云南省2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 云南省2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-11-14 18:07:27 | ||
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文档简介
2024-2025学年上学期高三年级期中考
数学试卷
考试时间：120分钟；满分：150分
一 单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1.已知集合，若，则可能是（ ）
A. B.1 C.2 D.3
2.已知是虚数单位，若与互为共轭复数，则（ ）
A. B.
C. D.
3.已知，则（ ）
A. B. C. D.
4.下列命题中，真命题的是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
5.函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
6.设是数列的前项和，且，则（ ）
A. B. C. D.
7.已知椭圆的左 右焦点分别为，过点的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二 多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9.已知为非零实数，则下列说法一定正确的有（ ）
A.若成等差数列，则成等差数列
B.若成等比数列，则成等比数列
C.若成等差数列，则成等比数列
D.若成等比数列，则成等比数列
10.在中，内角所对的边分别为，若成等差数列，是中点，则下面正确的是（ ）
A.周长的最大值为 B.面积的最大值为
C.中线长度的最大值为 D.若A为锐角，则
11.若是平面内两条相交成角的数轴，和是轴 轴正方向上的单位向量，若向量，则规定有序数对为向量在坐标系中的坐标，记作，设，则（ ）
A.
B.
C.若，则
D.若构成锐角三角形，则
三 填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12.向量满足与的夹角为，则__________.
13.已知正四棱台上底面边长为2cm，侧棱和下底面边长都是4cm，则它的体积为__________.
14.已知函数满足下列条件：①为的极值点；②在区间上是单调函数，则的取值范围是__________.
四 解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明 证明过程或演算步骤）
15.（13分）已知数列的前项和为，且，__________.
在①；②成等比数列；③三个条件中任选一个补充在横线上，并解答下面问题：
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列的前项和，求证：.
16.（15分）如图，在四棱锥中，平面，分别是棱的中点.
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值.
17.（15分）在平面直角坐标系中，已知点，动点的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）过作直线与交于两点，若，求直线的斜率.
18.（17分）已知函数.
（1）若函数在处的切线平行于轴，求的值；
（2）讨论的单调性；
（3）若有两个不同的零点，求的取值范围.
19.（17分）我们之前学习了用斜率刻画直线的倾斜程度，那如何刻画曲线的弯曲程度呢？考察如图所示的光滑曲线上的曲线段，其弧长为，当动点从沿曲线段运动到点时，点的切线也随着转动到点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）.显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当越接近，即越小，就越能精确刻画曲线在点处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线在点A处的曲率.（其中分别表示在点A处的一阶 二阶导数）
（1）已知抛物线的焦点到准线的距离为3，则在该抛物线上点处的曲率是多少？
（2）若函数，不等式对于恒成立，求的取值范围；
（3）若动点的切线沿曲线运动至点处的切线，点的切线与轴的交点为.若是数列的前项和，证明.
2024-2025学年上学期高三年级期中考
数学试卷参考答案
一 选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C A D C B C A BC ACD
题号 11
答案 BCD
二 填空题
12.2 13. 14.
三 解答题
15.（1）（2）证明见解析
【详解】（1）由，得，得，所以数列为等差数列，公差.
若选①，因为，所以，得，所以，所以，
若选②，因为成等比数列，所以，所以，所以，所以，所以.
若选③，因为，所以，所以，
（2），所以，
又因为，所以.
16.（1）证明见解析（2）
【详解】（1）如图所示，连接.
因为分别是棱的中点，所以.
因为，所以，
所以四边形是平行四边形，则.
因为平面平面，所以平面.
（2）因为平面平面，所以，
又因为，所以两两垂直，
以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
由题中数据可得，，
设平面的法向量为，则
令，得.
设平面的一个法向量为，则，
令，得.设平面与平面的夹角为，则
.即平面与平面的夹角的余弦值为.
17.（1）（2）
【详解】（1）（1）根据题意由可知，
动点的轨迹为以为焦点，实轴长为的双曲线，
即，所以，
所以可得的方程为.
（2）由（1）知，显然当直线的斜率不存在或的斜率为0时，不成立，
故直线的斜率存在，且不为0，设，
联立，
则，且即，
，
又，所以，所以，
所以由得，解得，故，
故直线的斜率为或.
18.（1）（2）答案见解析（3）
【详解】（1），故，则.
（2），
当时，令，解得或，令，解得，
故此时在单调递增，在的单调递减，
当时，在上恒成立，故此时在单调递增，
当时，令，解得或，令，解得，
故此时在单调递增，在的单调递减，
当时，，故在的单调递减，在单调递增，
当时，令，解得，令，解得，
故此时在的单调递减，在单调递增，
（3），
令，则，记，则，
当时，，当时，，
故在单调递增，在单调递减，
且，当时恒成立，
要使有两个零点，则由两个交点，
故，解得
19.（1）（2）（3）证明见解析
【详解】（1）抛物线的焦点到准线的距离为，
即扡物线方程为，即，则，
又抛物线在点处的曲率，则，即在该抛物线上点处的曲率为；
（2）在上为奇函数，又在上为减函数.对于恒成立等价于对于恒成立.
又因为两个函数都是偶函数，记，则曲线恒在曲线上方，，又因为，
所以在处三角函数的曲率不大于曲线的曲率，即，
又因为，所以，解得：，因此，的取值范围为；
（3）由题可得，所以曲线在点处的切线方程是，即，令，得，即，显然，由，知，同理，故，从而，设，即，所以数列是等比数列，故，即，从而，所以，
当时，显然；当时，，，
综上，.
