(共17张PPT)
第十四章 整式的乘法与因式分解
14.1 整式的乘法
14.1.2 幂的乘法
目 录
CONTENTS
01
1星题 夯实基础
02
2星题 提升能力
03
3星题 发展素养
知识点 幂的乘方
1. 计算：( x3)2＝( C )
A. x B. x5 C. x6 D. x9
C
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2. 下列计算正确的是( D )
A. a3· a6＝ a18 B. ( a3)5＝ a8
C. ( an＋1)3＝ a3 n＋1 D. a3＋ a3＝2 a3
D
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3. 在下列各式的括号内，应填入 a3的是( C )
A. a12＝( )9 B. a12＝( )6
C. a12＝( )4 D. a12＝( )2
C
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4. [2023沧州期中]如果 ＝316，那么 n 的值为( C )
A. 3 B. 4 C. 8 D. 2
C
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5. 若 x ＋2 y ＝3，则4 x ·16 y 的值是( D )
A. 12 B. 16
C. 32 D. 64
D
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6. [2024茂名期末]－ ＝ .
－ a12
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7. 比较大小： .
＜
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8. [教材P97练习变式]计算：
(1)(102)3；
(2)－( x2) m ；
(3)( y2)3· y ；
(4)2( a2)6－( a3)4.
解：(1)(102)3＝102×3 ＝ 106.
解：(2)－( x2) m ＝－ x2 m .
解：(3)( y2)3· y ＝ y2×3· y ＝ y6· y ＝ y6＋1＝ y7.
解：(4)2( a2)6－( a3)4＝2 a2×6－ a3×4＝2 a12－ a12＝ a12.
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9. [2023新乡期中]若 k 为正整数，则 ＝
( A )
A. k2 k B. k2 k＋1
C. 2 kk D. k2＋ k
A
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10. [2024邢台期末]已知2 m ＝ x ，22 n ＝ y ， m ， n 为正整
数，则4 m＋2 n ＝( B )
A. 4 xy B. x2 y2
C. x2＋ y2 D. 2 x ＋2 y
B
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11. [2024衡水期末]已知4 x ＝ a ，2 y ＝ b ，8 z ＝ ab ，那么 x ，
y ， z 满足的等量关系是( C )
A. 2 x ＋ y ＝ z B. xy ＝3 z
C. 2 x ＋ y ＝3 z D. 2 xy ＝ z
C
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12. [2024张家口期末]已知 a ＝817， b ＝279， c ＝913，则
a ， b ， c 的大小关系是( A )
A. a ＞ b ＞ c B. a ＞ c ＞ b
C. a ＜ b ＜ c D. b ＞ c ＞ a
点拨： a ＝817， b ＝279， c ＝913，
∴ a ＝ ＝328， b ＝ ＝327， c ＝ ＝326.
又∵328＞327＞326，∴ a ＞ b ＞ c .
A
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13. 已知： m ＋2 n －3＝0，则2 m ·4 n 的值为 .
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14. [2023蚌埠期末]已知8· ＝64，｜ n ｜＝1，则 m
＝ .
±3
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15. 试比较35 555，44 444，53 333三个数的大小.
解：35 555＝35×1 111＝(35)1 111＝2431 111，44 444＝44×1 111＝
(44)1 111＝2561 111，53 333＝53×1 111＝(53)1 111＝1251 111.
因为125＜243＜256，所以1251 111＜2431 111＜2561 111，即
53 333＜35 555＜44 444.
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1(共16张PPT)
第十四章 整式的乘法与因式分解
14.1 整式的乘法
14.1.3 积的乘方
目 录
CONTENTS
01
1星题 夯实基础
02
2星题 提升能力
03
3星题 发展素养
知识点 积的乘方
1. [2023株洲中考]计算：(3 a )2＝( D )
A. 5 a B. 3 a2
C. 6 a2 D. 9 a2
D
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2. [2024天津期末]下列运算正确的是( C )
A. a2· a ＝ a2 B. ( a3)4＝ a7
C. (－2 x )3＝－8 x3 D. ( mn2)2＝ mn4
C
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3. [2023保定模拟]若 ＝ a9 b15，则 m ， n 的值分别为
( B )
A. 9，5 B. 3，5
C. 5，3 D. 6，12
B
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4. 计算 × 的结果为( B )
A. 1.28×1017 B. －1.28×1017
C. 4.8×1016 D. －2.4×1016
B
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5. 计算： ＝ .
9 a2 b4
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6. [2023贺州期中]已学的“幂的运算”有：①同底数幂的乘
法，②幂的乘方，③积的乘方.
在“ ＝ · ＝ a4· a6＝ a10”的运算过程
中，运用了上述“幂的运算”中的 (按运算顺
序填序号).
③②①
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7. [2024石家庄期末]已知 am ＝2， bm ＝5，则
＝ .
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8. [教材P98练习变式]计算： ·3 m3 n3.
解：(2 m2 n2)2·3 m3 n3＝4 m4 n4·3 m3 n3＝12 m4＋3 n4＋3＝12
m7 n7.
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1
9. [2023唐山期中](－0.125)2 025×82 025＋(－1)2 024＋(－1)2 025
的值是( B )
A. －2 B. －1
C. 0 D. 1
B
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10. 已知2 n ＝ a ，3 n ＝ b ，12 n ＝ c ，那么 a ， b ， c 之间满足
的等量关系是( C )
A. c ＝ ab B. c ＝ ab2
C. c ＝ a2 b D. c ＝ a3 b
C
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11. 比较大小：22 023×72 023 32 023×52 023.(填“＞”
“＜”或“＝” )
点拨：22 023×72 023＝(2×7)2 023＝142 023，32 023×52 023＝
(3×5)2 023＝152 023.
∵14＜15，∴142 023＜152 023，
即22 023×72 023＜32 023×52 023.
＜
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12. 【创新题】[2024邢台期末]在数学中，我们经常会运用
逆向思考的方法来解决一些问题，例如：“若 am ＝4，
am＋ n ＝20，求 an 的值.”这道题我们可以这样思考：逆
向运用同底数幂的乘法公式，即 am＋ n ＝ am · an ，所以20
＝4· an ，所以 an ＝5.
(1)若 am ＝2， a2 m＋ n ＝24，请你也利用逆向思考的方法
求出 an 的值.
解：(1)∵ a2 m＋ n ＝24，∴ a2 m · an ＝24，
∴ · an ＝24.
∵ am ＝2，∴22· an ＝24，∴4 an ＝24，∴ an ＝6.
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12. 【创新题】[2024邢台期末]在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题，例如：“若 am ＝4， am＋ n ＝20，求 an 的值.”这道题我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，即 am＋ n ＝ am · an ，所以20＝4· an ，所以 an ＝5.
(2)下面是小贤用逆向思考的方法完成的一道作业题，请
你参考小贤的方法解答下面的问题.
小贤的作业：
计算：89×(－0.125)9.
解：89×(－0.125)9＝(－8×0.125)9＝(－1)9＝－1.
①小贤的求解方法逆用了哪一条幂的运算性质，直接
写出该逆向运用的公式： .
anbn ＝( ab ) n
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解：(2)②52 023×(－0.2)2 022＝5×52 022×(－0.2)2 022＝
5×(－0.2×5)2 022＝5×(－1)2 022＝5×1＝5.
