2024-2025学年天津市天津一百中高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年天津一百中高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.已知两直线：和：，若，则( )
A. B. C. D.
3.已知圆与圆，则两圆的公共弦所在直线方程为( )
A. B. C. D.
4.已知双曲线：的离心率为，则的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
5.双曲线上的点到左焦点的距离为，则到右焦点的距离为( )
A. B. C. 或 D.
6.已知圆：截直线所得线段的长度是，则圆与圆：的位置关系为( )
A. 内切 B. 外切 C. 相交 D. 外离
7.设，分别是椭圆的左右焦点，过的直线与椭圆交于、两点，若的周长为，且的最小值为，则椭圆的方程为( )
A. B. C. D.
8.直线：与圆：交于、两点，点为中点，直线：与两坐标轴分别交于、两点，则面积的最大值为( )
A. B. C. D.
9.设，分别是双曲线的左右焦点，为双曲线左支上一点，且满足，直线与双曲线的一条渐近线垂直，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.已知直线过，且与以，为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围为______．
11.圆心在直线上，经过原点，且在轴上截得弦长为的圆的标准方程为______．
12.已知椭圆的左、右焦点为、，在椭圆上，且是直角三角形，这样的点有______个．
13.已知曲线与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围是______．
14.已知是椭圆上动点，则点到直线的距离的最大值为______．
15.已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的交点，且，则的最小值为______．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知直线：与直线：．
当为何值时，与平行，并求与的距离；
当为何值时，与垂直．
17.本小题分
已知圆过两点，，且圆心在直线上．
求圆的标准方程；
求过点的圆的切线方程；
若直线的横截距为，纵截距为，直线被圆截得的弦长为，求的最小值．
18.本小题分
如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，，分别是，的中点，点在直线上，且；
证明：无论取何值，总有；
当取何值时，直线与平面所成角最大？并求该角取最大值时的正切值；
是否存在点，使得平面与平面所成的二面角的正弦值为，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由．
19.本小题分
已知椭圆的离心率，椭圆上任意一点到椭圆的两个焦点的距离之和为若直线过点，且与椭圆相交于不同的两点，．
求椭圆的标准方程；
若线段中点的纵坐标，求直线的方程．
20.本小题分
已知椭圆的短轴长为，上顶点为，为坐标原点，，为椭圆上不同的两点，且当，，三点共线时，直线，的斜率之积为．
求椭圆的方程；
若的面积为，求的值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.或
12.
13.
14.
15.
16.解：直线：与直线：，直线与平行，则，解得，
所以此时直线，
所以与的距离为．
由直线与垂直，
则，解得或．
17.解：因为圆心在直线上，设圆心为，
因为点、在圆上，
所以，即，解得，
所以圆心，半径，
所以圆的标准方程为：；
解：由可得圆：，
则圆心，半径，
因为，则点在圆外，
当过点的直线斜率不存在，则直线方程为，
圆心到直线的距离为，故直线为圆的切线；
当过点的直线斜率存在，
可设直线方程，即，圆心到该直线的距离，
由直线与圆相切，则，即，
可得，解得，
此时，直线方程为，即；
综上，切线的方程为或；
解：直线被圆截的弦长为，
所以，圆心到直线的距离为，
又直线的横截距为，纵截距为，
则直线的方程为，即，
圆心到直线的距离为，
整理可得，由，得，即，
解得或，
因为，，则，则，故，
当且仅当时，即当时，等号成立，
所以，的最小值为．
18.以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，
证明：，，
，
无论取何值，．
解：由题意知，平面的一个法向量为，
，，
当且仅当时，等号成立，
此时取得最大值，
由知，也取得最大值，
，
故当时，直线与平面所成角最大，该角取最大值时的正切值为．
解：假设存在点满足题意，
由上可知，，，
设平面的法向量为，则，
令，得，，，
平面与平面所成的二面角的正弦值为，
，化简得，
解得，
即，
故当点满足时，可使得平面与平面所成的二面角的正弦值为．
19.解：由题意可知，得，解得．
所以椭圆的方程为．
由题意可知直线斜率存在，
设：，设，，
联立方程组，
消得，
因为，
设中点坐标为，
所以，所以，
所以或，
当，中点坐标为，直线方程为：，即．
当，中点坐标为，直线方程为：，即．
20.解：因为椭圆的短轴长为，
所以，
因为为椭圆的上顶点，
所以，
当，，三点共线时，
设，
此时，
可得，
所以，
解得，
则椭圆的方程为；
，，
当直线的斜率不存在时，
则，两点关于轴对称，
此时，，
因为的面积为，
所以，
即，
因为点在椭圆上，
所以，
解得，
此时，
则；
当直线的斜率存在时，
设直线的方程为，，
联立，消去并整理得，
此时，
由韦达定理得，
所以，
又点到直线的距离，
则，
整理得，
满足，
此时，
，
所以．
综上得，的值为．
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