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专题06 分式方程及其应用
1．（2024·广东深圳·模拟预测）2023年3月底，国道深圳宝安段(下称“107国道”)正式启动先行段的市政化改造，它纵贯宝安区，沿线是广深科技创新走廊的核心地段，千余家国家高新技术企业密布其间，被视为“鹏城一翼”“湾区动轴”．它全长为31.4千米，这条94岁的国道路面需整改，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天的工效比原计划增加，结果提前5天完成这一任务，设原计划每天整改千米，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查由实际问题列分式方程，设原计划每天整改千米，得到实际施工时每天整改千米，由等量关系结果提前5天完成这一任务，即可列出分式方程，读懂题意，准确找到等量关系列方程是解决问题的关键．
【详解】解：设原计划每天整改千米，实际施工时每天整改千米，则
，
故选：B．
2．（2024·江苏南京·模拟预测）下列关于的方程①，②，③，④中，是分式方程的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】本题考查分式方程定义，分母中还有未知数的等式叫分式方程，根据分式方程的定义逐项验证即可得到答案，熟记分式方程的定义是解决问题的关键．
【详解】解：①，③，④是整式方程；②是分式方程；
故选：A．
3．（2024·辽宁抚顺·三模）将方程 去分母，两边同乘后的式子为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了解分式方程，根据等式的性质方程两边乘得出，问题即可作答．
【详解】解：
方程两边同时乘，得，
故选：D．
4．（2024·河南周口·三模）分式方程 去分母可得（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了解分式方程，掌握去分母法则是解题关键．
在方程两边同时乘以最简公分母，约分后即可得解．
【详解】解：
去分母，得
故选：D．
5．（2023·河北沧州·模拟预测）对于a、b定义，已知分式方程的解满足不等式，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据新定义的含义，转化为分式方程，按照解分式方程的步骤求出x的值，把x的值代入不等式中，解不等式即可．
【详解】解：根据新定义可得，，即，
去分母得：，
解得，
经检验是分式方程的解，
把代入不等式可得，，
解得．
故选D．
【点睛】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式，关键是理解新定义，并正确运算．
6．（2024·广东·模拟预测）代数式与代数式的值相等，则 ．
【答案】4
【分析】本题主要考查了代数式值相等问题，熟练掌握相等关系，列出方程，解方程，分式方程检验，是解决本题的关键．
通过题目中的等量关系列方程，解方程，检验，即可．
【详解】由题可得：，
去分母得，，
解得，，
检验：当时，，
∴是所列方程的根，
故答案为：4．
7．（2024·湖南·模拟预测）若代数式x与的比值等于，那么 ．
【答案】
【分析】根据题意，得，解方程即可．
本题考查了分式方程的解法，熟练掌握解方程是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得，
去分母，得，
解得，
经检验，是原方程的根，
故答案为：．
8．（2024·山东济南·模拟预测）若代数式与代数式的值相等，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查列分式方程、解分式方程等知识点，正确列出分式方程并求解成为解题的关键．
先根据题意列出分式方程，求出方程的解即可解答．
【详解】解：根据题意得：，
去分母得：，
去括号得：
移项得：，
合并得：，
解得：．
经检验，是分式方程的解．
故答案为：．
9．（2024·河北唐山·二模）已知代数式与的值互为相反数，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了相反数的性质，解分式方程，先根据两个分式互为相反数列出方程，再求出解即可．
【详解】∵代数式与互为相反数，
∴，
解得．
经检验，是原方程的解．
故答案为：．
10．（2024·山东济南·二模）若代数式与的值相等，则的值为 .