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②计算：52 023×(－0.2)2 022.(共29张PPT)
第十四章 整式的乘法与因式分解
14.1 整式的乘法
14.1.4 整式的乘法
第3课时 多项式与多项式相乘
目 录
CONTENTS
01
1星题 夯实基础
02
2星题 提升能力
03
3星题 发展素养
知识点 多项式与多项式相乘
1. 计算( a －3)(－ a ＋1)的结果是( B )
A. － a2－2 a ＋3 B. － a2＋4 a －3
C. － a2＋4 a ＋3 D. a2－2 a －3
B
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2. 若( x ＋4)( x －1)＝ x2＋ px ＋ q ，则( D )
A. p ＝－3， q ＝－4 B. p ＝5， q ＝4
C. p ＝－5， q ＝4 D. p ＝3， q ＝－4
D
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3. [2024天津期末]下列算式计算结果为 x2－ x －12的是( A )
A. ( x ＋3)( x －4) B. ( x －3)( x ＋4)
C. ( x －3)( x －4) D. ( x ＋3)( x ＋4)
A
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4. [2024唐山月考]若( x －2)( x ＋ m )＝ x2＋ nx ＋4，则 mn ＝
( D )
A. －4 B. 4
C. －8 D. 8
D
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5. [2023聊城期末]通过计算比较图①、图②中阴影部分的面
积，可以验证的式子是( D )
A. a ( b － x )＝ ab － ax
B. b ( a － x )＝ ab － bx
C. ( a － x )( b － x )＝ ab － ax － bx
D. ( a － x )( b － x )＝ ab － ax － bx ＋ x2
D
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6. 【新考法·操作探究】[2024郑州期末]有足够多张如图所示
的 A 类、 B 类正方形卡片和 C 类长方形卡片，若要拼一个
长为(3 a ＋2 b )、宽为( a ＋ b )的大长方形，则需要 C 类卡
片的张数为( C )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
C
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7. [2024保定期末]若 x ＋4与 x ＋ m 的积中，不含 x 的一次
项，则 m 的值为( C )
A. －2 B. －3
C. －4 D. 4
点拨：( x ＋4)( x ＋ m )＝ x2＋ mx ＋4 x ＋4 m ＝ x2＋( m ＋4) x ＋4 m ，
∵ x ＋4与 x ＋ m 的积中，不含 x 的一次项，
∴ m ＋4＝0，∴ m ＝－4.
C
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8. [2024衡水期末]若( x ＋2)( x －3)＝ x2＋ ax ＋ b ，则 b－ a 的
值为 .
－6
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9. [2023武汉期末]已知 x ＋ y ＝3， xy ＝1，则( x －2)·( y －2)
＝ .
－1
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10. 长方形的长是(2 a ＋1)cm，它的周长是(6 a ＋4)cm，面积
是 .
(2 a2＋3 a ＋1) cm2
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11. [教材P101例6变式]计算：
(1) ；
解：(1) ＝ ab － a2＋ b2－ ab ＝
ab － a2＋ b2.
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(2)(1－ x ＋ x2)( x ＋1)；
解：(2)(1－ x ＋ x2)( x ＋1)＝ x ＋1－ x2－ x ＋ x3＋ x2＝
1＋ x3.
(3)( a2＋3)( a －2)－ a ( a2－2 a －2)；
解：(3)( a2＋3)( a －2)－ a ( a2－2 a －2)＝ a3－2 a2＋3 a
－6－ a3＋2 a2＋2 a ＝5 a －6.
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(4)3 y ( y2＋4 y ＋4)－ y ( y －3)(3 y ＋4).
解：(4)3 y ( y2＋4 y ＋4)－ y ( y －3)(3 y ＋4)＝
3 y ( y2＋4 y ＋4)－( y2－3 y )(3 y ＋4)＝
3 y3＋12 y2＋12 y －(3 y3＋4 y2－9 y2－12 y )＝
3 y3＋12 y2＋12 y －3 y3－4 y2＋9 y2＋12 y ＝17 y2＋24 y .
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12. 先化简，再求值：
x ( x2－4)－( x ＋3)( x2－3 x ＋2)－2 x ( x －2)，其中 x ＝
.
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解：原式＝ x3－4 x － ( x3－3 x2＋2 x ＋3 x2－9 x ＋6) －
(2 x2－4 x )
＝ x3－4 x － x3＋3 x2－2 x －3 x2＋9 x －6－2 x2＋4 x
＝－2 x2＋7 x －6.
当 x ＝ 时，原式＝－2× ＋7× －6＝0.
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13. [2024济南期末]若( x ＋ a )( x －5)＝ x2＋ bx －10，则 ab －
a ＋ b 的值是( A )
A. －11 B. －7
C. －6 D. －55
A
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14. [2024承德期末]若多项式 x2－( x － a )( x ＋2 b )－2的值与
x 的取值无关，则 a ， b 一定满足( B )
A. a ＝1， b ＝1 B. a ＝2 b
C. b ＝2 a D. a ＝－2 b
B
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15. 设 A ＝( x －1)( x －5)， B ＝( x －2)( x －4)，则 A ， B 的
大小关系为( B )
A. A ＞ B B. A ＜ B
C. A ＝ B D. 无法确定
点拨：∵ A ＝( x －1)( x －5)， B ＝( x －2)( x －4)，
B
∴ A － B ＝( x －1)( x －5)－( x －2)( x －4)＝( x2－6 x ＋5)
－( x2－6 x ＋8)＝－3＜0，
∴ A ＜ B .
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16. 若( x ＋1)(2 x2－ mx ＋1)的结果中， x 的系数是－6，则 m
＝ .
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17. [2024石家庄期末]若( x ＋2)( x －3)＝ x2＋ bx ＋ c ，其中
b ， c 为常数，则点 P ( b ， c )关于 x 轴的对称点的坐标
为 .
(－1，6)
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18. 【易错题】[2024黄山期末]4个数 a ， b ， c ， d 排列成
，我们称之为二阶行列式.规定它的运算法则为
＝ ad － bc .若 ＝13，则 x ＝ .
－
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19. 【新课标·代数推理】说明对于任意正整数 n ，式子 n ( n
＋5)－( n －3)( n ＋2)的值都能被6整除.
解： n ( n ＋5)－( n －3)( n ＋2)＝ n2＋5 n － n2 ＋ n ＋6＝6
n ＋6＝6( n ＋1).
∵ n 为任意正整数，6( n ＋1)÷6＝ n ＋1，
∴ n ( n ＋5)－( n －3)( n ＋2)总能被6整除.
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20. [2023邢台月考]在计算( x ＋ a )( x ＋ b )时，甲把 b 错看成
了6，得到结果为 x2＋8 x ＋12；乙错把 a 看成了－ a ，得
到结果为 x2＋ x －6.
(1)求出 a ， b 的值；
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解：(1)根据题意，得( x ＋ a )( x ＋6)＝ x2＋(6＋ a ) x ＋
6 a ＝ x2＋8 x ＋12，
( x － a )( x ＋ b )＝ x2＋(－ a ＋ b ) x － ab ＝ x2＋ x －6，
所以6＋ a ＝8，－ a ＋ b ＝1，
解得 a ＝2， b ＝3.
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20. [2023邢台月考]在计算( x ＋ a )( x ＋ b )时，甲把 b 错看成
了6，得到结果为 x2＋8 x ＋12；乙错把 a 看成了－ a ，得
到结果为 x2＋ x －6.
(2)在(1)的条件下，计算( x ＋ a )( x ＋ b )的结果.
解：(2)当 a ＝2， b ＝3时，( x ＋ a )( x ＋ b )＝( x ＋2)( x
＋3)＝ x2＋5 x ＋6.
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21. 数学兴趣小组发现：
( x －1)( x ＋1)＝ x2－1，
( x －1)( x2＋ x ＋1)＝ x3－1，
( x －1)( x3＋ x2＋ x ＋1)＝ x4－1，
…
利用你发现的规律计算62 024＋62 023＋62 022＋…＋6＋1.
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解：∵( x －1)( x ＋1)＝ x2－1，( x －1)( x2＋ x ＋1)
＝ x3－1，( x －1)( x3＋ x2＋ x ＋1)＝ x4－1，…，
∴可以得到规律( x －1)( xn ＋ xn－1＋…＋ x ＋1)＝
xn＋1－1.
当 x ＝6， n ＝2 024时，
( x －1)( xn ＋ xn－1＋…＋ x ＋1)＝
(6－1)×(62 024＋62 023＋…＋6＋1)＝
5×(62 024＋62 023＋…＋6＋1)＝62 025－1，
∴62 024＋62 023＋62 022＋…＋6＋1＝ .
