26.1.2.2 反比例函数的图象和性质 课件(共22张PPT)2024-2025学年数学人教版九年级下册

(共22张PPT)
26.1.2.2 反比例函数的图象和性质
1. 理解反比例函数的系数 k 的几何意义，并将其灵活运用于坐标系中图形的面积计算中. (重点、难点)
2. 能够解决反比例函数与一次函数的综合性问题. (重点、难点)
3. 体会“数”与“形”的相互转化，学习数形结合的思想方法，进一步提高对反比例函数相关知识的综合运用能力. (重点、难点)
反比例函数的图象形状是什么？
双曲线
当 k > 0 时，两条曲线分别位于第一、三象限，在每个象
限内，y 随 x 的增大而减小；
当 k < 0 时，两条曲线分别位于第二、四象限，在每个象限 内，y 随 x 的增大而增大.
问题1
问题2
反比例函数的性质与 k 有怎样的关系？
已知反比例函数的图象经过点 A (2，6).
(1) 这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如何变化？
解：因为点 A (2，6) 在第一象限，所以这个函数的图象位于第一、三象限；在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小.
探究1 用待定系数法求反比例函数的解析式
(2) 点B(3，4)，C( ， )，D(2，5)是否在这个函数的图象上？
解：设这个反比例函数的解析式为 ，因为点 A (2，6)在其图象上，所以有 ，解得 k =12.
因为点 B，C 的坐标都满足该解析式，而点D 的坐标不满足，所以点 B，C 在这个函数的图象上，点 D 不在这个函数的图象上.
所以反比例函数的解析式为 .
归纳
（1）用待定系数法求解析式，再根据 k 判断图象性质
（2）要判断所给的点是否在该图象上，可以将其坐标代入解析式中，若满足左边＝右边，则在；否则不在
例1 反比例函数 的图象经过点 ，则下列各点在
图象上的是( ) @4@
A . B.
C. D.
D
探究2 反比例函数图象和性质的综合
如图，它是反比例函数 图象的一支. 根据图象，回答下列问题：
图象的另一支位于哪个象限？常数 m 的
取值范围是什么？
解：反比例函数的图象只有两种可能：
位于第一、第三象限，或者位于第二、第四象限.
因为这个函数的图象的一支位于第一象限，
所以另一支必位于第三象限.
因为这个函数的图象位于第一、第三象限，
所以 m－5＞0，解得 m＞5.
(2) 在这个函数图象的某一支上任取点 A(x1，y1) 和点 B(x2，y2). 如果 x1＞x2，那么 y1 和 y2 有怎样的大小关系？
解：因为 m－5 ＞ 0，
所以在这个函数图象的任一支上，
y 都随 x 的增大而减小，
因此当 x1＞x2 时，y1＜y2.
归纳
比较x(y)大小或求x(y)的取值范围
1.分类（讨论）：点在同分支或异分支
2.方法：图象法（数形结合）和特殊值法
例2 已知反比例函数 ，当 1A. 0C. 510
C
点拨：点在同分支，特殊值法
例3 如图，直线 y=k1x + b 与反比例函数 (x＞0) 交于A，B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式 k1x +b ＞ 的解集是_________．
1＜x＜5
O
B
A
x
y
1
5
点拨：数形结合
S1
探究3 k的几何意义
（1）在反比例函数 的图象上分别取点 P，Q 向 x 轴、y 轴作垂线，围成面积分别为 S1，S2 的矩形，填写表格：
5
1
2
3
4
－1
5
x
y
O
P
S2
P (2，2) ，Q (4，1)
S1 的值
S2 的值
S1与 S2 的关系
猜想 S1，S2 与 k 的关系
4
4
S1=S2
S1=S2=k
－5
－4
－3
－2
1
4
3
2
－3
－2
－4
－5
－1
Q
S1的值 S2的值 S1与S2的关系
猜想S1，S2与 k 的关系
P (－1，4)， Q (－2，2)
（2）若在反比例函数 中也用同样的方法分别取 P，Q 两点，填写表格：
4
4
S1=S2
S1=S2=－k
y
x
O
P
Q
S1
S2
由前面的探究过程，可以猜想：
若点 P 是反比例函数 图象上的任意一点，过点 P 作 PA⊥x 轴于点 A，PB⊥y 轴于点 B，则矩形 AOBP 的面积与 k 的关系是
S矩形 AOBP=|k|.
y
x
O
P
S
我们就 k < 0 的情况给出证明：
设点 P 的坐标为 (a，b).
A
B
∵点 P (a，b) 在函数 的图象上，
∴ ，即 ab=k.
∴ S矩形 AOBP=PB·PA=－a·b=－ab=－k；
若点 P 在第二象限，则 a<0，b>0，
若点 P 在第四象限，则 a>0，b<0，
∴ S矩形 AOBP=PB·PA=a· (－b)=－ab=－k.
综上，S矩形 AOBP=|k|.
B
P
A
S
点 Q 是其图象上的任意一点，过点 Q 作 QA⊥y 轴于点 A，QB⊥x 轴于点 B，则矩形 AOBQ 的面积与 k 的关系是 S矩形AOBQ = .
推论：△QAO 和△QBO 的面积与 k 的关系是 S△QAO = S△QBO =
对于反比例函数 ，
A
B
|k|
y
x
O
反比例函数的面积不变性
Q
归纳 k的几何意义
例4 如图所示，点 A 是反比例函数图象上一点，过点 A 作 AB⊥y 轴于点 B，点 C，D 在 x 轴上，且 BC//AD，四边形 ABCD 的面积为 3，则这个反比例函数的解析式为 _______________.
A
B
C
D
O
E
x
S四边形ABOE =S四边形ABCD=3
|k|=3
图象在第二象限
k＜0，x＜0
(x＜0 )
y
点拨：同底等高等积（数形结合），
注意x的取值范围
1.在反比例函数 (k<0)的图象上有三点P1(x1,y1)，P2(x2，y2),
P3(x3，y3)，若 x1A.y1C.yB
点拨：数形结合，点在异分支
2.函数 y=kx－k 与 的图象可能是( )
D.
x
y
O
C.
y
A.
y
x
B.
x
y
O
D
O
O
x
点拨：分类讨论
3.如图所示，点 A 在双曲线 上，点 B 在双曲线 上，且 AB//x 轴，则△OAB 的面积= .
C
点 B在 上
S△OBC= 4
S△AOC=
点 A 在 上
S△OAB=
点拨：数形结合
反比例函数
的图象和性质
与一次函数的综合
k的几何意义（面积不变性）
判断反比例函数和一次函数在同一直角坐标系中的图象，要对系数进行分类讨论，并注意b 的正负
反比例函数的图象是一个以原点为对称中心的中心对称图形，其与正比例函数的交点关于原点中心对称