中考18个关节

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关节二
充分发挥方程的工具性作用
方程是重要的数学工具，它可以干什么用呢？结论是：
凡是有关“求值”的问题，不管是怎样的背景下和情境中，绝大多数情况都可以借助构造方程来解决。
一、方程用于实际问题中的求值
这方面的题目，同学们做的已经很多，这里只举一例。
例1 秋末，由于冷空气入侵，某地区地面气温急剧下降到0℃以下的天气称为“霜冻”。由霜冻所导致的植物生长受到影响或破坏的现象称为霜冻灾害。
秋末某天，气象台发布了该地区如下的降温预报：午夜0时至次日5时气温将匀速地由3℃降到—3℃，然后从次日5时至次日8时，气温将又匀速地由—3℃升到5℃，一种农作物在0℃以下持续超过3小时就会造成霜冻灾害，根据气象台的预报信息，你认为是否有必要对该农作物采取防冻措施？并说明理由。
【观察与思考】
第1， 这实际是要求出两个数值：一是0时至次日5时气温下降过程中在哪个时刻达到0℃；二是在次日5时至次日8时气温上升过程中，在哪个时刻达到0℃，显然是求值总问题。应分别构造方程来解决。
第2， 可以用“匀速”所包含的“相等关系”来导出方程，即
（事实上，只要把本问题的“温度差”看作“路程”，它就相当于行程问题了。）
简解：设在0时至次日5时之间的时，气温降到0℃，则依题意有：
（时）
设在次日5时至次日8时之间的时气温升到0℃，依题意有：
，解得（时）
。
气温在0℃以下的时间为3.625小时（大于3小时）因此，会对该农作物造成霜冻灾害，所以应对它采取防冻措施。
二、方程用于数学问题中的价值
数学问题中有形形色色或显或隐的求值问题，大都可借助方程来解决。
1、借助方程，解决某些“数与式”的问题
例1 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么，称这个正整数为“神秘数”。如：，因此4，12，20这三个数都是神秘数，
（1）28和2008这两个数是神秘数吗？为什么？
（2）两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数吗？为什么？
【观察与思考】根据题中规定知道，若（※），(其中是整数，为正整数)，则就是“神秘数”。正整数是不是“神秘数”，就看使（※）式成立的整数是不是存在，存在时就是“神秘数”；不存在，就不是“神秘数”。这就是说，研究是不是“神秘数”的问题，就变成了研究（※）这个关于的方程有无整数解的问题。
解：（1）方程有非负整数解3。即
28是神秘数。
方程，没有整数解，2008不是神秘数。
（2），
令解得不是整数。
两个连续奇数的平方差（取正数）不是神秘数。
例2 按下面的程序计算，若开始输入的值为正数，最后输出的结果为656，则满足条件的的不同值最多有（ ）
A、2个 B、3个 C、 4个 D、5个
【观察与思考】本题相当于按如下规律构造的方程：，
有正整数解的共有多少个。可验证只有上述4个方程有正数解。
解：选C。
对于许多有关特定要求的数，式问题，常需要借助方程来解决。
2、借助方程，解决某些几何图形的求值问题
例3 图1是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长为，则六边形的周长是
【观察与思考】拼成六边形的9个等边三角形按大小共分为5类，从大到小边长逐减小，因此，可通过构造最大的等边三角形的边长的方程来求得它的值。
从图2中可以看到最大三角形的边长是第四大三角形边长的2倍，易如：设最大的等边三角形的边长为，则有。
图中六边形的六条边依次为：
解：
例4 如图，这是由五个边长为1的正方形组成的图形，过顶点A的一条直线和CD，ED分别相交于点M，N。假若直线MN绕过A旋转的过程中存在某一位置，使得MN将图形分成的两部分面积恰好相等，求这时线段EN的长。
【观察与思考】可借助来构造关于EN的方程求其长。
解：。
∽
得关于EN的方程
解得（不合题意，舍去）。
许多图形的求值问题，可借助方程来解决，事实上，包括解直角三角形和用相似三角形的性质求边长，也是特定形式的方程，是方程思想的一种具体化表现。
3、借助方程，解决函数相关的问题
例5 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴的正半轴、轴的正半轴分别交于点E和F。从点A（1，0）和
B（3，0）作轴的垂线，分别与直线交于点C和点D。已知，
求直线的解析式。
【观察与思考】若设直线的解析式为。现在要求出
的值，为此去构造关于的方程组。而所给条件
“”就是这两个方程组所依据
的等量关系。
解：设直线的解析式为，易知：
依题意有方程组：
解得
直线的解析式为：
例6 早晨，小丽与妈妈同时从家出发，步行与骑自行车到方向相反的两地上学与上班，图中所示是她们离家的路程（米）与时间（分）的函数图象。妈妈骑自行车走了10分钟接到小丽的电话，即以原速度骑车前往小丽的学校，并与小丽同时到达学校。已知小丽步行速度为每分50米，求小丽家与学校的距离及小丽早晨上学需要的时间。
【观察与思考】点B的横坐标就是小丽早晨小学需要的时间
其纵坐标就是小丽家与学校的距离。本题的实质是求点B的坐标，
也就是由OB，AB确定的函数关系式做成的方程组的解。而OB，OA
对应的函数易知。
解：OB对应的函数关系式为：。
因为妈妈10分钟骑自行车走了2500米，其速度为250米/分钟，
所以，AB对应的函数关系式为：
将（10，2500）代入，求得
解方程组 得
小丽家与学校的距离为1250米，小丽早晨上学需要25分钟。
【说明】本题是将方程的思想和函数图象的意义紧密结合，才有如此简明的解决方法。
许多和函数相关的问题，只要涉及到求值，常需要考虑借助方程。
4、和运动有关的图形问题，凡属运动过程中的特定形状，特定数量以及特定位置关系的，大都需要借助构造方程来解决
例7 如图，在梯形ABCD中，AD//BC，，开始沿AD边向D点运动，速度为1厘米/秒，同时点N从点C开始沿CB向点B运动，速度为2厘米/秒，设运动的时间为秒。
（1） 当为何值时，四边形MNCD 是平行四边形？
（2） 当为何值时，四边形MNCD是等腰梯形？
【观察与思考】对于（1），当四边形MNCD是平行四边形时，
MD=NC，就以这一相等关系构造关于的方程。
对于（2），画出四边形MNCD是等腰梯形的草图，如图（2），
作垂足为G，作垂足为H，此时应有NG=CH，
也即CN=MD+2CH。可以用这一相等关系的构造关于的方程来求解。
解：（1）MD=15—，CN=2，令MD=NC，得的方程
。解得=5
即=5（秒）时四边形MNCD是平行四边形。
（2）令得关于的方程
解得
即（秒）时，四边形MNCD是等腰梯形。
例8 如图，在 ABCD中，AB=4，AD=3，点P和点 Q同时从点A出发，以每秒1个单位的速度运动，点P沿AD→DC→CB向点B运动，点Q沿射线AB的方向运动。当点P运动到点B处时，两点的运动同时结束。设运动时间为秒。
（1）当点P在边AD上运动时， 求使成为以D Q为底边的等腰三角形的时刻；
（2）当点P在边DC上运动时，是否存在时刻，使线段PQ和对角线BD互相平行？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由；
（3）当点P在边CB上运动时，可能成为直角三角形吗？写出你的判断，并说明理由；
【观察与思考】以上三个问题，实际都归于建立关于的方程来解决。
解：（1）点P在边AD上运动时，。总有为等边三角形，即。
令PD=PQ，即。
（秒）时，是以DQ为底边的等腰三角形。 （1）
（2） 当点P在边DC上运动时，。
若有PQ//BD，则四边形DBQP为平行四边形，即PD=BQ，如图（1），也即，该方程无解。
不存在这们的时刻，使PQ//BD。
（3）点P在边CB上运动时，
若为直角三角形，只有如图（2），此时。
令
当，为直角三角形。
（2）
运动中变化着的图形或图形关系凡属“特殊图形”、“特定关系”、“特殊存在”类的问题，大都可通过构造相应的方程来解决。
5、借助方程解决某些探索性问题
例9 如图，每个正方形点阵均被一直线分成两个三角形点阵，根据图中提供的信息，用含的等式表示第个正方形点阵中的规律是 。
……
…….