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21(共17张PPT)
第十四章 整式的乘法与因式分解
14.1 整式的乘法
14.1.4 整式的乘法
第4课时 同底数幂的除法
目 录
CONTENTS
01
1星题 夯实基础
02
2星题 提升能力
03
3星题 发展素养
知识点1 同底数幂的除法
1. [2024石家庄期末]若 x5÷ x ＝ xn ，则 n ＝( B )
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
B
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2. [2023张家口期末]下列计算正确的是( A )
A. x · x2＝ x3 B. x6÷ x3＝ x2
C. ＝ x7 D. ＝－6 x6
A
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3. 下列各式中，计算结果为 a6的是( D )
A. a2· a3 B. a3＋ a3
C. a12÷ a2 D.
D
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4. 【易错题】[2023烟台期末]一团污渍覆盖了等式“ x3
x ＝ x2( x ≠0)”中的运算符号，则覆盖的运算符号
是 .
÷
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5. [教材P103例7变式]计算：
(1)－ m7÷ m3；
解：(1)原式＝－ m4.
(2) ÷ a2；
解：(2)原式＝ a8÷ a2＝ a6.
(3)( p － q )4·( q － p )3÷( q － p )5.
解：(3)原式＝( q － p )4·( q － p )3÷( q － p )5＝( q － p )2.
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知识点2 同底数幂除法的逆运算
6. 若3 x ＝15，3 y ＝5，则3 x－ y 等于( B )
A. 5 B. 3
C. 15 D. 10
B
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7. [2023广州期中]若 am ＝5， an ＝2，则 am－2 n 等于 .
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知识点3 零指数幂
8. 计算2 0240的结果是( C )
A. －1 B. 0
C. 1 D. 2 024
C
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9. 若( x ＋2)0＝1，则 x 的取值范围是( C )
A. x ≥－2 B. x ≤－2
C. x ≠－2 D. x ＝－2
C
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10. 如果(－2 024) a＋1＝1成立，则 a ＝ .
－1
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11. [2023东营月考]已知 a ＝ ， b ＝－ ， c ＝
，则 a ， b ， c 的大小关系为( D )
A. a ＜ b ＜ c B. b ＜ a ＜ c
C. a ＜ c ＜ b D. b ＜ c ＜ a
D
点拨：∵ a ＝ ， b ＝－ ， c ＝ ，
∴ a ＝1， b ＝－ ， c ＝ ，∴ b ＜ c ＜ a .
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12. 已知 ax ＝3， ax＋ y ＝18，则 ax－ y ＝ .
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13. [2024唐山期末]已知2 x＋ y ＝1，且－1＜ x ＜2，则 y 的取
值范围是 .
－2＜ y ＜1
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14. 已知3 x －2 y －2＝0，求8 x ÷4 y ÷22的值.
解：∵3 x －2 y －2＝0，
∴8 x ÷4 y ÷22＝ ÷ ÷22＝23 x ÷22 y ÷22＝23 x－
2 y－2＝20＝1.
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15. 【创新题】[2023秦皇岛月考]已知常数 a ， b 满足
3 a ·3 b ＝27，且 · ÷ ＝1，求 ab
( a ＋ b )的值.
解：∵3 a ·3 b ＝27，∴3 a＋ b ＝33，∴ a ＋ b ＝3.
∵ · ÷ ＝52 a＋2 b ÷53 ab ＝1，
∴2 a ＋2 b ＝3 ab ，∴2( a ＋ b )＝3 ab ＝6，
∴ ab ＝2，∴ ab ( a ＋ b )＝2×3＝6.
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1(共23张PPT)
第十四章 整式的乘法与因式分解
14.1 整式的乘法
14.1.4 整式的乘法
第6课时 多项式除以单项式
目 录
CONTENTS
01
1星题 夯实基础
02
2星题 提升能力
03
3星题 发展素养
知识点 多项式除以单项式
1. 计算( x3－2 x2 y )÷(－ x2)的结果是( B )
A. x －2 y B. － x ＋2 y
C. － x －2 D. － x ＋2
B
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2. [2023保定期中]一个长方形的面积为4 a2－2 ab2，长为2
a ，则长方形的宽为( D )
A. 2 a － b B. a －2 b2
C. 2 a －2 b2 D. 2 a － b2
D
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3. [2023金华期中]已知▲·(－2 xy )＝4 x2 y －6 xy2，则▲＝
( A )
A. －2 x ＋3 y B. 2 x ＋3 y
C. －2 x －3 y D. 2 x －3 y
A
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4. 多项式 mxn＋2－ nxn－1除以单项式 xn－2的结果为( B )
A. mx2 n － nx2 n－3 B. mx4－ nx
C. mx4＋ nxn－3 D. mx4＋ nx
B
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5. [2024泉州期末]若长方形 ABCD 的面积是4 a2＋8 ab ，边
AB 的长为2 a ，则边 BC 的长为 .
2 a ＋4 b
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6. [2024石家庄期末]若(－25 y3＋15 y2－5 y )÷ M ＝－5 y ，则
M ＝ .
点拨：∵(－25 y3＋15 y2－5 y )÷ M ＝－5 y ，
∴ M ＝(－25 y3＋15 y2－5 y )÷(－5 y )＝5 y2－3 y ＋1.
5 y2－3 y ＋1
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7. [教材P104练习T3变式]计算：
(1)( x4－3 x2)÷ x2；
解：(1)( x4－3 x2)÷ x2＝ x4÷ x2－3 x2÷ x2＝ x2－3.
(2)(9 x3－3 x2)÷(－3 x2)；
解：(2)(9 x3－3 x2)÷(－3 x2)＝9 x3÷(－3 x2)－3 x2÷(－3
x2)＝－3 x ＋1.
(3)(4 a3 b4－2 a2 b3)÷(－2 ab ).
解：(3)(4 a3 b4－2 a2 b3)÷(－2 ab )＝－2 a2 b3＋ ab2.
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8. [2023长春期末]化简 ÷ xy .
解：原式＝2 x － y －4.
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9. [2024郑州期末]先化简，再求值：[2( x － y )]2－(12 x3 y2－
18 x2 y3)÷(3 xy2)，其中 x ＝－3， y ＝－ .
解：原式＝4( x － y )2－4 x2＋6 xy
＝4 x2－8 xy ＋4 y2－4 x2＋6 xy
＝4 y2－2 xy .
把 x ＝－3， y ＝－ 代入，得原式＝4× －2×(－
3)× ＝4× －3＝－2.
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10. 【易错题】小明在做作业的时候，不小心把墨水滴到了
作业本上，■×3 ab ＝6 ab －3 ab3，阴影部分即为被墨
汁弄污的部分，那么被墨汁遮住的部分是( A )
A. (2－ b2) B. (2＋2 b )
C. (3 ab ＋2 b2) D. (2 ab ＋ b2)
A
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11. 已知 A ＝2 x ， B 是多项式.在计算 B ÷ A 时，小马虎同
学把 B ÷ A 看成了 B ＋ A ，结果得到2 x2－ x ，则 B ÷ A
的正确结果是( D )
A. 2 x2＋ x B. 2 x2－3 x
C. x ＋ D. x －
D
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12. [2023天津一模]小亮与小明在做游戏，两人各报一个整
式，小明报的被除式是 x2 y －2 xy2，商式必须是2 xy ，则
小亮报的除式是 .
x － y
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13. 已知多项式2 x3－4 x2－1除以多项式 A ，得商式为2 x ，
余式为 x －1，则多项式 A 为 .
x2－2 x －
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14. 【新视角·新定义问题】定义新运算符号 ： m n ＝ m2
n ＋ n ，则(2 x y )÷ y ＝ .