【答案】/0.2
【分析】本题考查了解分式方程．关键在于根据题意列出方程．根据题意列方程，然后进行解答即可得出x的值．
【详解】解：由题意，得
，
解得，
经检验，是原方程的解，
故答案为：．
11．（2024·江苏苏州·一模）若分式的值等于1，则x的值等于 ．
【答案】3
【分析】本题考查解分式方程．由题意得，利用去分母将原方程化为整式方程，解得的值后进行检验即可．
【详解】解：由题意得，
去分母得：，
解得：，
检验：当时，，
故原方程的解为，
故答案为：3．
12．（2024·重庆江津·模拟预测）若整数a使得关于x的不等式组有解，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的a的值之和为 ．
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解分式方程；根据不等式组有解求出字母a的取值范围，再由分式方程有非负整数解，也可求得字母a的取值范围，从而最终确定a的范围，则可得到所有整数a的值，即可求得所有a的值的和．
【详解】解：解不等式，得；
解不等式，得；
∵关于x的不等式组有解，
∴；
解，
，
∵方程有非负整数解，
∴是非负整数，且，
，
且，
∴或或或或，
解得：或或或或，
∴满足条件的a的值之和为，
故答案为：．
13．（2024·江苏宿迁·三模）若关于x的方程的解为正数，则m的取值范图是 ．
【答案】且
【分析】本题考查了根据分式方程解的情况求分式方程中的参数，解题的关键是掌握分式方程的解法，并且注意分式方程增根的问题．
根据分式方程的解法，解出x，再根据题意列出不等式求解即可．
【详解】，
去分母得：，
解得：，
方程的解为正数，且方程的增根为，
，且，
解得：，且，
故答案为：且．
14．（2024·江苏宿迁·二模）若关于的分式方程无解，则的取值是 ．
【答案】1
【分析】本题主要考查了分式方程的无解问题，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．先把分式方程化为整式方程，解出整式方程，再根据分式方程无解，可得到关于a的方程，即可求解．
【详解】解：去分母，得，
解得，
∵分式方程无解，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：1．
15．（2022·江苏徐州·二模）如果关于的方程有增根，那么 ．
【答案】2
【分析】根据分式方程的增根是使分式方程无意义的根来分析解题．
【详解】解：，
方程两边同时乘以x-3，
，
∵分式方程的增根是x=3，
∴k=2；
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查分式方程增根的意义，难度适中，熟练掌握解分式方程的步骤和分式方程的增根的意义是解此题的关键．
16．（2024·重庆·模拟预测）若关于x的一元一次不等式组 有解且至多5个偶数解，且关于y的分式方程 的解是整数，则符合条件的所有整数m的和为 ．
【答案】
【分析】本题考查分式方程的解，关键是根据不等式组的解集的情况求参数的范围．根据分式方程的解的情况求参数，先解不等式组和分式方程，根据不等式组的解集的情况和分式方程的解的情况，求出所有整数的值，求和即可．
【详解】解，得：，
不等式组有解且至多5个偶数解，
，解得：，
解，得：，
分式方程的解为整数，
为整数，且，
整数的值可以为：，，，，，0，3，
，
符合条件的所有整数为，，0，3，它们的和为；
故答案为：．
17．（2024·山东临沂·模拟预测）分式方程的解为 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式方程的求解问题．左右两端同时乘以最简公分母，得到整式方程，求得整式方程的解，再检验即可得解．
【详解】解：，
等式两端同时乘以最简公分母，得：
，
解得，
检验：将代回最简公分母，，
因此原方程的解为；
故答案为：．
18．（2024·广东广州·模拟预测）某施工队要铺设一段全长2000米的管道，中考期间需停工两天，实际施工时，每天需比原来计划多铺设50米，才能按时完成任务，求原计划每天施工多少米，设原计划每天施工x米，则根据题意可列方程为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设原计划每天施工x米，则实际每天施工米，再根据实际比原计划少施工两天列出方程即可．
【详解】解：设原计划每天施工x米，则实际每天施工米，
由题意得，，
故答案为：．
