2024-2025学年湖北省恩施州高中教育联盟高二年级上学期期中考试数学试题（含答案）

2024-2025学年湖北省恩施州高中教育联盟高二年级上学期期中考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.一组数据，，，，，，的第百分位数是( )
A. B. C. D.
2.若圆锥的表面积为，底面圆的半径为，则该圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
3.在平行六面体中，为上靠近点的三等分点，为的中点，设，，，则( )
A. B.
C. D.
4.从和两个集合中各取一个数组成一个两位数，则这个两位数能被整除的概率是( )
A. B. C. D.
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.已知实数，满足，则的最小值与最大值之和为( )
A. B. C. D.
7.已知直线，，和平面，，，则下列命题中正确的是( )
A. 平面内不一定存在和直线垂直的直线
B. 若，，则
C. 若，异面且，，，，则
D. 若，，，则直线，，可能两两相交且不过同一点
8.设函数，，下列命题正确的是( )
A. 当时，的最小正周期为 B. 当时，的最大值为
C. 的最小值与的取值无关 D. 的最大值与的取值无关
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则下列结论正确的是( )
A. 是的一个周期 B. 在上有个零点
C. 的最大值为 D. 在上是增函数
10.下列命题正确的是( )
A. 若事件，，两两互斥，则成立
B. 若事件，，两两独立，则成立
C. 若事件，相互独立，则与不一定相互独立
D. 若，，则事件，相互独立与，互斥不能同时成立
11.记为圆的圆心，为轴上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别是，，则下列结论正确的是( )
A. 的最大值为 B. 直线过定点
C. 存在点，使得 D. 四边形的面积的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知单位向量，满足，则 ．
13.已知有名男生和名女生，其中名男生的平均身高为，方差为，名女生的平均身高为，方差为，则这名学生身高的方差为 ．
14.在正方体中，，为棱的中点，为棱的三等分点靠近点，过点，，作该正方体的截面，则该截面的周长是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知．
求
若复数满足，在复平面内对应的点为，且点，，求的取值范围．
16.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，且．
求若为锐角三角形，且，求的周长的取值范围．
17.本小题分
甲、乙两所学校之间进行羽毛球比赛，采用五局三胜制先赢三局的学校获胜，比赛结束约定比赛规则如下：先进行两局男生羽毛球比赛，后进行女生羽毛球比赛按照以往比赛经验，在男生羽毛球比赛中，每局甲校获胜的概率为，乙校获胜的概率为在女生羽毛球比赛中，每局甲校获胜的概率为，乙校获胜的概率为设各局比赛相互之间没有影响且无平局．
求恰好比赛三局，比赛结束的概率
求甲校以获胜的概率．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，是的中点．
求证：平面．
求平面与平面夹角的余弦值．
在棱上是否存在一点，使直线平面若存在，求出线段的长若不存在，说明理由，
19.本小题分
已知点与定点和点与原点的距离的比为，记点的轨迹为．
求的方程．
已知直线与轴交于点．
过点的直线与曲线交于，两点，求线段的中点的轨迹方程
求证为定值，并求出这个定值．
参考答案
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15.解：
设，则，所以，
即所以，，即．
设，，由知，在以为圆心，为半径的圆上，
即所以
，
即的取值范围是．

16.解：
因为，
所以由正弦定理可知，，
即．
又，
所以，即或，
即或舍去．
由得，则．
由正弦定理可知，，
所以
因为为锐角三角，所以，，即，，
即，故的周长的取值范围为．

17.解：
恰好比赛三局，比赛结束的情况如下：
甲校获胜，概率为
乙校获胜，概率为．
故恰好比赛三局，比赛结束的概率．
甲校以获胜的情况如下：
前两局男生羽毛球比赛中甲校全胜，第三局比赛甲校负，第四局比赛甲校胜，
概率为
前两局男生羽毛球比赛中甲校胜负，第三局比赛甲校胜，第四局比赛甲校胜，
概率为．
故甲校以获胜的概率．

18.解：
证明：连接，交于点，连接．
因为是的中点，是的中点，
所以，又平面，平面，
所以平面．
解：如图，以，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，
即，，，则，．
设平面的法向量为，则
令，得，，所以可取．
易知平面的一个法向量为．
设平面和平面的夹角为，
则，，
所以平面和平面夹角的余弦值为．
解：由知，，，，
则，，，
由知平面的一个法向量可为，
则直线，即，解得，
故当时，，则的长为．

19.解：
设，则，所以，化简得．
不妨设曲线的圆心为，所以当，不重合时，为直角三角形，取的中点，则，所以的轨迹方程为
由题意知，直线的斜率一定存在，设为，则，
代入，得，
且，．
不妨设，，则，，
故．

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