天津市五区县重点校联考2024-2025学年高三上学期11月期中考试 数学（PDF版，含答案）

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2024～2025 学年度第一学期期中重点校联考
高三数学参考答案
一、选择题（本题共 9小题，每题 5分，共 45 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 C B A B B A D B B
二、填空题（本题共 6小题，每题 5分，共 30分，双空只对 1个空得 3分）
10 1 3． + 1ｉ； 11． ； 12． 7 ； 13． 4 6+10 ；
5 5 7
14 1

a 1

b 39． ， ； 15．1（写 x 1也给分，写 (1, 0)不给分），
4 2 8
2 3-2或2
三、解答题（本题共 5小题，共 75分）
16．（本小题满分 14分）
（Ⅰ）因为bcosC 2a c cosB，
由正弦定理可得： sin BcosC 2sin AcosB sinC cosB，……………1分
则 sin(B C ) 2sin Acos B，
因为在VABC中， A B C π，
所以 sin(B C ) sin(π A) sin A，
则有 sin A 2sin AcosB，………………3分
因为 A,B (0, π)
1
，所以 sin A 0， cosB ，
2
故 B
π
…………………5分 （注：不写 A、B的范围扣一分）
3
π
（Ⅱ）（i）由（1）知：B ，在VABC中，因为a 2,c 3，
3
由余弦定理可得：b2 a2 c2 2ac cosB 4 9 2 2 3
1
7，……7分
2
则b 7 . …………………8分
重点校联考高三数学参考答案 第 1 页（共 7 页）
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（ii a b）在VABC中，由正弦定理可得： ，
sin A sin B
2 7
3 21
即 sin A 3 ，所以 sin A ， …………………9分
2 7 7
因为 a b，所以 A B，则A为锐角，（注：无 A范围扣 1分）
cos A 1 2 7所以 sin2 A ， ………………11分
7
则 sin 2A 2sin AcosA
4 3
，………………12分
7
cos 2A cos2 A sin2 A 1 ，…………………13分
7
所以 sin 2A B sin 2Acos B cos 2Asin B 4 3 1 1 3 3 3 .……14分
7 2 7 2 14
17．（本小题满分 15分）
解：（Ⅰ） f x sin2 x cos2 x 2sin x cos x 3 cos 2x
sin 2x 3 cos 2x 1
2sin π 2x 13 ……………4分
所以函数 f x 的最小正周期为T 2π π，……………6分
2
π π π
（Ⅱ）令 2kπ 2x 2kπ ，
2 3 2
5π
得 kπ x kπ
π
， k Z，
12 12
f x kπ- 5π所以函数 的单调递增区间是 ,kπ
π
k Z
12 12 . ……………8分
π
令 2x k ,k Z，
3 2
x k 得 ,k Z，
12 2
所以函数 f x 的对称轴为 x k , k Z . ……………10分
12 2
π
（Ⅲ）锐角VABC中， A ，
3
重点校联考高三数学参考答案 第 2 页（共 7 页）
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2π
B C
3

π π π
0 B ，解得 B 6 2， ……………12分 2

0
π
C
2
2B π 2π 4π
3
, ，
3 3
f B π 2sin 2B

1 1 3,1 3 ，
3


所以 f B 的取值范围是 1 3,1 3 . ……………15分
（注：解答过程中没写 k Z 不扣分，求解 f B 时没讨论单调性不扣分）
18．（本小题满分 15分）
a1 a 22 a3 14 a1 a1q a1q 14
（Ⅰ）依题有 2 a 1 a a 2 1 3 2 a1q 1 a
2 ,
1 a1q
因为 q 1，解得： a 2,q 2 a 2n1 n ． …………………3分
2b 4
1数列 bn 是等差数列,设其公差为 d ,
b1 3d 8
，
b1 2
解得： bn 2nd 2 .…………………5分
（Ⅱ）数列 cn 的前 n项和记为 Sn，则 Sn c1 c2 cn，
bn n
因为 cn a 2n 1 ，…………………6分n
1 2 n
所以 Sn 0 1 2 2 2n 1
1 S 1 2 nn 2 21 22

2n
重点校联考高三数学参考答案 第 3 页（共 7 页）
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两式相减有
1 S 1 1 1 1 nn 1 2 2 2 2 2n 1