19．（2024·陕西·模拟预测）解分式方程：．
【答案】
【分析】本题考查了解分式方程，先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得．
【详解】
去分母得，
解得
检验：将代入
∴原方程的解为．
20．（2024·浙江金华·模拟预测）小华化简分式出现了错误，解答过程如下：
解：去分母得：①
去括号得：②
移项得：③
合并同类项得：④
系数化为1得：⑤
经检验，是原分式方程的解．
请指出错误步骤（一步即可），并写出正确的解答过程．
【答案】从① 步开始出错，正确的解析过程见详解
【分析】本题主要考查解分式方程，根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的方法即可求解，掌握解分式的性质，解分式方程的方法是解题的关键．
【详解】解：去分母时，等式两边的各项都要乘以公分母，
∴在去分母时应为：，故从①步开始出错；
正确的解析过程如下，
方程两边同时乘以，去分母得，
去括号得，
移项得，
合并同类项得，
系数化为1得，
检验，当时，原分式方程的分母不为0，有意义，
∴是原分式方程的解．
21．（2024·广西来宾·模拟预测）观察下面的变化规律，解答下列问题：
，，，．
(1)若为正整数，猜想__________，并且验证你的猜想；
(2)解分式方程：；
(3)利用上述规律计算：．
【答案】(1)，见解析
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了解分式方程，关键是分式的加减运算．
（1）猜想，再根据异分母分式相加减计算，即可求解；
（2）根据（1）中的规律把原方程变形为，可化为，解出即可；
（3）根据（1）中的规律把原式变形，可得到，即可求解．
【详解】（1）解：，
验证：右边
左边，
猜想成立；
（2）解：，
，
，
去分母得：，
解得：，
经检验：是原方程的根，
原方程的根为；
（3）解：
．
22．（2024·江苏苏州·模拟预测）先阅读下面的材料，然后回答问题：
方程的解为，；
方程的解为，；
方程的解为，；
…
(1)观察上述方程的解，猜想关于的方程的解是________；
(2)根据上面的规律，猜想关于的方程的解是________；
(3)由（2）可知，在解方程：时，可以变形转化为方程的形式求值，按要求写出你的变形求解过程．
【答案】(1)，
(2)，
(3)过程见解析，，
【分析】（1）根据已知材料即可得出答案；
（2）根据已知材料即可得出答案；
（3）把方程转化成，由材料得出，，求出方程的解即可．
【详解】（1）解：关于x的方程的解是：，，
故答案为：，；
（2）关于x的方程的解是：，，
故答案为：，；
（3）解：
，
，
，
即，，
解得：，，
经检验：，是方程的解.
【点睛】此题考查了解分式方程，读懂题意并灵活变形是解题的关键．
23．（2024·云南昭通·模拟预测）先阅读下面的材料，然后回答问题：
方程的解为，；
方程的解为，；
方程的解为，；
…
(1)观察上述方程的解，猜想关于x的方程的解是 ；
(2)根据上面的规律，猜想关于x的方程的解是 ；
(3)由（2）可知，在解方程时，可以变形转化为的形式求值，按要求写出你的变形求解过程．
(4)利用（2）的结论解方程：．
【答案】(1)，
(2)，
(3)见解析
(4)，
【分析】（1）根据已知材料即可得出答案；
（2）根据已知材料即可得出答案；
（3）把方程转化成，由材料得出，，求出方程的解即可；
（4）利用换元法，转化为材料中的规律解答．
【详解】（1）解：关于x的方程的解是：，，
故答案为：，；
（2）关于x的方程的解是：，，
故答案为：，；
（3），
，
，
即，，
解得：，；
（4）令，则方程可化为，
由（2）规律可得，，；
即或，
解得，．
【点睛】此题考查了解分式方程，读懂题意并灵活变形是解题的关键．
24．（2024·北京平谷·模拟预测）阅读理解:
定义：若分式和分式满足（为正整数），则称是的“差分式”．
例如： 我们称 是 的“差分式”，
解答下列问题：
(1)分式 是分式 的“ 差分式”．
(2)分式 是分式 的“差分式”．
① （含的代数式表示）；
②若 的值为正整数，为正整数，求的值．
(3)已知，分式 是 的“差分式”（其中为正数），求的值．
【答案】(1)
(2)①；②的值为或
(3)的值为
【分析】本题主要考查定义新运算，分式的混合运算，乘法公式的运用，
（1）根据材料提示进行计算即可求解；
（2）根据“差分式”的计算方法可得，结合分式的混合运算即可求解；
