他每天出发的时间都相同．第一天步行去上班结果迟到了5分钟．第二天骑自行车去上班结果早到10分钟．已知骑自行车的速度是步行速度的倍．
(1)①求小李步行的速度和骑自行车的速度分别为多少千米/小时？
②小李恰好不迟到时，从地到地所用的时间为______小时；
(2)有一天小李骑自行车出发，出发千米后自行车发生故障．若小李立即跑步去上班，且恰好提前5分钟到达，求跑步的速度为多少千米/小时？
【答案】(1)①小李步行的速度为6千米/小时，则骑自行车的速度为9千米/小时；②
(2)跑步的速度为千米/小时
【分析】本题考查了分式方程的应用及一元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，列出方程．
（1）①设小李步行的速度为千米/小时，则骑自行车的速度为千米/小时，由题意：小李从A地出发去相距千米的B地上班，他每天出发的时间都相同．第一天步行去上班结果迟到了5分钟．第二天骑自行车去上班结果早到10分钟，列出分式方程，解方程即可；
②根据求出的速度，列式求出结果即可；
（2）设小李跑步的速度为千米/小时，根据出发千米后自行车发生故障，跑步去上班，恰好提前5分钟到达，列出一元一次方程，解方程即可．
【详解】（1）解：①设小李步行的速度为千米/小时，则骑自行车的速度为千米/小时，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
则，
答：小李步行的速度为6千米/小时，则骑自行车的速度为9千米/小时；
②小李恰好不迟到时，从地到地所用的时间为：
（小时）；
（2）解：小李骑自行车出发千米所用的时间为（小时），
设小李跑步的速度为千米/小时，
由题意得，
解得：，
答：为了提前5分钟到达，则跑步的速度为千米/小时．
【经典例题16】（2024·江苏扬州·二模）某项工程总造价为21.6万．若由甲队单独做，恰好在规定日期完成；若由乙队单独做，要超出规定日期3天才能完成．现在甲、乙两队合做两天，甲队因参与其他突击任务离开，剩下的任务由乙队单独做，刚好按期完成．若按照各队的工作量计算报酬，那么甲、乙两队分别得到多少万元？
【答案】甲队所得报酬为万元，乙队所得报酬为万元．
【分析】本题主要考查了分式方程的应用．首先设工作总量为1，规定日期为天．则单独做甲需天，乙队需天．由工作总量工作时间工作效率列方程易求解，进一步计算即可得到结论．
【详解】解：设工作总量为1，规定日期为天，则若单独做，甲队需天，乙队需天，
根据题意列方程得
，
解方程可得，
经检验是分式方程的解．
则规定日期是6天．
则甲队所得报酬为（万元），
乙队所得报酬为（万元），
答：甲队所得报酬为万元，乙队所得报酬为万元．
【变式训练16-1】（2024·江西吉安·三模）为建设文明城市，提升居民生活幸福指数，某市政府决定对该市85千米长的老旧燃气管道进行升级改造．通过招标，委托甲、乙两工程队合作完成，已知乙工程队每天改造的效率是甲工程队的1.25倍，若由乙工程队单独完成改造，则能比由甲工程队单独完成改造节省17天．
(1)甲、乙两工程队每天改造管道的长度分别是多少千米？
(2)已知甲工程队工作一天需付费8万元，乙工程队工作一天需付费12万元，若完成城市燃气管道85千米的改造，总费用不能超过800万元，则最多安排乙工程队工作多少天？
【答案】(1)甲工程队每天改造管道的长度是1千米，乙工程队每天改造管道的长度是1.25千米
(2)最多安排乙工程队工作60天
【分析】本题主要考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，找准等量关系列出分式方程以及找数量关系列一元一次不等式是解题的关键．
（1）设甲工程队每天能改造x千米，则乙工程队每天能改造千米，根据“乙工程队比甲工程队单独完成节省17天”，即可列出分式方程．
（2）设安排乙工程队工作a天，则甲工程队工作天，根据“总费用不能超过800万元”即可列出一元一次不等式．
【详解】（1）解：设甲工程队每天能改造x千米，则乙工程队每天能改造千米．
由题意得，
解得，
经检验，是原分式方程的解，且符合实际，
∴．
答：甲工程队每天改造管道的长度是1千米，乙工程队每天改造管道的长度是1.25千米．
（2）设安排乙工程队工作a天．
由题意得，
解得．
答：最多安排乙工程队工作60天．
【变式训练16-2】（2023·广东肇庆·三模）为加强防汛工作，市工程队准备对米长的河堤进行加固，他们在加固米后，采用了新的加固模式，每天加固的长度是原来的2倍，结果只用8天就完成了加固任务．
(1)求该工程队原来每天加固大坝的米数；
(2)该工程队又接到了加固一段长米大坝的任务，他们以上述新的加固模式进行了1天后，接到命令，必须在4天内完成剩余任务，求该工程队每天至少加固多少米？
【答案】(1)该工程队原来每天加固大坝米
