(共18张PPT)
第十三章 轴对称
13.1 轴对称
13.1.1 轴对称
目 录
CONTENTS
01
1星题 夯实基础
02
2星题 提升能力
03
3星题 发展素养
知识点1 轴对称图形
1. [2024廊坊月考]下列图形中，是轴对称图形的是( C )
A
B
C
D
C
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2. 【新考法·逐项代入】[2024张家口期中]如图，在方格纸中
已有两个方格被涂灰，再涂灰一个方格，使被涂灰的部分
构成轴对称图形，则被涂灰的方格不可能是( D )
A. ① B. ②
C. ③ D. ④
D
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3. [2023石家庄二模]圆是轴对称图形，它的对称轴有( D )
A. 1条 B. 2条
C. 3条 D. 无数条
D
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知识点2 成轴对称
4. [2024沧州月考]如图，挡板盖住的图形与①处的图形关于
直线 l 成轴对称，则盖住的图形是( A )
A
A
B
C
D
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5. 下列图形中，△A'B'C'与△ ABC 成轴对称的是( B )
A
B
B
C
D
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知识点3 图形成轴对称的性质
6. [2024石家庄月考]如图，若△ ABC 与△A'B'C'关于直线
MN 对称，BB'交 MN 于点 O ，则下列说法中不一定正确
的是( B )
A. AC ＝ A ' C ' B. AB ∥ B ' C '
C. AA '⊥ MN D. BO ＝ B ' O
B
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7. 如图，△ ABC 与△A'B'C'关于直线 l 对称，则∠ B 的度数
为 .
100°
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8. [2023吉林期中]如图，△ ABC 和△ ADE 关于直线 MN 对
称， BC 与 DE 的交点 F 在直线 MN 上.
(1)图中点 D 的对应点是点 ， AE 的对应边
是 ；
(2)若∠ DAE ＝108°，∠ EAF ＝39°，
求∠ DAC 的度数.
B
AC
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解：∵△ ABC 和△ ADE 关于直线 MN 对称，∠ EAF ＝
39°，
∴∠ CAF ＝∠ EAF ＝39°，
∴∠ CAE ＝∠ CAF ＋∠ EAF ＝78°.
∵∠ DAE ＝108°，
∴∠ DAC ＝∠ DAE －∠ CAE ＝30°.
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9. 【新考法·操作探究】将一个正方形纸片依次按图 a ， b 的
方式对折，然后沿图 c 中的虚线裁剪成图 d 样式，再将纸
展开铺平，所得到的图形是下列选项中的( D )
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A
B
C
D
D
10. [2024沧州期中]如图，△ ABC 和△AB'C'关于直线 l 对
称，有下列结论：①△ ABC ≌△AB'C'；②∠BAC'＝
∠B'AC；③ l 垂直平分CC'；④直线 BC 和B'C'的交点不
一定在 l 上.其中正确的有( B )
A. 4个 B. 3个
C. 2个 D. 1个
B
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11. 【新考法·结论辨析】[2023邯郸月考]如图，有一个长方形纸
条 ABCD ，点 P ， Q 是线段 CD 上的两个动点，且点 P 始终在点 Q 左侧，在 AB 上有一点 O ，连接 PO ， QO ，以 PO ， QO 为折痕翻折纸条，使点 A 、点 B 、点 C 、点 D 分别落在点A'、点B'、点C'、点D'上.有如下结论：
结论一：当∠ POA ＝20°时，∠A'OA＝40°；
结论二：当∠A'OB'＝30°时，∠ POQ ＝105°.
下列判断正确的是( A )
A
A. 只有结论一正确
B. 结论一和结论二都正确
C. 只有结论二正确
D. 结论一和结论二都不正确
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12. 如图，△ ABC 与△ DEF 关于直线 MN 对称，其中∠ C ＝
90°， AC ＝8 cm， DE ＝10 cm， BC ＝6 cm.
(1)线段 AD 与 MN 的关系是什么？
解：(1)∵△ ABC 与△ DEF 关于直线
MN 对称，
∴ MN 垂直平分线段 AD .
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12. 如图，△ ABC 与△ DEF 关于直线 MN 对称，其中∠ C ＝
90°， AC ＝8 cm， DE ＝10 cm， BC ＝6 cm.
(2)求∠ F 的度数；
解：(2)∵△ ABC 与△ DEF 关于直线
MN 对称，
∴△ ABC ≌△ DEF ，∴∠ F ＝∠ C ＝
90°.
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12. 如图，△ ABC 与△ DEF 关于直线 MN 对称，其中∠ C ＝
90°， AC ＝8 cm， DE ＝10 cm， BC ＝6 cm.
(3)求△ ABC 的周长和△ DEF 的面积.
解：(3)∵ DE ＝10 cm，△ ABC ≌△ DEF ，
∴ AB ＝ DE ＝10 cm.
∵ AC ＝8 cm， BC ＝6 cm，
∴△ ABC 的周长＝6＋8＋10＝24(cm)，
△ DEF 的面积＝ ×6×8＝24(cm2).
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13. 【新考法·操作探究】有一无弹性细线，拉直时测得细线
OP 的长为 8 cm，现进行如下操作：1. 在细线上任取一
点 A ；2. 将细线折叠，使点 O 与点 A 重合，记折点为点
B ；3.将细线折叠，使点 P 与点 A 重合，记折点为点 C .
继续进行折叠，使点 B 与点 C 重合，并把点 B 和与其重
叠的点 C 处的细线剪开，使细线分成长为 a ， b ， c 的三
段( a ＜ b ＜ c )，当 a ∶ b ＝1∶3，则细线未剪开时 OA 的
长为 cm.