4 x2＋1
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15. 计算：
(1) ab (2 a3 b2 c －6 ab3 c2)÷(－2 ab2 c )；
解：(1)原式＝(2 a4 b3 c －6 a2 b4 c2)÷(－2 ab2 c )＝－ a3
b ＋3 ab2 c .
(2)[ x ( x2 y2－ xy )－ y ( x2－ x3 y )]÷3 x2 y .
解：(2)原式＝( x3 y2－ x2 y － x2 y ＋ x3 y2)÷3 x2 y ＝(2 x3
y2－2 x2 y )÷3 x2 y ＝ xy － .
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16. 【新考法·任务式学习】我们学过单项式除以单项式、多
项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算
呢？请同学们阅读“刻苦小组”的项目实施过程，帮助
他们解决项目实施过程中遇到的问题.
项目主题：用竖式的方法解决多项式除以多项式.
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项目实施：
任务一：搜集资料.我们可以用竖式进行类似演算，即先把
被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺
序，并把所缺的次数项用零补齐，再用类似数的竖式除法的
方法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式
的次数.
(1)请把4 x2＋5 x ＋ x3－6按 x 的指数从大到小的顺序排
列： .
x3＋4 x2＋5 x －6
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任务二：竖式计算.
例如：计算(8 x2＋6 x ＋1)÷(2 x ＋1)，可依照672÷21的计算
方法用竖式进行计算.
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因此(8 x2＋6 x ＋1)÷(2 x ＋1)＝4 x ＋1.
(2)“刻苦小组”把小学的除法运算方法运用在多项式除法运
算上，这里运用的数学思想是 .
A. 数形结合 B. 类比
C. 方程
B
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任务三：学以致用
(3)(4 x2＋5 x ＋ x3－6)÷( x ＋2)的商式是 ，余
式是 .
x2＋2 x ＋1
－8
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∴(4 x2＋5 x ＋ x3－6)÷( x ＋2)的商式是 x2＋2 x ＋1，余式
是－8.
点拨：
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1(共20张PPT)
第十四章 整式的乘法与因式分解
14.2 乘法公式
14.2.1 平方差公式
目 录
CONTENTS
01
1星题 夯实基础
02
2星题 提升能力
03
3星题 发展素养
知识点 平方差公式
1. 下列不能用平方差公式运算的是( B )
A. (－ x ＋2)(－ x －2)
B. (－2 m － n )(－2 m － n )
C. (－2 a ＋ b )(2 a ＋ b )
D. ( y － x )(－ x － y )
B
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2. [2023开封期中]计算(2＋ x )( x －2)的结果是( A )
A. x2－4 B. 2－ x2
C. 4＋ x2 D. 2＋ x2
A
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3. 计算下列各式，其结果是4 y2－1的是( A )
A. (－2 y －1)(－2 y ＋1)
B. (2 y －1)2
C. (4 y －1)2
D. (2 y ＋1)(－2 y ＋1)
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4. 已知 x2＝6， y2＝4，则( x ＋ y )( x － y )等于( A )
A. 2 B. 4
C. 10 D. 20
A
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5. [2023上海三模]计算 a2－( a ＋1)( a －1)的结果是( A )
A. 1 B. －1
C. 2 a2＋1 D. 2 a2－1
A
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6. [2024海口期末]已知 x ＝ ＋2， y ＝ －2，则代数式
xy 的值为( D )
A. 7 B. －7
C. 1 D. －1
D
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7. 如图，将较小长方形移到较大长方形的右侧，可拼成一个
大长方形，由面积关系，可以得到的恒等式是( B )
A. a ( a ＋ b )＝ a2＋ ab
B. ( a ＋ b )( a － b )＝ a2－ b2
C. ( a － b )2＝ a2－2 ab ＋ b2
D. ( a ＋ b )2＝ a2＋2 ab ＋ b2
B
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8. [2023沈阳期中](－2 b －5)(2 b －5)＝ .
25－4 b2
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9. [2024保定期末]若( x ＋ y2)·( x － y2)＝ x2＋ M ，则整式 M
应是 .
－ y4
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10. [教材P108例1变式]计算：
(1)( mx ＋1)( mx －1)；
解：(1)原式＝( mx )2－12＝ m2 x2－1.
(2)(－3－ mn )(3－ mn )；
解：(2)原式＝(－ mn )2－32＝ m2 n2－9.
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(3) ；
解：(3)原式＝ －32＝ x2－9.
(4)[2023兰州中考]( x ＋2 y )( x －2 y )－ y (3－4 y ).
解：(4)原式＝ x2－4 y2－(3 y －4 y2)＝ x2－4 y2－3 y ＋4
y2＝ x2－3 y .
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11. 对于任意正整数 m ，能整除式子( m ＋3)( m －3)－( m ＋
2)( m －2)的整数是( D )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
点拨：因为( m ＋3)( m －3)－( m ＋2)( m －2)＝ m2－9－
m2＋4＝－5，
所以选项中对于任意正整数 m ，能整除式子( m ＋3)( m
－3)－( m ＋2)( m －2)的整数是5.
D
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12. [2023连云港期中]计算2 0232－2 024×2 022的结果为
( A )
A. 1 B. －1
C. 2 D. －2
A
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13. [教材P108例2变式]计算：
(1)202×198；
解：(1)原式＝(200＋2)×(200－2)＝2002－22＝40 000
－4＝39 996.
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(2)[2024秦皇岛期末](3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1).
解：(2)原式＝ (3－1)(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)
＝ (32－1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)
＝ (34－1)(34＋1)(38＋1)
＝ (38－1)(38＋1)
＝ (316－1).
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14. 试说明式子(－ a ＋3)( a ＋3)－ a (1－ a )＋ a 的值与 a 的取
值无关.
解：原式＝9－ a2－( a － a2)＋ a
＝9－ a2－ a ＋ a2＋ a
＝9，
∴式子(－ a ＋3)( a ＋3)－ a (1－ a )＋ a 的值与 a 的
取值无关.
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15. 【创新题】[2024丽水期末]阅读下列材料：
已知实数 m ， n 满足(2 m2＋ n2＋1)(2 m2＋ n2－1)＝80，
试求2 m2＋ n2的值.
解：设2 m2＋ n2＝ t ，则原方程变为( t ＋1)( t －1)＝80，
整理得 t2－1＝80，∴ t2＝81，
∴ t ＝±9，
∵2 m2＋ n2≥0，
∴2 m2＋ n2＝9.
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上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化.
根据以上材料中的内容，解决下列问题，并写出解答过程.
已知实数 x ， y 满足(2 x2＋2 y2＋3)(2 x2＋2 y2－3)＝27，求 x2＋ y2的值.
解：设2 x2＋2 y2＝ t ，
则原方程变形为( t ＋3)( t －3)＝27，
∴ t2－9＝27，∴ t2＝36，解得 t ＝±6，
∵2 x2＋2 y2≥0，∴2 x2＋2 y2＝6，
∴ x2＋ y2＝3.
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1(共21张PPT)
第十四章 整式的乘法与因式分解
14.2 乘法公式
14.2.2 完全平方公式
第1课时 完全平方公式
目 录
CONTENTS
01
1星题 夯实基础
02
2星题 提升能力
03
3星题 发展素养
知识点 完全平方公式
1. 下列计算正确的是( B )
A. ( x ＋2)2＝ x2＋4
B. (2 x － y )2＝4 x2－4 xy ＋ y2
C. ( x －2 y )2＝ x2－4 xy ＋2 y2
D. (2 x ＋3 y )2＝4 x2＋6 xy ＋9 y2
B
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2. 若( x ＋ a )2＝ x2－10 x ＋ b ，则 a ， b 的值分别为( D )
A. 2，4 B. 5，－25
C. －2，25 D. －5，25
D
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3. 下列各式中，可用完全平方公式计算的是( D )
A. (1＋ x )(1－ x ) B. (－ x －1)(－1＋ x )
C. ( x －1)(1＋ x ) D. ( x －1)(1－ x )
D
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4. [2024九江期末]小莹计算(○－□)2时，得出的正确结果是
a2－4 ab ＋(□)2，则□是( B )
A. b B. ±2 b
C. 4 b D. 4 b2
B
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5. [2023荆门一模]将9.52变形正确的是( C )
A. 9.52＝92＋0.52
B. 9.52＝(10＋0.5)×(10－0.5)
C. 9.52＝102－2×10×0.5＋0.52
D. 9.52＝92＋9×0.5＋0.52
C
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6. 我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片
拼成的图形的面积来解释一些代数恒等式.例如图①可以
用来解释( a ＋ b )2－( a － b )2＝4 ab .那么通过图②面积的
计算，可验证一个恒等式，此恒等式是( C )
C
A. a2－ b2＝( a ＋ b )( a － b )
B. ( a － b )( a ＋2 b )＝ a2＋ ab － b2
C. ( a － b )2＝ a2－2 ab ＋ b2
D. ( a ＋ b )2＝ a2＋2 ab ＋ b2
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7. 已知( a ＋ b )2＝49， a2＋ b2＝25，则 ab ＝ .