【观察与思考】不难发现这样的规律:第个点阵点的总数为,被分成的两部分有关系:下边部分比上边部分多个点.如此一来,可用构造方程来确定要求的规律:
设第个正方形点阵分成的两部分是个点,个点,则
解得
解：应填： 。
例10 欣赏下列的等式：
写出一个由7个连续整数组成，前4个数的平方和等于后3个数的平方和的等式为： ；
【观察与思考】关键是如何既简练又确切地表示“7个连续整数”，考虑到要计算“平方和”，那么最好的方法是，设为整数，则7个连续整数表示为：如此一来，可借助方程求出满足要求的和7个整数来。设有
则
即解得
解： 。
【说明】某些探索性问题，用方程来解决更准确、更迅速。关键是要善于发现问题有无构造方程的条件，以及如何恰当地应用方程。
其实，方程的作用远不止这些。
由上可知，必须确立如下的深刻认识：
1、对于求未知数量值的问题，不管是具有实际背景的，还是纯数学的；不管是代数方面的，还是几何图形方面的；不管是显性的，还是较为隐含的，第一条思考解决的途径都应当是考虑“构造方程”和解方程。
2、列出方程的关键是在深入分析题目情景后捕捉到“事关全局的相等关系”，以它为基础再具体化为方程。
如上的深刻认识和有效的落实，才是“方程思想”的深刻表现，才能真正发挥方程的工具性作用。
练习题
1、某水果批发市场香蕉的价格如下表：
购买香蕉数（千克） 不超过20千克 20千克以上且不超过40千克 40千克以上
每千克价格 6元 5元 4元
某人共两次购买50千克香蕉（第二次多于第一次），共付款264元，请问他第一次，第二次分别购买香蕉多少千克？
2、某人在电车路轨旁与路轨平行的路上骑车行走，他留意到每隔6分钟有一部电车从他后面驶向前面，每隔两分钟有一部电车从对面驶向后面。假设电车和此人行驶的速度都不变（分别为表示），请你根据右面的示意图，求电车每隔几分钟（用表示）从车站开出一部？
3、为确保信息安全，信息需要加密伟输，发送方将明文加密为密文传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文，已知某种加密规则为：明文对应的密文为。例如，明文1，2对应的密文是-3，4。那么当接收方收到的密文是1，7时，解密得到的明文是（ ）
A、 —1，1 B、1，3 C、 3，1 D、1，1
4、直线轴分别交于点A和点B，若直线AB的长度等于，求直线的解析式，并在直角坐标系中画出它的图象。
5、如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，，BC=16，DC=12，AD=21。动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，设运动时间为（秒）。
（1）当为何值时，以B，P，Q为顶点的三角形为等腰三角形？
（2）是否存在时刻，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
6、如图，抛物线和轴交于A，B两点，（点B在点A的右侧）。和轴交于点C，在轴上是否存在点P，使以点P，A，O为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
7、如图在，E，F分别为边AB，AC上的点，当沿EF将折叠，恰使点A落在BC上的点D处，并且有时，点E，F分别在边AB上和AC上的什么位置？
8、如图AC=6，BC=8，点D在AC上，（不与点A，C重合）。点E在AB上（不与点A，B重合）。如果线段DE把的周长和面积都平分成相等的两部分，请求出AD和AE的长。
9、星期天，小强骑自行车到郊外与同学一起游玩。从家出发2小时到达 目的地，游玩3小时后按原路返回，小强离家4小时40分钟后，妈妈驾车沿相同路线迎接小强，如图是他们离家的路程（千米）与时间（时）的函数图象。已知小强骑车的速度为15千米/时，妈妈驾车的速度为60千米/时。
（1）小强家与游玩地的距离是多少千米？
（2）妈妈出发多长时间与小强相遇？
10、根据以下10个乘积，回答答问题：
； ； ； ；
； ； ； ； ；
试将以上各乘积分别写成一个“□—○”（两数平方差）的形式，并写出其中一个的思考过程；
11、已知正边形的周长为60，边长为。
（1）当时，请直接写出的值；
（2）把正边形的周长与边数同时增加7后，假设得到的仍然是正多边形，它的边数为+7，周长为67，边长为；有人分别取等于3，20，120。再求出相应的与，然后断言：“无论取任何大于2的正整数，与一定不相等”。你认为这种说法对吗？若不对，请求出不符合这一说法的的值。
输入
计算的值
输出结果
是
否
A
B
C
D
E
F
G
N
M
O
A
B
C
D
E
F
（分）
（米）
B
A
10
—2500
A
B
C
D
M
N
H
G
C
A
B
D
M
N
A
B
C
D
Q
P
A
D
P
C
Q
B
A
B
C
D
P
Q
A
B
人车同向示意图
A
B
C
人车异向示意图
A
D
C
B
P
Q
C
A
B
A
B
C
F
D
E
A
B
C
D
E
（时）
（千米）
2
5
C
D
A
B
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第2篇 新视角与基本思考策略
※新视角易有新发现，帮助开辟新途径；
※基本思考策略是认识规律的具体化，它是解数学题的“最大、最高技巧”。
关节七
从变换视角提高识图与构图的眼力
思考与解决几何图形的问题，主要是借助基本图形的性质（定义，定理等）和图形之间的关系。从关节四我们已经知道，许多基本图形的性质都源于这个图形本身的“变换特征”，而最为重要和最为常用的图形关系“全等三角形”极多的情况也是同样具有“变换”形式的联系。本来两个三角形全等是指它们的形状和大小都一样，和相互间的位置没有直接关系，但是，在同一个问题中涉及到的两个全等三角形，绝大多数都有一定的位置关系，或成轴对成关系，或成平移关系，或成旋转的关系（包括中心对称）。这样，在解决具体的几何图形问题时，图形本身所显示或暗示的“变换特征”，对我们识别出、构造出基本图形和图形关系（如全等三角形），有着极为重要的启发和引导的作用。
解决图形问题的能力，核心要素是善于从综合与复杂的图形中识别和构造出基本图形及基本图形关系，而“变换视角”正好能提高我们这种识别与构造的眼力。
一、从“轴对称”视角识别图形与构造图形
1、当题目的基本背景是轴对称图形时
（1）当背景图形是基本的轴对称图形时
等腰三角形（包括等边三角形）、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、圆等基本图形都是轴对称图形，有关这些图形的许多问题恰是由这种轴对称性衍生出来的。这时，相应的对称性就正好昭示着问题的实质并暗示着解决的途径。
例1 如图，梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC，P为梯形ABCD外一点，PA，PD分别交线段BC于点E，F且PA=PD。
（1）写出图中三对你认为全等的三角形（不再添加辅助线）
（2）选择你在（1）中写出的全等三角形中的任意一对进行证明。
【观察与思考】注意到点P向AD所作的垂线，既是等腰梯形ABCD的对称轴，
也是等腰三角形PAD的对称轴，即整个图形是该垂线为轴对称的。因此，凡是
是此直线（虽然没有明确地画出来）为对称的两个三角形，都必然是全等的。
解：（1）①②；③；④
（2）下面就给出证明。
。
又即为等腰三角形，。
在中，
所以。
【说明】可以看出，在证明两个轴对称的三角形全等时，用轴对称的方式寻找和叙述全等的理由，既规则有序，又简捷易行。
（2）当背景图形是复合式的轴对称图形时
有的题目，背景图形比较复杂些，但它仍是轴对称图形，这时对问题解决的思考，也要特别注意从这一轴对称性入手。
例2 已知，如图（1），。试以图中标有字母的点为端点，连结出两条新的线段，如果你连结的两条线段满足相等、垂直或平行关系中的一种，那么请你把它写出来并证明。
【观察与思考】容易看到并推知：整个的图形是以A，F两点所在的直线
为轴对称的，其中，D和B，C和E分别为对称点，连结出所有可连结的
线段，如图（1`），并设AF和BD交于点M，和EC交于点N，根据轴对 （1）
称的性质可知有：①②③
解：如图（1`），连结DB，DC，BE，CE，连结AF交DB于点M，并延长交CE于点N，有结论：
。
证明如下： （1`）
在中，，
。
，。
在中，
。
。
为的垂直平分线，当然有，
与上同理，可推得（即），
。
【说明】正是把握住了本题背景图形的轴对称这一核心特征，使我们对问题有了最本质的认识，而后的诸项问题，都沿这一核心特征被发现和解决。
（3）沿着背景图形的轴对称性寻找需要添加的辅助线
当题目的背景图形是轴对称图形时，如果需要作辅助线才能解决，那么辅助线的作法也往往是为了更好地揭示和利用这种轴对称性。
例3 已知，如图（1），在梯形ABCD中，AD//BC，E为梯形内一点，且有EA=ED，EB=EC。
求证：四边形ABCD是等腰梯形
【观察与思考】根据图形所给的条件，可以知道整个图形应是轴 （1）
对称图形，其对称轴就是过点E且和AD垂直的直线，因此，以
这条对称轴为辅线，通过具有轴对称位置的三角形全等，来推得
