28.2.2 应用举例 课件(共24张PPT) 2024-2025学年数学人教版九年级下册
文档属性
| 名称 | 28.2.2 应用举例 课件(共24张PPT) 2024-2025学年数学人教版九年级下册 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.7MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-11-15 21:55:49 | ||
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文档简介
(共24张PPT)
28.2.2 应用举例
1.会运用解直角三角形和圆的知识解决实际问题.(重点)
2.知道仰角和俯角的含义，会用三角函数解决观测问题.（重点、难点）
3.能根据方位画出相应的图形，会用解直角三角形的知识解决方位问题.(重点)
4.知道坡度与坡角的含义，能利用解直角三角形的知识解决与坡度有关的实际问题.(重点)
2012 年 6 月 18 日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接.
“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343 km 的圆形轨道上运行，如图.
例1 当组合体运行到地球表面 P 点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与 P 点的距离是多少(地球半径约为6400km，π取3.142，结果取整数)？
P
探究1 圆和解直角三角形的综合运用
从组合体中能直接看到的地球表面最远点，
应是视线与地球相切时的切点．
思考：在平面图形中，用什么图形可表示地球，用什么图形表示观测点，请根据题中的相关条件画出示意图．
如图，用 ⊙O 表示 ，点 F 是 的位置，FQ是⊙O 的 ， Q 为切点，则所求问题为 ．
弧PQ的长
地球
组合体
切线
解：在图中，FQ 是⊙O 的切线，△FOQ 是直角三角形．
∵ cosα = =
≈ 0.9491，
∴ α≈18.36°．
∴ 的长为
PQ
×6 400 ≈ ×6 400≈2 051(km)．
1.如图是一个匀速旋转的摩天轮示意图，O为圆心，AB为水平地面，假设摩天轮的直径为80m，最低点C离地面6m，旋转一周所用的时间为6min，小明从点C乘坐摩天轮
（身高忽略不计），请问：经过
2min后，小明离地面的高度是多
少米？
解：过E作EG垂直于CO的延长线于点G，∠COE= ×360°=120°，∴∠GOE=60°.
∴OG=OE·cos∠GOE=20（m）
∴小明离地面的高度是OG+OC+CD=
20+40+6=66（m）.
探究2 解与仰俯角有关的问题
如图，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线上方的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线下方的夹角叫做俯角.
例2 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯 角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）.
分析：我们知道，在视线与水平线所成的角中视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此，在图中，a=30°，β=60°.
Rt△ABD中，a =30°，AD＝120，所以利用解直角三角形的知识求出BD的长度；类似地可以求出CD的长度，进而求出BC的长度，即求出这栋楼的高度.
A
B
C
D
α
β
解：如图，a = 30°,β= 60°， AD＝120．
答：这栋楼高约为277.1m.
A
B
C
D
α
β
2. 如图，小明在地面 处测得建筑物顶点 的仰角为 ，在地面 处测得建筑物顶点 的仰角为 ，点 ， ， 在一条直线上，已知 米，则该建筑物 的高度为( @1@ )
B
A.
C.
3.如图，某景区的两个景点 ， 处于同一水平地面上，一架无人机在空中沿水平方向飞行进行航拍作业， 与 在同一铅直平面内，当无人机飞行至 处时，测得景点 的俯角为 ，景点 的俯角为 ，此时 到地面的距离 为 ，则两景点 ， 间的距离为_ ________________ （结果保留根号）.
探究3 解与方位有关的问题
例3 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔 80 n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远（结果取整数）？
65°
34°
P
B
C
A
解：如图 ，在Rt△APC中，
PC=PA·cos（90°－65°）
=80×cos25°
≈72.505.
在Rt△BPC中，∠B=34°，
因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向
时，它距离灯塔P大约130 n mile．
65°
34°
P
B
C
A
130（n mile）
4.如图，在距离铁轨200米处的 处，观察由南宁开往百色的“和谐号”动车，当动车车头在 处时，恰好位于 处的北偏东 方向上，10秒钟后，动车车头到达 处，恰好位于 处西北方向上，则这时段动车的平均速度是( @2@ )
A.
C.