数学试卷
考试时间：120分钟；满分：150分
一 单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1.已知集合，若，则可能是（ ）
A. B.1 C.2 D.3
2.已知是虚数单位，若与互为共轭复数，则（ ）
A. B.
C. D.
3.已知，则（ ）
A. B. C. D.
4.下列命题中，真命题的是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
5.函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
6.设是数列的前项和，且，则（ ）
A. B. C. D.
7.已知椭圆的左 右焦点分别为，过点的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二 多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9.已知为非零实数，则下列说法一定正确的有（ ）
A.若成等差数列，则成等差数列
B.若成等比数列，则成等比数列
C.若成等差数列，则成等比数列
D.若成等比数列，则成等比数列
10.在中，内角所对的边分别为，若成等差数列，是中点，则下面正确的是（ ）
A.周长的最大值为 B.面积的最大值为
C.中线长度的最大值为 D.若A为锐角，则
11.若是平面内两条相交成角的数轴，和是轴 轴正方向上的单位向量，若向量，则规定有序数对为向量在坐标系中的坐标，记作，设，则（ ）
A.
B.
C.若，则
D.若构成锐角三角形，则
三 填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12.向量满足与的夹角为，则__________.
13.已知正四棱台上底面边长为2cm，侧棱和下底面边长都是4cm，则它的体积为__________.
14.已知函数满足下列条件：①为的极值点；②在区间上是单调函数，则的取值范围是__________.
四 解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明 证明过程或演算步骤）
15.（13分）已知数列的前项和为，且，__________.
在①；②成等比数列；③三个条件中任选一个补充在横线上，并解答下面问题：
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列的前项和，求证：.
16.（15分）如图，在四棱锥中，平面，分别是棱的中点.
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值.
17.（15分）在平面直角坐标系中，已知点，动点的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）过作直线与交于两点，若，求直线的斜率.
18.（17分）已知函数.
（1）若函数在处的切线平行于轴，求的值；
（2）讨论的单调性；
（3）若有两个不同的零点，求的取值范围.
19.（17分）我们之前学习了用斜率刻画直线的倾斜程度，那如何刻画曲线的弯曲程度呢？考察如图所示的光滑曲线上的曲线段，其弧长为，当动点从沿曲线段运动到点时，点的切线也随着转动到点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）.显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当越接近，即越小，就越能精确刻画曲线在点处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线在点A处的曲率.（其中分别表示在点A处的一阶 二阶导数）
（1）已知抛物线的焦点到准线的距离为3，则在该抛物线上点处的曲率是多少？
（2）若函数，不等式对于恒成立，求的取值范围；
（3）若动点的切线沿曲线运动至点处的切线，点的切线与轴的交点为.若是数列的前项和，证明.
2024-2025学年上学期高三年级期中考
数学试卷参考答案
一 选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C A D C B C A BC ACD
题号 11
答案 BCD
二 填空题
12.2 13. 14.
三 解答题
15.（1）（2）证明见解析
【详解】（1）由，得，得，所以数列为等差数列，公差.
若选①，因为，所以，得，所以，所以，
若选②，因为成等比数列，所以，所以，所以，所以，所以.
若选③，因为，所以，所以，
（2），所以，
又因为，所以.
16.（1）证明见解析（2）
【详解】（1）如图所示，连接.
因为分别是棱的中点，所以.
因为，所以，
所以四边形是平行四边形，则.
因为平面平面，所以平面.
（2）因为平面平面，所以，
又因为，所以两两垂直，
以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
由题中数据可得，，
设平面的法向量为，则
令，得.
设平面的一个法向量为，则，
令，得.设平面与平面的夹角为，则
.即平面与平面的夹角的余弦值为.
17.（1）（2）
【详解】（1）（1）根据题意由可知，
动点的轨迹为以为焦点，实轴长为的双曲线，
即，所以，
所以可得的方程为.
（2）由（1）知，显然当直线的斜率不存在或的斜率为0时，不成立，
故直线的斜率存在，且不为0，设，
联立，
则，且即，
，
又，所以，所以，
所以由得，解得，故，
故直线的斜率为或.
18.（1）（2）答案见解析（3）
【详解】（1），故，则.
（2），
当时，令，解得或，令，解得，
故此时在单调递增，在的单调递减，
当时，在上恒成立，故此时在单调递增，
当时，令，解得或，令，解得，
故此时在单调递增，在的单调递减，
当时，，故在的单调递减，在单调递增，
当时，令，解得，令，解得，
故此时在的单调递减，在单调递增，
（3），
令，则，记，则，
当时，，当时，，
故在单调递增，在单调递减，
且，当时恒成立，
要使有两个零点，则由两个交点，
故，解得
19.（1）（2）（3）证明见解析
【详解】（1）抛物线的焦点到准线的距离为，
即扡物线方程为，即，则，
又抛物线在点处的曲率，则，即在该抛物线上点处的曲率为；
（2）在上为奇函数，又在上为减函数.对于恒成立等价于对于恒成立.
又因为两个函数都是偶函数，记，则曲线恒在曲线上方，，又因为，
所以在处三角函数的曲率不大于曲线的曲率，即，
又因为，所以，解得：，因此，的取值范围为；
（3）由题可得，所以曲线在点处的切线方程是，即，令，得，即，显然，由，知，同理，故，从而，设，即，所以数列是等比数列，故，即，从而，所以，
当时，显然；当时，，，
综上，.