AB=DC。
证明：过点E作直线，分别交AD，BC于点，如图（1`）。根据已知，也有。
在等腰三角形中，；
在等腰三角形中，
在中，，
。
又知为等腰梯形。
【说明】在本题，是图形的轴对称性启示我们作上述的辅助线，使得解法简单明快。
2、当题目的基本背景不是轴对称图形时，应善于发现和运用其中的轴对称成分
有的题目，整个背景图形不是轴对称图形，但某个或某些部分却具有轴对称性，如果我们善于并在局部恰当运用这一对称性，也会帮我们更快更好地获得解决方法。
例4 将一张矩形纸片沿对角线剪开（如图（1）），得到两张三角形纸片（如图（2）），再将这两张三角形纸片摆放成如图（3）的形式，使点B，F，C，D在同一条直线上。
（1）求证：；
（2）若，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明。
（1）
（2） （3）
【观察与思考】对于（1），很容易推得结论；对于（2），根据题目的条件和图（3）的构成方式，可以看出它有以下的特征：
在图（3`）中，（即在题目的图（3）中去掉EP，EF这两条线段后剩下的部分），它是关于BN所在的直线为对称的
（由可保证），由此得到关于BN对称的三角形全等，即有：。
（3``）
（3`）
在图（3``）中，（即是题目的图（3）中去掉AP，AC这两条线段后剩下的部分），它是关于直线为轴对称的（由可保证）。由此得到关于对称的三角形是全等的，即有：。
实际上，（2）的证明已包含于以上的分析之中了。
解：（1）证明：，
。
（2）若，则有，理由是
，
图中与此条件有关的全等三角形还有以下几对：
；
【说明】由本题可以看出，从变换的视角认识和研究图形，会对图形看得更深刻、更全面、更多维、随之，解决的办法也就能更顺利地找到。
例5 如图（1），一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起，现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点（点也是BD的中点）按顺时针方向旋转。
（1）如图（2），当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM，FN的长度，猜想BM，FN满足的数量关系，并证明你的猜想。
（2）若三角尺GEF旋转得到如图（3）所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立；请证明；若不成立；请说明理由。
（1） （2） (3)
【观察与思考】实际上，问题所涉及到的条件和结论，都与CD，CB两边没有关系，原题相当于两个全等的等腰直角三角形，从完全重合的位置将其中一个绕“斜边中点”旋转，那么，图（2），图（3）对应的就是下边的图（2`），图（3`）。
图（2`）和图（3`）中，每个图形都是以直线PO为对称的，当然，对称的三角形是全等的，对应的线段和对应的角分别是相等的。
（2`）
简解：（1），根据是（见图（2`）
在和中，，，
。
（2）的结论仍然成立，根据是（见图（3`）
在和中，
。
（3`）
【说明】在本题的分析与思考中，从图（2）到图（2`）（同样，由图（3）到
图（3`），舍弃了无关的部分图形，更清晰地显示出了“轴对称”的本质特征，
而这一特征的被发现和捕获，使得对结论的猜想的形成，及至证明的得到及
论述，都变得豁然明朗，顺理成章了。
顺便指出：对任何一个 原本的轴对称图形，绕其对称轴上一点旋转角（），那么，由旋转前和旋转后两图形成的新图形，都是一个新的轴对称图形。如：在图（1）中，等腰三角形ABC绕其顶点A逆时针旋转角到，相交于G，则组合起的新图形是以AG为轴的对称图形，在图（2）中，等腰三角形ABC绕其底边上的中点H逆时针旋转角到，相交于点K，则组合起的新图形是以KH为轴的对称图形。
（1）
（2）
因此，轴对称图形在一些适当的的旋转下，可以产生新的轴对称图形。
由以上两例可以看出，在复合图形中抽取出轴对称部分，常对问题的解决有着非常重要的作用。
3、图形的折叠与轴对称
对图形进行折叠，其被折叠的部分，在折叠前与折叠后的图形是关于折痕所在的直线对称的。有关对图形折叠问题的考查，主要侧重在两个方面：一个方面是沿着折叠与展开进行考查，实际上是考查对“折叠”的轴对称意义的理解；另一方面是侧重于“折叠”所造成的图形形状关系及数量间关系的考查。
（1）“折叠”与相应的“打开”都是轴对称操作
例6 将一张菱形纸片，按图（1），图（2）的方式沿虚线依次对折后，再沿图（3）中的虚线剪开，最后将图（4）中的纸片打开铺平，所得的图案应该是（ ）
A B C D
【观察与思考】看题目所述的对图形的操作过程：
第一步两个“折叠”过程（见下边的图）由图（1）到图（2）反映的是，关于DB轴对称；由图（3）到图（4）反映的是关于CO轴对称；
第二步是在“折叠”成的最后图形（3）中剪出图（4）
第三步将原图（4）打开平铺，实际上是在图（4）的基础上做与第一步相反的两次轴对称图形；即由图（4）作轴对称到图（2`），再到由图（2`）作轴对称到图（1`）
（1） （2） （3）
（4） （2`）
（1`）
解：应选A
【说明】这类折叠、剪切、打开铺平的问题都可如上程序式地予以解决。
（2）图形折叠造成的全等和相似
更多的图形折叠问题，是围绕有关图形的形状、位置和数量关系进行研究的，解决的思考要点，可归为这们三个方面：第一方面，搞清原图形的特征；第二方面，被折叠部分和它落下生成的部分的全等关系；第三方面，由此形成的新图形与新关系。
例7 如图，矩形ABCD中，将矩形沿对角线AC折叠，点D落在E点处，且CE与AB交于点F，求AF的长。
【观察与思考】原图形为矩形，由折叠知，并有
。这样，在中，通过勾股定理构造关于
AF的方程可求得其长。
解：在。
。
在中，，
即
也即
解得。
【说明】“折叠”问题的解决，其要点是在对原图和折叠准确把握的基础上，选择并利用好所形成的新图形的特征和数量。
二、从“旋转变换”视角识别图形与构造图形
要在图形相关问题中恰当而及时地运用“旋转变换”的性质，最根本的是要搞清楚哪些基本图形、哪些复合图形、哪些指定条件的图形是和“旋转变换”相关的，又是怎样相关的，掌握了这些内在的特征和规律，才有利于将“旋转变换”的性质运用到新的问题情景中去。
我们说，“旋转变换”常运用在以下四种背景之中，它们是：
Ⅰ、当出现具有“旋转对称性”的基本图形及其变形时；
Ⅱ、当出现“两组等边做成有公共顶点的等角”时；
Ⅲ、当出现“有共公顶点的等线段”时；
Ⅳ、当题目条件中含有“旋转变换”时。
下边我们分别加以研究和总结。
1、当背景出现具有“旋转对称性”的基本图形或其变形时
设是如下正多边形的中心（即外接圆的圆心）。
正（等边）三角形ABC绕其中心旋转120°与其自身重合，所以正三角形是120°的旋转对称图形；正方形ABCD绕其中心旋转90°与其自身重合，所以正方形是90°的旋转对称图形；正五边形是72°的旋转对称图形，正六边形是60°的旋转对称图形……正边形是的旋转对称图形。
我们把这些正多边形叫做具有旋转对称性的基本图形，实际上，对于等边三角形和正方形的旋转对称性，在关节四已做了较详细的介绍，而这些性质和应用，大都可以类比地推广到正边形中去。
例1 （1）操作与证明：如图①，是边长为的正方形ABCD的中心，
将一块半径足够长，圆心角为直角 的扇形纸板的圆心放在点处，
并将纸板绕点旋转，求证：正方形ABCD的边被纸板覆盖部分的
总长度为定值； 图①
（2）尝试与思考：如图②，，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在
边长为的正三角形或正五边形的中心点处，并将纸板绕点旋转，当扇形
纸板的圆心角为 时，正三角形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值
；当扇形纸板的圆心角为 时，正五边形的边被纸板覆盖部分的总 图②
长度也为定值；
（3）探究与引伸：一般地，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长
为的正边形的中心点处，并将纸板绕点旋转，当扇形纸板的圆心角
为 时，正边形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值；这时正边
形被纸板覆盖部分的面积是否也为定值？若为定值，写出它与正边形面积S 图③
之间的关系；若不是定值，请说明理由。
【观察与思考】（1）如图①`，设扇形的两直径分别经过正方形的两顶点，则正方形的边被覆盖的部分的总长等于其一条边长，即，而通过正方形的90°旋转对称性，可知在图①的情况下，被覆盖的边的总长度等于 图①`中被覆盖的边的总长度。
图①` 图②` 图③`
（2）由（1）的思考的类比（只需考虑扇形的直径经过两顶点），如图②`，图③`，即可得合理的猜想。
（3）可由以上的关于（1），（2）的思考类比推想出相关的结论。
解：如图①`，设扇形的半径分别与正方形的边交于点，连结。
在和中，（同为的余角），
，得。
即正方形ABCD被扇形覆盖的边的总长度为定值，等于正方形一条边的长度。