2或6
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1(共23张PPT)
第十三章 轴对称
13.1 轴对称
13.1.2 线段的垂直平分线的性质
第1课时 线段的垂直平分线的性质及判定
目 录
CONTENTS
01
1星题 夯实基础
02
2星题 提升能力
03
3星题 发展素养
知识点1 线段的垂直平分线的性质
1. [2024沧州期中]如图，已知 AB 是线段 CD 的垂直平分线，
E 是 AB 上的一点，若 EC ＝2 cm，则 ED 的长为( C )
A. 1 cm B. 1.5 cm
C. 2 cm D. 2.5 cm
C
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2. [2024秦皇岛期末]如图，在△ ABC 中， AC 的垂直平分线
交 AB 于点 D ，垂足为点 E ， CD 平分∠ ACB ，若∠ A ＝
50°，则∠ B 的度数为( B )
A. 25° B. 30°
C. 35° D. 40°
B
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3. [2023邯郸期中]如图，在△ ABC 中， DE 是 BC 的垂直平
分线， AB ＝4， AC ＝3，则△ ACD 的周长为( C )
A. 6 B. 6.5
C. 7 D. 7.5
C
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4. [2024石家庄月考]如图，在△ ABC 中，∠ BAC ＝62°，
∠ B ＝78°， DE 是 AC 的垂直平分线，连接 AD .
(1)求∠ CDE 的度数；
解：(1)∵∠ BAC ＝62°，
∠ B ＝78°，∴∠ C ＝180°－∠ BAC
－∠ B ＝40°.
∵ DE 是 AC 的垂直平分线，
∴∠ DEC ＝90°，
∴∠ CDE ＝90°－∠ C ＝50°.
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4. [2024石家庄月考]如图，在△ ABC 中，∠ BAC ＝62°，
∠ B ＝78°， DE 是 AC 的垂直平分线，连接 AD .
(2)若 AB ＝8， BC ＝11，求△ ABD 的周长.
解：(2)∵ DE 是 AC 的垂直平分线，
∴ AD ＝ CD ，∴△ ABD 的周长为 AB
＋ AD ＋ BD ＝ AB ＋ CD ＋ BD ＝ AB
＋ BC ＝8＋11＝19.
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知识点2 线段的垂直平分线的判定
5. 【新考法·结论辨析】如图，直线 l 与线段 AB 交于点 O ，
点 P 在直线 l 上，且 PA ＝ PB . 小明说：“直线 l 是 AB 的
垂直平分线.”小亮说：“需再添加一个条件，小明的结
论才正确.”下列判断正确的是( C )
C
A. 小明说得对
B. 小亮说得对，可添加条件“∠ A ＝∠ B ”
C. 小亮说得对，可添加条件“ PO ⊥ AB ”
D. 两人说得都不对
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6. [2023邢台月考]如图，在△ ABC 中， AB ， AC 的垂直平
分线 l1， l2相交于点 P .
求证：点 P 在 BC 的垂直平分线上.
证明：连接 PA ， PB ， PC .
∵ l1是 AB 的垂直平分线，
∴ PA ＝ PB .
∵ l2是 AC 的垂直平分线，
∴ PA ＝ PC ，
∴ PB ＝ PC . ∴点 P 在 BC 的垂直平分线上.
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知识点3 作直线的垂线
7. 已知△ ABC ，请你作出△ ABC 的高 CD (不写画法).
解：如图.
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8. 如图，在△ ABC 中， AB 的垂直平分线 DE 交 AB 于点
D ，交 BC 于点 E . 若 AD ＝3，△ ACE 的周长为8，则 △ ABC 的周长为( C )
A. 11 B. 13
C. 14 D. 19
C
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9. [2024张家口期中]如图，在△ ABC 中，∠ B ＝90°，依据
尺规作图痕迹，有结论Ⅰ：∠ CDE ＝∠ CAB ；结论Ⅱ：
AB ＋ EC ＝ AC . 对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是
( A )
A. Ⅰ，Ⅱ都对 B. Ⅰ对，Ⅱ错
C. Ⅰ错，Ⅱ对 D. Ⅰ，Ⅱ都错
A
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10. 【新考法·结论辨析】如图，在△ ABC 中，∠ BAC ＝120°，分别作 AC ， AB 的垂直平分线 PM ， PN ，垂足分别是点 M ，点 N ，连接 AE ， AF . 甲、乙、丙的结论如下，
甲：∠ EAF ＝60°；
乙：点 P 在线段 BC 的垂直平分线上；
丙：直线 PM 上到点 A ， B 的距离之和最小的点是点 E .
下列判断正确的是( A )
A
A. 甲、乙、丙都正确
B. 只有甲、乙正确
C. 只有甲、丙正确
D. 只有乙、丙正确
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11. [2024绵阳期末]如图，在△ ABC 中，∠ C ＝27°，点 D
在 AC 的垂直平分线上，将△ ABD 沿 AD 翻折后，点 B
落在点 B1处，线段 B1 D 与 AC 相交于点 E ，则∠ CED
＝ .
81°
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12. 如图，在△ ABC 中， AD 平分∠ CAB ，过点 D 作 DM ⊥
AB 于点 M ， DN ⊥ AC 交 AC 的延长线于点 N ，且 BM
＝ CN .
(1)求证：点 D 在 BC 的垂直平分线上；
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(1)证明：如图，连接 BD ， CD ，
∵ AD 是∠ CAB 的平分线， DM ⊥ AB ， DN ⊥ AC ，
∴ DM ＝ DN ，
在△ DMB 和△ DNC 中，
∴△ DMB ≌△ DNC (SAS)，
∴ BD ＝ CD ，
∴点 D 在 BC 的垂直平分线上.
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12. 如图，在△ ABC 中， AD 平分∠ CAB ，过点 D 作 DM ⊥
AB 于点 M ， DN ⊥ AC 交 AC 的延长线于点 N ，且 BM
＝ CN .
(2)若 AB ＝8， AC ＝4，求 BM 的长.