(2)该工程队每天至少加固米
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用．熟练掌握分式方程的应用，一元一次不等式的应用是解题的关键．
（1）设该工程队原来每天加固大坝x米，则采用新的加固模式后每天加固大坝米，依题意得：，计算求出满足要求的解即可；
（2）由（1）可知，采用新的加固模式后每天加固大坝米，设该工程队每天至少加固y米，依题意得：，计算求解，然后作答即可．
【详解】（1）解：设该工程队原来每天加固大坝x米，则采用新的加固模式后每天加固大坝米，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解且符合题意．
答：该工程队原来每天加固大坝米．
（2）解：由（1）可知，采用新的加固模式后每天加固大坝米，
设该工程队每天至少加固y米，
依题意得：，
解得：．
答：该工程队每天至少加固米．
【变式训练16-3】（2024·重庆·二模）重庆动物园“四喜丸子”火爆全网，为迎接即将到来的端午节旅游热，重庆一玩具加工厂计划安排甲车间加工熊猫玩偶1000个．甲车间工作一周后还未加工完，于是从乙车间借调了一些工人，增加工人后每天加工玩偶的个数比增加前多40个，又加工了3天才完成了任务．
(1)求甲车间增加工人人数前每天加工熊猫玩偶的个数；
(2)由于该玩偶深受消费者喜欢，工厂决定扩大生产，安排甲，乙车间共同加工生产该熊猫玩偶3000个，在加工完成一半后，改进了加工技术，两个车间每天均比改进技术前多加工，结果比原计划提前2天完成任务，求改进技术前乙车间每天加工玩偶的个数．
【答案】(1)88个
(2)62个
【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，分式方程的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键；
（1）设甲车间增加工人前每天加工熊猫玩偶的个数为个，则增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数为个，再利用“一共加工熊猫玩偶1000个”建立方程求解即可；
（2）设乙车间改进技术前每工天加工玩偶的个数为个，则改进技术后两个车间每天加工玩偶的个数为个，根据“结果比原计划提前2天完成任务”建立分式方程求解即可．
【详解】（1）解：设甲车间增加工人前每天加工熊猫玩偶的个数为个，则增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数为个，
由题意得：，
解得：，
答：甲车间增加工人人数前每天加工熊猫玩偶的个数为88个；
（2）设乙车间改进技术前每工天加工玩偶的个数为个，则改进技术后两个车间每天加工玩偶的个数为个，
由题意得：，
解得，
经检验是原方程的解且符合题意；
答：乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数为62个．
【经典例题17】（2023·广西南宁·模拟预测）为丰富“阳光一小时”体育锻炼活动，学校准备购买足球、篮球共100个，经市场了解，发现篮球的单价比足球的单价多30元，用5400元购买的篮球的个数比用4800元购买的足球的个数少20个．
(1)求篮球和足球的单价．
(2)为了支持学校开展体育活动，且保证购买篮球数量不少于足球的一半，商店对篮球及足球进行打折销售，其中篮球打八折，足球打九折，请你给该校设计一个最省钱的购买方案，并求出最少费用为多少元？
【答案】(1)足球的单价为元，篮球的单价为元
(2)最省钱的购买方案：篮球购买个，足球购买个，最少费用为元
【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）设足球的单价为元，则篮球的单价为元，根据“用5400元购买的篮球的个数比用4800元购买的足球的个数少20个”列出分式方程，解方程即可得出答案；
（2）设购买了个篮球，总费用为，则购买了个足球，根据“购买篮球数量不少于足球的一半”列出一元一次不等式，求出的取值范围，求出关于的关系式，再根据一次函数的性质即可得出答案．
【详解】（1）解：设足球的单价为元，则篮球的单价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的根，且符合题意；
∴（元），
∴足球的单价为元，篮球的单价为元；
（2）解：设购买了个篮球，总费用为，则购买了个足球，
根据题意得：，
解得：，
由题意得；，
∵，
∴随着的增大而增大，
∴当时，最小，为（元），此时（个），
∴最省钱的购买方案：篮球购买个，足球购买个，最少费用为元．