点拨：( a ＋ b )2＝ a2＋2 ab ＋ b2，将 a2＋ b2＝25，( a ＋ b )2
＝49代入，可得2 ab ＋25＝49，
则2 ab ＝24，所以 ab ＝12.
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8. [教材P110例3变式]计算：
(1)(3 a ＋5)2； (2)(2 x －3 y )2；
(3)(－ x －3 y )2； (4)99.82.
解：(1)原式＝(3 a )2＋30 a ＋25＝9 a2＋30 a ＋25.
(2)原式＝4 x2－12 xy ＋9 y2.
(3)原式＝[－( x ＋3 y )]2＝( x ＋3 y )2＝ x2＋6 xy ＋9 y2.
(4)原式＝(100－0.2)2＝10 000－40＋0.04＝9 960.04.
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9. [2023 沧州期中]已知( a ＋ b )2＝25，( a － b )2＝9，则 ab ＝
( C )
A. 16 B. 8 C. 4 D. 1
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10. 若 xy ＝3， x2＋ y2＝10，且 x ＜ y ，则代数式( x － y )2－
4( x － y )＋4的值为( D )
A. －4 B. 0
C. 4 D. 16
D
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11. [2024廊坊期末]已知 x ＋ y ＝7， xy ＝10，则( x － y )2的值
为 .
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12. 【新考向·数学文化】如图①是我国古代数学家杨辉发现
的二项式系数在三角形中的一种几何排列，被称为“杨
辉三角”.观察②中的等式，根据前面各式的规律，可得
( a ＋ b )6的第三项的系数为 .
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点拨：由规律可得，( a ＋ b )6＝ a6＋6 a5 b ＋15 a4 b2＋20
a3 b3＋15 a2 b4＋6 ab5＋ b6，
∴( a ＋ b )6的第三项的系数为15.
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13. [2024承德期末]若 x － ＝3，求 x2＋ 的值.
解：∵ x － ＝3，
∴ ＝9，即 x2－2＋ ＝9，
∴ x2＋ ＝9＋2＝11.
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14. [2024黄冈期末]将完全平方公式( a ± b )2＝ a2±2 ab ＋ b2
进行适当的变形，可以解决很多数学问题，例如：若 a ＋ b ＝3， ab ＝1，求 a2＋ b2的值.
解：因为 a ＋ b ＝3，所以( a ＋ b )2＝9，即 a2＋2 ab ＋ b2＝9.
又因为 ab ＝1，所以 a2＋ b2＝7.
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题.
(1)若 x ＋ y ＝8， x2＋ y2＝40，求 xy 的值；
解：(1)∵ x ＋ y ＝8， x2＋ y2＝40，
∴( x ＋ y )2＝ x2＋2 xy ＋ y2＝64，
∴2 xy ＝24，解得 xy ＝12.
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14. [2024黄冈期末]将完全平方公式( a ± b )2＝ a2±2 ab ＋ b2
进行适当的变形，可以解决很多数学问题，例如：若 a ＋ b ＝3，
ab ＝1，求 a2＋ b2的值.
解：因为 a ＋ b ＝3，所以( a ＋ b )2＝9，即 a2＋2 ab ＋ b2＝9.
又因为 ab ＝1，所以 a2＋ b2＝7.
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题.
(2)若 x － y ＝6， xy ＝5，求 x2＋ y2的值.
解：(2)∵ x － y ＝6， xy ＝5，
∴( x － y )2＝ x2－2 xy ＋ y2＝36，
∴ x2＋ y2＝36＋2 xy ＝36＋10＝46.
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15. 已知( x ＋ y )2的展开式为 x2＋2 xy ＋ y2，即( x ＋ y )2＝ x2
＋2 xy ＋ y2.则要想知道( x － y )2的展开式，可以将( x －
y )2看成[ x ＋(－ y )]2，那么可得( x － y )2＝[ x ＋(－ y )]2＝
x2＋2· x ·(－ y )＋(－ y )2＝ x2－2 xy ＋ y2.
(1)已知( x ＋ y ＋ z )2＝ x2＋ y2＋ z2＋2 xy ＋2 yz ＋2 xz ，则
要想知道( x － y － z )2的展开式，可以将其看成
；
[ x
＋(－ y )＋(－ z )]2
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(2)在(1)的条件下，写出(2 x －3 y － z )2的展开式；
解：(2)(2 x －3 y － z )2＝[2 x ＋(－3 y )＋(－ z )]2＝(2 x )2＋(－3 y )2＋(－ z )2＋2×2 x ×(－3 y )＋2×(－3 y )×(－ z )＋2×2 x ×(－ z )＝4 x2＋9 y2＋ z2－12 xy ＋6 yz －4 xz .
15. 已知( x ＋ y )2的展开式为 x2＋2 xy ＋ y2，即( x ＋ y )2＝ x2
＋2 xy ＋ y2.则要想知道( x － y )2的展开式，可以将( x －
y )2看成[ x ＋(－ y )]2，那么可得( x － y )2＝[ x ＋(－ y )]2＝
x2＋2· x ·(－ y )＋(－ y )2＝ x2－2 xy ＋ y2.
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(3)像这样将 x － y 看作 x ＋(－ y )的思想称为转化思想，
在数学上还有很多的思想方法，如本题(1)中，可以将
x ＋ y 看作一个整体用 A 表示，使得 x ＋ y ＋ z 转化为
A ＋ z ，然后用我们学过的完全平方公式展开即可.根
据这一思路，请直接写出( x ＋ y ＋ z ＋ f )2的展开式.
解：(3) x2＋ y2＋ z2＋ f2＋2 xy ＋2 zf ＋2 xz ＋2 xf ＋2 yz ＋2 yf .
15. 已知( x ＋ y )2的展开式为 x2＋2 xy ＋ y2，即( x ＋ y )2＝ x2
＋2 xy ＋ y2.则要想知道( x － y )2的展开式，可以将( x －
y )2看成[ x ＋(－ y )]2，那么可得( x － y )2＝[ x ＋(－ y )]2＝
x2＋2· x ·(－ y )＋(－ y )2＝ x2－2 xy ＋ y2.
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1(共15张PPT)
第十四章 整式的乘法与因式分解
14.2 乘法公式
14.2.2 完全平方公式
第2课时 添括号法则
目 录
CONTENTS
01
1星题 夯实基础
02
2星题 提升能力
03
3星题 发展素养
知识点1 添括号法则
1. [2023石家庄模拟]下列添括号错误的是( B )
A. a ＋ b － c ＝ a －( c － b )
B. a － b ＋ c ＝ a －( b ＋ c )
C. a － b － c ＝ a －( b ＋ c )
D. a ＋ b － c ＝ a ＋( b － c )
B
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2. [2024泉州期末]对整式－ a ＋ b －2 c 进行添括号，正确的
是( A )
A. －( a － b ＋2 c ) B. －( a － b －2 c )
C. －( a ＋ b －2 c ) D. －( a ＋ b ＋2 c )
A
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3. 添括号： x － y ＋5＝ x －( ).
y －5
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4. 添括号： x2－ xy ＋ y2－2＝ x2－( ).
xy － y2＋2
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5. [2024邢台期末]给下列多项式添括号.使它们的最高次项
的系数变为正数：
(1)－ x2＋ x ＝ ；
(2)3 x2－2 xy2＋2 y2＝ ；
(3)－ a3＋2 a2－ a ＋1＝ ；
(4)－3 x2 y2－2 x3＋ y3＝ .