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(2)解：在Rt△ DMA 和Rt△ DNA 中，
∴Rt△ DMA ≌Rt△ DNA (HL)，∴ AM ＝ AN .
∵ AM ＝ AB － BM ， AN ＝ AC ＋ CN ，
∴ AB － BM ＝ AC ＋ CN .
∵ BM ＝ CN ，
∴2 BM ＝ AB － AC ＝8－4＝4，∴ BM ＝2.
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13. 【学科素养·几何直观】如图，△ ABC 的两条高 CD 与
AE 交于点 O ， AB ＝ BC ＝8， BE ＝ BD ， OC ＝6.
(1)连接 BO ，证明：直线 BO 是 AC 的垂直平分线.
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(1)证明：∵ AB ＝ BC ， BE ＝ BD ，
∴ AB － BD ＝ BC － BE ，∴ AD ＝ CE .
∵ CD ， AE 都是△ ABC 的高，
∴∠ ADO ＝∠ CEO ＝90°.
在△ ADO 与△ CEO 中，
∴△ ADO ≌△ CEO (AAS)，∴ OA ＝ OC ，∴点 O 在 AC 的垂直平分线上.∵ AB ＝ BC ，∴点 B 在 AC 的垂直平分线上，
∴直线 BO 是 AC 的垂直平分线.
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13. 【学科素养·几何直观】如图，△ ABC 的两条高 CD 与
AE 交于点 O ， AB ＝ BC ＝8， BE ＝ BD ， OC ＝6.
(2) F 是射线 AB 上一点，且 BF ＝ CO ，动点 P 从点 O 出
发，沿线段 OA 以每秒1个单位长度的速度向终点 A 运
动，同时动点 Q 从点 C 出发，沿射线 CB 以每秒3个单
位长度的速度运动，当点 P 到达点 A 时， P ， Q 两点
同时停止运动.设运动时间为 t 秒，
当△ COP 与△ FBQ 全等时，直接
写出 t 的值.
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(2)解： t ＝2或4.
点拨：①如图①，当点 F 在 AB 的延长线上时，点 P ， Q 分别运动到如图①所示的位置，△ COP ≌△ FBQ .
∵ BF ＝ OC ，∠ COP ＝∠ EOD ＝
180°－∠ DBQ ＝∠ FBQ ，
∴当△ COP ≌△ FBQ 时， OP ＝ BQ .
∵ OP ＝ t ， BQ ＝8－3 t ，∴ t ＝8－3 t ，解得 t ＝2.
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②如图②，当点 F 在线段 AB 上时，点 P ， Q 分别运
动到如图②所示的位置，△ COP ≌△ FBQ .
∵ BF ＝ OC ，∠ COP ＝∠ EOD ＝180°－∠ DBE ＝
∠ FBQ ，
∴当△ COP ≌△ FBQ 时， OP ＝ BQ .
∵ OP ＝ t ， BQ ＝3 t －8，∴ t ＝3 t －8，解得 t ＝4.
综上所述， t ＝2或4.
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1(共28张PPT)
第十三章 轴对称
13.2 画轴对称图形
第2课时 用坐标表示轴对称
目 录
CONTENTS
01
1星题 夯实基础
02
2星题 提升能力
03
3星题 发展素养
知识点1 坐标系中点的轴对称
1. [2023保定模拟]在直角坐标系中，点 M (1，2)关于 x 轴对
称的点的坐标为( D )
A. (－1，2) B. (2，－1)
C. (－1，－2) D. (1，－2)
D
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2. [2023聊城一模]如图，在平面直角坐标系中，点 P (－3，5)
关于 y 轴的对称点的坐标为( B )
A. (－3，－5)
B. (3，5)
C. (3，－5)
D. (5，－3)
B
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3. [2024沧州期中]在平面直角坐标系中有两点 A
(2 m ，1－ m )， B (3－ n ，－ n )，若 A ， B 两点关于 x 轴对称，则点( m ， n )所在的象限是( D )
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
D
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4. [2024衡水月考]若点 A (4， m )与点 B ( n －1，3)关于 y 轴
对称，则 mn 的值为( A )
A. －9 B. 9
C. －15 D. 15
A
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5. [2024承德期中]已知点 P ( a ， b －2)与点 Q 关于 x 轴对
称，则点 Q 的坐标是( A )
A. ( a ，－ b ＋2) B. (－ a ， b －2)
C. ( a ， b ＋2) D. (－ a ，－ b ＋2)
A
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6. 已知点 A (2 a ＋3 b ，－2)和点 B (8，3 a ＋2 b )关于 x 轴对
称，那么 a ＋ b ＝ .
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7. [2023邢台期中]已知点 P (2 b ，6)，
(1)若点 P 与点 Q 关于 x 轴对称，则点 Q 的纵坐标是 .
(2)若点 M ( a ， a ＋ b )与点 P 关于 y 轴对称，则 b ＝ .
－6
－6
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知识点2 坐标系中图形的轴对称
8. 【情境题·生活应用】[2024葫芦岛期中]如图，蝴蝶剪纸是
一个轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，若点 E 的
坐标为(2 m ，－ n )，其关于 y 轴对称的点 F 的坐标为(4，
－ m ＋1)，则 m － n 的值为( B )
A. 9 B. 1 C. －1 D. 0
B
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9. [2024连云港期末]如图，△ ABC 的顶点都在正方形网格格
点上，点 A 的坐标为(－1，4).将△ ABC 沿 y 轴翻折到第
一象限，则点 C 的对应点C'的坐标是 .
(3，1)
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∵将△ ABC 沿 y 轴翻折到第一象限，
∴点 C 的对应点 C '的坐标是(3，1).
点拨：∵点 A 的坐标为(－1，4)，
∴点 C 的坐标为(－3，1).
