2024-2025学年广东省广州市华侨中学等三校高一（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省广州市华侨中学等三校高一（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.下列结论正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
3.设函数，则( )
A. B. C. D.
4.下列函数最小值为的是( )
A. B. C. D.
5.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
6.若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数例如，，，已知函数，则函数的值域为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的是( )
A. 已知集合，则满足条件的集合的个数为
B. 已知集合，若，则实数
C. 命题“，”的否定是“，或”
D. 设，，则“”是“”的必要不充分条件
10.已知是定义在上的奇函数，当时，则下列说法正确的是( )
A.
B. 当时，
C. 若在上单调递减，则在上有最大值
D. 若，，则
11.已知集合是由个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“可分集合”( )
A. 不是“可分集合”
B. 是“可分集合”
C. 四个元素的集合可能是“可分集合”
D. 五个元素的集合不是“可分集合”
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的定义域是______．
13.已知函数为幂函数，且其图象关于原点对称，则实数 ______．
14.设是定义域为，满足，若对任意的，，都有不等式成立，且，则不等式解集是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知全集，集合，，且非空集合．
分别求，；
若是的充分不必要条件，求的取值范围．
16.本小题分
已知函数．
判断的奇偶性并加以证明；
根据函数单调性的定义证明：在区间上单调递增；
解不等式：．
17.本小题分
师大附中考入北大的学生李聪毕业后帮助某地打造“生态果园特色基地”，他决定为该地改良某种珍稀水果树，增加产量，提高收入，调研过程中发现：此珍稀水果树的单株产量单位：千克与投入的成本单位：元满足如下关系：已知这种水果的市场售价为元千克，且供不应求水果树单株获得的利润为单位：元．
求的函数关系式；
当投入成本为多少时，该水果树单株获得的利润最大？最大利润是多少？
18.本小题分
已知二次函数．
若的解集为，求的值；
若函数的定义域和值域均为，求实数的值；
若函数在区间上单调递减，且对任意的，，总有成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知函数，对于任意的，，都有，当时，，且．
求，的值；
求函数在区间上的值域；
设函数，若方程有个不同的解，求的取值范围．
参考答案
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15.解：，
又，所以或，
故A，或；
因为是的充分不必要条件，故C是的真子集，非空，
故，故．
16.解：为奇函数，证明如下：
函数的定义域为，
又，
所以为奇函数；
证明：设，
则，
因为，，
所以，即，
所以在区间上单调递增；
由题意可得，，
所以原不等式等价于，
即，解得或，
所以不等式的解集为或．
17.解：由题意可知：；
由可知：，
若，则，可知其图象开口向上，对称轴为，
此时的最大值为；
若，则，
当且仅当，即时，等号成立，
此时的最大值为；
又因为，可知的最大值为，
所以当投入成本为元时，该水果树单株获得的利润最大，最大利润是元．
18.解：不等式，即，
由不等式的解集为，所以，
解得，，所以；
因为函数是二次函数，图象开口向上，对称轴为，
所以在定义域上单调递减，
所以最大值为，最小值为，解得；
因为函数的对称轴为，单调减区间为，
若在区间上单调递减，则，所以，
所以对任意的，，总有成立，只需即可，
即，
解得，即，
又因为，所以实数的取值范围是
19.解：因为，
令，可得，解得，
令，可得，
令，，可得；
任取，，且，，
因为，即，
令，，则，可得
又因为时，，且，所以，
所以，即，
所以函数是上的减函数，
所以在上单调递减，
所以，，
又因为，
令，代入，可得，
所以，
所以函数为奇函数，
所以，
所以函数在区间上的值域为；
由可知函数为奇函数，可得，
即，
所以，
令，即，
因为函数是上的减函数，
所以，即，
令，
则函数的图象，如图所示，
结合图象，可得：当时，函数有个零点，
即实数的取值范围为．
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