（2）120°；70° 。
（3）；面积也为定值；这个定值为。
【说明】本题猜想的形成和相关证明的获得，都是正边形的“旋转对称性”在发挥着基础性和导向性的作用。
例2 用两个全等的等边三角形和拼成菱形ABCD，把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB，AC重合，将三角尺绕点A按逆时针方向旋转。
图（2）
图（1）
（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC， CD相交于点E，F时，（如图（1），通过观察或测量BE，CF的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；
（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD的延长线相交于点E，F时（如图（2），你在（1）中得到的结论还成立吗？简要说明理由。
【观察与思考】这里的背景图形是特殊的菱形，，这立刻使我们联想到如右下图（※）的正六边形，菱形ABCD可以看作是它的三分之一，顶点A正相当于这个正六边形的中心，这样一来，相应的问题（1）与（2）不都是这个正六边形“60°的旋转对称性”的具体表现和一种别样的运用形式吗？
无论在（1）的情况，还是（2）的情况，均有 重合于。
解：（1）有结论：，证明如下：
在和中，
，
（2）仍有，理由如下： 图（※）
在和中，
【说明】Ⅰ、由于将本题和正六边形的“60°的旋转对称性”恰当地联系了起来，使对原问题形成了居高临下的认识，思考与解决起来自然就轻松自如了。
Ⅱ、其实，等腰直角三角形的“的旋转重合性”（见关节四的介绍），也是由正方形的“的旋转对称性”衍生出来的，因为等腰直角三角形可以看作是正方形的“一半”。
Ⅲ、数学学习（包括解题）的能力，很多重要的一个方面便是善于发现和归纳总结出具有统摄作用的规律和原理，这样的规律和原理越多，越有大的统摄面，便说明知识掌握的越深刻，应用起来便越灵活、越有效。
2、当背景图形出现“两组等边做成有公共顶点的等角”时
先看例子：
例3 如图（1），和是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C，连结AF和BE。
（1） （2）
（3）
（1）线段AF和BE有怎样的大小关系？证明你的结论；
（2）将图（1）中的绕点C旋转一定的角度，得到图（2），（1）中的结论还成立吗？作出判断并说明理由；
（3）将图（1）中的绕点C旋转一定的角度，画出变换后的图形，（1）中的结论是否成立？
（4）根据以上的活动，归纳你的发现。
【观察与思考】我们将（3）所要求的图形也画出来，如图（3），仔细地观察这三个图形容易发现共同的关系：
重合于。当然这三种情况都有。
解：（1）有结论：，证明如下：
在和中，，
（2）这一结论仍然成立，理由是：
在和中，，
，
（3）如图（3），这一结论也是成立的，（我们也写出理由）。
在和中，，
，
（4）只要两个等边三角形和有公共顶点C，不论两个三角形旋转至怎样的位置，总有。
【说明】事实上，在本题的（1），（2），（3）这三种情况中，始终保持了（一组等边）
（又一组等边）（两组等边构成有公共顶点C的等角），这就保证了和可以旋转重合，即全等。一般地，当像本题这样由“两组等边做成有公共顶点的等角”，就提供了旋转重合的基础，由此可以导出一些规律的数量关系与位置关系。
请你研究下题：
如图，已知，。
（1）求证：；
（2）若绕点B旋转到的外部，其他条件不变，
则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由。
3、当背景图形出现“有公共端点的等线段”时
先看例子：
例4 如图，直角梯形ABCD中，AD//BC，，作，且取，连结，则的面积为（ ）
A、1 B、2 C、3 D、不能确定
【观察与思考】关键是求出中边AD上的高，注意到在背景图形
中有，它们是相等的线段，且有公共顶点D，这就具备了旋转
重合的前提，若作于点F，，交AD的延长线于G，则
则
解：应选A。
【说明】由，看到和的“90°旋转重合”关系，是本题获解的关键。因此，当图中出现“有公共端点的等线段时”，应联想“旋转变换”。
4、当题目的条件中出现旋转变换时
一般来说，当题目条件中出现旋转变换时，就要考虑如何运用旋转变换的性质问题得以更好的解决。
例5 如图，在中，将点A沿顺时针方向旋转得到，使点落在直线BC上，（点与点C不重合），判断边和边的位置关系，并给出证明。
【观察与思考】直观感觉像是有，沿着这一猜想去思考。
据和旋转至，立刻有。
而旋转至，且在上，就得到。两者结合就有，这不就是的保证吗！
解：有结论。（证明略）
【说明】在本题中，关键是用到由旋转得到，及点在上，且由旋转得到，总之，把旋转的性质当作条件充分利用，是这类题目获解的保证。
图形性质与图形间关系的发现，既要借助于推理，但更要借助于直觉和观察，变换的意识与变换的视角，会使这种直觉更敏锐、使这种观察更具眼力。
练习题
1、 已知，如图，和一定相等吗？
对判断说明理由。
2、已知：如图，是和的平分线，。
求证：。
3、如图，在等腰直角三角形ABC中，，以斜边AB为一边作等边三角形ABD，使点D，C在AB的同侧，再以CD为一边作等边三角形CDE，使E，C在AD的异侧，若，则CD的长为（ ）
A、 B、
C、 D、
4、如图，中，，将绕点C逆时针旋转角，得到，连结，设交于分别交于点E，F，在图中不添加其他线段的情况下，请找出一对全等三角形（与除外），并加以证明；
5、问题背景 某课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：
①如图（1），在正三角形中，分别是上的点，相交于点，若，
则；
②如图（2），在正方形中， 分别是上的点，相交于点，若，
则
③如图（3），在正五边形中，分别是上的点，相交于点，若，
则；
（1） （2） （3） （4）
任务要求
（1）请你从（1），（2），（3）三个命题中选择一个进行证明；
（2）请你继续完成下面的探索：
如图（4），在正边形……中,分别是上的点,相交于点,问当等于多少度时,结论成立 (不要求证明)
7、在等腰梯形中，。分别在
上，交于点，请你量一量的度数，
并证明你的结论。
8、已知正方形和正方形有一个公共点，点分别在线段和上。
（1）如图（1），连结，若将正方形绕点按顺时针方向旋转，判断命题：“在旋转过程中，线段与的长度始终相等”是否正确？若正确请证明；若不正确请举例说明。
（2）如图（2），若将正方形绕点按顺时针方向旋转，连结，在旋转过程中，你能否找到一条线段与线段的长度始终相等，并以图（2）为例说明理由。
（1） （2）
9、已知，如图，在和都是等腰直角三角形，为边上一点。
求证：（1）；
（2）。
10、如图，是直角三角形，是斜边，将绕点逆时针旋转后，能与重合，
若，则的长= 。
A
D
B
C
P
E
F
A
C
E
F
D
B
A
C
E
F
D
B
M
N
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
M
N
A
P
E
M
N
B
F
C
D
（A）
P
E
M
（N）
B
F
（C）
D
A
P
（E）
（M）
N
B
（F）
C
D
A
B
C
D
（G）
（E）
（F）
O
A
B
C
D
G
O
E
M
F
N
A
B
C
D
G
O
E
M
F
N
A
B
D
G
O
E
F
N
M
P
A
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G
O
E
F
N
M
P
D
A
B
C
HH
C
KH
A
B
C
G
A
B
C
D
O
B
C
D
A
A
B
C
D
O
A
B
D
C
E
F
A
B
C
O
A
B
C
D
E
O
A
B
E
O
C
D
A
B
D
C
O
A
B
C
D
O
A
B
C
O
A
B
E
C
D
O
A
B
C
O
B
E
C
D
O
A
B
C
D
O
E
F
A
B
C
E
F
D
A
D
B
F
E
C
绕点A逆时针
旋转60°
A
B
C
D
A
B
C
F
E
A
F
C
B
E
A
F
B
C
E
绕点C逆时针
旋转60°
A
B
D
C
E
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
F
G
绕点D逆时针
旋转90°
A
C
B
B
A
M
B
F
E
N
C
O
A
B
C
D
P
A
B
D
E
C
A
B
C
D
E
F
A
F
E
D
C
M
N
O
B
A
B
C
D
E
M
N
O
A
D
B
C
O
M
N
A
B
C
O
M
N
A
B
D
C
E
P
F
A
B
C
D
E
F
G
A
B
C
D
E
G
F
A
B
C
D
E
A
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P
P
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关节十三
图形引入动点后形成的函数和方程问题