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10. [2024石家庄月考]如图，△ ABC 的三个顶点在边长为1的
正方形网格中，已知 A (－1，－1)， B (4，－1)， C (3，1).
(1)画出△ ABC 及与其关于 y 轴对称的△ A1 B1 C1.
解：(1)所作△ ABC 和△ A1 B1 C1
如图所示.
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10. [2024石家庄月考]如图，△ ABC 的三个顶点在边长为1的
正方形网格中，已知 A (－1，－1)， B (4，－1)， C (3，1).
(2)点 A 的对应点 A1的坐标是 ，点 B 的对应
点 B1的坐标是 ，点 C
的对应点 C1的坐标是 .
(1，－1)
(－4，－1)
(－3，1)
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10. [2024石家庄月考]如图，△ ABC 的三个顶点在边长为1的
正方形网格中，已知 A (－1，－1)， B (4，－1)， C (3，1).
(3)请直接写出以 AB 为边且与△ ABC 全等
的三角形的第三个顶点(不与点 C 重合)
的坐标.
解：(3)(0，－3)，(0，1)或(3，－3).
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11. [2024张家口月考]已知点 P ( a ＋1，2 a －3)关于 x 轴的对
称点在第一象限，则 a 的取值范围是( B )
A. a ＜－1 B. －1＜ a ＜
C. － ＜ a ＜1 D. a ＞
B
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12. 【情境题·生活应用】如图，四盏相同的灯笼放置在平面
直角坐标系中，放置点的坐标分别是 A (－3.5， b )， B
(－2， b )， C (－1， b )， D (1， b )，将其中一盏灯笼向
右平移 m 个单位长度，使得 y 轴两侧的灯笼对称，则 m
的值可以是( D )
A. 3 B. 4
C. 4.5 D. 5.5
D
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点拨：∵ A ， B ， C ， D 这四个点的纵坐标都是 b ，
∴这四个点在一条直线上，这条直线平行于 x 轴.
∵ C (－1， b )， D (1， b )，
∴点 C ， D 关于 y 轴对称，∴只需要平移点 A 或点 B ，
将点 A ， B 关于 y 轴对称即可.
∵ A (－3.5， b )， B (－2， b )，
∴可以将点 A (－3.5， b )向右平移到
点(2， b )，平移5.5个单位长度，或可
以将点 B (－2， b )向右平移到点
(3.5， b )，平移5.5个单位长度.
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13. 【易错题】如图，在平面直角坐标系中，对△ ABC 进行
循环往复的轴对称变换，若原来点 A 的坐标为(1，2)，
则经过第2 024次变换点 A 的对应点的坐标为( D )
A. (1，－2) B. (－1，－2)
C. (－1，2) D. (1，2)
D
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点拨：第1次点 A 关于 y 轴对称变换后在第二象限，
第2次点 A 关于 x 轴对称变换后在第三象限，
第3次点 A 关于 y 轴对称变换后在第四象限，
第4次点 A 关于 x 轴对称变换后在第一象限，即点 A 回到
原始位置，
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∴每4次轴对称变换为一个循环组.
∵2 024÷4＝506，
∴经过第2 024次变换点 A 的对应点与经过第4次变换的
位置相同，在第一象限，坐标为(1，2).
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14. 已知点 P1关于 x 轴的对称点 P2(3－2 a ，2 a －5)是第三象
限内的整点(横、纵坐标都为整数的点，称为整点)，则
点 P1的坐标是 .
(－1，1)
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15. [2024保定期末]已知点 A ( a ，3)， B (－4， b ).
(1)若 A ， B 两点关于 x 轴对称，求 a ＋ b 的值；
解：(1)∵ A ( a ，3)， B (－4， b )两点关于 x 轴对称，
∴ a ＝－4， b ＝－3，
∴ a ＋ b ＝－7，∴ a ＋ b 的值为－7.
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15. [2024保定期末]已知点 A ( a ，3)， B (－4， b ).
(2)若 AB ∥ x 轴，且线段 AB ＝2，分别求出 a ， b 的值.
解：(2)∵ AB ∥ x 轴， AB ＝2，
∴ ＝2， b ＝3，解得 a ＝－2或 a ＝－6，
∴ a 的值为－2或－6， b 的值为3.
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16. 【创新题】[2023石家庄模拟]在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l ：
x ＝ m 表示经过点( m ，0)，且平行于 y 轴的直线.给出如下定义：将点 P 关于 x 轴的对称点 P1，称为点 P 的一
次反射点；将点 P1关于直线 l 的对称点
P2，称为点 P 关于直线 l 的二次反射点.
例如，如图，点 M (3，2)的一次反射点
为 M1(3，－2)，点 M 关于直线 l ： x ＝1
的二次反射点为 M2(－1，－2).已知点
A (－1，－1)， B (－3，1).
(1)点 A 的一次反射点的坐标为 ，
点 A 关于直线 l1： x ＝2的二次反射点的坐
标为 ；
(－1，1)
(5，1)
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(2)点 B 是点 A 关于直线 l2： x ＝ a 的二次反
射点，则 a 的值为 ；
－2
16. 【创新题】[2023石家庄模拟]在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l ：
x ＝ m 表示经过点( m ，0)，且平行于 y 轴的直线.给出如下定义：将点 P 关于 x 轴的对称点 P1，称为点 P 的一
次反射点；将点 P1关于直线 l 的对称点
P2，称为点 P 关于直线 l 的二次反射点.
例如，如图，点 M (3，2)的一次反射点
为 M1(3，－2)，点 M 关于直线 l ： x ＝1
的二次反射点为 M2(－1，－2).已知点
A (－1，－1)， B (－3，1).
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(3)设点 A ， B 关于直线 l3： x ＝0的二次
反射点分别为 A2， B2，
求四边形 AB2 A2 B 的面积.