A
α
l
h
i= h : l
1. 坡角
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 α .
2. 坡度 (或坡比)
坡度通常写成 1∶m的形式，如i=1∶6.
如图所示，坡面的铅垂高度 (h) 和水
平长度 (l) 的比叫做坡面的坡度 (或坡
比)，记作i， 即 i = h : l .
坡面
水平面
探究4 坡度、坡角有关的问题
3. 坡度与坡角的关系
即坡度等于坡角的正切值.
α
l
h
i= h : l
坡面
水平面
例4 水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求：
(1) 斜坡CD的坡角α (精确到 1°)；
A
D
B
C
i=1:2.5
23
6
α
i=1:3
解： 斜坡CD的坡度i = tanα = 1 : 2.5=0.4，
由计算器可算得α≈22°.
故斜坡CD的坡角α 为22°.
解：分别过点B，C作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别
为E， F，由题意可知BE=CF=23m ， EF=BC=6m.
在Rt△ABE中，
(2) 坝底AD与斜坡AB的长度 (精确到0.1m).
E
F
A
D
B
C
i=1:2.5
23
6
α
i=1:3
=69+6+57.5=132.5 (m).
在Rt△ABE中，由勾股定理可得
在Rt△DCF中，同理可得
故坝底AD的长度为132.5m，斜坡AB的长度为72.7m.
E
F
A
D
B
C
i=1:2.5
23
6
α
i=1:3
解：如图，作DE⊥AB 于 E，
CF⊥AB 于 F．
由题意知 DE＝CF＝
4 (米)，CD＝EF＝12 (米)．
45°
30°
4 米
12 米
A
B
C
D
5. 一段路基的横断面是梯形，高为 4 米，上底的宽是 12 米，路基左右两边坡面的坡角分别是 45° 和 30°，求 路基下底的宽 (精确到 0.01米， ， ).
在 Rt△ADE 中，
E
F
在 Rt△BCF 中，同理可得
∴ AB＝AE＋EF＋BF ≈ 4＋12＋6.93 = 22.93 (米)．
答： 路基下底的宽约为 22.93 米．
(米).
(米).
1.解直角三角形和圆的综合
2.仰角、俯角和观测问题
3.方位问题
4.坡度、坡角问题
解直角三角形的应用
28.2.2 应用举例
1.会运用解直角三角形和圆的知识解决实际问题.(重点)
2.知道仰角和俯角的含义，会用三角函数解决观测问题.（重点、难点）
3.能根据方位画出相应的图形，会用解直角三角形的知识解决方位问题.(重点)
4.知道坡度与坡角的含义，能利用解直角三角形的知识解决与坡度有关的实际问题.(重点)
2012 年 6 月 18 日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接.
“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343 km 的圆形轨道上运行，如图.
例1 当组合体运行到地球表面 P 点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与 P 点的距离是多少(地球半径约为6400km，π取3.142，结果取整数)？
P
探究1 圆和解直角三角形的综合运用
从组合体中能直接看到的地球表面最远点，
应是视线与地球相切时的切点．
思考：在平面图形中，用什么图形可表示地球，用什么图形表示观测点，请根据题中的相关条件画出示意图．
如图，用 ⊙O 表示 ，点 F 是 的位置，FQ是⊙O 的 ， Q 为切点，则所求问题为 ．
弧PQ的长
地球
组合体
切线
解：在图中，FQ 是⊙O 的切线，△FOQ 是直角三角形．
∵ cosα = =
≈ 0.9491，
∴ α≈18.36°．
∴ 的长为
PQ
×6 400 ≈ ×6 400≈2 051(km)．
1.如图是一个匀速旋转的摩天轮示意图，O为圆心，AB为水平地面，假设摩天轮的直径为80m，最低点C离地面6m，旋转一周所用的时间为6min，小明从点C乘坐摩天轮
（身高忽略不计），请问：经过
2min后，小明离地面的高度是多
少米？
解：过E作EG垂直于CO的延长线于点G，∠COE= ×360°=120°，∴∠GOE=60°.
∴OG=OE·cos∠GOE=20（m）
∴小明离地面的高度是OG+OC+CD=
20+40+6=66（m）.
