2023-2024学年广西桂林市高二（上）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年广西桂林市高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间直角坐标系中，点到坐标原点的距离为( )
A. B. C. D.
2.一个科技小组中有名女同学、名男同学，现从中任选名同学参加学科竞赛，则不同的选派方法数为( )
A. B. C. D.
3.椭圆的长轴长是( )
A. B. C. D.
4.已知在件产品中有件次品，现从这件产品中任取件，用表示取得次品的件数，则( )
A. B. C. D.
5.圆：与圆：的位置关系是( )
A. 外切 B. 内含 C. 相交 D. 外离
6.已知，分别为直线，的一个方向向量，且，则( )
A. B. C. D.
7.设小明乘汽车、火车前往某目的地的概率分别为，汽车和火车正点到达目的地的概率分别为，，则小明正点到达目的地的概率为( )
A. B. C. D.
8.已知点，，是圆：上的两个动点，且满足，为线段的中点，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某服装公司对月份的服装销量进行了统计，结果如下：
月份编号
销量万件
若与线性相关，其线性回归方程为，则下列说法正确的是( )
A. 线性回归方程必过 B.
C. 相关系数 D. 月份的服装销量一定为万件
10.某市对历年来新生儿体重情况进行统计，发现新生儿体重，则下列结论正确的是( )
A. 该正态分布的均值为 B.
C. D.
11.已知双曲线，则下列说法正确的是( )
A. 的离心率 B. 的渐近线方程为
C. 的焦距为 D. 的焦点到渐近线的距离为
12.如图，在棱长为的正方体中，，分别为，的中点，则下列选项正确的是( )
A. 直线与直线平行
B. 直线与底面所成的角为
C. 直线与直线的距离为
D. 直线到平面的距离为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知直线：，：，则与的距离为______．
14.展开式中含项的系数等于______．
15.用，，，，这个数字，组成没有重复数字的三位数的个数为______用数字作答．
16.古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点设椭圆：的左、右焦点分别为，，若从右焦点发出的光线经过上的点和点反射后，满足，且，则的离心率为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知直线：与直线：相交于点．
求点的坐标；
求过点，且倾斜角为的直线的方程．
18.本小题分
年月日，中共中央政治局召开会议，审议关于优化生育政策促进人口长期均衡发展的决定并指出，为进一步优化生育政策，实施一对夫妻可以生育三个子女政策及配套支持措施某市为了解政策开放后已婚女性生育三孩意愿的情况，选取“后”和“后”已婚女性作为调查对象，随机调查了位，得到数据如表：
生育三孩意愿 无生育三孩意愿 合计
“后”
“后”
合计
请根据题目信息，依据列联表中的数据求出，的值；
根据调查数据，是否有以上的把握认为“已婚女性生育三孩意愿与年龄有关”，并说明理由参考数据：
参考公式：，其中
19.本小题分
在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知直线：与抛物线：相交于，两点．
求的焦点坐标及准线方程；
求的面积．
20.本小题分
某校高二班的元旦联欢会设计了一项抽奖游戏：准备了张相同的卡片，其中只在张卡片上印有“奖”字．
采取放回抽样方式，从中依次抽取张卡片，求抽到印有“奖”字卡片张数的分布列、数学期望及方差；
采取不放回抽样方式，从中依次抽取张卡片，求第一次抽到印有“奖”字卡片的条件下，第三次抽到未印有“奖”字卡片的概率．
21.本小题分
如图，在直三棱柱中，，，，点，分别为，的中点．
求二面角的余弦值；
若点满足，求直线与直线所成角的正弦值．
22.本小题分
已知椭圆：的上顶点为，右顶点为，直线与直线平行过点且斜率为的直线与相交于，两点．
求的方程；
记直线，的斜率分别为，，求的最小值．
参考答案
1.
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8.
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15.
16.
17.解：由，解得；
故A；
过点且直线的倾斜角为的直线方程为，整理得．
18.解：由列联表中的数据可知，，；
列联表如下：
生育三孩意愿 无生育三孩意愿 合计
“后”
“后”
合计
因为，
所以没有以上的把握认为“已婚女性生育三孩意愿与年龄有关”．
19.解：由抛物线的方程得，，
所以焦点坐标为，准线方程为；
设，，
联立直线与抛物线的方程，消去并整理得，，
则，，
所以
，
点到直线的距离，
所以，
的面积为．
20.解：解：由题意可知，，
则，
，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
所以；
解：记事件：第一次抽到印有“奖”字卡片，事件：第三次抽到未印有“奖”字卡片，
则，
由条件概率公式可得，
所以，在第一次抽到印有“奖”字卡片的条件下，第三次抽到未印有“奖”字卡片的概率为．
21.解：在直三棱柱中，平面，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为，、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
由题意，、、、，
设平面的法向量为，
则，取，可得，
易知平面的一个法向量为，则，
由图可知，二面角的平面角为钝角，
故二面角的余弦值为；
易知，
点满足，则，
则，且，
所以，
则，
因此，直线与直线所成角的正弦值为．
22.解：由题意可知点、，直线的斜率为，
因为直线与直线平行，
则，解得，
因此，椭圆的方程为．
设点、，
由题意可知，直线的方程为，其中，
联立，消去得：，
，
由韦达定理可得，
，同理可得，
所以，
，
因为，令，则，且，
所以，，
当时，即当时，取最小值，
此时，取最小值．
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