16. 【创新题】[2023石家庄模拟]在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l ：
x ＝ m 表示经过点( m ，0)，且平行于 y 轴的直线.给出如下定义：将点 P 关于 x 轴的对称点 P1，称为点 P 的一
次反射点；将点 P1关于直线 l 的对称点
P2，称为点 P 关于直线 l 的二次反射点.
例如，如图，点 M (3，2)的一次反射点
为 M1(3，－2)，点 M 关于直线 l ： x ＝1
的二次反射点为 M2(－1，－2).已知点
A (－1，－1)， B (－3，1).
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解：(3)由题意，得点 A (－1，－1)， B (－3，1)关于直线 l3： x ＝0的二次反射点分别为 A2(1，1)， B2(3，－1)，
∴四边形 AB2 A2 B 的面积＝4×2＝8.
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1(共23张PPT)
第十三章 轴对称
13.3 等腰三角形
13.3.1 等腰三角形
第1课时 等腰三角形的性质
目 录
CONTENTS
01
1星题 夯实基础
02
2星题 提升能力
03
3星题 发展素养
知识点1 等边对等角
1. [2023秦皇岛一模]若等腰三角形的顶角为40°，则它的底
角度数为( D )
A. 40° B. 50°
C. 60° D. 70°
D
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2. 【情境题·生活应用】将一平板电脑保护套展开放置在水
平桌面上，其侧面示意图如图所示.已知 AC ＝ AB ，当调
整∠ ACB ＝65°时，观看角度最佳，此时∠ BAC 的大小
为( A )
A. 50° B. 60°
C. 65° D. 70°
A
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3. [2024南充期末]如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ，且 D 为
BC 上一点， CD ＝ AD ， AB ＝ BD ，则∠ B 的度数为
( B )
A. 30° B. 36°
C. 40° D. 45°
B
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4. [2024承德期末]如图，点 B ， E ， C ， F 在一条直线上，
∠ B ＝∠ DEF ，∠ A ＝∠ D ， BE ＝ CF .
(1)求证：△ ABC ≌△ DEF ；
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(1)证明：∵ BE ＝ CF ，
∴ BE ＋ CE ＝ CF ＋ CE ，
即 BC ＝ EF .
在△ ABC 和△ DEF 中，
∴△ ABC ≌△ DEF (AAS).
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4. [2024承德期末]如图，点 B ， E ， C ， F 在一条直线上，
∠ B ＝∠ DEF ，∠ A ＝∠ D ， BE ＝ CF .
(2)若 AB ＝ EF ，∠ F ＝65°，求∠ B 的度数.
(2)解：由(1)知， BC ＝ EF ，△ ABC ≌△ DEF ，
∴∠ ACB ＝∠ F ＝65°.∵ AB ＝ EF ，∴ AB ＝ BC ，
∴∠ A ＝∠ ACB ＝65°，
∴∠ B ＝180°－2×65°＝50°.
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知识点2 三线合一
5. [2024沧州月考]如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ， AD 是
高，下列结论不一定正确的是( D )
A. ∠ B 与∠ BAD 互余 B. BD ＝ CD
C. ∠ BAC ＝2∠ BAD D. AB ＝2 AD
D
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6. [2024苏州吴中区期末]如图，△ ABC 的周长是14， AB ＝
AC ＝5， AD ⊥ BC ，则 BD 等于( B )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
B
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7. 如图，在△ ABC 中， AB ＝ BC ， BD 为∠ ABC 的平分
线，则∠ BDC ＝ °.
90
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8. [2023赤峰期中]如图，在三角形 ABC 中， AB ＝ AC ，点
D 是 BC 的中点， E 是 AB 边上的一点，且 AE ＝ AD . 若
∠ B ＝40°，求∠ ADE 的度数.
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解：∵ AB ＝ AC ， D 是 BC 的中点，
∴ AD ⊥ BC ，
∴∠ ADB ＝90°.
∵∠ B ＝40°，∴∠ BAD ＝90°－∠ B ＝50°.
∵ AD ＝ AE ，
∴∠ ADE ＝ ×(180°－∠ BAD )＝ ×(180°－50°)＝
65°.
∴∠ ADE 的度数为65°.
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9. [2024廊坊期末]如图，依据尺规作图痕迹，计算∠ ABC ＝
( C )
A. 50° B. 60°
C. 70° D. 80°
C
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10. [2023沧州模拟]如图，在∠ ECF 的两边上有点 B ， A ，
D ， BC ＝ BD ＝ DA ，且∠ ADF ＝75°，则∠ ECF 的度
数为( C )
A. 15° B. 20°
C. 25° D. 30°
C
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11. [2024太原期末]如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ， DE 垂
直平分 AB ， BE ⊥ AC ， AF ⊥ BC ，则∠ C ＝ .
67.5°
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12. [2023沈阳一模]有一三角形纸片 ABC ，∠ A ＝80°，点
D 是 AC 边上一点，沿 BD 方向剪开三角形纸片后，发现
所得两纸片均为等腰三角形，则∠ C 的度数可以
是 .
25°或40°或10°
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13. 【新考法·规律探究】[2023石家庄二模]如图①，是我们
平时使用的等臂圆规，即 CA ＝ CB . 若 n 个相同规格的
等臂圆规的两脚依次摆放在同一条直线上，如图②所
示，其张角度数变化如下：∠ A1 C1 A2＝160°，∠ A2 C2
A3＝80°，∠ A3 C3 A4＝40°，∠ A4 C4 A5＝20°，….根
据上述规律请你写出∠ An＋1 AnCn ＝ °.
(用含 n 的式子表示)
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14. [2023唐山二模]如图，已知在△ ABC 中， AB ＝ AC ， D
为 BC 边的中点，过点 D 作 DE ⊥ AB ， DF ⊥ AC ，垂足
分别为 E ， F .