图形中引入动点以后 ，随着点 的移动，便会引起其他相关量的变化，这样就会出现变量之间的函数关系；而动点在运动过程中，也会引起相关图形的变化，这样就可能产生特定形状、特定位置或特定关系的图形。这些问题就需要借助方程来解决。但不管是动点问题引出的函数。还是由动点引出的方程，却都需要借助于几何计算来建立。因此，几何计算才是图形动点问题得以解决的真正核心基础，也即
一、图形引入动点形成的函数问题
例1 如图（1），中，点P是AC上的动点（P不与A，C重合）。，点P到AB的距离为。
（1）求与的函数关系式；
（2）试讨论以P为圆心，半径为的圆与AB所在直线的位置关系，并指出相应的取值范围。
（1） （1`）
【观察与思考】（1）如图（1`），若于Q，要建立PQ和CP的函数关系，可以通过和的相似关系。
（2）就是讨论⊙P的半径（即）和圆心P到AB的距离（即）的大小关系。
解：（1）过P作于Q，如图（1`），则，
易知∽，，
化简得：。
（2）令，即解得，此时⊙P与直线AB相切。
对应地有：时，⊙P与直线AB相离；时，⊙P与直线AB相交。
【说明】本题的关键就是通过两直角三角形相似关系构成的比例等式导出函数关系式，再通过⊙P和AB相切这一特殊情况来判断⊙P和AB的三种位置关系。
例2 如图（1），已知P为的边上的一点，以P为顶点的的两边分别交射线于两点，且为锐角）。当以点P为旋转中心，从PM边与重合的位置开始，按逆时针方向旋转（保持不变）时，两点在射线上同时以不同的速度向右平行移动。设，的面积为。若。
（1）当旋转30°（即）时，求点N移动的距离；
（2）写出与之间的关系式； （1）
（3）试写出随变化的函数关系式，并确定的取值范围。
【观察与思考】首先要把题目的背景分析清楚：
①为锐角，且，得；
②旋转前，PM边与边重合，对应的图形为图①，其中是边长为2的等边三角形。
②
①
对于问题（1），旋转30°后变为图形②，可知此时和都是直角三角形，弄清楚这些特点，问题很多容易解决。
对于问题（2）和（3），又要回到原题图，借助直角三角形及相似三角形，通过几何计算可求出函数的表达式。
解：（1）初始状态时，是边长为2的等边三角形（如图①），当旋转30°到位置时对应的图形为图（②）。
。
在中，。
点N的移动距离为2。
（2）如图（1）在和中，。
∽，，即。
，（※）
过P点作，垂足为D（如图③），
在中，，
。
在中，，（※※）
由（※）和（※※）式得，即。
（3）在中，OM边上的高PD为，（见图③）。
。 （③）
即。
又的取值范围是。
是的正比例函数，且比例系数，即。
【说明】Ⅰ、对于运动中变化中的图形，在题目的图示中往往只给出一种一般情况下的图形，但要把题目的全部背景和整个变化过程搞清楚，就需要如本题那样，仔细研究图形变动的每种形态和联系。
Ⅱ、由本题的解可以看出，要顺利建立出函数关系式，关键在于发现题目中的三角形之相似关系以及恰当地引用和构造直角三角形。
例3 如图（1），已知直角梯形中，动点
P沿 的路线以秒的速度向C运动，动点Q沿 线路以秒的速度向C运动，P，Q两点分别从A，B同时出发，当其中一点到达C点时，另一点也随之停止。设运动时间为秒，的面积为。
（1）求AD的长及的取值范围；
（2）求关于的函数关系式，并具体描述在P，Q运动过程中，的面积随变化而增大或减小的情况。
【观察与思考】 首先，要把题目的背景搞清楚，如图（1`），将AB平移至
DE，易得，即得。
其次，要把运动全过程搞清楚：首先从时间上来看，点Q共可运动8秒；点P
在AD上运动秒，在DC上运动秒，也是共运动8秒，再看的变 （1）
动情况：当时，点P在AD上，此阶段图形大致如图（2`），而在
时，此阶段图形大致如图（3`）。
把这些情况都搞清楚了，问题（1）和问题（2）就容易解决了。
（1`） （2`） （3`）
解：（1）在梯形中，过D作于E点。
在中，，。
点P从出发到点C共需（秒），点Q从出发到C共需（秒）。
又。
（2）①当时，点P在AD边上，P到BC的垂线段长。
（）。
②当时，点P在DC上，（图（3`），。
过点P作于M，得∽。
，即又，
当时，的面积随的增大而增大。
当时，。
当时，的面积随的增大而（继续）增大。
当时，的面积随的增大而减小。
【说明】本题突现了函数表达式的分段情况源起于对图形动点引出的相关图形不同的变化形态，足见深入和全面审题的重要。
以上几例启示我们：
1、图形引入动点之后，大都会形成变动图形边长或面积的函数问题；
2、这类函数关系的建立，核心基础是“几何计算”，注意恰当运用与构造直角三角形及相似三角形；
3、解法的思考要特别注意从对背景图形和“变化过程”的全面研究入手。
二、图形引入动点形成的方程问题
图形动点 几何计算 方程
例1 如图，（1），在等腰梯形中，，点P从点A出发，以的速度沿AB向终点B运动，点Q从点C出发，以的速度沿CD，DA向终点A运动。（P，Q两点中，有一个点运动到终点时，所有运动终止）。设P，Q同时出发并运动了秒。
（1）当PQ将梯形分成两个直角梯形时，求的值；
（2）试问是否存在这样的，使四边形的面积是梯形面积的一半？若存在，求出这样的的值；若不存在，请说明理由。
【观察与思考】第一，搞清楚背景图形：略；
第二，搞清楚运动的全过程：①从时间上来看，点P共运动 （1）
4秒钟，而点Q在CD上运动2秒，在DA上需运动6秒。这
样，它们共同运动的时间为4秒，即点Q在DA上最多运
动到处。②再从对应的图形来看，在时，对应图形如原图（1），而在时，对应的图形就像图（1`）。
有了以上的研究，再来看看相应问题的解决方向和方法：
对于问题（1），对应的图形如图（1``），可通过构造
关于的方程来求解。 （1`）
对于问题（2），应计算出来（是关于的代数式），令它
等于，从所得方程解出相应的值。但应特别注意，在计算
时，需分点Q在CD上还是在DA上两种情况来讨论。
解：（1）过D作于E，过C作于F，如图（1``）。 （1``）
，
若四边形APQD是直角梯形，则四边形DEPQ为矩形，有，
即。
当秒时，PQ将分成两个直角梯形。
（2）在中，，
（8+2）。
当时，
①如图（1），若点Q在CD上，即，则。
，解得（舍去）。
②如图（1※），若点在上，即。 （1※）
由图（1``）易知，
过点作于，其反向延长线交的延长线于，如图（1※），
在中，，
在中，。
设，也即，得
即。
解得（不合题意，舍去），）。
存在，使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半。
【说明】由本题可以看出：求动点引起的特定形状（PQ将梯形ABCD分成两个直角梯形）、特定数量（四边形PBCQ的面积为梯形面积的一半）的图形，都是通过构造相应的方程来解决。
例2 如图，在中，，动点P从点A出发沿AC边向点C以每秒3个单位长的速度运动，动点Q从点C出发沿CB边向点B以每秒4个单位长的速度运动。P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动。在运动过程中，关于直线PQ对称的图形是。设运动时间为（秒）。
（1）为何值时，四边形是梯形？
（2）是否存在时刻，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。
【观察与思考】首先，搞清楚背景图形（略）；
其次，搞清运动全过程，在这里重点是搞清楚四边形是 （1）
由和它关于PQ对称的图形组成的。
对于问题（1），应以，这一特征构造关于的方程来解决。
对于问题（2），应像图（1`）那样，用∽来反映，并由此构造关于的方程来解决。
解：（1）如图（1``），若是梯形，由于AB与BQ显然不平行，
故应以，即∽。 （1`）
，
，解得。
当秒时，四边形是梯形。
（2）设存在时刻，使得，延长PD交BC于点M，如图（1`），则
∽，，
。
又，若，即有∽，则 （1``）
即，解得。
当秒时，。
【说明】在本题，研究动点在运动过程中何时使“四边形是梯形”——变化中成为特定形状的图形，能否使“”——变化成为特定位置关系的图形，都是借助构造方程来解决的。
以上两例启示我们：
1、图形引入动点形成的一些新的变动的图形，有关变动图形的特定形状、特定位置、特定数量关系的问题，都应当考虑构造相应的方程来解决。
2、这类方程的构造，多要通过“几何计算”，即应恰当运用与构造直角三角形及相似三角形。
三、图形引入动点形成的函数和方程问题
在更多情况下，是同时研究图形引入动点形成的函数及方程问题。
例1 如图①，中，，点M在边AB上，且。
（1）动点D在边AC上运动，且与点A，C均不重合，设。
①设与的面积之比为，求与之间的函数 ①
关系式（写出自变量的取值范围）。
②当取何值时，是等腰三角形？写出你的理由。
（2）如图②，以图①中的BC，CA为一组邻边的矩形中，
D在矩形边上运动一周，能使是以为顶角的等腰
三角形共有多少个？（直接写出结果，不要求说明理由。）
【观察与思考】第一，搞清楚背景图形，如在图①中，； ②
第二，搞清楚运动全过程，在（1）中，点D在AC上运动，
的边DA的长随之变化，但该边上的高不变，边AM也是不变的；在（2）中，点D可以运动至矩形上的任意一点，所以的形状也相应地变化着，但AM这条边是不变的。
解：（1）①，又。过点M作于H。（如图①`）
