2024-2025学年四川省成都七中高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年四川省成都七中高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.以点为圆心，并与轴相切的圆的方程是( )
A. B.
C. D.
2.若，，则( )
A. B. C. D.
3.“”是“直线：与直线：平行”的( )
A. 充要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知椭圆的两个焦点坐标分别为，，且椭圆上的点到两焦点的距离之和为，则椭圆的标准方程为( )
A. B. C. D.
5.从名男生和名女生中任意选出两人参加冬奥知识竞赛，则选出的两人恰好是一名男生和一名女生的概率是( )
A. B. C. D.
6.如果一组数据的频率分布直方图在右边“拖尾”，则下列说法一定错误的是( )
A. 数据中可能存在极端大的值 B. 这组数据是不对称的
C. 数据中众数一定不等于中位数 D. 数据的平均数大于中位数
7.在正四棱柱中，，点在线段上，且，点为中点，则点到直线的距离( )
A. B. C. D.
8.已知，，直线：，直线：，若为，的交点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.成都七中高新校区高二年级个班团体操比赛成绩从小到大排序依次为：，，，，，，，，，，，，，单位分，则下列说法正确的是( )
A. 众数为 B. 中位数为
C. 第百分位数为 D. 方差为
10.已知正方体，的棱长为，点，，分别为棱、和的中点，则下列说法正确的有( )
A.
B. ，分别是线段和上的两个动点，则
C. 平面与平面夹角的正弦值为
D. 平面被正方体截得的截面面积为
11.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，经过左焦点的直线与椭圆相交于、两点，，则以下说法正确的是( )
A. 的周长为
B. 的面积的最大值为
C. 记关于坐标原点的对称点为，则
D. 若为的中点，则的轨迹方程为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.点关于直线的对称点坐标为______．
13.某人抛掷一枚骰子两次，则两次向上点数之和为的概率为______．
14.已知，，点满足：，过点分别作两条相互垂直的射线，分别与点的轨迹交于，两点，记的中点为，记的轨迹为，过点分别作轨迹的两条切线，切点分别为，，则取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
为了检验同学们高二以来的学习效果，市上在期末的时候将组织调研考试在某次调研考试中学校为了解同学们的调考情况，从所有同学中随机抽取某学科的份答卷作为样本，将样本成绩按从低到高依次分为第，，，组如图所示，成绩满分为分且成绩均为不低于分的整数，得到如图所示的频率分布直方图．
根据频率分布直方图求样本成绩的上四分位数上四分位数即百分位数．
已知第组的平均成绩是，方差是，第组的平均成绩为，方差是，
分别求第组和第组的人数；
求这两组成绩的总平均数和总方差．
参考公式或数据：
方差：；；；．
16.本小题分
设向量，，满足．
求动点的轨迹的方程；
若点，，设斜率为且过的直线与中的轨迹交于，两点，求的面积．
17.本小题分
年月日是新中国诞辰周年，为弘扬爱国主义精神，某学校开展了爱国主义知识竞赛活动，在最后一轮晋级中，参赛选手两人为一组，要求：在规定时间内两人分别对两道不同的题作答，每题只有一次作答机会，每道题是否答对相互独立已知甲答对每道题的概率为，乙答对每道题的概率为，答题过程中甲乙每次是否作答正确互不影响．
若，
甲在两次作答中，分别求甲答对两道题和甲答对一道题的概率；
求甲、乙各两次作答中一共答对次题的概率；
若，求甲、乙各两次作答中一共答对次题的概率的最小值．
18.本小题分
已知圆，圆与圆关于直线对称，圆．
求圆与圆的公共弦所在的直线方程和圆的方程；
为平面内一动点，，分别为圆与圆的切线为切点且，求点的轨迹方程；
斜率为的直线过点与圆交于、两点在轴上方将平面沿轴折叠，使平面平面，设折叠后的长度为求函数的解析式，并求函数的值域，
19.本小题分
如图所示，直角梯形，，，且，点，分别在线段，上，且，点为的中点，将四边形沿折起，使二面角的大小为．
若，如图所示，求直线与平面所成角的正弦值；
若，点为平面内一点，若平面如图所示，求的值；
若，时，点为线段的中点，将沿折起，使与四边形在平面的同侧且平面平面，点为四面体内切球球面上一动点，求的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为前几组的频率依次为，，，，，
所以上四分位数即百分位数落在内，
所以上四分位数为；
由图可知成绩在的人数为，
成绩在的人数为；
因为第组的平均成绩是，方差是，第组的平均成绩为，方差是，
所以两组成绩的总平均数为，
设成绩在中人的分数分别为，，，，；
成绩在中人的分数分别为，，，，，
则由题意可得，，，
即，，
所以，
所以两组成绩的总平均数是，总方差是，
16.解：因为，，，
则，
所以由椭圆的定义可知，
点是以、为焦点，长轴为的椭圆，
所以，，则，，
所以点的轨迹的方程为：；
由题知，，
又直线的斜率为，过，
可得直线方程为：，设，，
联立方程组，化简得：，
则，，
所以，
又直线方程为，即，
点到直线的距离，
所以．
17.解：已知甲答对每道题的概率为，乙答对每道题的概率为，答题过程中甲乙每次是否作答正确互不影响，
若，
设甲答对一道题，甲答对两道题，
乙答对一道题，乙答对两道题，
由题，
．
同理：由题知，
设“甲、乙各两次作答中一共答对次题”，则
，与互斥，与，与分别相互独立，
所以，
因此，甲、乙各两次作答中一共答对次题的概率．
由题知：，
设“甲、乙各两次作答中一共答对次题”，则
，与互斥，与，与分别相互独立，
所以，
，
，当且仅当时等号成立，
．
所以甲、乙各两次作答中一共答对次题的概率的最小值为．
18.解：由圆，
圆，即，
两式相减得．
圆与圆的公共弦所在的直线方程为．
圆与圆关于直线对称，设圆的圆心为，
，解得．
圆方程为；
由，根据切线长公式，可得，
设，则，
化简得，
点的轨迹方程；
设直线的方程：，，，
联立，得．
显然，且．
分别过、作轴，轴，折叠后，有，
，
又由，，
，
由，
，则，
，．
综上可得，，，的值域为
19.解：如图：
由题、、三线两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，，
，
设平面的法向量，
则，令得，
设与平面所成角为，
则，
直线与平面所成角的正弦值为；
如图：
设、的中点分别为、，连接，
由平面几何知：、，，且平面，
若平面，平面，
，又，、平面，，
平面，
又平面，，且，
在中，，
又，，
；
如图：显然，为棱长为的正四面体，作面，设内切球球心为，
建立如图所示的坐标系，且，则，，
设内切球半径为，由等体积法知，，，
内切球的方程为，
由阿氏球知，空间中必存在一定点，使球上的点满足，
即，
则，
由球的方程，
，解得，，
，，
的最小值为．
第1页，共1页