(1)求证： DE ＝ DF ；
(1)证明：连接 AD . ∵ AB ＝ AC ， D 是 BC 的中点，
∴∠ EAD ＝∠ FAD .
∵ DE ⊥ AB ， DF ⊥ AC ，垂足分别为
E ， F ，∴ DE ＝ DF .
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14. [2023唐山二模]如图，已知在△ ABC 中， AB ＝ AC ， D
为 BC 边的中点，过点 D 作 DE ⊥ AB ， DF ⊥ AC ，垂足
分别为 E ， F .
(2)若∠ A ＝90°，图中与 DE 相等的线段还有
哪些？(不必说明理由)
(2)解：若∠ BAC ＝90°，题图中与 DE
相等的线段还有 AE ， AF ， BE ， CF .
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15. 【创新题】在等腰三角形 ABC 中， AB ＝ AC ，边 AB 绕
点 A 逆时针旋转角度 m 得到线段 AD .
(1)如图①，若∠ BAC ＝30°，30°＜ m ＜180°，连接 BD ，请用含 m 的式子表示∠ DBC 的度数；
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解：(1)∵ AB ＝ AC ，
∴∠ ABC ＝(180°－30°)÷2＝75°.
∵ AB ＝ AD ，
∴∠ ABD ＝(180°－ m )÷2＝90°－ m ，
∴∠ DBC ＝∠ ABC －∠ ABD ＝75°－
＝ m －15°.
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15. 【创新题】在等腰三角形 ABC 中， AB ＝ AC ，边 AB 绕
点 A 逆时针旋转角度 m 得到线段 AD .
(2)如图②，若∠ BAC ＝60°，0°＜ m ＜360°，连接
BD ， DC ，直接写出△ BDC 为等腰三角形时 m 所有
可能的取值.
解：(2)分析题中图形可知 m 的取值为30°，120°，210°，300°.
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1(共26张PPT)
第十三章 轴对称
13.3 等腰三角形
13.3.1 等腰三角形
第2课时 等腰三角形的判定
目 录
CONTENTS
01
1星题 夯实基础
02
2星题 提升能力
03
3星题 发展素养
知识点1 等腰三角形的判定
1. [2024石家庄期末]一个三角形两个内角的度数分别如下，
这个三角形是等腰三角形的是( A )
A. 40°，70° B. 30°，90°
C. 60°，50° D. 50°，20°
A
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2. [2023廊坊月考]下列三角形中，不是等腰三角形的是
( A )
A
B
A
C
D
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3. 在△ ABC 中，已知∠ A ＝∠ B ＝2∠ C ，则△ ABC 是
( A )
A. 等腰三角形 B. 等边三角形
C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
A
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4. 如图，∠1＝∠2，∠ B ＝∠ C ，下列等式不一定正确的是
( D )
A. AB ＝ AC
B. ∠ BAD ＝∠ CAE
C. BE ＝ CD
D. AD ＝ DE
D
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5. 如图，∠ AOP ＝∠ BOP ， CP ∥ OB ， CP ＝4，则 OC
＝ .
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6. [2023江门月考]如图，在△ ABC 中，∠ C ＝90°，∠ A ＝
15°，点 D 是 AC 上一点，连接 BD ，∠ DBC ＝60°，
BD ＝4，则 AD 的长是 .
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7. 【新考向·开放性问题】[2023邢台期末]如图， AC 与 BD
交于点 E ，连接 AB ， AD ， CD . 在下列四个条件中：①
AB ＝ DC ；② BE ＝ CE ；③∠ B ＝∠ C ；④∠ BAE ＝ ∠ CDE ，请选出两个作为条件，得出△ AED 是等腰三角形
(写出一个即可)，并加以证明.已知： ，
求证：△ AED 是等腰三角形.
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解：可以选择填写：① AB ＝ DC ；③∠ B ＝∠ C .
或① AB ＝ DC ；④∠ BAE ＝∠ CDE .
或② BE ＝ CE ；③∠ B ＝∠ C .
或② BE ＝ CE ；④∠ BAE ＝∠ CDE .
下面以①③为例证明：
∵∠ BEA ＝∠ CED ，∠ B ＝∠ C ， AB ＝ DC ，
∴△ AEB ≌△ DEC . ∴ AE ＝ DE .
∴△ AED 是等腰三角形.
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知识点2 作等腰三角形
8. [2023滨州期中]已知等腰三角形底边长为 a ，底边上的中
线的长为 h .
(1)请用直尺、圆规作出等腰三角形，
不写作法，保留作图痕迹；
解：(1)如图.
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8. [2023滨州期中]已知等腰三角形底边长为 a ，底边上的中
线的长为 h .
(2)当 a 与 h 满足什么数量关系时，这个等腰三角形的底角
是45°.
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解：(2)当 a 与 h 满足 a ＝2 h 时，这个等腰三
角形的底角是45°.
∵ CO 垂直平分 AB ，∴ AO ＝ AB ＝ a ＝
h ＝ OM ，∠ AOM ＝90°，∴∠ A ＝∠ AMO ＝45°.
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9. [2024石家庄月考]如图，将一个等腰直角三角形 ABC 按如
图方式折叠，若 DE ＝ a ， DC ＝ b ，下列四个结论：①
DC'平分 ∠ BDE ；② BC 长为 2 a ＋ b ；③△BDC'是等腰
三角形；④ △ CED 的周长等于 BC 的长.其中正确的是
( B )
A. ② B. ②③④
C. ③ D. ②④
B
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10. 【新考法·结论辨析】如图，在△ ABC 中，点 D 为 BC 边
上一点，给出如下关系：① AD 平分∠ BAC ；② AD ⊥
BC 于点 D ；③ D 为 BC 的中点.甲说：“如果①②同时
成立，可证明 AB ＝ AC . ”乙说：“如果②③同时成
立，可证明 AB ＝ AC . ”丙说：“如果①③同时成立，
可证明 AB ＝ AC . ”则下列判断正确的是( D )
D
A. 甲、乙正确，丙错误
B. 甲正确，乙、丙错误
C. 乙正确，甲、丙错误
D. 甲、乙、丙都正确
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11. 如图，在△ ABC 中， OB ， OC 分别是∠ ABC 和∠ ACB
的平分线，过点 O 的直线 MN ∥ BC ，分别交 AB ， AC
于点 M ， N ，若 MN ＝6 cm，则 BM ＋ CN ＝ cm.
