2024 年 10 月课堂练习
九年级数学
注意事项:
1.全卷分 A 卷和 B 卷,A 卷满分 100 分,B 卷满分 50 分;监测时间 120 分钟。
2.考生使用答题卡作答。
3.在作答前,考生务必将自己的姓名、考生号和座位号填写在答题卡上。监测结束,监考
人员将试卷和答题卡一并收回。
4.选择题部分请使用 2B 铅笔填涂;非选择题部分请使用 0. 5 毫米黑色墨水签字笔书写,
字体工整、笔迹清楚。
5.请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无
效;在草稿纸、试卷上答题无效。
6.保持答题卡面清洁,不得折叠、污染、破损等。
A 卷(共 100 分)
一、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 4 分,共 32 分，答案涂在答题卡上)
1．下列是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．一元二次方程 s 配方可变形为（ ）
A． B． C． D．
3．下列说法不正确的是（ ）
A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形
B．有一个角是直角的平行四边形是矩形
C．有一组邻边相等，有一个角是直角的平行四边形是正方形
D．一组邻边相等的四边形是菱形
4．如图，正方形 00的对角线 0， 0交于点 ， 、 分别为 、 0的中点，若 ，则 0的长是
（ ）
A． B． C．s D．
5．已知关于 x 的一元二次方程 t 有两个不等的实数根，则 k 的取值范围是（ ）
A． B． t
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C． t 且 D． 且
6．若 x支球队参加篮球比赛，共比赛了 36 场，每 2 队之间比赛一场，则下列方程中符合题意的是 t
A．x x t B．x x t C． x x t D． x x t
7．若 t t t s 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的值为（ ）
A．4 B． C．± D．±
8．如图，在△ 0中， ， 0 ， 0 s， 为边 0上一动点，且 于点 ， 0于点 ，
则线段 的最小值为（ ）
A． B． t C． t D． ts
二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 4 分,共 20 分，答案涂在答题卡上)
9．方程（3x+1）=x2+2 化为一般形式为
10．要在一块长 12t，宽 8t的矩形空地中，修建两条形状为平行四边形的甬道（其中一条甬道形状为矩形），
剩余部分栽种蔬菜，且菜地的面积为 t ．若设两条甬道的入口宽 ? t，则根据题意列出的方程可
以为 ．
11．一元二次方程 的两根分别为 和 ，则 为 ．
12．如图，已知菱形 00的对角线 0 t， 0 t， s t， ? 0于 ?，则 ?的长
是 ．
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13．如图，在 00中，以 A 为圆心， 长为半径画弧交 0于 F，分别以 F、B为圆心，大于 长为半径
画弧，两弧交于点 G，作射线 交 0于点 E， ， s，则 的长为 ．
三、解答题(本大题共 5 个小题,共 48 分，解答过程写在答题卡上)
14．（12 分）解下列方程：
（1） ； （2） t ；
15．（8分）已知平行四边形 00的两边 、 0的长是关于 的一元二次方程 t 的两个实数
根．
（1）若 的长为 5，求 t的值；
（2）当平行四边形 00是菱形时，即 AB=AD, 此时 t为何值？并求出此时菱形的边长．
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16．（8分）如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E，F 在对角线 AC 上，且 AE=CF，连接 DE、EB、BF、FD.
求证：
（1）△ADE≌△CBF；
（2）四边形 DEBF 平行四边形．
17．（10 分）已知关于 x的一元二次方程 x2﹣2x﹣3m2＝0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β＝5，求 m的值．
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18.（10 分）已知正方形 00，点 是射线 00上一动点 不与 0、0重合t，连接 并延长交直线 0于点 ，
交 0于点 ?，连接 0?，过点 0作 0 ?0交 于点 ．
（1）若点 在边 00上，如图 ．
①证明：∠0 ? ∠00?；
②猜想线段 0 与 的关系并说明理由；
（2）取 0 中点 ，连结 ，若 ，正方形边长为 6，求 的长．
B 卷（共 50 分）
一、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分，答案涂在答题卡上）
19.已知方程 t 的一个根为 ，则方程的另一个根为________.