【变式训练17-1】（2024·贵州铜仁·一模）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售．经了解，每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多元，用元购进甲种粽子的个数与用元购进乙种粽子的个数相同．
(1)甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？
(2)该超市计划购进这两种粽子共个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为元个、元个，设购进甲种粽子个，两种粽子全部售完时获得的利润为元．超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？
【答案】(1)每个甲种粽子的进价为元，每个乙种粽子的进价为元
(2)购进甲种粽子个，乙种粽子个时利润最大，最大利润为元
【分析】（1）设每个甲种粽子的进价为元，则每个乙种粽子的进价为元，根据“用元购进甲种粽子的个数与用元购进乙种粽子的个数相同”列出方程，解方程即可，注意验根；
（2）设购进甲种粽子个，则购进乙种粽子个，全部售完获得利润为元，根据“总利润甲、乙两种粽子利润之和”列出函数解析式，根据“甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的倍”求出的取值范围，再根据函数的性质求最值，并求出相应的方案．
【详解】（1）解：设每个甲种粽子的进价为元，则每个乙种粽子的进价为元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的根，
此时，，
答：每个甲种粽子的进价为元，每个乙种粽子的进价为元；
（2）解：设购进甲种粽子个，则购进乙种粽子个，
，
，
根据题意得：
，
与的函数关系式为，
甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的倍，
，
解得：，
（为正整数），
，，为正整数，
当时，有最大值，最大值为，
此时，，
答：购进甲种粽子个，乙种粽子个时利润最大，最大利润为元．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的性质等知识点，找到等量关系，列出分式方程和函数解析式是解题的关键．
【变式训练17-2】（2023·湖北黄冈·模拟预测）清明是二十四节气之一，也是我国的传统节日，清明节吃青团是很多地方的习俗．清明节前市场上肉松蛋黄青团比芝麻青团的进价每盒便宜10元，某商家用800元购进的芝麻青团和用600元购进的肉松蛋黄青团盒数相同．在销售中，该商家发现芝麻青团每盒售价50元时，每天可售出100盒，当每盒售价提高1元时，每天少售出2盒．
(1)求芝麻青团和肉松蛋黄青团的进价；
(2)设芝麻青团每盒售价x元（），y表示该商家每天销售芝麻青团的利润（单位：元），求y关于x的函数解析式并求最大利润．
【答案】(1)芝麻青团的进价为每盒40元，则肉松蛋黄青团的进价为每盒30元
(2)关于的函数解析式为，最大利润为1750元
【分析】本题考查了二次函数的应用以及分式方程的解法，关键是根据题意列出每天销售芝麻青团的利润与芝麻青团每盒售价的函数关系式．
（1）设芝麻青团的进价为每盒元，则肉松蛋黄青团的进价为每盒元，根据商家用8000元购进的五仁月饼和用6000元购进的豆沙月饼盒数相同列出方程，解方程即可；
（2）由题意得，当时，每天可售出100盒，当芝麻青团每盒售价元时，每天可售盒，列出每天销售芝麻青团的利润与芝麻青团每盒售价元的函数关系式，根据二次函数的性质及的取值范围求利润的最大值．
【详解】（1）解：设芝麻青团的进价为每盒元，则肉松蛋黄青团的进价为每盒元，
根据题意得：，
解得，
经检验，是原方程的根，
此时，
答：芝麻青团的进价为每盒40元，则肉松蛋黄青团的进价为每盒30元；
（2）解：根据题意得：
，
，
当时，随的增大而增大，
，
当时，有最大值，最大值为1750，
关于的函数解析式为，最大利润为1750元．
【变式训练17-3】（2024·山西·模拟预测）2024年4月底，神舟十七号载人飞船返回舱顺利返回东风着陆场，神舟十七号任务取得圆满成功．某飞箭航模店看准商机，购进了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“神舟”模型的进价比“天宫”模型多5元，同样花费200元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多2个．
(1)“神舟”和“天宫”模型的进价各是多少元？