（3）根据“差分式”的计算方法可得，根据分式的混合运算，乘法公式的运算可得，结合，由此即可求解．
【详解】（1）解：，
故答案为：；
（2）解：①，
∴，
解得，；
②，为正整数，
∴当时，，则；
当时，，则；
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，不符合题意，舍去；
∴的值为或；
（3）解：，
，且，
∴，
∵为正整数，
∴，
∴的值为．
25．（2024·山西·模拟预测）为了提高道路的通行效率，阳泉市对大连街五渡口至保晋路口实行了灯控路口智能化改造，优化了交通信号灯配时，驾驶员只要控制好车速，便能达到“一路绿灯”的效果．据了解，该路段总长约4.2公里，改造后通过该路段的车辆的平均行驶速度提高了，平均行驶时间减少了3分钟，求改造前通过该路段车辆的平均速度．
【答案】改造前通过该路段车辆的平均速度是千米∕小时．
【分析】本题考查分式方程的应用．设改造前通过该路段车辆的平均速度x千米/小时，则改造后通过该路段车辆的平均速度是千米/小时，根据“行驶4.2千米，平均行驶时间减少了3分钟”列出方程并解答．
【详解】解：设改造前通过该路段车辆的平均速度x千米/小时，则改造后通过该路段车辆的平均速度是千米/小时，
由题意，得．
解得：．
经检验，是所列方程的根，且符合题意．
答：改造前通过该路段车辆的平均速度是千米∕小时．
26．（2024·贵州黔东南·一模）贵州有“桥梁博物馆”的美誉．世界第一高桥—北盘江大桥位于中国云南省和贵州省的交界处，桥面到江面的垂直距离为米，全长约为1341米．在大桥建成未营运之前，甲、乙两名工程师从桥的一端走到另一端，甲工程师步行先走12分钟后，乙工程师骑自行车出发，结果他们同时到达．已知骑自行车的速度是步行速度的3倍，求甲工程师步行的速度和乙工程师骑自行车的速度．
【答案】甲工程师步行的速度为米/分；乙工程师骑自行车的速度为米/分
【分析】本题考查了分式方程的实际应用，设甲工程师步行的速度为每分钟米，则乙工程师骑自行车的速度为每分钟米，根据题意列出方程求解即可．
【详解】解：设甲工程师步行的速度为每分钟米，则乙工程师骑自行车的速度为每分钟米．根据题意，
得，
解得，
经检验是原分式方程的解，
．
答：甲工程师步行的速度为米/分；乙工程师骑自行车的速度为米/分．
27．（2024·贵州贵阳·二模）请根据下面对话，解答问题：
(1)设小明原来的速度为，则小明今天的速度为________；
(2)求小明今天的速度．
【答案】(1)；
(2)小明今天的速度为．
【分析】本题考查的知识点是列代数式、分式方程的应用，解题关键是理解题意并列出正确的分式方程．
（1）根据题中小明今天的速度是昨天速度的倍即可得解；
（2）根据题意列出分式方程后求解即可．
【详解】（1）解：依题得，小明今天的速度是原来速度的倍，
用含的代数式可表示为．
故答案为：．
（2）解：由题意得，
解得，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
小明今天的速度为．
答：小明今天的速度为．
28．（2024·广东清远·模拟预测）耕地是粮食生产的命根子，是中华民族永续发展的根基．某地区积极响应国家“退林还耕”号召，将该地区 3500 亩林地改为耕地，经招标，全部“退林还耕”工作由甲、乙两工程队共同完成，已知甲队每天完成的“退林还耕”面积是乙队的 2 倍，如果两队各自“退林还耕”500 亩，甲队比乙队少用 5 天．
(1)求甲、乙两队每天完成的“退林还耕”面积；
(2)若甲队每天费用是 1.5 万元，乙队每天费用为 0.8 万元，求在总费用不超过 55 万元的情况下，至多安排乙队施工多少天？
【答案】(1)甲每天完成的“退林还耕”面积为100亩，乙每天完成的“退林还耕”面积为50亩
(2)至多安排乙队施工50天
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
（1）设乙每天完成的“退林还耕”面积为亩，则甲每天完成的“退林还耕”面积为亩，由“退林还耕”500亩，甲队比乙队少用5天．即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设安排乙施工天，则安排甲队施工天，根据总费用不超过55万元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【详解】（1）解：设乙每天完成的“退林还耕”面积为亩，则甲每天完成的“退林还耕”面积为亩，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴．
