2024-2025学年湖南省长沙市长沙一中高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖南省长沙一中高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则在复平面对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.设直线的倾斜角为，则( )
A. B. C. D.
3.如图：在平行六面体中，为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是( )
A.
B.
C.
D.
4.已知数列为等差数列，，，，设甲：；乙：，则甲是乙的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.假设一水渠的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的渠口宽为，渠深为，水面距为，则截面图中水面宽的长度约．
A.
B.
C.
D.
6.已知圆：与圆：外切，则的最大值为( )
A. B. C. D.
7.若函数在区间上只有一个零点，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.已知，分别为椭圆：的左、右焦点，椭圆上存在两点，使得梯形的高为为该椭圆的半焦距，且，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 用简单随机抽样从含有个个体的总体中抽取一个容量为的样本，某个个体被抽到的概率是
B. 已知一组数据，，，，的平均数为，则这组数据的方差是
C. 数据，，，，，，，的分位数是
D. 若样本数据，，，的平均值为，则数据，，，的平均值为
10.下列四个命题中正确的是( )
A. 过定点，且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程为
B. 过定点的直线与以，为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围为或
C. 定点到圆上的点的最大距离为
D. 过定点且与圆相切的直线方程为或
11.在棱长为的正方体中，点满足，、，则( )
A. 当时，点到平面的距离为
B. 当时，点到平面的距离为
C. 当时，存在点，使得
D. 当时，存在点，使得平面
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.假设，，且与相互独立，则 ______．
13.斜率为的直线与椭圆相交于，两点，的中点，则 ______．
14.已知公差不为的等差数列的前项和为，若，，，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的三个内角，，的对边分别为，，，且．
求角；
若，点满足，且，求的面积．
16.本小题分
在四棱锥中，底面是正方形，若，，．
求证：平面平面；
求平面与平面夹角的余弦值．
17.本小题分
已知双曲线的左、右焦点分别为、，的一条渐近线方程为，且．
求的方程；
，为双曲线右支上两个不同的点，线段的中垂线过点，求直线的斜率的取值范围．
18.本小题分
已知是数列的前项和，若．
求证：数列为等差数列；
若，，数列的前项和为．
(ⅰ)求取最大值时的值；
(ⅱ)若是偶数，且，求．
19.本小题分
直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如表示过点的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线．
若圆是直线族的包络曲线，求，满足的关系式；
若点不在直线族：的任意一条直线上，求的取值范围和直线族的包络曲线；
在的条件下，过曲线上，两点作曲线的切线，，其交点为已知点，若，，三点不共线，探究是否成立？请说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由题意有，
由正弦定理，可得，
即，
所以，
因为，所以，
所以，
又，所以，
故；
由，
可得，
所以，
即，即，
整理得，解得，
故．
16.解：证明：取的中点，连接，，
因为，，，可得，
可得，，
所以
即，
而，
所以平面，
平面，
所以平面平面；
取中点，在平面内作，
以所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，，，
，，，，
设平面的一个法向量为，
则，取，得，
设平面的一个法向量为，
则，取，得，
，
平面与平面夹角的余弦值为．
17.解：根据已知得，所以，
因此可得双曲线的方程为；
根据已知可知直线斜率存在且，
令：，，，令的中点为，
根据，整理得，并且，
所以，所以，
根据韦达定理可得，，
因为，
因此点为，，
根据中垂线性质知，因此，解得：，
根据，在双曲线的右支上可得：
，，
那么，，所以，
又因为，所以，整理得，
解得或，所以，所以．
综上可得，．

18.解：证明：是数列的前项和，若，
则是为首项，以为公差的等差数列，
所以，
即，
则，
由，得，
即有，
则，
上式对也成立，
所以数列为等差数列．
由题意及，在等差数列中，故．
则，故当时取最大值．
．
19.解：由定义可知，与相切，
则圆的圆心到直线的距离等于，
则，即；
点不在直线族：的任意一条直线上，
所以无论取何值时，无解，
将整理成关于的一元二次方程：，
若该方程无解，则，即，
猜测直线族的包络曲线为，理由如下：
在上任取一点在该点处的切线斜率为，
于是可以得到在点处的切线方程为，即，
令直线族：中，则直线为，
所以该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线，
而对任意，都是抛物线在点处的切线，
所以直线族的包络曲线为；
如图，过，分别作准线的垂线，，连接，，
因为，又，，
所以，显然，
所以，又由抛物线定义得，
故为线段的中垂线，得到，
即，同理可知，
所以，即，
则，
所以成立．
第1页，共1页