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12. 如图，在△ ABC 中， AD 平分∠ BAC ， BD ⊥ AD 于点
D ，过点 D 作 DE ∥ AC ，交 AB 于点 E .
(1)若 AE ＝4，则 DE 的长为 ；
(2)若 AB ＝10，则 DE 的长为 .
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13. [2024哈尔滨期末]如图，在平面直角坐标系中，已知 A
(0，2)， B (1，0)，在第一象限内有一点 C ，使△ ABC 是
以 AB 为腰的等腰直角三角形，则点 C 的坐标为
.
(3，1)
或(2，3)
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∵∠ OAB ＋∠ ABO ＝90°，∠ ABO ＋∠ CBD ＝90°，
∴∠ OAB ＝∠ CBD .
在△ AOB 和△ BDC 中，
∴△ AOB ≌△ BDC ( AAS )，
∴ BD ＝ OA ＝2， CD ＝ OB ＝1，
点拨：如图①，
当∠ ABC ＝90°， AB ＝ BC 时，过点 C 作 CD ⊥ x 轴于点 D ，
∴∠ CDB ＝∠ AOB ＝90°.
∴ OD ＝ OB ＋ BD ＝3，∴点 C 的坐标为(3，1).
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同理可证得△ OAB ≌△ DCA ，
∴ AD ＝ OB ＝1， CD ＝ OA ＝2，
∴ OD ＝ OA ＋ AD ＝3，
∴点 C 的坐标为(2，3).
如图②，当∠ BAC ＝90°， AB ＝ AC 时，过点 C 作 CD
⊥ y 轴于点 D ，
综上所述，点 C 的坐标为(3，1)或(2，3).
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14. [2024沧州期中]如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ， D 是边 AB 上一个动点， DF ⊥ BC 于点 F ，交 CA 的延长线于点 E .
(1)直接判断△ ADE 的形状；
解：(1)△ ADE 是等腰三角形.
点拨：∵ AB ＝ AC ，
∴∠ B ＝∠ C .
∵ DF ⊥ BC ，
∴∠ BDF ＋∠ B ＝90°，∠ C ＋∠ E ＝90°，
∴∠ E ＝∠ BDF .
∵∠ BDF ＝∠ EDA ，∴∠ E ＝∠ EDA ，
∴ AE ＝ AD ，∴△ ADE 是等腰三角形.
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14. [2024沧州期中]如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ， D 是边 AB 上一个动点， DF ⊥ BC 于点 F ，交 CA 的延长线于点 E .
(2)当点 D 在 BA 的延长线上时，其他条件不变，(1)中的
结论是否还成立？请说明理由.
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解：(2)成立.理由：
如备用图，
∵ AB ＝ AC ，
∴∠ B ＝∠ C .
∵ DF ⊥ BC ，
∴∠ BDF ＋∠ B ＝90°，∠ C ＋∠ FEC ＝90°，
∴∠ FEC ＝∠ BDF .
∵∠ FEC ＝∠ AED ，
∴∠ ADE ＝∠ AED ，
∴ AE ＝ AD ，
∴△ ADE 是等腰三角形.
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15. 【易错题】如图，直线 MN 与直线 PQ 相交于点 O ， ∠ MOP ＝40°， A 为平面内一点，且∠ AOM ＝60°.现有一点 B 在直线 MN 或直线 PQ 上，使得△ AOB 是等腰三角形，这样的点 B 有 个.
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点拨：如图，①当 OA ＝ OB 时，以点 O 为圆心， OA 为
半径的圆与直线 MN ， PQ 的交点即为所求的点 B ，共有
4个.
②当 OA ＝ AB 时，以点 A 为圆心， AO 为半径的圆与直
线 MN ， PQ 的交点即为所求的点 B ，共有3个.易知有一
点与①的重合，有一点与点 O 重合，
∴共有1个.
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易知有一点与①的重合，∴共有1个.
综上所述，符合条件的点 B 共有6个.
③当 AB ＝ OB 时，点 B 是线段 OA 的垂直平分线与直线
MN ， PQ 的交点，共有2个.
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1(共22张PPT)
第十三章 轴对称
13.3 等腰三角形
13.3.2 等边三角形
第1课时 等边三角形的性质与判定
目 录
CONTENTS
01
1星题 夯实基础
02
2星题 提升能力
03
3星题 发展素养
知识点1 等边三角形的性质
1. [2024张家口期末]如图，过等边三角形 ABC 的顶点 A 作射
线，若∠1＝20°，则∠2的度数是( A )
A. 100° B. 80°
C. 60° D. 40°
A
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2. [2024石家庄月考]如图，△ ABC 是等边三角形，则∠ A
＝ °；若点 D 在 CB 的延长线上，且 BD ＝ BE ，则
∠ BED ＝ °.
60
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3. [2023沧州模拟]如图， l ∥ m ，等边三角形 ABC 的顶点 B
在直线 m 上，边 BC 与直线 m 所夹锐角为20°，则∠α的
度数为 .
40°
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4. [2023重庆模拟]如图，在等边三角形 ABC 中，点 D ， E 分
别在边 BC ， AC 上，且 DE ∥ AB ，过点 E 作 EF ⊥ DE ，
交 BC 的延长线于点 F . 求∠ F 的度数.
解：∵△ ABC 是等边三角形，∴∠ B ＝60°.