探究2 解与仰俯角有关的问题
如图，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线上方的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线下方的夹角叫做俯角.
例2 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯 角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）.
分析：我们知道，在视线与水平线所成的角中视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此，在图中，a=30°，β=60°.
Rt△ABD中，a =30°，AD＝120，所以利用解直角三角形的知识求出BD的长度；类似地可以求出CD的长度，进而求出BC的长度，即求出这栋楼的高度.
A
B
C
D
α
β
解：如图，a = 30°,β= 60°， AD＝120．
答：这栋楼高约为277.1m.
A
B
C
D
α
β
2. 如图，小明在地面 处测得建筑物顶点 的仰角为 ，在地面 处测得建筑物顶点 的仰角为 ，点 ， ， 在一条直线上，已知 米，则该建筑物 的高度为( @1@ )
B
A.
C.
3.如图，某景区的两个景点 ， 处于同一水平地面上，一架无人机在空中沿水平方向飞行进行航拍作业， 与 在同一铅直平面内，当无人机飞行至 处时，测得景点 的俯角为 ，景点 的俯角为 ，此时 到地面的距离 为 ，则两景点 ， 间的距离为_ ________________ （结果保留根号）.
探究3 解与方位有关的问题
例3 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔 80 n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远（结果取整数）？
65°
34°
P
B
C
A
解：如图 ，在Rt△APC中，
PC=PA·cos（90°－65°）
=80×cos25°
≈72.505.
在Rt△BPC中，∠B=34°，
因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向
时，它距离灯塔P大约130 n mile．
65°
34°
P
B
C
A
130（n mile）
4.如图，在距离铁轨200米处的 处，观察由南宁开往百色的“和谐号”动车，当动车车头在 处时，恰好位于 处的北偏东 方向上，10秒钟后，动车车头到达 处，恰好位于 处西北方向上，则这时段动车的平均速度是( @2@ )
A.
C.
A
α
l
h
i= h : l
1. 坡角
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 α .
2. 坡度 (或坡比)
坡度通常写成 1∶m的形式，如i=1∶6.
如图所示，坡面的铅垂高度 (h) 和水
平长度 (l) 的比叫做坡面的坡度 (或坡
比)，记作i， 即 i = h : l .
坡面
水平面
探究4 坡度、坡角有关的问题
3. 坡度与坡角的关系
即坡度等于坡角的正切值.
α
l
h
i= h : l
坡面
水平面
例4 水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求：
(1) 斜坡CD的坡角α (精确到 1°)；
A
D
B
C
i=1:2.5
23
6
α
i=1:3
解： 斜坡CD的坡度i = tanα = 1 : 2.5=0.4，
由计算器可算得α≈22°.
故斜坡CD的坡角α 为22°.
解：分别过点B，C作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别
为E， F，由题意可知BE=CF=23m ， EF=BC=6m.
在Rt△ABE中，
(2) 坝底AD与斜坡AB的长度 (精确到0.1m).
E
F
A
D
B
C
i=1:2.5
23
6
α
i=1:3
=69+6+57.5=132.5 (m).
在Rt△ABE中，由勾股定理可得
在Rt△DCF中，同理可得
故坝底AD的长度为132.5m，斜坡AB的长度为72.7m.
E
F
A
D
B
C
i=1:2.5
23
6
α
i=1:3
解：如图，作DE⊥AB 于 E，
CF⊥AB 于 F．
由题意知 DE＝CF＝
4 (米)，CD＝EF＝12 (米)．
45°
30°
4 米
12 米
A
B
C
D
5. 一段路基的横断面是梯形，高为 4 米，上底的宽是 12 米，路基左右两边坡面的坡角分别是 45° 和 30°，求 路基下底的宽 (精确到 0.01米， ， ).
在 Rt△ADE 中，
E
F
在 Rt△BCF 中，同理可得
∴ AB＝AE＋EF＋BF ≈ 4＋12＋6.93 = 22.93 (米)．
答： 路基下底的宽约为 22.93 米．
(米).
(米).
1.解直角三角形和圆的综合
2.仰角、俯角和观测问题
3.方位问题
4.坡度、坡角问题
解直角三角形的应用