答：甲每天完成的“退林还耕”面积为100亩，乙每天完成的“退林还耕”面积为50亩．
（2）解：设安排乙队施工天，则安排甲队施工天，
依题意，得：，
解得：．
答：至多安排乙队施工50天．
29．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）某商场进货员预测一种应季恤衫能畅销市场，就用4000元购进一批这种恤衫，面市后果然供不应求．商场又用8800元购进了第二批这种恤衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但每件的进价贵了4元．
(1)该商场购进第一批、第二批恤衫每件的进价分别是多少元？
(2)如果两批恤衫按相同的标价销售，最后缺码的40件恤衫按七折优惠售出，要使两批恤衫全部售完后利润率不低于62%(不考虑其他因素)，那么每件恤衫的标价至少是多少元？
【答案】(1)该商场购进第一批、第二批恤衫每件的进价分别是40元和44元
(2)每件恤衫的标价至少是72元
【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
（1）设该商场购进第一批、第二批恤衫每件的进价分别是元和元，根据所购数量是第一批购进量的2倍列出方程解答即可；
（2）设每件恤衫的标价至少是元，根据题意列出不等式解答即可．
【详解】（1）解：设该商场购进第一批、第二批恤衫每件的进价分别是元和元，根据题意可得，解得，
经检验是方程的解，
，
答：该商场购进第一批、第二批恤衫每件的进价分别是40元和44元；
（2）解：（件），
设每件恤衫的标价是元，根据题意可得，解得，
答：每件恤衫的标价至少是72元．
30．（2024·山东济南·二模）2024年是中国农历甲辰龙年．元旦前，某商场进货员预测一种“吉祥龙”公仔能畅销市场，就用6000元购进一批这种“吉祥龙”公仔，面市后果然供不应求，商场又用12800元购进了第二批这种“吉祥龙”公仔，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每件的进价贵了4元．
(1)该商场购进第一批、第二批“吉祥龙”公仔每件的进价分别是多少元？
(2)若两批“吉祥龙”公仔按相同的标价销售，最后的50件“吉祥龙”公仔按标价的八折优惠售出，且在整个销售过程中需要支出1300元各项费用，要使两批“吉祥龙”公仔全部售完后获利不低于6000元（不考虑其他因素），那么每件“吉祥龙”公仔的标价至少是多少元？
【答案】(1)该商场购进第一批、第二批“吉祥龙”公仔每件的进价分别是60元、64元
(2)每件“吉祥龙”公仔的标价至少是90元
【分析】本题考查了列分式方程解决实际问题，列不等式解决实际问题，准确理解题意，找准数量关系是解题的关键．
（1）设该商场购进第一批每件的进价为x元，第二批“吉祥龙”挂件每件的进价为元，根据“所购数量是第一批购进量的2倍”列分式方程求解检验即可；
（2）设每件“吉祥龙”挂件的标价是a元，根据“两批“吉祥龙”挂件全部售完后获利不低于6000（需要减去支出1300元各项费用），且最后的50件“吉祥龙”挂件按八折优惠售出”列不等式，求解即可．
【详解】（1）解：设该商场购进第一批“吉祥龙”挂件的进价是x元/件，则第二批“吉祥龙”挂件的进价是元，
根据题意得： ，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴（元/件）．
答：该商场购进第一批“吉祥龙”挂件的进价是60元/件，第二批“吉祥龙”挂件的进价是64元；
（2）设“吉祥龙”公仔每件的标价是a元．
由题意得：
解得：
∴“吉祥龙”公仔标价至少是90元
答：每件“吉祥龙”公仔的标价至少是90元．
31．（2023·广西·模拟预测）综合与实践．
如何分配工作，使公司支付的总工资最少
素材1 壮锦是工艺美术织品，是壮族人民最精彩的文化创造之一，其历史也非常悠 久．某公司承接到2160个壮锦手提包的订单，计划将任务分配给甲、乙两个 生产部门去完成．甲部门每天生产的总数是乙部门每天生产总数的2倍，甲部 门单独完成这项任务所需的时间比乙部门单独完成少18天
素材2 经调查，这项订单需要支付甲部门4800元/天，乙部门3000元/天
素材3 由于甲部门有其他工作任务，甲部门工作天数不超过乙部门工作天数的一半
问题解决
任务1 确定工作效率 求甲、乙部门原来每天分别生产多少个壮锦手提包
任务2 拟订设计方案 如何安排甲、乙两部门工作的天数，才能使正好完成任务时该公司支付的总工资最少？最少需要多少元？