∽，得
。 ①`
。
（其中）。
②要使为等腰三角形，只有以下三种可能：
ⅰ、，此时。
ⅱ、，即在图①`中应有，而，
也即。
ⅲ、（如图①``）。若过D作于点E，易知∽，且。
即，得。
。 ①``
综上可知：当时，都可以是等腰三角形。
（2）注意到要求为等腰三角形，且以为顶角，也就是要求，那么A和D都应以点M为圆心，以MA的长为半径的圆周上，为此，作草图如图②`，该圆与矩形的边共有5个交点（包括点A），这些点中和M，A构以M为顶角顶点的等腰三角形共有4个，如图中的。
【说明】在本题中，（1）中的①是转化为函数，（1）中
的②是转化为方程。而对于（2），则主要通过分析图形 ②`
的几何性质与画草图来解决。
例2 已知，如图（1），正方形的边长为6，菱形的三个顶点分别在正方形边AB，CD，DA上，连结CF。
（1）当时，求的面积；
（2）设，用含的代数式表示的面积； （1）
（3）判断的面积能否等于1，并说明理由。
【观察与思考】首先应当清楚，当点G在DC边上运动时，菱形的形状、大小从而点F的位置都是变化的。
对于（1），应先搞清楚时菱形的形状和点F的位置。
对于（2），关键是求中边CF上的高。
对于（3），可借助于方程或函数的性质帮助作出判断。
解：（1）正方形中，。
又，，即菱形的边长为。
在和中， 。
，
。
，即这时菱形是正方形。 （1`）
同理可以证明。
即点F在BC边上，如图（1`），同时可得。
。
（2）作，M为垂足，连结GE，如图（1``）。
， （1``）
。
在和中，又有。
，即无论菱形如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2。
。
（3）若，由，得，此时在中，。相应地，在中，，即点E已经不在边AB上。故不可能有。
【说明】由本题进一步看出，图形引入动点后形成的函数和方程问题，切入点在于深入，全面地研究“变动着的图形”，解决的关键在于运用好“几何计算”。
练习题
1、如图，在矩形中，P为AC的中点，直线，且分别与AB，BC相交于点E，F。设的面积为，求关于的函数关系式。
2、如图（1），在梯形中，
（1）如图（2），动点P，Q同时以每秒的速度从点B出发，点P沿BA，AD，DC运动到点C停止。点Q沿BC运动到 点C停止，设P，Q同时从点B出发秒时，的面积为，求关于（秒）的函数关系式。
（1） （2） （3）
（2）如图（3），动点P以每秒的速度从点B出发沿BA运动，点E在线段CD上随之运动，且。设点P从点B出发秒时，四边形PADE的面积，求关于（秒）的函数关系式，并写出自变量的取值范围。
3、如图，已知矩形的边长某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以的速度向A点匀速运动 问：
（1）经过多少时间，的面积等于矩形面积的？
（2）是否存在时刻，使以A，M，N为顶点的三角形与相似？若存在，求的值；若不存在，请说明理由。
4、如图，等边三角形中，，点P是AB边上的任意一点（点P可以与点A重合，但不与点B重合），过点P作，垂足为E；过点E作，垂足为F；过点F作，垂足为Q。设。
（1）写出与之间的函数关系式；
（2）当BP的长等于多少时，点P与点Q重合。
5、如图，在矩形中，。设P，Q分别为BD，BC上的动点，在点P自点D沿DB方向匀速移动的同时，点Q自点B沿BC方向向点C作匀速移动，移动的速度均为，设P，Q移动的时间为（）。
（1）写出的面积与时间之间的函数表达式，当为何值时，S有最大值？最大值是多少？
（2）当为何值时，为等腰三角形？
（3）能否成为等边三角形？若能，求的值；若不能，说明理由。
6、如图，正方形的边长为，点P是BC边上不与点B，C重合的任意一点，连结AP，过点P作交DC于点Q，设BP的长为，CQ的长为。
（1）求点P在BC上运动的过程中的最大值；
（2）当时，求的值。
7、如图，在等腰梯形中，。点P从点B出发沿折线段
以每秒5个单位长的速度向点C匀速度运动；动点Q从点C出发沿线段
CB方向以每秒3个单位长度匀速运动，过点Q向上作射线，交折线线段
于点E，点P，Q同时开始运动，当点P与点C重合时停止运动，点Q随之停止。设点P，Q运动的时间是秒（。
（1）当点P到达终点C时，求的值，并指出此时BQ的长；
（2）当点P运动到AD上时，为何值能使？
（3）设射线QK扫过梯形的面积为S，分别求出点E运动到CD，DA上时，S与的函数关系式；（不必写出的取值范围）。
（4）能否成为直角三角形？若能，写出的取值范围，若不能，请说明理由。
图形动点问题
通过几何计算（主要是解直角形和三角形的相似关系
函数（变化规律）
方程（特定形状的图形、特定位置的图形、特定关系的图形）
A
C
B
P
Q
A
C
B
P
A
P
N
B
M
A
P
B
N
（M）
30°
60°
A
P
B
N
（M）
60°
60°
A
P
N
B
M
D
B
C
A
D
C
A
D
B
C
Q
P
A
D
B
C
E
P
M
Q
A
D
B
C
Q
P
A
D
B
C
12
13
E
12
3
5
特定形状图形
特定位置图形
特定数量图形
A
B
C
D
P
Q
A
B
C
D
P
Q
A
B
C
D
P
Q
F
E
A
B
C
D
P
Q
H
G
A
B CC
C CC
Q CC
P CC
D CC
A
B CC
C CC
Q CC
P CC
D CC
M CC
A
B CC
C CC
Q CC
P CC
D CC
A
C
B
D
M
A
C
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M
D
A
C
B
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M
H
A
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B
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A
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B
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B
C
D
E
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G
A
B
C
D
E
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H
G
A
B
C
D
E
F
H
G
M
A
B
C
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P
N
M
F
E
A
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B
A
D
C
B
E
P
A
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C
B
Q
P
A
B
D
C
N
M
A
B
C
P
Q
E
F
A
B
C
D
P
Q
A
B
C
D
Q
P
BA
AD
DC
CD
DA
AB
A
B
C
D
E
P
K
Q
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研究性问题的思考要点
研究性问题最根本的特点在于它具有“获取新知识”的意义或意味，也即它不单纯是已学的课本知识的应用，而是包含有理解和掌握一个“新概念”或“新规定”、发现和总结一个“新规律”或“新结论”的成份及过程，它可以突出地考查我们的“学习能力”和“发现与创新”能力。
从所依循的思考方向和思维方法来看，研究性问题可大体分为三类：
Ⅰ、通过引入的“新概念”或“新规定”及其应用，重在体现和考查“抽象概括”的能力”；
Ⅱ、通过设置由“特殊到一般”或“由一般到另一特殊”的活动情意，并从中归纳或类比总结出“新规律”，重在体现和考查“合情推理”的能力。
Ⅲ、通过对已知的普遍认识的基础上添加特殊条件或限制，以获得更特殊更深入的新认识，重在体现和考查由特殊化使认识走向更深入。
一、设置“新概念”或“新规定”情景的研究性问题
这类问题的思考要点在于把握准“新概念”和“新规定”的实质，或说根本特征，从而将其应用在所属的具体情景之中。
例1 如图（1），菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”。在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等。
（1）设菱形相邻两个内角的度数分别为 和，将菱形的“接近度”定义为，于是越小，菱形越接近于正方形。
①若菱形的一个内角为70°，则该菱形的“接近度”等于 ；
②当菱形的“接近度”等于 时，菱形是正方形。
（2）设矩形相邻两条边长分别是和（），将矩形的“接近度”定义为，于是越小，矩形越接近于正方形。
你认为这种说法是否合理？若不合理，给出矩形的“接近度”一个合理定义。
【观察与思考】对于（1），关键是准确地把握：菱形的“接近度”为，其中和是该菱形“相邻两内角的度数”。
