27.2.1.2 相似三角形的判定定理1,2 课件(共21张PPT) 2024-2025学年数学人教版九年级下册

(共21张PPT)
27.2.1 相似三角形的判定
第2课时 相似三角形的判定定理1,2
1.探索用三边关系判定三角形相似定理
2.掌握利用三边来判定两个三角形相似的方法，并能进行相关计算. (重点、难点)
3.探索“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理.
4.会根据边和角的关系来判定两个三角形相似，并进行相关计算. (重点、难点)
思考：学习三角形全等时，我们知道有判定两个三角形的简便方法（SSS、SAS、ASA、AAS）．
类似于判定三角形全等 的SSS方法，我们能不能通过三边来判断两 个三角形相似呢？
回顾：上节课我们探究了平行线分线段成比例定理
任意画一个 △ABC ，再画一个 △A′B′C′，使它的各边长都是原来
△ABC 的各边长的k倍，动手量一量这两个三角形的角，它们分别
相等吗？这两个三角形相似吗？
A′
B′
C′
C
B
A
探究1 三边成比例的两个三角形相似
通过测量不难发现∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'，
又因为两个三角形的边对应成比例，所以 △ABC ∽△A′B′C′.
下面我们用前面所学定理证明该结论.
A′
B′
C′
C
B
A
∴
证明: 在线段 A′B′ (或延长线上)截取A′D=AB，
过点 D 作 DE∥B′C′ 交A′C′于点 E.
∵ DE∥B′C′ ，∴ △A′DE ∽ △A′B′C′.
又 ，A′D=AB，
C
B
A
B′
C′
A′
D
E
∴ DE=BC，A′E=AC.
∴△A′DE≌△ABC，
∴△ABC∽△A′B′C′ .
∴ ， .
C
B
A
B′
C′
A′
D
E
由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理：
三边成比例的两个三角形相似．
归 纳：
符号语言：
∵ ，
∴ △ ABC ∽ △A′B′C.
例1
如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（ ）
C
A. ①和②
B. ②和③
C. ①和③
D. ②和④
点拨：先看轮廓，再比较最长边和最短边.
思考：类似于判定三角形全等的 SAS 方法，能不能通过两边和夹角来判定两个三角形相似呢？
探究2 利用刻度尺和量角器画 △ABC和 △A′B′C′，使∠A=∠A′，
量出 BC 及 B′C′ 的长，它们的比值等于 k吗？
再量一量两个三角形另外的两个角，你有什么发现？△ABC 与 △A′B′C′ 有何关系？
答：两个三角形相似.
改变 k 和∠A 的值的大小，是否有同样的结论？
证明：在 △A′B′C′ 的边 A′B′ 上截取点D，
使 A′D = AB．过点 D 作 DE∥B′C′，
交 A′C′ 于点 E.
∵ DE∥B′C′，
∴ △A′DE∽△A′B′C′.
根据上述条件，求证：△ABC∽△A′B′C′.
B
A
C
D
E
B'
A'
C'
∴
∴ A′E = AC .
又 ∠A′ = ∠A，
∴ △A′DE ≌ △ABC，
∴ △ABC ∽△A′B′C′.
B
A
C
D
E
B'
A'
C'
∵ A′D=AB，
∴
由此得到利用两边和夹角来判定三角形相似的定理：
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
符号语言：
∵ ∠A=∠A′，
∴ △ABC ∽ △A′B′C′ .
归 纳：
B
A
C
B'
A'
C'
思考：对于△ABC和 △A′B′C′，如果 ∠B= ∠B′，
这两个三角形一定会相似吗？试着画画看.
如图所示，
∠B=∠B'
有两种情况，所以
以上条件下，△ABC和△A'B'C'不一定相似.
若把∠B 换成∠C，情况一样.
A/A'
B
C
C'
B'
A/A'
B
C
C'
B'
结论：如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似，相等的角一定要是两条对应边的夹角.
例2 如图，小正方形的边长均为1，则下列选项中的三角形(阴影部分)
与 相似的是( @2@ )
A B C D
A
点拨：找特殊角，
比较该角的两边
A
B
C
1.在 中, ,在 中, ,
,当 ______时, .

　2.如图，四边形ABCD，CDEF，EFGH都是正方形．
(1)△ACF与△ACG相似吗？说说你的理由；
(2)求∠1＋∠2的度数．
解：相似
解：45°
点拨：找相同角
点拨：将两角转化到一个三角形
相似三角形的判定
定理1,2
注意
要点
1.三边成比例
2.两边成比例且夹角相等
如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似，相等的角一定要是两条对应边的夹角