－( x2－ x )
－(2 xy2－3 x2－2 y2)
－( a3－2 a2＋ a －1)
－(3 x2 y2＋2 x3－ y3)
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知识点2 添括号后运用乘法公式计算
6. [教材P111例5变式]运用乘法公式计算：
(1)(2 x ＋ y ＋ z )(2 x － y － z )；
解：(1)原式＝4 x2－( y ＋ z )2＝4 x2－ y2－2 yz － z2.
(2)( a ＋ b ＋1)2.
解：(2)原式＝[( a ＋ b )＋1]2＝( a ＋ b )2＋2( a ＋ b )＋1＝
a2＋2 ab ＋ b2＋2 a ＋2 b ＋1.
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7. 在下列去括号或添括号的变形中，错误的是( D )
A. a3－(2 a － b － c )＝ a3－2 a ＋ b ＋ c
B. 3 a －5 b －1＋2 c ＝－(－3 a )－[5 b －(2 c －1)]
C. －( a ＋1)－(－ b ＋ c )＝－1＋ b － a － c
D. a － b ＋ c － d ＝ a － b ＋( d ＋ c )
D
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8. 下列式子不能运用乘法公式计算的是( D )
A. ( a ＋ b － c )( a － b ＋ c )
B. ( a － b － c )2
C. ( a － b )( a ＋ b )
D. (2 a ＋ b ＋2)( a －2 b －2)
D
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9. 如果( a － b －3)( a － b ＋3)＝40，那么 a － b 的值为( D )
A. 49 B. 7
C. －7 D. 7或－7
D
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10. 当 x ＝1时， ax ＋ b ＋1的值为－3，则( a ＋ b ＋1)(1－ a
－ b )的值为 .
点拨：∵当 x ＝1时， ax ＋ b ＋1的值为－3，
∴ a ＋ b ＋1＝－3，∴ a ＋ b ＝－4，
∴( a ＋ b ＋1)(1－ a － b )＝[( a ＋ b )＋1][1－( a ＋ b )]＝1
－( a ＋ b )2＝1－(－4)2＝1－16＝－15.
－15
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11. [教材P111练习T2变式]计算：( x － y － m ＋ n )( x － y ＋ m
－ n ).
解：原式＝[( x － y )－( m － n )][( x － y )＋( m － n )]
＝( x － y )2－( m － n )2
＝ x2－2 xy ＋ y2－ m2＋2 mn － n2.
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12. [2023佛山模拟]把多项式 x4 y －4 xy3＋2 x2－ xy －1按下列
要求添括号：
(1)把四次项结合，放在前面带“＋”号的括号里；
解：(1) x4 y －4 xy3＋2 x2－ xy －1＝ x4 y ＋(－4 xy3)＋2
x2－ xy －1.
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12. [2023佛山模拟]把多项式 x4 y －4 xy3＋2 x2－ xy －1按下列
要求添括号：
(2)把二次项结合，放在前面带“－”号的括号里.
解：(2) x4 y －4 xy3＋2 x2－ xy －1＝ x4 y －4 xy3－
(－2 x2＋ xy )－1.
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1(共23张PPT)
第十四章 整式的乘法与因式分解
14.3 因式分解
14.3.1 提公因式法
目 录
CONTENTS
01
1星题 夯实基础
02
2星题 提升能力
03
3星题 发展素养
知识点1 因式分解
1. 下列从左到右的变形中，是因式分解的是( B )
A. ( a ＋1)( a －1)＝ a2－1
B. 2 ab2－4 a2 b ＝2 ab ( b －2 a )
C. ( a ＋1)2＝ a2＋2 a ＋1
D. a2－2 a ＋3＝ a ( a －2)＋3
B
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2. [2024周口期末]下列多项式中，能因式分解的是( C )
A. x2－ y B. x2＋ y2
C. x2－4 D. x2＋ xy ＋ y2
C
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3. [2024保定期末]若多项式 ax2＋ bx ＋ c 可以被分解为
( x －3)( x －2)，则 a ＝ ， b ＝ ， c ＝ .
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4. 【新考法·以形助数法】[2024青岛期末]根据如图所示的从
左到右的拼图过程，写出一个多项式的因式分解：
.
x2＋
2 x ＋4 x ＋8＝( x ＋4)( x ＋2)
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知识点2 公因式
5. 单项式3 a3 b 与单项式9 a2 b3的公因式是( A )
A. 3 a2 b B. 3 a3 b3
C. a2 b D. a3 b3
A
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6. [2024濮阳期末]下列各组整式中没有公因式的是( B )
A. 5 a －5 b 和5 a ＋5 b
B. ax ＋ y 和 x ＋ ay
C. a2＋2 ab ＋ b2和2 a ＋2 b
D. a2－ ab 和 a2－ b2
B
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7. [2023石家庄期中]多项式－8 x2 y3 z ＋12 xy2 z3－24 x3 yz2的
公因式是( C )
A. － xyz B. －8 x2 y3
C. －4 xyz D. －2 x2 y2 z2
C
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知识点3 提公因式法分解因式
8. 把多项式 m ( a －2)＋( a －2)分解因式，结果等于( B )
A. m ( a －2) B. ( a －2)( m ＋1)
C. m ( a ＋2) D. ( m －1)( a －2)
B
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9. 下列因式分解正确的是( D )
A. 2 a2－ a ＝2 a ( a －1)
B. － a2－2 ab ＝－ a ( a －2 b )
C. －3 a ＋3 b ＝－3( a ＋ b )
D. a2＋3 ab ＝ a ( a ＋3 b )
D
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10. [2023苏州中考]因式分解： a2＋ ab ＝ .
a ( a ＋ b )
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11. [教材P115练习T1变式]用提公因式法分解因式：
(1)2 y ＋3 xy ；
解：(1)原式＝ y (2＋3 x ).
(2)12 x2 y3－3 x2 y4；
解：(2)原式＝3 x2 y3(4－ y ).
(3) x ( x － y )＋ y ( y － x )；
解：(3)原式＝ x ( x － y )－ y ( x － y )＝( x － y )2.
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(4)2 m ( m － n )2－8 m2( n － m ).
解：(4)原式＝2 m ( m － n )2＋8 m2( m － n )
＝2 m ( m － n )( m － n ＋4 m )
＝2 m ( m － n )(5 m － n ).
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12. 已知 ab ＝－3， a ＋ b ＝2，则 a2 b ＋ ab2的值是( B )
A. 6 B. －6
C. 1 D. －1
B
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13. 【易错题】[2023武汉期中]计算(－2)100＋(－2)101所得的
结果是( A )
A. －2100 B. 2100
C. －2 D. －1
A
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14. [2024深圳期末]若( x ＋ y )3－ xy ( x ＋ y )＝( x ＋ y )· A ，则
A 为( D )
A. x2＋ y2 B. x2－ xy ＋ y2
C. x2－3 xy ＋ y2 D. x2＋ xy ＋ y2
D
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15. [2023肇庆模拟]已知(2 x －21)(3 x －7)－(3 x －7)( x －13)
可分解因式为(3 x ＋ a )( x ＋ b )，其中 a ， b 均为整数，
则 a ＋3 b 的值为 .
