2024-2025学年湖北省“金太阳联考”高二（上）期中考试数学试题（含答案）

2024-2025学年湖北省“金太阳联考”高二（上）期中考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.已知角的终边不在坐标轴上，且，则( )
A. B. C. 或 D.
3.一艘轮船北偏西方向上有一灯塔，此时二者之间的距离为海里，该轮船以海里时的速度沿南偏西的方向直线航行，行驶半小时后，轮船与灯塔之间的距离为( )
A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里
4.已知某圆台的上、下底面半径分别为和，母线长为，则该圆台的体积为( )
A. B. C. D.
5.设函数若在上单调递增，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
6.已知点，，在直线上，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.金秋十月，某校举行运动会，甲、乙两名同学均从跳高、跳远、米跑和米跑这四个项目中选择两个项目参加设事件“甲、乙两人所选项目恰有一个相同”，事件“甲、乙两人所选项目完全不同”，事件“甲、乙两人所选项目完全相同”，事件“甲、乙两人均未选择米跑项目”，则( )
A. 与是对立事件 B. 与相互独立 C. 与相互独立 D. 与不互斥
8.已知，，若直线上存在点，使得，则的取值范围为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知圆的半径为，则下列命题是真命题的是( )
A.
B. 点在圆的外部
C. 若直线平分圆的周长，则
D. 圆与圆外切
10.已知函数的部分图象如图所示，其中，，则( )
A. B.
C. 在上单调递增 D. 在上恰有个零点
11.若平面，平面，平面，则称点为点在平面内的正投影，记为如图，在直四棱柱中，，，，分别为，的中点，，记平面为，平面为，，，( )
A. 若，则
B. 存在点，使得平面
C. 线段长度的最小值是
D. 存在点，使得
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.直线与直线平行，则 ，的倾斜角为 ．
13.甲、乙两人从九寨沟、峨眉山和青城山这三个景点中各选择其中一个景点游玩，已知甲、乙两人选择三个景点游玩的概率分别是，，和，，，则甲、乙两人选择了相同的景点游玩的概率为 ．
14.已知球是棱长为的正四面体的内切球，是球的一条直径，为该正四面体表面上的动点，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在平行六面体中，底面为正方形，，，设，，．
用，，表示
求的长度．
16.本小题分
已知圆，直线过点．
若在两坐标轴上的截距相等，求的方程
若与圆相切，求的方程
若与圆相交于，两点，且其中为圆的圆心为直角三角形，求的方程．
17.本小题分
某中学高二年级的所有学生学习完人教版选择性必修第一册的直线和圆的方程章节后，统一进行了一次测试，并将所有的测试成绩满分分按照，，，，，分成组，得到如图所示的频率分布直方图．
试估计该中学高二年级的所有学生该次测试成绩的平均数每组数据取区间的中间值作代表
按照人数比例用分层随机抽样的方法，从测试成绩在和内的学生中抽取人的试卷进行试卷分析，再从这人的试卷中任选人的试卷进行优秀答卷展示，求被选中进行优秀答卷展示的这人的测试成绩都在内的概率．
18.本小题分
如图，在四棱台中，底面是正方形，，平面．
证明：平面．
求直线与平面所成角的正弦值．
棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为若存在，求线段的长若不存在，请说明理由．
19.本小题分
若圆与圆相交于，两点，，且为线段的中点，则称圆是圆的等距共轭圆已知点，均在圆上，圆心在直线上．
求圆的标准方程．
若圆是圆的等距共轭圆，设圆心的轨迹为．
(ⅰ)求曲线的方程．
(ⅱ)已知点，直线与曲线交于异于点的，两点，若直线与的斜率之积为，试问直线是否过定点若过定点，求出该定点坐标若不过定点，请说明理由．
参考答案
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14.
15.解：；
根据题意可得，，
，
则
，
，即的长为．
16.解：若经过原点，则的方程为．
若不经过原点，则可设的方程为，
因为过点，所以，解得，
所以的方程为，即．
故的方程为或．
由圆，可得圆心，半径为．
因为点在圆上，所以易得的方程为．
因为为直角三角形，且，
所以，
则圆心到的距离为，
由题意易得的斜率一定存在，
所以可设的方程为，
即，
由，解得或，
故的方程为或．
17.解：由频率分布直方图可知该中学高二年级的所有学生该次测试成绩的平均数约为分．
因为测试成绩在和内的频率之比为，
所以抽取的人中测试成绩在内的有人，记为，，，，
测试成绩在内的有人，记为，．
从这人中任选人的所有可能情况为，，，，，，，，，，，，，，，共种，
其中这人的测试成绩均在内的情况有种，
故所求概率为．
18.解：证明：因为底面是正方形，所以．
又因为平面，平面，所以．
因为，且，平面，所以平面．
解：以，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，．
设平面的法向量为，
则取．
设直线与平面所成的角为，
则，，
故直线与平面所成角的正弦值为．
解：若存在点满足题意，则可设点，其中，
则，．
设平面的法向量为，则取．
易得平面的一个法向量为，
所以，解得或舍去，
故棱上存在一点，当时，二面角的余弦值为．

19.解：根据题意可设圆的圆心坐标为，
则圆的标准方程为，
由解得
则圆的标准方程为．
设圆与圆相交于，两点，则．
因为为线段的中点，所以，则，
所以是以为圆心，为半径的圆，
故的方程为．
若直线的斜率不存在，则可设直线的方程为，，
根据题意可得，整理得．
因为，所以，即直线的方程为，此时直线经过点，不符合题意．
若直线的斜率存在，则可设直线的方程为，，
由得，
则，，．
，
则，即，解得或．
当时，直线的方程为，经过点，不符合题意，故舍去．
当时，直线的方程为，不经过点，符合题意，
故直线的方程为，经过定点．
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