20.一元二次方程 s 有两个不相等的实数根且两根之积为正数，若 是整数，则最大整数
________．
21.如图，小华剪了两条宽为 的纸条，交叉叠放在一起，且它们的交角为 ，则它们重叠部分的面积为
________．
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22.如图， △ 0中， t 0， 平分∠ 0, 0 ⊥ 于 0， 0 ⊥ 于 ， 为 0的中点，给出结论：
① 0// 0 ② 0 ③ 0 0
④∠ 0 ∠0 ．其中正确结论的题号是________.
23.如图，在△ 0中，∠ 0 ，∠ 0 ，将△ 0绕顶点 0逆时针旋转，旋转角为 < <
，得到△ ′ ′0．设 0中点为 ， ′ ′中点为 ， 0 ，连接 ， 长度的取值范围是________.
二.解答题（本大题共 3 个小题，共 30 分，解答应巧出必要的文字说明．证明过程或演算步骤）
24.（8 分）如图，有长为 米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为 米），围成中间隔有一道篱笆（平
行于 ）的矩形花圃，设花圃一边 的长为 米，面积为 平方米．
求 与 的函数关系式；
如果要围成面积为 平方米的花圃， 的长是多少？
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25.（10 分）操作与探究：如图 ，在锐角∠ h的边 、 h上分别取点 、0，使 0，在 0上取点
，作 00，连接 0、 0交于点 ，作射线 ．
（1）求证： 平分∠ h．
（2）移动点 使∠ 0 ∠ h，求证： 00是矩形．
（3）如图 ，在（2）的条件下，去 中点 连接 ，将∠ 0绕点 逆时针旋转适当的角度，得到∠
（点 、 分别是∠ 的两边与 的延长线、 h的交点）．猜想线段 与 之间的数量关系，并证明你
的结论．
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26.（12 分）已知菱形 ABCD 的边长为 5，其顶点都在坐标轴上，且点 A 坐标为（0，﹣3）．
（1）求点 B 的坐标及菱形 ABCD 的面积；
（2）点 P 是菱形边上一动点，沿 A→B→C→D 运动（到达 D 点时停止）
①如图 1，当点 P 关于 x轴对称的点 Q恰好落在直线 y＝ x﹣3 上时，求点 P 的坐标．
②探究：如图 2，当 P 运动到 BC，CD 边时，作△ABP 关于直线 AP 的对称图形为△AB′P，是否存在这样的 P
点，使点 B′正好在直线 y＝ x﹣3 上？若存在，求出满足条件的点 P坐标；若不存在，请说明理由．
第 8 页 共 8 页2024年10月课堂练习答案
九年级数学
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，答案涂在答题卡上）
1．B
2．A
3．D
4．D
5．C
6．C
7．A
8．C
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案涂在答题卡上）
9．5x2﹣x﹣3=0
10．
11．
12．．
13．8
三、解答题(本大题共5个小题,共 48 分，解答过程写在答题卡上)
14．（1）解：∵，，，
∴-------------------------（2分）
∴， -----------------------（4分）
∴， -----------------------（6分）
（2）解：∵，
∴，
则， -----------------------（4分）
∴， -----------------------（6分）
15．（1） -----------------------（3分）
（2），平行四边形是菱形，菱形的边长是4 -----------------------（8分）
16．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，
∴∠DAE=∠BCF，
在△ADE和△CBF中
∴△ADE≌△CBF(SAS)； -----------------------（4分）
（2）证明：∵△ADE≌△CBF；
∴DE=BF，∠AED=∠BFC，
∵∠AED+∠DEF=180°，
∴∠BFC+∠BFE=180°，
∴∠DEF=∠BFE，
∴DE//BF，
∵DE=BF，
∴四边形DEBF是平行四边形. -----------------------（8分）
17．（1）证明：∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3m2，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1 （﹣3m2）
＝4+12m2＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根； -----------------------（4分）
（2）解：题意得：
，
解得：， -----------------------（6分）
∵αβ＝﹣3m2， -----------------------（8分）
∴﹣3m2＝﹣3，
∴m＝±1，
∴m的值为±1． -----------------------（10分）
18.（1）解：（1）①∵四边形是正方形，
，，
在和中，
，
≌，
； -----------------------（3分）
②结论：，理由如下：
≌，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
； -----------------------（6分）
（2）解：①如图，当点在线段上时，连接．
，，，
，
，
，，
，
在中，，
；
②如图，当点在线段的延长线上时，连接．
同法可知是的中位线，
，
在中，，
综上所述，的长为 或． -----------------------（10分）
B卷（共50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案涂在答题卡上）
19.