对于（2），首先要弄清：应保证相似图形的“接近度”相等，此乃是“接近度”的本质特征，接下来的问题就好解决了。
解：（1）① 40。 ② 。
（2）不合理，例如，对两个相似而不全等的矩形来说，它们接近正方形的程度是相同的，但却不相等，合理定义方法不唯一，如定义为。越小，矩形越接近于正方形；越大，矩形与正方形的形状差异越大；当时，矩形就变成了正方形。
【说明】在本题，关键是要能把握“接近度”这一个新概念的本质特征。
例2 在平面内，先将一个多边形以点为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为，并且原多边形上的任一点，它的对应点在线段或其延长线上；接着将所得多边形式以点为旋转中心，逆时针旋转一个角度过，这种经过位似和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，记为（，），其中点叫做旋转相似中心，叫做相似比，叫做旋转角。
（1）填空：
① 如图（1），将以点A为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转60°，得到， 这个旋转相似变换记为A（ ， ）；
②如图（2），是边长为1的等边三角形，将它作旋转相似变换A（），得到，则线段长为 ；
（1） （2） （3）
（2）如图（3），分别以锐角三角形的三边AB，BC，CA为边向外作正方形，点分别是这三个正方形的对角线交点，试分别利用，之间的关系，运用旋转相似变换的知识说明线段之间的关系。
【观察与思考】关键就是要把（，）的特征——即位似与旋转的规定——搞清搞准。以下问题都是这些特征的具体化和运用。
解：（1）① 2，60°；② 2；
（2）经过旋转相似变换），得到，此时，线段变为线段。
经过旋转相似变换），得到，此时，线段变为线段。
，
。
【说明】从本题可以看出，所谓掌握一个“新概念”或“新规定”，是指能将它应用在具体的问题中和复合的问题中，这也正是抽象概括能力的基本表现形式。
二、设置“发现新规律”的研究性问题
这类问题的思考要点在于把握准“由特殊到一般”或“由特殊到特殊”的共同点或共同属性，借归纳或类比概括出带有一定“普遍性”的规律。
例1 提出问题：如图（1），在四边形中，P是AD边上任意一点，与和的面积之间有什么关系？
探究发现：为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的、特殊的情形入手。
（1）当时（如图（2）
的高相等。 （1）
。
的高相等。
。
。 （2）
。
（2）当时，探求与和之间的关系，写出求解过程；
（3）当时，探求与和之间的关系为： ；
（4）一般地，当（表示正整数）时，探求与和之间的关系，写出求解过程；
问题解决：当时，与和之间的关系式为： 。
【观察与思考】对于（2），关键是将（1）的推理过程类比到时的情景，看其是否成立；对于（3）是将（1）、（2）的结论再类比到；对于（4）则是将推理过程和结论进行更为一般化的推广和归纳。
解：（2），的高相等，。
又的高相等，。
。
。
（3）。
（4）。
，的高相等。
。
又的高相等。
。
。
。
问题解决：。
【说明】在本题，准确地使用“类比”和“归纳”是各小问题获解的关键。
例2 实验与探究：（1）在图（1），（2），（3）中，给出平行四边形的顶点的坐标（如图所示），
写出图（1），（2），（3）中的顶点的坐标，它们分别是（5，2）， ， ；
（1） （2）
（4）
（3）
（2）在图（4）中，给出平行四边形的顶点的坐标（如图所示），求出顶点C的坐标；（C点的坐标用含的代数式表示）；
归纳与发现：（3）通过对图（1），（2），（3），（4）的观察和顶点C的坐标的探究，你会发现；无论平行四边形处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为，如图（4）时，则四个顶点的横坐标之间的等量关系为 ；纵坐标之间的等量
关系为 （不必证明）。
运用与推广：（4）在同一直角坐标系中有抛物线和三个点G，，
（其中。问当为何值时，该抛物线上存在点，使得为顶点的四边形是平行四边形？并求出所有符合条件的点的坐标。
【观察与思考】问题（1），（2），（3）逐步“由特殊到一般”，发现点C的坐标和另外三点的坐标间的关系，思考的核心是体察并归纳出各种情况下的坐标关系的共性，从而上升成“一般规律”；问题（4）则是这个“一般规律”的综合性应用。
解：（1），。
（2）分别过点作轴的垂线，垂足分别为。分别过作于E，于点F。如图（4`），在平行四边形中，，又，
。
，又。
。
设。由得。
由，得。 （4`）
。
（3）。或。
（4）①若为平行四边形的对角线，由（3）可得。要使在抛物线上，则有，即（舍去），。此时（。
②若为平行四边形的对角线，由（3）可得，同理可得，此时。
③若为平行四边形的对角线，由（3）可得，同理可得，此时。
综上所述，当时，抛物线上存在点P，使得以为顶点的四边形是平行四边形。
符合条件的点有（；；。
【说明】在本题中，由（1）的具体启发完成（2）中的求解是关键；在问题（4）中，全面而恰当的分类使解答简捷而有序。
例3 如图（1），点C将线段AB分成两部分，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点。
某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线将一个面积为的图形分成两部分，这两部分的面积分别为，，如果，那么称直线为该图形的黄金分割线。
（1）研究小组猜想：在中，若点D为AB边上黄金分割点（如图（2），则直线CD是的黄金分割线，你认为对吗？为什么？
（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？
（3）研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D（D为AB的黄金分割点），作直线，交AC于点F，连结（如图（3），则直线也是黄金分割线，请你说明理由。
（1）
（3）
（2） （4）
（4）如图（4），点E是平行四边形的边AB的黄金分割点，过点E作，交于点F，显然直线是平行四边形的黄金分割线，请你画一条平行四边形的黄金分割线，使它不经过平行四边形各边的黄金分割点。
【观察与思考】对于（1）和（2）要通过“黄金分割线”的定义来检验，要点是由“黄金分割点”类比到“黄金分割线”后对其意义的确切把握。
对于（3）和（4），实际是做“等积变换”，这在“几何图形的等积分割”部分已有介绍。
解：（1）直线是的黄金分割线。理由如下：
设的边AB上的高为。
。
。又点D为边AB的黄金分割点。
。。
直线是的黄金分割线。
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，此时，
，
三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线。
（3） 的公共边CE上的高也相等，
。
。
又，。
因此，直线也是的黄金分割线。
（4）画法不惟一，现提供两种画法；
画法一：如答图（1`），取的中点G，再过点G作一条直线分别交于点，则直线就是平行四边形的黄金分割线。
画法二：如答图（2`），在上取一点，连结，再过点F作交AB于点M，连结，则直线就是平行四边形的黄金分割线。
（1`） （2`）
【说明】本题体现的就是通过类比将“黄金分割”由线段扩充到三角形和平行四边形。
归纳和类比是知识扩充与增长的极为重要的思维途径，也是研究性问题展开的有效方式。因此，我们要深刻体会归纳与类比的思考要点，并能熟练而灵活地运用。
三、设置“特殊化”情景的研究性问题
这类问题的思考要点在于充分利用附加的特殊条件或对结论的特殊要求，把握特殊条件的特殊结论和相应的关系。
例1 抛物线，其顶点（可以位于坐标系内任意一点，请研究以下问题：
（1）若其顶点为（1，1），则 ， ，
若其顶点为（，则 ， ，
（2）具有怎样的关系时，顶点在直线上？
（3）抛物线上任意一点，都可以是抛物线的顶点吗？若可以，请指明应满足的关系，若不可以，请说明理由。
【观察与思考】根据各小题中对顶点的特殊要求，去寻求应满足的条件。
解：（1）（通过解方程可得）2；4，9。
（2）若（在直线上，则。
为任意实数），即满足关系时，抛物线的顶点总在直线上。
（3）可以。令，得为任意实数）。
当和满足关系时，抛物线的顶点都在抛物线上。
【说明】由本题可以看出，特殊化方向的研究，可以使我们对原事物有更多方向和更深层次的认识。
例2 我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等。那么在什么情况下，它们会全等？
（1）阅读与证明：
当这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等。
当这两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等（证明略）。
对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下：