2n
1 1 1 n n 2
1 1 2 2 2 2 2n 1 2n 2n
所以 Sn 4
n 2
n 1 .…………………10分2
（注：用裂项相消的方法求解平行给分，如果直接写结果只给结果分.）
（Ⅲ）因为 a nn 2 ，bn 2n，设新数列为 en ，因为数列 an 与数列 bn 都是递
n n 1
增数列，且 an b2n 1 2 ， an 1 b n 22 ，
又因为 (2n n) 2n 1 2n 1 n 0 ，所以数列 en 的前 2n项由 an 中的前 n
项和 bn 中的前 2n n项构成，
2n
所以 ei e1 e2 e n (a1 a2 a2 n ) (b1 b2 b 2n ) n …12分
i 1
(2 4 8 2n) (2 4 2n 1 2n)
(2n 1 2) (2 4 2 n 1 2n)
2n 1 2 4n n2n 1 n2 2n n
4n (2n 3) 2n n 2 n 2 .……………15分
19．（本小题满分 15分）
（Ⅰ） f x 的定义域为 0, .
1 mx 1
f x m
x x
①当m 0时， f x 0恒成立，\ f (x)在 0, 上单调递减. ……2分
1 1
②当m 0时，当 x 时， f x 0，当0 x 时， f x 0，
m m
\ f (x) 0, 1 1 在 上单调递减，在 , 上单调递增.
m m
重点校联考高三数学参考答案 第 4 页（共 7 页）
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综上可得：当m 0时， f x 在 0, 上单调递减；
f x 1 1当m 0时， 在 0, m 上单调递减，在 , m 上单调递增. …4分
（Ⅱ）当m 1时， f x x ln x e 1，
由（Ⅰ）可知 f x 在 0，1 上单调递减，在 1, 上单调递增，
故 f x f 1 e，
所以当m 1时，函数 f x 的最小值为 e ………………6分
因为 x ln x e 1 e，即 ln x x 1，
当 x 2时，0 ln x x 1 x x 1 ，即0 ln x x x 1 ，
1 1
即 0ln x x x 1
1 1 1 1
令 x n，则 ln n n n 1 n 1 n， n 2 ………………7分
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n 1所以 1 ，
ln 2 ln 3 ln n 1 2 2 3 3 4 n 1 n n n
1 1 1 n 1
故当 n 2时， .
ln 2 ln 3 ln n n
n
1 n 1 *即 n 2,n Nln k n ………………9分k 2
（注：其他方法平行给分）
（Ⅲ）关于 x的不等式 xf x emx在区间 0, 上有解，
emx
即 mx ln x e 1 0在 0, 上有解，
x
emx ln x即 mx ln x e 1 0在 0, 上有解， ………………10分
1
又m 0，由（1）可知 x 时，即 mx ln x 1 lnmmin ，m
令 t mx ln x，则 t 1 lnm，
et则 t e 1 0在 t 1 lnm, 上有解， ………………11分
重点校联考高三数学参考答案 第 5 页（共 7 页）
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令 h t et t e 1 ，则 h t et 1，
令 h t 0，得 t 0，
所以，当 t 0时， h t 0，当 t 0时， h t 0，
即 h t 在 , 0 上单调递减，在 0, 上单调递增， ………………13分
又 h 1 0， h 0 2 e<0 h 2 e 2， 3 e 0，
所以存在 t0 2,0 使得 h(t0 ) 0，
所以，当 t 1或 t t0时， h t 0，当 t0 t 1时， h t 0，
所以只需1 lnm 1，即0 m 1时满足题意.
所以 m的取值范围为 0,1 . ………………15分
（注：其他方法平行给分）
20．（本小题满分 16分）
（Ⅰ）因为 S nn 2 1，
当 n 2时， an S S
n 1
n n 1 2 ，…………2分
当 n 1时， a1 S1 1也成立，
所以 a 2n 1n ，…………3分
对任意 m，n N*且m n a m 1 n 1 m n 2， man 2 2 2 am n 1，
{an}是“J数列”. …………4分
（Ⅱ）因为 b1 8， b2 16，数列{bn}是等比数列
n 1
所以bn 8q ，且 q 2，…………5分
m 1 n 1 m n 2
由已知得bmbn 8q 8q 64q 也为数列中的项，
b *令 m 1 n 1 k 1mbn bk k N ，得8q 8q 8q ，…………6分
重点校联考高三数学参考答案 第 6 页（共 7 页）
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即64qm n 2 8qk 1，
即得8qm n 1 qk ，
所以 qk m n 1 8，…………7分
因为 q 2且 k m n 1 N*
故 q的所有可能值为 2， 2 2，8 . …………9分
（Ⅲ）设数列{cn}的公差为 d，所以存在 k N*，对任意 n N*，Tn ck，
n n 1
即 nc

1 d c1 k 1 d， …………10分2
当 d 0时，则 c1 0，故 ck 0，此时数列为“H数列”；…………11分
n n 1
当d 0 c 时， k n 1 1 1，
d 2
c1 cn 2 c取 ，则 k 2d ，所以
1 1， 1 Zd ，…………12分d
c n n 3
当 1 1时， k 2均为正整数，符合题意，…………13分
d 2
c
当 1 N c1 n n 1 时，k n 1 1均为正整数，符合题意，………14分d d 2
c
所以 1 1
c
， 1 Z，
d d
c
设 1 s s 1d ， ， s Z，即 c1 sd，
所以任意 m，n N*且m n，cm cn sd s m n 2 d，
显然 s m n 2 N，所以 cm cn为数列中的项，
{cn}是“H数列”.…………16分
注：其他方法平行给分.
重点校联考高三数学参考答案 第 7 页（共 7 页）
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