2024-2025学年辽宁省大连市大连八中高一（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年辽宁省大连八中高一（上）月考数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“，有”的否定是( )
A. ，有 B. ，有
C. ，有 D. ，有
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.设，则“”是“”的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
4.集合，，若，则实数的取值集合为( )
A. B. C. D.
5.若，则的最小值为( )
A. B. C. D. 无最小值
6.关于，，的方程组，则下列说法错误的是( )
A. 一定有解 B. 可能有唯一解 C. 可能有无穷多解 D. 可能无解
7.已知方程的两不等根分别是和，且满足，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.若，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
10.已知方程有两个相等实根，则( )
A.
B. 若不等式的解集为，则
C.
D. 若不等式的解集为，则
11.已知集合，中都至少有两个元素，并且满足下列条件：
集合，中的元素都为正数；
，，都有；
，，都有；
则下列说法正确的是( )
A. 若有个元素，则有个元素 B. 若有个元素，则有个元素
C. 若有个元素，则有个元素 D. 存在满足条件且有个元素的集合
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.不等式的解集是______．
13.已知，记符号表示不大于的最大整数，集合，，则 ______答案用区间表示
14.已知，，均为正实数，且，则当取得最小值时 ______，的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，．
当时，求和；
若，求的取值范围．
16.本小题分
设函数．
若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围；
解关于的不等式：．
17.本小题分
已知，是一元二次方程的两个实数根．
是否存在实数，使成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；
若的值为整数，求整数的值．
18.本小题分
为了加强自主独立性，全国各个半导体领域企业都计划响应国家号召，加大对芯片研发部的投入据了解，某企业研发部原有名技术人员，年人均投入万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员名且，调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元．
要使这名研发人员的年总投入不低于调整前名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多多少人？
为了激励芯片研发人员的热情和保持各技术人员的工作积极性，在资金投入方面需要同时满足以下两个条件：技术人员的年人均投入始终不减少；研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入是否存在这样的实数，使得技术人员在已知范围内调整后，满足以上两个条件，若存在，求出的范围若不存在，说明理由．
19.本小题分
已知集合为非空数集，定义，．
若集合，直接写出集合及；
若集合，，且，求证：；
若集合，且，求集合中元素的个数的最大值．
参考答案
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15.解：当时，，
因为，
所以，；
因为，
所以或，
因为，所以，
因为，
所以或，
解得或，
所以的取值范围为或．
16.解：对一切实数恒成立，等价于，恒成立．
当时，不等式可化为，不满足题意．
当，有，即，解得，
所以的取值范围是．
依题意，等价于，
当时，不等式化为，
当时，，不等式的解集为；
当时，，不等式的解集为；
当时，，不等式的解集为；
当时，不等式可化为，所以不等式的解集为．
当时，不等式化为，此时，所以不等式的解集为．
综上，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为．
17.解：因为，是一元二次方程的两个实数根，
可得，即，
且，，
又因为，即，
即，解得，
所以不存在的值，使成立；
因为，
因为的值为整数，，，
所以或或，可得或或，显然符合条件，
所以整数存在．
18.解：依题意可得调整后研发人员的年人均投入为万元，
则，
解得，
，所以调整后的技术人员的人数最多人
由技术人员的年人均投入始终不减少有，解得
由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入有
，
两边同除以得，
整理得，
故有，
因为，当且仅当时等号成立，所以，
又因为，当时，取得最大值，所以，
，即存在这样的满足条件，使得其范围为
19.解：根据题意，由，则，；
证明：由于集合，，且，
所以中也只包含四个元素，即，
剩下的，所以；
设满足题意，其中，用表示集合中元素个数，
则，
，，，
，可得，
中最小的元素为，最大的元素为，
，
且，
，
实际上当时满足题意，证明如下：
设，，
则，，
依题意有：，即，
故的最小值为，于是当时，中元素最多，
即时满足题意，
综上所述，集合中元素的个数的最大值是．
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