∵ DE ∥ AB ，
∴∠ EDC ＝∠ B ＝60°.
∵ EF ⊥ DE ，∴∠ DEF ＝90°，
∴∠ F ＝90°－∠ EDC ＝30°.
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知识点2 等边三角形的判定
5. [2023贺州期中]以下列各数为边长的三角形是等边三角形
的是( D )
A. 2，2，3 B. 2，3，3
C. 2，4，5 D. 4，4，4
D
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6. [2024邢台期末]若一个三角形是轴对称图形，且有一个内
角为60°，则这个三角形的形状是( C )
A. 直角三角形
B. 等腰直角三角形
C. 等边三角形
D. 上述三种情形都有可能
C
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7. [2024保定期末]下列三角形：
①有两个角等于60°；
②有一个角等于60°的等腰三角形；
③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形；
④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.
其中是等边三角形的有 .(填序号)
①②③④
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点拨：①两个角为60°，则第三个角也是60°，则其是等
边三角形；②这是等边三角形的判定方法；③三个外角
(每个顶点处各取一个外角)相等，则三个内角相等，则其
是等边三角形；④根据线段垂直平分线的性质得腰和底边
相等，则其是等边三角形.
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8. [教材P82T6变式]如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ，∠ BAC
＝120°， AD ⊥ AB 交 BC 于点 D ， AE ⊥ AC 交 BC 于点
E . 求证：△ ADE 是等边三角形.
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证明：∵ AB ＝ AC ，∠ BAC ＝120°，
∴∠ B ＝∠ C ＝30°.
∵ AD ⊥ AB ， AE ⊥ AC ，
∴∠ BAD ＝∠ CAE ＝90°，
∴∠ ADB ＝∠ AEC ＝90°－30°＝60°，
∴∠ EAD ＝180°－∠ ADB －∠ AEC ＝180°－60°－
60°＝60°，
∴△ ADE 是等边三角形.
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9. [2024石家庄期末]如图，一个等边三角形纸片，剪去一个
角后得到一个四边形，则图中∠α＋∠β的度数是( C )
A. 180° B. 220°
C. 240° D. 300°
C
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10. [2023邯郸月考]如图， D ， E ， F 分别是等边三角形
ABC 各边上的点，且 AD ＝ BE ＝ CF ，则△ DEF 的形状
是( A )
A. 等边三角形
B. 腰和底边不相等的等腰三角形
C. 直角三角形
D. 不等边三角形
A
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11. 【新考法·操作探究】已知∠ AOB ＝30°，点 P 在∠ AOB 内部，点 P1与点 P 关于 OB 对称，点 P2与点 P 关于 OA 对称，则 P1， O ， P2三点所构成的三角形是( D )
A. 直角三角形
B. 钝角三角形
C. 腰和底边不相等的等腰三角形
D. 等边三角形
D
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12. [2024枣庄期末]如图，在等边三角形 ABC 中，点 D ， E
分别在边 BC ， AB 上，且 BD ＝ AE ， AD 与 CE 交于点
F ，则∠ DFC 的度数为 .
60°
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13. [2023保定一模]如图，在等边三角形 ABC 中， AC ＝8，
点 O 在 AC 上，且 AO ＝3，点 P 是 AB 上一动点，连接
OP ，将线段 OP 绕点 O 逆时针旋转60°得到线段 OD .
要使点 D 恰好落在 BC 上，则 AP 的长是 .
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又∵∠ AOP ＋∠ APO ＝180°－60°＝120°，∠ AOP
＋∠ COD ＝180°－60°＝120°，∴∠ APO ＝∠ COD .
在△ APO 和△ COD 中，
∴△ APO ≌△ COD ，∴ AP ＝ CO .
又∵ AO ＝3， AC ＝8，∴ CO ＝5，∴ AP ＝5.
点拨：根据题意，得 OP ＝ OD ，∠ POD ＝60°.
∵△ ABC 是等边三角形，∴∠ A ＝∠ C ＝60°.
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14. 【学科素养·模型观念】[2024秦皇岛期末]如图，点 C 是
线段 AB 上除点 A ， B 外的任意一点，分别以 AC ， BC
为边在线段 AB 的同旁作等边三角形 ACD 和等边三角形
BCE ，连接 AE 交 DC 于点 M ，连接 BD 交 CE 于点 N ，
连接 MN .
(1)求证： AE ＝ BD ；
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证明：(1)∵△ ACD 和△ BCE 都是等边三角形，
∴ AC ＝ DC ， CE ＝ CB ，∠ DCA ＝60°，∠ ECB ＝60°.
∴∠ DCA ＝∠ ECB ，
∴∠ DCA ＋∠ DCE ＝∠ ECB ＋∠ DCE ，
∴∠ ACE ＝∠ DCB ，
在△ ACE 与△ DCB 中，
∴△ ACE ≌△ DCB ，∴ AE ＝ BD .
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14. 【学科素养·模型观念】[2024秦皇岛期末]如图，点 C 是
线段 AB 上除点 A ， B 外的任意一点，分别以 AC ， BC
为边在线段 AB 的同旁作等边三角形 ACD 和等边三角形
BCE ，连接 AE 交 DC 于点 M ，连接 BD 交 CE 于点 N ，
连接 MN .
(2)求证： MN ∥ AB .
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证明：(2)∵△ ACE ≌△ DCB ，
∴∠ CAM ＝∠ CDN ，
∵∠ ACD ＝∠ ECB ＝60°，而 A ， C ， B 三点共线，
∴∠ DCN ＝60°.
在△ ACM 与△ DCN 中，
∴△ ACM ≌△ DCN ，∴ MC ＝ NC .
∴△ MCN 为等边三角形，∴∠ NMC ＝60°，
∴∠ NMC ＝∠ DCA ，∴ MN ∥ AB .
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