(2)该飞箭航模店计划购进两种模型共100个，且每个“神舟”模型的售价为35元，每个“天宫”模型的售价为28元．设购进“神舟”模型a个，销售这批模型的利润为w元．若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】(1)天宫模型的进价为每个20元，神舟模型的进价为每个25元
(2)购进神舟模型20个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润为840元
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，分式方程的应用，
对于（1），先设设“天宫”模型进价为每个x元，可表示“神舟”模型进价，再根据200元购进的模型的个数之差为2列出分式方程，求出解并检验即可；
对于（2），先设购进“神舟”模型a个，表示购进“天宫”模型的个数，用含有a的关系式表示总利润w，然后根据购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的得出不等式，求出a的取值范围，最后根据一次函数的性质得出最大值．
【详解】（1）解：设“天宫”模型进价为每个x元，则“神舟”模型进价为每个元，
依题意得，
解得．
经检验，是原分式方程的解.．
答：“天宫”模型的进价为每个20元，“神舟”模型的进价为每个25元．
（2）∵购进“神舟”模型a个，则购进“天宫”模型个，
．
∵购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的．
，
解得：．
，．
∴当时，（元），
即购进“神舟”模型20个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润为840元．
【经典例题18】（2024·山东聊城·三模）为落实《健康中国行动（2019—2030）》等文件精神，某学校准备购进一批排球和足球促进校园体育活动，请你根据以下素材，探索完成任务：
如何确定排球和足球购买方案？
素材1 某体育器材店每个排球的价格比足球的价格少20元，用400元购买的排球数量与500元购买的足球数量相等．
素材2 该学校决定购买排球和足球共60个，且购买足球的数量不少于排球的数量的，同时该体育器材店为支持该学校体育活动，对排球提供7.5折优惠，足球提供8折优惠．
问题解决
任务1 请运用适当的方法求出每个排球和足球的价格．
任务2 运用数学知识，确定该学校本次购买排球和足球所需费用最少的方案，最少费用是多少？
【答案】任务一：每个排球80元，每个足球100元．任务二：购买40个排球，20个足球，费用最小，最小为4000元．
【分析】本题考查了分式方程的应用，不等式的应用，一次函数的应用，熟练掌握解分式方程，不等式是解题的关键．
（1）设排球的单价为x元，则足球的单价是元，根据用400 元购买的排球数量与500 元购买的足球数量相等，列方程解答即可．
（2）设排球购买m个，则足球购买了个，根据，设总费用为w元，根据题意，根据一次函数的性质，解答即可．
【详解】解：任务1：设排球的单价为x元，则足球的单价是元，
根据题意，得
，
解得，
经检验，是原方程的根，
故，
答：每个排球80元，每个足球100元．
任务2：设排球购买m个，则足球购买了个，根据题意，得，
解得，
设总费用为w元，根据题意，
故y随x的增大而减小，
∴时，w最小，最小为4000元，
故方案为购买40个排球，20个足球，费用最小，最小为4000元．
【变式训练18-1】（2024·河南信阳·一模）根据以下素材，探索完成任务．
如何确定图书销售单价及怎样进货以获取最大利润
素材1 某书店为了迎接“读书节”决定购进，两种新书，两种图书的进价分别是每本元、每本元．
素材2 已知种图书的标价是种图书标价的倍，若顾客用元按标价购买图书，能单独购买种图书的数量恰好比单独购买种图书的数量少本．
素材3 书店准备用不超过元购进，两种图书共本，且种图书不少于本．经市场调查后调整销售方案为：种图书按照标价的折销售，种图书按标价销售．
问题解决
任务1 探求图书的标价 请运用适当方法，求出，两种图书的标价．
任务2 探究进货方案 ，两种图书进货方案一共有多少种？
任务3 确定如何获得最大利润 书店应怎样进货才能获得最大利润？
【答案】任务：种图书标价元，种图书标价元；任务：，两种图书进货方案一共有种；任务：购进种图书本、种图书本才能获得最大利润
【分析】本题考查一次函数，一元一次不等式组和分式方程的应用；
任务：设种图书标价元，则种图书标价元，根据题意列方程并求解即可；
任务：设购进种图书本，则购进种图书本，根据题意列关于的一元一次不等式并求解即可，取值的个数就是，两种图书进货方案的种数；
任务：设获得的总利润为元，根据总利润种图书的售价种图书的进价种图书的数量种图书的售价种图书的进价种图书的数量写出关于的关系式，根据该函数的增减性和的取值范围，确定当取何值的值最大，再求出此时的值即可．
