山西省太原市2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 山西省太原市2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 513.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-11-14 18:05:32 | ||
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文档简介
2024～2025学年第一学期高三年级期中学业诊断
数学试卷
（考试时间：上午8：00—10：00）
说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间120分钟，满分150分.
题号 一 二 三 四 总分
15 16 17 18 19
得分
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知复数z满足，则（ ）
A. B. C. D.
3.“”是“，”的（ ）
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知，，若，则实数（ ）
A. B.2 C. D.1
5.已知奇函数在上是减函数，则（ ）
A. B. C. D.
6.已知是等比数列，且，，是数列的前n项和，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
7.已知的三个顶点在半径为2的球O的球面上，，，，则三棱锥0-ABC的体积为（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数（）在上单调，在上存在极值点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，，，则下列结论正确的是（ ）
A.是锐角三角形 B. C.的面积为 D.AB的中线长为
10.已知函数满足对于任意x，，都有，且，则下列结论正确的是（ ）
A. B.的图象关于点对称
C.的图象关于直线对称 D.
11.已知直三棱柱中，，，与平面ABC和平面所成角均为30°，则下列结论正确的是（ ）
A.直线AB与平面所成角为30° B.直线与平面所成角为45°
C.点C到直线的距离为 D.点C到平面的距离为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12.已知是等差数列的前n项和，且，，则 .
13.已知函数（，）的图象经过点，则不等式的解集为 .
14.如图，扇形OPQ的半径为1，圆心角，A是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形，则矩形ABCD面积的最大值为 .
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题13分）
已知集合，.
（1）求；
（2）若是奇函数，当时，求的值域.
16.（本小题15分）
已知单调递增的等比数列满足，.
（1）求的通项公式；
（2）设（），是数列的前n项和，若不等式恒成立，求实数的取值范围.
17.（本小题15分）
已知函数，，设锐角三个角A，B，C的对边分别为a，b，c.
（1）若，，，求b，c的值；
（2）将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若，，，求的取值范围.
18.（本小题17分）
如图，三棱锥P-ABC中，，，，O为BC中点，点Q满足.
（1）证明：平面ABC；
（2）求二面角的大小；
（3）在线段BQ上是否存在一点M，使得直线AM与平面BCQ所成角的正弦值为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.
19.（本小题17分）
已知函数，令，过点作曲线的切线，交x轴于点，再过作曲线的切线，交x轴于点，……，以此类推，得到数列（）.
（1）证明：数列为等差数列；
（2）若数列的前4项和为，求实数的值；
（3）当时，若恒成立，求实数m的取值范围.
2024-2025年第一学期高三年级期中试题
参考答案及评分建议
一、选择题：
D B C A B C A B
二、选择题：
9.BC 10.AC 11.BCD
三、填空题：
12.145 13. 14.
四、解答题：
15.解：
（1）由题意得，∴，∴；
（2）由题意得的定义域为，且是奇函数，
∴，∴，∴，
∵在上单调递增，，，
∴当时，的值域为.
16.解
（1）设的公比为q，则，
解得或（舍去），∴（）；
（2）由（1）可得（），
∴，①
∴，②
①－②，整理得，
所以对于任意的，不等式恒成立，
即不等式对于任意的恒成立，
∴，解得，
∴实数的取值范围是.
17.解：
（1）由题意得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，由正弦定理可得，即，
∵，由余弦定理得，
∴，；
（2）由题意得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的取值范围为.
18.
（1）证明：连接OA，
∵，，
∴是正三角形，
∴，
同理可得，
∴，
∵O是BC的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴平面ABC；
（2）由（1）得，，，以O为原点，OA，OB，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，，
∵，
∴，
显然是平面ABC的一个法向量，
设是平面BCQ的一个法向量，则，
∴.
取，则，，
∴，
∴，
∴二面角的大小为135°；
（3）假设存在点M，设（），则，
∴，
∵直线AM与平面BCQ所成角的正弦值为，
∴，
∴或（舍去），
∴.
19.
（1）证明：由题意得曲线在点处的切线方程为，即，
令，解得，则，即（），所以数列是以为首项、为公差的等差数列；
（2）由（1）可得（），所以，
所以数列是以为首项、为公比的等比数列，
其前4项的和为，
所以实数；
（3）原不等式等价于在上恒成立，
令，，则，
令，，则，
所以在上递减，所以，
令，则；令，则，
所以在上递增，在上递减，
所以，
所以实数m的取值范围为.