点拨：(2 x －21)(3 x －7)－(3 x －7)( x －13)＝(3 x －7)(2 x
－21－ x ＋13)＝(3 x －7)( x －8)，
－31
∵(2 x －21)(3 x －7)－(3 x －7)( x －13)可分解因式为(3 x
＋ a )( x ＋ b )，∴(3 x －7)( x －8)＝(3 x ＋ a )( x ＋ b )，
则 a ＝－7， b ＝－8，故 a ＋3 b ＝－7＋3×(－8)＝－31.
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16. [2023南宁期中]已知 x ， y 满足方程组求
(2 x － y )3－(2 x － y )2( x －3 y )的值.
解：原式＝(2 x － y )2(2 x － y － x ＋3 y )＝(2 x － y )2( x ＋2
y ).
∵ x ， y 满足方程组
∴原式＝122×11＝1 584.
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17. 将下列各式因式分解：
(1)1＋ x ＋ x (1＋ x )；
解：(1)原式＝(1＋ x )(1＋ x )＝(1＋ x )2.
(2)( x －2)2－ x ＋2；
解：(2)原式＝( x －2)2－( x －2)
＝( x －2)[( x －2)－1]
＝( x －2)( x －3).
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(3) a ( a2－ ab )－(4 a2－4 ab ).
解：(3)原式＝ a2( a － b )－4 a ( a － b )
＝( a2－4 a )( a － b )＝
a ( a －4)( a － b ).
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18. 【创新题】[2024中山期末]阅读下列因式分解的过程，
再回答所提出的问题：
1＋ x ＋ x ( x ＋1)＋ x ( x ＋1)2
＝(1＋ x )[1＋ x ＋ x ( x ＋1)]
＝(1＋ x )2(1＋ x )
＝(1＋ x )3.
(1)上述分解因式的方法是 ，共用了 次；
(2)若分解1＋ x ＋ x ( x ＋1)＋ x ( x ＋1)2＋…＋ x ( x ＋1)2 024，则结果是 ；
(3)依照上述方法分解因式：1＋ x ＋ x ( x ＋1)＋ x ( x ＋1)2＋…＋ x ( x ＋1) n ( n 为正整数).
提公因式法
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(1＋ x )2 025
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解：(3)1＋ x ＋ x ( x ＋1)＋ x ( x ＋1)2＋…＋ x ( x ＋1) n
＝(1＋ x )[1＋ x ＋ x ( x ＋1)＋…＋ x ( x ＋1) n－1]
＝(1＋ x )2[1＋ x ＋ x ( x ＋1)＋…＋ x ( x ＋1) n－2]
…
＝(1＋ x ) n＋1.
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1(共29张PPT)
第十四章 整式的乘法与因式分解
14.3 因式分解
14.3.2 公式法
第1课时 运用平方差公式分解因式
目 录
CONTENTS
01
1星题 夯实基础
02
2星题 提升能力
03
3星题 发展素养
知识点1 运用平方差公式分解因式
1. 下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是( C )
A. a2＋ b2 B. 2 a － b2
C. a2－ D. － a2－
C
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2. [2024沧州期末]把 x2－9分解因式，结果正确的是( C )
A. x ( x －9) B. ( x ＋9)( x －9)
C. ( x ＋3)( x －3) D. ( x －3)2
C
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3. [2023廊坊期中]课堂上老师在黑板上布置了以下的题目：
用平方差公式分解因式：
(1)－ a2＋ b2；(2)－ a2－ b2；(3)36 a2－ b2 c2；
(4)16 m2 n2－25.
涛涛发现其中有一道题目错了，错误的题目是( B )
A. 第(1)题 B. 第(2)题
C. 第(3)题 D. 第(4)题
B
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4. [2023南宁期中]若 x ＋ y ＝3， x － y ＝1，则 x2－ y2的值为
( C )
A. 1 B. 2
C. 3 D. －3
C
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5. [2023上海期中]若多项式 x2－ m 可以用平方差公式分解因
式(在有理数范围内)，则 m 的值可以为( C )
A. 8 B. －8
C. 16 D. －16
C
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6. 【新视角·结论开放题】请写出一个多项式，要求该多项
式能利用平方差公式进行因式分解，且有一项是4 a2.符合
要求的多项式可以是 .
4 a2－1(答案不唯一)
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7. [2023广东中考]因式分解： x2－1＝ .
( x ＋1)( x －1)
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8. [2023兰州中考]因式分解： x2－25 y2＝ .
( x ＋5 y )·( x －5y )
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9. [2023许昌模拟]分解因式：( y ＋2 x )2－( x ＋2 y )2＝
.
3( x＋ y )( x － y )
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10. 计算：2 0242－20232＝ .
4 047
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11. [教材P117练习T2变式]分解因式：
(1) x2－25；
解：(1)原式＝( x ＋5)( x －5).
(2)(4 a ＋ b )2－( a ＋ b )2；
解：(2)原式＝(4 a ＋ b ＋ a ＋ b )(4 a ＋ b － a － b )＝3 a
(5 a ＋2 b ).
(3) a4－16.
解：(3)原式＝( a2＋4)( a2－4)＝( a2＋4)( a ＋2)( a －2).
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知识点2 提公因式法与平方差公式法混合分解因式
12. [2024保定期末]分解因式 a2 b － b3，结果正确的是( D )
A. b ( a2－ b2) B. b ( a － b )2
C. ( ab ＋ b )( a － b ) D. b ( a ＋ b )( a － b )
D
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13. [2024南阳期末]把多项式2 x2－8分解因式，正确的是
( C )
A. 2( x2－4) B. ( x ＋2)( x －2)
C. 2( x ＋2)( x －2) D. (2 x ＋4)( x －2)
C
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14. 将多项式( x － y )3＋4( y － x )进行因式分解，结果是
.
( x － y )( x － y ＋2)( x － y －2)
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15. [2024芜湖期末]分解因式：
(1) a2 b －16 b ＝ ；
(2) x2( x － y )2－4( y － x )2＝ .
b ( a ＋4)( a －4)
( x － y )2( x ＋2)· ( x －2)
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16. 【易错题】[2023龙口期中]对于任意正整数 m ，多项式(4
m ＋5)2－9都能( A )
A. 被8整除 B. 被 m 整除
C. 被 m －1整除 D. 被2 m －1整除
A
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17. 运用平方差公式 a2－ b2＝( a ＋ b )( a － b )对整式4 m2 n2－
1进行因式分解时，公式中的 a 可以是( C )
A. 4 m2 n2 B. －2 m2 n2
C. 2 mn D. 4 mn
C
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18. 小明在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了 x 的指数，
他只知道该数为不大于10的正整数，并且能利用平方差
公式分解因式，他抄在作业本上的式子是 x□－4 y2(“□”表示漏抄的指数)，则这个指数可能的结果共有( D )
A. 2种 B. 3种
C. 4种 D. 5种
D
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19. 【创新题】[2023邯郸月考]现有一列式子：①552－452；
②5552－4452；③5 5552－4 4452…，则第⑧个式子的计
算结果用科学记数法可表示为( D )
A. 1.111 111 1×1016
B. 1.111 111 1×1027
C. 1.111 111×1056
D. 1.111 111 1×1017
D
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20. [2024清远期末]若 x ， y 满足｜ x － y ＋1｜＋( x ＋ y ＋3)2
＝0，则 x2－ y2＝ .
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21. [2023廊坊期中]计算：1002－992＋982－972＋…＋22－1
＝ .
点拨：1002－992＋982－972＋…＋22－12
＝(1002－12)－(992－22)＋(982－32)－…＋(522－492)－
(512－502)
＝(100＋1)×(100－1)－(99＋2)×(99－2)＋(98＋3)×(98
－3)－…＋(52＋49)×(52－49)－(51＋50)×(51－50)
5 050
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＝101×99－101×97＋101×95－…＋101×3－101×1
＝101×(99－97＋95－…＋3－1)
＝101×(2＋2＋…＋2)
＝101×25×2
＝5 050.