【答案】任务1：甲部门每天能生成120个，乙部门每天能生成60个；任务2：甲部门工作9天，乙部门工作18天时，总费用最小，最小为97200元
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，一次函数的最大利润问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）设乙部门每天能生成个壮锦手提包，依题意，列式得，注意经检验是方程的解，即可作答．
（2）设甲部门工作天，则乙部门的工作时间为（天）．再依题意，得出，解出，根据利润公式得出，运用一次函数的性质，进行分析作答即可．
【详解】解：任务1：设乙部门每天能生成个壮锦手提包，
则甲部门每天能生成个壮锦手提包．
由题意得，
解得．
检验：当时，，
所以是原分式方程的解，且符合题意．
甲部门每天生成数量：（个）．
答：甲部门每天能生成120个，乙部门每天能生成60个．
任务2：设甲部门工作天，则乙部门的工作时间为（天）．
根据题意，
解得，
则总支出费用．
随的增大而减小．
当时，取最小值，
最小值为（元），
乙部门工作天数：（天），
答：甲部门工作9天，乙部门工作18天时，总费用最小，最小为97200元．
32．（2024·广东深圳·模拟预测）根据以下素材，探索完成任务．
素材1 某经销商3月份用元购进一批T恤衫售完后，4月份用元购进一批相同的T恤衫．
素材2 4月份的进购数量是3月份数量的2倍，但每件进价涨了元．
素材3 4月份，经销商将这批T恤衫平均分给甲、乙两家分店销售，每件标价元．甲店按标价卖出a件以后，剩余的按标价的八折全部售出；乙店同样按标价卖出a件，然后将b件按标价九折售出，再将剩余的按标价七折全部售出，结果利润与甲店相同．
问题解决
任务1 4月份进了这批T恤衫多少件？
任务2 每件T恤衫的进价为 ．
任务3 用含a的代数式表示b为 ．
【答案】任务1：8月份进了这种T恤衫件；任务2：元；任务3：
【分析】本题考查了分式方程的应用，有理数的除法运算的应用，二元一次方程的应用．熟练掌握分式方程的应用，有理数的除法运算的应用，二元一次方程的应用是解题的关键．
任务1：设3月份购进x件T恤衫，则4月份进了这种T恤衫件，依题意得，，计算求解，然后求解作答即可；
任务2：依题意得，每件T恤衫的进价为，计算求解即可；
任务3：依题意得，，计算求解即可．
【详解】任务1：解：设3月份购进x件T恤衫，则4月份进了这种T恤衫件，
依题意得，，
解得，，
经检验，是原分式方程的解，
∴，
答：8月份进了这种T恤衫件；
任务2：解：依题意得，每件T恤衫的进价为（元），
故答案为：元；
任务3：解：依题意得，，
整理得，，
故答案为：．中小学教育资源及组卷应用平台
专题06 分式方程及其应用
1．（2024·广东深圳·模拟预测）2023年3月底，国道深圳宝安段(下称“107国道”)正式启动先行段的市政化改造，它纵贯宝安区，沿线是广深科技创新走廊的核心地段，千余家国家高新技术企业密布其间，被视为“鹏城一翼”“湾区动轴”．它全长为31.4千米，这条94岁的国道路面需整改，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天的工效比原计划增加，结果提前5天完成这一任务，设原计划每天整改千米，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·江苏南京·模拟预测）下列关于的方程①，②，③，④中，是分式方程的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2024·辽宁抚顺·三模）将方程 去分母，两边同乘后的式子为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·河南周口·三模）分式方程 去分母可得（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·河北沧州·模拟预测）对于a、b定义，已知分式方程的解满足不等式，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·广东·模拟预测）代数式与代数式的值相等，则 ．
7．（2024·湖南·模拟预测）若代数式x与的比值等于，那么 ．
8．（2024·山东济南·模拟预测）若代数式与代数式的值相等，则 ．
9．（2024·河北唐山·二模）已知代数式与的值互为相反数，则的值为 ．
10．（2024·山东济南·二模）若代数式与的值相等，则的值为 .