注：以上各题其它解法请酌情赋分.
数学试卷
（考试时间：上午8：00—10：00）
说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间120分钟，满分150分.
题号 一 二 三 四 总分
15 16 17 18 19
得分
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知复数z满足，则（ ）
A. B. C. D.
3.“”是“，”的（ ）
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知，，若，则实数（ ）
A. B.2 C. D.1
5.已知奇函数在上是减函数，则（ ）
A. B. C. D.
6.已知是等比数列，且，，是数列的前n项和，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
7.已知的三个顶点在半径为2的球O的球面上，，，，则三棱锥0-ABC的体积为（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数（）在上单调，在上存在极值点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，，，则下列结论正确的是（ ）
A.是锐角三角形 B. C.的面积为 D.AB的中线长为
10.已知函数满足对于任意x，，都有，且，则下列结论正确的是（ ）
A. B.的图象关于点对称
C.的图象关于直线对称 D.
11.已知直三棱柱中，，，与平面ABC和平面所成角均为30°，则下列结论正确的是（ ）
A.直线AB与平面所成角为30° B.直线与平面所成角为45°
C.点C到直线的距离为 D.点C到平面的距离为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12.已知是等差数列的前n项和，且，，则 .
13.已知函数（，）的图象经过点，则不等式的解集为 .
14.如图，扇形OPQ的半径为1，圆心角，A是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形，则矩形ABCD面积的最大值为 .
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题13分）
已知集合，.
（1）求；
（2）若是奇函数，当时，求的值域.
16.（本小题15分）
已知单调递增的等比数列满足，.
（1）求的通项公式；
（2）设（），是数列的前n项和，若不等式恒成立，求实数的取值范围.
17.（本小题15分）
已知函数，，设锐角三个角A，B，C的对边分别为a，b，c.
（1）若，，，求b，c的值；
（2）将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若，，，求的取值范围.
18.（本小题17分）
如图，三棱锥P-ABC中，，，，O为BC中点，点Q满足.
（1）证明：平面ABC；
（2）求二面角的大小；
（3）在线段BQ上是否存在一点M，使得直线AM与平面BCQ所成角的正弦值为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.
19.（本小题17分）
已知函数，令，过点作曲线的切线，交x轴于点，再过作曲线的切线，交x轴于点，……，以此类推，得到数列（）.
（1）证明：数列为等差数列；
（2）若数列的前4项和为，求实数的值；
（3）当时，若恒成立，求实数m的取值范围.
2024-2025年第一学期高三年级期中试题
参考答案及评分建议
一、选择题：
D B C A B C A B
二、选择题：
9.BC 10.AC 11.BCD
三、填空题：
12.145 13. 14.
四、解答题：
15.解：
（1）由题意得，∴，∴；
（2）由题意得的定义域为，且是奇函数，
∴，∴，∴，
∵在上单调递增，，，
∴当时，的值域为.
16.解
（1）设的公比为q，则，
解得或（舍去），∴（）；
（2）由（1）可得（），
∴，①
∴，②
①－②，整理得，
所以对于任意的，不等式恒成立，
即不等式对于任意的恒成立，
∴，解得，
∴实数的取值范围是.
17.解：
（1）由题意得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，由正弦定理可得，即，
∵，由余弦定理得，
∴，；
（2）由题意得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的取值范围为.
18.
（1）证明：连接OA，
∵，，
∴是正三角形，
∴，
同理可得，
∴，
∵O是BC的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴平面ABC；
（2）由（1）得，，，以O为原点，OA，OB，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，，
∵，
∴，
显然是平面ABC的一个法向量，
设是平面BCQ的一个法向量，则，
∴.
取，则，，
∴，
∴，
∴二面角的大小为135°；
（3）假设存在点M，设（），则，
∴，
∵直线AM与平面BCQ所成角的正弦值为，
∴，
∴或（舍去），
∴.
19.
（1）证明：由题意得曲线在点处的切线方程为，即，
令，解得，则，即（），所以数列是以为首项、为公差的等差数列；
（2）由（1）可得（），所以，
所以数列是以为首项、为公比的等比数列，
其前4项的和为，
所以实数；
（3）原不等式等价于在上恒成立，
令，，则，
令，，则，
所以在上递减，所以，
令，则；令，则，
所以在上递增，在上递减，
所以，
所以实数m的取值范围为.
注：以上各题其它解法请酌情赋分.