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22. 分解因式：
(1)( p －4)( p ＋1)＋3 p ；
解：(1)原式＝ p2＋ p －4 p －4＋3 p ＝ p2－4＝( p ＋
2)·( p －2).
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(2)(4 a ＋ b )2－4( a ＋ b )2.
解：(2)原式＝(4 a ＋ b )2－(2 a ＋2 b )2
＝(4 a ＋ b ＋2 a ＋2 b )(4 a ＋ b －2 a －2 b )
＝(6 a ＋3 b )(2 a － b )
＝3(2 a ＋ b )(2 a － b ).
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23. 先化简，再求值： － ，其中 x ＝－ ， y
＝2 024.
解： －
＝ ＝ ，
将 x ＝－ ， y ＝2 024代入上式，得
原式＝ ＝－2 024.
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24. 观察下列式子的因式分解的方法：
① x2－1＝( x ＋1)( x －1)；
② x3－1＝( x －1)( x2＋ x ＋1)；
③ x4－1＝( x －1)( x3＋ x2＋ x ＋1).
(1)模仿以上方法，尝试对 x5－1进行因式分解： x5－1
＝ ；
(2)观察以上结果，猜想 xn －1＝
；( n 为大于1的正整数，直接写出结
果，不用验证)
( x －1)( x4＋ x3＋ x2＋ x ＋1)
( x －1)( xn－1＋ xn－2
＋…＋ x ＋1)
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24. 观察下列式子的因式分解的方法：
① x2－1＝( x ＋1)( x －1)；
② x3－1＝( x －1)( x2＋ x ＋1)；
③ x4－1＝( x －1)( x3＋ x2＋ x ＋1).
(3)试求26＋25＋24＋23＋22＋2＋1的值.
解：(3)根据题中的规律，可得27－1＝(2－1)×(26＋25
＋24＋23＋22＋2＋1)，
∴26＋25＋24＋23＋22＋2＋1＝27－1＝127.
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24(共21张PPT)
第十四章 整式的乘法与因式分解
14.3 因式分解
14.3.2 公式法
第2课时 运用完全平方公式分解因式
目 录
CONTENTS
01
1星题 夯实基础
02
2星题 提升能力
03
3星题 发展素养
知识点1 完全平方式
1. [2023金华金东区期中]下列式子是完全平方式的是( B )
A. a2＋2 ab － b2
B. a2＋2 a ＋1
C. a2＋ ab ＋ b2
D. a2＋2 a －1
B
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2. [2023 合肥期末]若二次三项式 x2＋ kx ＋4是一个完全平方
式，则 k 的值是( D )
A. 4 B. －4
C. ±2 D. ±4
D
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3. [2023贵阳期中]如果多项式 x2＋1加上一个单项式后，能
够直接用完全平方公式进行因式分解，则添加的单项式不
可以是( D )
A. 2 x B. －2 x
C. x4 D. － x4
D
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知识点2 运用完全平方公式分解因式
4. [2024沧州期末]下列各式能用完全平方公式分解因式的是
( D )
A. x2＋1 B. x2＋2 x －1
C. x2＋3 x ＋9 D. x2－ x ＋
D
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5. [2023南阳一模]多项式 m2－4 m ＋4因式分解的结果是( D )
A. m ( m －4)＋4 B. ( m ＋2)( m －2)
C. ( m ＋2)2 D. ( m －2)2
D
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6. [2023临沧月考]若 x2＋ mx ＋16＝( x ＋ n )2，其中 m ， n 为
常数，则 n 的值是( D )
A. 8 B. ±8
C. 4 D. ±4
D
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7. 因式分解：
(1)[2023株洲中考] x2－2 x ＋1＝ ；
(2)9 x2＋6 x ＋1＝ .
( x －1)2
(3 x ＋1)2
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8. [教材P118例5变式]因式分解：
(1) a2＋12 a ＋36；
解：(1)原式＝( a ＋6)2.
(2)1＋ m ＋ ；
解：(2)原式＝ .
(3)－4 ab －4 a2－ b2.
解：(3)原式＝－(4 ab ＋4 a2＋ b2)＝－(2 a ＋ b )2.
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知识点3 提公因式法与完全平方公式法混合分解因式
9. [2023榆林模拟]分解因式 a3－2 a2 b ＋ ab2，结果正确的是
( B )
A. a ( a2－2 ab ＋ b2) B. a ( a － b )2
C. a ( a － b )( a ＋ b ) D. a2( a －2 b )＋ ab2
B
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10. [教材P118例6变式]因式分解：
(1)2 x3 y ＋4 x2 y2＋2 xy3；
解：(1)2 x3 y ＋4 x2 y2＋2 xy3＝2 xy ( x2＋2 xy ＋ y2)＝2 xy
( x ＋ y )2.
(2) a2－ a ＋2.
解：(2) a2－ a ＋2＝ ( a2－6 a ＋9)＝ ( a －3)2.
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11. [2024廊坊期末]若4 x2－( k ＋1) x ＋9能用完全平方公式分
解因式，则 k 的值为( C )
A. ±6 B. ±12
C. －13或11 D. 13或－11
C
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12. 因式分解： x2－ ax ＋4＝( bx ＋2)2，其中 a ， b 是常数，
则 a ＋ b ＝( A )
A. ±3 B. －3
C. 3 D. 4
点拨：根据题意得 x2－ ax ＋4＝ b2 x2＋4 bx ＋4，
∴ b2＝1，－ a ＝4 b ，∴ b ＝±1， a ＝－4 b ，
当 b ＝1时， a ＝－4， a ＋ b ＝－3；
当 b ＝－1时， a ＝4， a ＋ b ＝3.
综上， a ＋ b ＝±3.
A
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13. 现有甲、乙、丙三种不同的长方形纸片(边长如图).
(1)取甲、乙纸片各1张，其面积之和为 ；
(2)嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取
甲纸片1张，再取乙纸片9张，还需取丙纸片 张.
(1)(2)中横线上分别填( A )
A. a2＋ b2，6 B. a2＋ b2，5
C. a2＋ b2，4 D. a2＋ b2，3
A
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14. [2024石家庄期末]分解因式：(2 a －1)2＋8 a ＝ .
(2 a ＋ 1)
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15. [2023金华期末]因式分解：
(1) ＋8( m2－4 m )＋16；
解：(1)原式＝
＝ ＝( m －2)4.
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(2)( x －2 y )2＋8 xy ；
解：(2)原式＝ x2－4 xy ＋4 y2＋8 xy
＝ x2＋4 xy ＋4 y2
＝( x ＋2 y )2.
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(3)－101×190＋1012＋952.(用因式分解计算)
解：(3)原式＝1012－2×101×95＋952
＝(101－95)2
＝36.
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16. 【创新题】[2024保定期末][阅读材料]下面是某同学对多项式
( x2－4 x ＋2)( x2－4 x ＋6)＋4进行因式分解的过程.
设 x2－4 x ＝ y ，
则原式＝( y ＋2)( y ＋6)＋4(第一步)
＝ y2＋8 y ＋16(第二步)
＝( y ＋4)2(第三步)
＝ .(第四步)
请问：
(1)该同学因式分解的结果是否正确？若不正确，请直接写出因式分解的最后结果.
解：(1)该同学因式分解的结果不正确.
因式分解的最后结果为( x －2)4.
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(2)请你参照上述方法尝试对多项式( a2－2 a )·( a2－2 a ＋2)＋1进行因式分解.
解：(2)设 a2－2 a ＝ m ，
则原式＝ m ( m ＋2)＋1＝ m2＋2 m ＋1＝( m ＋1)2＝
＝( a －1)4.
16. 【创新题】[2024保定期末][阅读材料]下面是某同学对多项式
( x2－4 x ＋2)( x2－4 x ＋6)＋4进行因式分解的过程.
设 x2－4 x ＝ y ，
则原式＝( y ＋2)( y ＋6)＋4(第一步)
＝ y2＋8 y ＋16(第二步)
＝( y ＋4)2(第三步)
＝ .(第四步)
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