11．（2024·江苏苏州·一模）若分式的值等于1，则x的值等于 ．
12．（2024·重庆江津·模拟预测）若整数a使得关于x的不等式组有解，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的a的值之和为 ．
13．（2024·江苏宿迁·三模）若关于x的方程的解为正数，则m的取值范图是 ．
14．（2024·江苏宿迁·二模）若关于的分式方程无解，则的取值是 ．
15．（2022·江苏徐州·二模）如果关于的方程有增根，那么 ．
16．（2024·重庆·模拟预测）若关于x的一元一次不等式组 有解且至多5个偶数解，且关于y的分式方程 的解是整数，则符合条件的所有整数m的和为 ．
17．（2024·山东临沂·模拟预测）分式方程的解为 ．
18．（2024·广东广州·模拟预测）某施工队要铺设一段全长2000米的管道，中考期间需停工两天，实际施工时，每天需比原来计划多铺设50米，才能按时完成任务，求原计划每天施工多少米，设原计划每天施工x米，则根据题意可列方程为 ．
19．（2024·陕西·模拟预测）解分式方程：．
20．（2024·浙江金华·模拟预测）小华化简分式出现了错误，解答过程如下：
解：去分母得：①
去括号得：②
移项得：③
合并同类项得：④
系数化为1得：⑤
经检验，是原分式方程的解．
请指出错误步骤（一步即可），并写出正确的解答过程．
21．（2024·广西来宾·模拟预测）观察下面的变化规律，解答下列问题：
，，，．
(1)若为正整数，猜想__________，并且验证你的猜想；
(2)解分式方程：；
(3)利用上述规律计算：．
22．（2024·江苏苏州·模拟预测）先阅读下面的材料，然后回答问题：
方程的解为，；
方程的解为，；
方程的解为，；
…
(1)观察上述方程的解，猜想关于的方程的解是________；
(2)根据上面的规律，猜想关于的方程的解是________；
(3)由（2）可知，在解方程：时，可以变形转化为方程的形式求值，按要求写出你的变形求解过程．
23．（2024·云南昭通·模拟预测）先阅读下面的材料，然后回答问题：
方程的解为，；
方程的解为，；
方程的解为，；
…
(1)观察上述方程的解，猜想关于x的方程的解是 ；
(2)根据上面的规律，猜想关于x的方程的解是 ；
(3)由（2）可知，在解方程时，可以变形转化为的形式求值，按要求写出你的变形求解过程．
(4)利用（2）的结论解方程：．
24．（2024·北京平谷·模拟预测）阅读理解:
定义：若分式和分式满足（为正整数），则称是的“差分式”．
例如： 我们称 是 的“差分式”，
解答下列问题：
(1)分式 是分式 的“ 差分式”．
(2)分式 是分式 的“差分式”．
① （含的代数式表示）；
②若 的值为正整数，为正整数，求的值．
(3)已知，分式 是 的“差分式”（其中为正数），求的值．
25．（2024·山西·模拟预测）为了提高道路的通行效率，阳泉市对大连街五渡口至保晋路口实行了灯控路口智能化改造，优化了交通信号灯配时，驾驶员只要控制好车速，便能达到“一路绿灯”的效果．据了解，该路段总长约4.2公里，改造后通过该路段的车辆的平均行驶速度提高了，平均行驶时间减少了3分钟，求改造前通过该路段车辆的平均速度．
26．（2024·贵州黔东南·一模）贵州有“桥梁博物馆”的美誉．世界第一高桥—北盘江大桥位于中国云南省和贵州省的交界处，桥面到江面的垂直距离为米，全长约为1341米．在大桥建成未营运之前，甲、乙两名工程师从桥的一端走到另一端，甲工程师步行先走12分钟后，乙工程师骑自行车出发，结果他们同时到达．已知骑自行车的速度是步行速度的3倍，求甲工程师步行的速度和乙工程师骑自行车的速度．