20. 6
21.
22.①②④
23.
二、解答题（本大题3共个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
24.解：（）解：∵ 的长为米，且篱笆的总长度为米，
∴ 的长为米．------------------------------------------------------------------（1分）
∴ 花圃的面积---------------------------------------------（3分）
∵ 墙的长度为，
∴
∴
∴ -------------------------------------------------------------（4分）
（2）解：依题意得： --------------------------------------------------------（6分）
整理得：
解得： （不符合题意，舍去），，----------------------------------------------（7分）
答：的长是米．--------------------------------------------------------------------------------（8分）
25.解：（1）∵ 四边形是平行四边形，
∴ ，------------------------------------------------------------------------------------------（1分）
在和中，
，
∴ ，--------------------------------------------------------------------（2分）
∴ ，
∴ 平分；------------------------------------------（3分）
（2）证明：∵ ，，
∴ ，-------------------------------------------------------------------------（4分）
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，----------------------------------------------------------------------------------（5分）
又∵ ，，
∴ ，
又∵ 四边形是平行四边形，
∴ 是矩形；-------------------------------------------------------------------------（6分）
（3）线段与之间的数量关系为：．------------------------------------（7分）
证明：根据旋转的性质，可设，则
等腰中，，
∴ ，
∵ ，为的中点，
∴ 中，，
∴ ，-------------------------------------------------------------------（8分）
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由旋转可得，，
∴ ，
在和中，
，
∴ ，
∴ ．----------------------------------------------------------------------------（10分）
26.解：（1）如图1中，
∵四边形ABCD 为菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝5，OA＝OC，OB＝OD，----------------------------（1分）
∵A（0，﹣3），
∴OA＝3，
在Rt△AOB中，OB＝＝4，
∴点B坐标为（4，0）----------------------------------------------------------------（2分）
∴BD＝8，AC＝6，
∴S菱形ABCD＝×BD×AC＝24．----------------------------------------------------（4分）
（2）①如图2中，
由题意B（4，0），C（0，3），
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，------------------------------------------------------（5分）
由解得，
∴Q（，），-------------------------------------------------------------------------------（6分）
∴当点P坐标为（，﹣）时，点P关于x轴对称的点Q恰好落在直线y＝x﹣3上，
当点P′与C重合时，点P′关于x轴对称的点Q′恰好落在直线y＝x﹣3上，此时P′（0，3），----------------------------------------------------------------------------------------（7分）
综上所述，满足条件的点P坐标为（，﹣）或（0，3）；------------------（8分）
②如图3中，
当AP平分∠BAQ时，满足条件，
由题意A（0，﹣3），B（4，0），Q（，），
∴AQ＝，BQ＝，
∵＝（角平分线性质定理，可以用面积法证明），
∴＝，
∴PB＝×＝，
∴可得P（，）．----------------------------------------------------------------（10分）
当AP′⊥AP时，B″在直线AQ上，
此时直线AP′的解析式为y＝﹣x﹣3，直线CD的解析式为y＝x+3，
由，解得，
∴P′（﹣，），
综上所述，满足条件的点P坐标为（，）或（﹣，）．-------------（12分）
