上海市2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷(无答案)

上海市2024-2025学年高三上学期数学期中考试试卷
1.已知集合，，则__________.
2.不等式的解集为__________.
3.若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围为__________.
4.2024年世界杯亚洲区预选赛，中国与日本、澳大利亚、巴林、印尼和沙特分在同一小组，任意两个国家需要在各自主场进行一场比赛，则该小组共有__________场比赛.
5.若角的终边过点，则__________.
6.（为正整数）的二项展开式中，若第三项与第五项的系数相等，则展开式中的常数项为__________.
7.已知，则__________.
8.已知，则的最小值为__________.
9.过点与圆相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线方程是__________.
10.已知无穷等差数列的各项均为正整数，且，则的最小值是__________.
11.在空间直角坐标系中，已知三个单位向量、、满足，，则的取值范围是__________.
12.已知，其中是一个正整数，若对任意实数，函数均满足，则的最小值为_________________.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13.已知、、三个社区的居民人数分别为、、，现从中分层抽样抽取一个容量为的样本，若从社区抽取了15人，则（ ）
A.33 B.27 C.21 D.18
14.已知空间三条直线、、.若与异面，且与异面，则（ ）
A.与异面 B.与相交
C.与平行 D.与异面、相交、平行均有可能
15.已知内接于单位圆，则长为、、的三条线段（ ）
A.能构成一个三角形，其面积大于面积的
B.能构成一个三角形，其面积等于面积的
C.能构成一个三角形，其面积小于面积的
D.不一定能构成三角形
16.已知函数的导数存在，的图象如图所示，设是由的图象与直线、及轴所围成的平面图形的面积，则在区间上（ ）
A.的最大值是，最小值是
B.的最大值是，最小值是
C.的最大值是，最小值是
D.的最大值是，最小值是
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知.
（1）求函数的导数；
（2）求函数的单调区间和极值.
18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图，在正三棱柱中，，异面直线与所成的角的大小为.
（1）求正三棱柱的体积；
（2）求直线与平面所成的角的大小.
19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8）
如图所示，近日我渔船编队在岛周围海域作业.在的南偏西方向有一个海面观测站，某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近，现测到与相距31海里的处有一艘海警船巡航，为保护我渔船编队，上级指示海警船沿北偏西方向，以40海里/小时的速度向直线航行，30分钟后到达处，此时观测站测到、间的距离为21海里.
（1）求的值：
（2）试问海警船再向前航行多少分钟方可到达岛处？
20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知椭圆，过的右焦点、斜率为的直线交于、两点.
（1）求椭圆的两个焦点和短轴的两个端点构成的四边形的面积：
（2）当直线的斜率为1时，求的面积；
（3）在线段上是否存在点，使得以、为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.
21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知数列，若为等比数列，则称具有性质.
（1）若数列具有性质，且，，求的值；
（2）若，判断并证明数列是否具有性质；
（3）设，数列具有性质，其中，，，试求数列的通项公式.