27．（2024·贵州贵阳·二模）请根据下面对话，解答问题：
(1)设小明原来的速度为，则小明今天的速度为________；
(2)求小明今天的速度．
28．（2024·广东清远·模拟预测）耕地是粮食生产的命根子，是中华民族永续发展的根基．某地区积极响应国家“退林还耕”号召，将该地区 3500 亩林地改为耕地，经招标，全部“退林还耕”工作由甲、乙两工程队共同完成，已知甲队每天完成的“退林还耕”面积是乙队的 2 倍，如果两队各自“退林还耕”500 亩，甲队比乙队少用 5 天．
(1)求甲、乙两队每天完成的“退林还耕”面积；
(2)若甲队每天费用是 1.5 万元，乙队每天费用为 0.8 万元，求在总费用不超过 55 万元的情况下，至多安排乙队施工多少天？
29．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）某商场进货员预测一种应季恤衫能畅销市场，就用4000元购进一批这种恤衫，面市后果然供不应求．商场又用8800元购进了第二批这种恤衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但每件的进价贵了4元．
(1)该商场购进第一批、第二批恤衫每件的进价分别是多少元？
(2)如果两批恤衫按相同的标价销售，最后缺码的40件恤衫按七折优惠售出，要使两批恤衫全部售完后利润率不低于62%(不考虑其他因素)，那么每件恤衫的标价至少是多少元？
30．（2024·山东济南·二模）2024年是中国农历甲辰龙年．元旦前，某商场进货员预测一种“吉祥龙”公仔能畅销市场，就用6000元购进一批这种“吉祥龙”公仔，面市后果然供不应求，商场又用12800元购进了第二批这种“吉祥龙”公仔，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每件的进价贵了4元．
(1)该商场购进第一批、第二批“吉祥龙”公仔每件的进价分别是多少元？
(2)若两批“吉祥龙”公仔按相同的标价销售，最后的50件“吉祥龙”公仔按标价的八折优惠售出，且在整个销售过程中需要支出1300元各项费用，要使两批“吉祥龙”公仔全部售完后获利不低于6000元（不考虑其他因素），那么每件“吉祥龙”公仔的标价至少是多少元？
31．（2023·广西·模拟预测）综合与实践．
如何分配工作，使公司支付的总工资最少
素材1 壮锦是工艺美术织品，是壮族人民最精彩的文化创造之一，其历史也非常悠 久．某公司承接到2160个壮锦手提包的订单，计划将任务分配给甲、乙两个 生产部门去完成．甲部门每天生产的总数是乙部门每天生产总数的2倍，甲部 门单独完成这项任务所需的时间比乙部门单独完成少18天
素材2 经调查，这项订单需要支付甲部门4800元/天，乙部门3000元/天
素材3 由于甲部门有其他工作任务，甲部门工作天数不超过乙部门工作天数的一半
问题解决
任务1 确定工作效率 求甲、乙部门原来每天分别生产多少个壮锦手提包
任务2 拟订设计方案 如何安排甲、乙两部门工作的天数，才能使正好完成任务时该公司支付的总工资最少？最少需要多少元？
32．（2024·广东深圳·模拟预测）根据以下素材，探索完成任务．
素材1 某经销商3月份用元购进一批T恤衫售完后，4月份用元购进一批相同的T恤衫．
素材2 4月份的进购数量是3月份数量的2倍，但每件进价涨了元．
素材3 4月份，经销商将这批T恤衫平均分给甲、乙两家分店销售，每件标价元．甲店按标价卖出a件以后，剩余的按标价的八折全部售出；乙店同样按标价卖出a件，然后将b件按标价九折售出，再将剩余的按标价七折全部售出，结果利润与甲店相同．
问题解决
任务1 4月份进了这批T恤衫多少件？
任务2 每件T恤衫的进价为 ．
任务3 用含a的代数式表示b为 ．