【详解】解：任务：设种图书标价元，则种图书标价元．
根据题意，得，
解得，
经检验，是所列分式方程的根，
元，
种图书标价元，种图书标价元．
任务：设购进种图书本．
购进，两种图书共本，
购进种图书本．
根据进货总价种图书进价种图书数量种图书进价种图书数量，得进货总价为，
进货总价不超过元，
，
，
又，
且为整数，
可取个值，
，两种图书进货方案一共有种．
任务设获得的总利润为元，则，
，
随的减小而增大，
且为整数，
当时，取最大值，此时购进种图书本，
购进种图书本、种图书本才能获得最大利润．
【变式训练18-2】（2024·浙江绍兴·模拟预测）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计奖品购买及兑换方案？
素材1 某文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔的单价是笔记本的2倍，用120元购买笔记本的数量比用160元购买钢笔的数量多8件．
素材2 某学校花费400元购买该文具店的钢笔和笔记本作为奖品颁发给“优秀学生”，购买钢笔和笔记本的数量之比为．
素材3 学校花费400元后，文具店赠送张兑换券（如右）用于商品兑换．兑换后，笔记本与钢笔数量相同．
问题解决
任务1 探求商品单价 请运用适当方法，求出钢笔与笔记本的单价．
任务2 探究购买方案 探究购买钢笔和笔记本的数量．
任务3 确定兑换方式 运用数学知识，确定兑换方式．
【答案】任务1：笔记本的单价为5元，钢笔的单价为10元；
任务2：购买钢笔30支，笔记本20本．
任务3：文具店赠送2张兑换券时，其中1张兑换钢笔，1张兑换笔记本；文具店赠送5张兑换券，其中3张兑换钢笔，2张兑换笔记本；文具店赠送8张兑换券时，其中5张兑换钢笔，3张兑换笔记本．
【分析】任务1：设笔记本的单价为元，根据用120元购买笔记本的数量比用160元购买钢笔的数量多8件列出分式方程，解方程即可；
任务2：设购买钢笔为支，笔记本为本，根据总的花费为400元，购买钢笔和笔记本的数量之比为，列出方程，求出、的值即可；
任务3：由任务2可知钢笔和笔记本数量的情况进行解答即可．
【详解】解：任务1：设笔记本的单价为元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的根，
这时．
笔记本的单价为5元，钢笔的单价为10元；
任务2：设购买钢笔为支，笔记本为本，
根据题意，得：，
解得，
购买钢笔30支，笔记本20本．
任务3：当原有钢笔30支，笔记本20本时，设有张兑换券兑换钢笔，
根据题意，得，
整理得，
，且，均为正整数，
解得：或或，
文具店赠送2张兑换券时，其中1张兑换钢笔，1张兑换笔记本；文具店赠送5张兑换券时，其中3张兑换钢笔，2张兑换笔记本；文具店赠送8张兑换券时，其中5张兑换钢笔，3张兑换笔记本．
【点睛】本题主要考查了分式方程和二元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程，准确解方程．
【变式训练18-3】（2023·云南·模拟预测）为落实《健康中国行动（2019—2030） 》等文件精神，某学校准备购进一批排球和足球促进校园体育活动，请你根据以下素材，探索完成任务：
如何确定排球和足球购买方案
素材1 某体育器材店每个排球的价格比足球的价格少20元，用400 元购买的排球数量与500 元购买的足球数量相等．
素材2 该学校决定购买排球和足球共50个，且购买足球的数量不少干排球的数量，同时该体育器材店为支持该学校体育活动，对排球提供折优惠，足球提供8折优惠．
问题解决
任务1 探求商品单价 请运用适当的方法求出每个排球和足球的价格．
任务2 确定购买方案 运用数学知识， 确定该学校本次购买排球和足球所需费用最少的方案，最少费用是多少
【答案】任务1：80元；100元；任务2：购买25个排球，25个足球，费用最小，最小为3500元．
【分析】本题考查了分式方程的应用，不等式的应用，熟练掌握解分式方程，不等式是解题的关键．
（1）设排球的单价为x元，则足球的单价是元，根据用400 元购买的排球数量与500 元购买的足球数量相等，列方程解答即可．
（2）设排球购买m个，则足球购买了个，根据，设总费用为w元，根据题意，根据一次函数的性质，解答即可．
【详解】任务1：设排球的单价为x元，则足球的单价是元，
根据题意，得
，
解得，
经检验，是原方程的根，
故，
答：每个排球80元，每个足球100元．
任务2：设排球购买m个，则足球购买了个，根据题意，得，
解得，
设总费用为w元，根据题意，
故y随x的增大而减小，
∴时，w最小，最小为3500元，
故方案为购买25个排球，25个足球，费用最小，最小为3500元．