已知：，均为锐角三角形，，
，。
求证：。
（请你将下列证明过程补允完整）。
证明：分别过点作于D，于，
则，
，，
，
。
（2）归纳与叙述：由（1）可得到一个正确的结论，请你写出这个结论。
解：（1）又，
，
又，。
。
（2）若，均为锐角三角形或均为直角三角形或均为钝角三角形，且，，，则。
【说明】本题告诉我们，一个不真的命题加上若干限定条件之后，它就可能成为一个真命题，因此，“特殊化”方向的研究，可帮助我们获得更深入的知识。
练习题
1、设关于的一次函数与，则称函数。
（其中为此两个函数的生成函数。
（1）当时，求函数与的生成函数的值；
（2）若函数与的图象的交点为，判断点是否在此两个函数的生成函数的图象上，并说明理由。
2、如图（1），在的方格中，给出下列三种变换：变换，变换，变换。将图形沿轴向右平移1格的图形，称为作1次变换；将图形沿轴翻折得图形，称为作1次变换；将图形绕坐标原点顺时针旋转90°得图形，称为作1次变换。
规定：变换表示先作1次变换，再作一次变换；变换表示先作一次变换，再依一次变换；变换表示作次变换。解答下列问题：
（1）作变换相当于至少作 次变换；
（2）请在图（2）中画出图形作变换后得到的图形；
（3）变换与变换是否是相同的变换？请在图（3）中画出变换后得到的图形，在图（4）中画出变换后得到的图形。
（1）
（2） （3）
（4）
3、阅读材料并解答问题：
与正三角形各边都相切的圆叫做正三角形的内切圆，与正四边形各边都相切的圆叫做正四边形的内切圆，……与正边形各边都相切的圆叫做正边形的内切圆，设正边形的面积为，其内切圆的半径为，试探索正边形的面积。
如图（1），当时，
设切⊙于点C，连结，
。
。
在中，，
，
，
。
（1）如图（2），当时，仿照（1）中的方法和过程可求得： ；
（2）如图（3），当时，仿照（1）中的方法和过程；
（3）如图（4），根据以上探索过程，请直接写出= 。
4、课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题：
如图（1），已知四边形中，AC平分，互补，
求证：。
小敏反复探索，不得其解。她想，若将四边形特殊化，看如何解决该问题。
（1）特殊情况入手
添加条件：“”。如图（2），可证。（请你完成此证明）
（2）解决原来问题
受到（1）的启发，在原问题中，添加辅助线：如图（3），过点C分别作的垂线，垂足分别为。
（请你补全证明）
5、学习投影后，小明、小颖利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规律。如图，在同一时间，身高为的小明（AB）的影子BC长是，而小颖（EH）刚好在路灯灯泡的正下方H点，并测得。
（1）请在图中画出形成影子的光线，并确定路灯灯泡所在的位置G；
（2）求路灯灯泡的垂直高度。
（3）如果小明沿线段向小颖（点H）走去，当小明走到BH中点处时，求其影子的长；当小明继
续走剩下路程的到处时，求其影子的长；当小明继续走剩下路程的到处，…按此规律继续走下去，当小明走剩下路程的到处时，其影子的长为 （直接用的代数式表示）。
6、如图，已知平面直角坐标系，两点的坐标分别为。
（1）若是轴上一个动点，则当 时，的周长最短。
（2）若是轴上两个动点，则当 时，四边形ABDC的周长最短。
（3）设分别为轴和轴上的动点，请问：是否存在这样的点，使四边形ABMN的周长最短？若存在，请求出 ， ，若不存在，请说明理由。
P
D
C
B
E
D
C
B
A
A
B
E
D
C
A
B
C
G
F
D
E
A
H
I
P
D
C
B
A
（）
D（4，0）
B（1，2）
C
C
B（）
D（）
（）
C
B（）
D（）
EMBED Equation.3
C
B（）
D（）
EMBED Equation.3
C
A
EMBED Equation.3
C
B（）
D（）
E
F
B
C
A
E
D
B
C
A
D
F
F
E
D
B
C
A
E
F
D
B
C
A
M
G
N
N
M
E
F
D
B
C
A
D
B
C
A
变换
P变换
Q
F
A
C
B
B
C
A
B
C
A
B
C
A
A
B
C
D
D
C
B
A
D
C
B
A
F
E
HH
B
C
E
A
A
B本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
关节一 数与式的三项要点 ■ 1
第一编 核心知识的再提升
任何教学问题的解决都必以核心知识为基础。
对知识的掌握是有层次高低之别的，只有上升到“原理”层次的知识掌握，才能和心应手发挥作用。
关节一
数与式的三项要点
“数与式”是初中数学的核心内容之一，不公在各中考试卷中占有相当比重，更重要的是它的作用体现与融合在诸多知识运用之中，其中三项要点，尤望同学们掌握与用好。
要点一、准确与灵活是“运算”之魂；
要点二、深入把握“教”、“式”的性质；
要点三、善于将情景中的数量或数量关系抽象为代数式；
1、 准确与灵活是“运算”之魂
1、 灵活运用运算法则，运算律和运算性质
对以个几道中考试题，我们给出新的解法，请同学们感悟“灵活”的意义和作用。
例1 化简：
解：原式（先把除法转换成乘法，再用分配律乘入括号内）
2 ■ 中考数学高分的十八个关节
例2 计算：
解：原式（先从括号内提出“公因式”而后约分）
例3 已知是一元二次方程的实数根，求代数式的值。
解：原式（除式和被除式同乘以
以上三题是中考题，也都是较容易的题，从每一道题的解法可以看出：越是能适时而恰当运用“运算律”，“公式”“性质”等，则越可使运算步骤减少，过程简化。所以，越是善于将算法、算律、公式、性质联合运用，越能提高运 算的准确性和过程的简约性。
2、善于把“非标准”算式转化为“标准”算式
中考试题中不少数、式运算问题以“非标准”形式给出，解决的基本过程是先将其转化为“标准”算式，然后计算。而这个“转化”就提高了对灵活性和准确性的要求。
例4 在实数的原有运算法则基础上我们又定义运算“”如下：
当.
则当时，的值为 （“.”和“一”仍为实数运算中的乘号和减号）
[ 观察与思考]根据对新运算的规定，当时有
解：-2
可以看出，不管新运算规定得多么新奇，它总是通过 原有的运算来表达的。因此，解这类问题的基本过程是：先按新运算的规定转化成原来的运算，再按原来的运算计算出结果。这“两步走”检验着我们是否很好地理解和
掌握了“算法”的意义
例5 按下列程序计算，把答案写在表格内：
平方 答案
（1）填写答案：
输入 3 -2 -3 ……
输出答案 1 1
(2)请将题中计算程序用代数式表达出来,并给予化简.
[观察与思考]经过审题之后,我们会发现,可以先解答第(2)问,因为将相应代数式得出化简之后,就使(1)变成已熟悉的代数式求值问题了.
解: (1)在输出答案的各栏中均填1.
(2)对应的代数式应为: ,化简后为1.
例6 如图1------1, D , E分别是的边BC和AB上的点,的周长相等,设
(1) 求AE和BD的长;
(2) 若
[观察与思考]本题表面上是图形形问题,但实质是式的运算.
解: (1)
;
同理.
(2)
由(1)知
.
即.
由以上几例可以看出:
数与式的运算能力,更体现于把”非标准”算式转化为”标准”算式,这就要求我们对运算的意义和作用,有更深刻的认识
2、 深入把握“数”、“式”的性质
1、 用活数的构成和表示
例1 计算：归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测的个位数是 （ ）
A、1 B、3 C、 7 D、5
[观察与思考] 这实际是考查的个位数的出现规律，因为有：的个位数是2；的个位数是4；
的个位数字是8；的个位数字是16；的个位数字是2，……可见， （其中是非负整数且）
时，的个位数字与的个位数字是一样的。现在，即的个位数字等于的个位数字，即6，当然的个位数字就是5。
解：选D
【说明】 本题的解答是以对 的个位数字及循环情况分类认识与把握为基础的。
例2 如果一个数等于它的不包括自身的所有因数之和，那么这个数就叫完全数。例如，6的不包括自身的所有因数为1，2，3.而且6=1+2+3，所以6是完全数。大约2200多年前，欧几里德提出：如果是一个完全数，请你根据这个结论写出6之后的下一个完全数 。
【观察与思考】 设是质数3，７。。。，则时，时，;
解：28
【说明】因数、质数等的概念的掌握和运用是本题获解的基础。
例3： 老师在黑板上写出三个算式：王华接着又写了两个具有同样规律的算式：1
（1） 请你再写出两个（不同于上面算式）具有上述规律的算式；
（2） 用文字写出反映上述算式的规律：
（3） 证明这个规律的正确性。
【观察与思考】由题目条件提供的5个等式，根据我们对整数性质的掌握，可以知道本题要揭示的就是“任意两个奇数的平方差，都说8的倍数”。那么，任意两个奇数该如何用式子表示，就是解决本题的基础准备。
解：（1）如等等
（2）规律为：任意两个奇数的平方差都等于8的倍数。
（3）证明：两个奇数可表示为（其中都是非负整数），则。
当同是奇数或偶数时，一定为偶数，所以一定是8的倍数。
当一奇一偶时，则一定为偶数，所以一定是8的倍数。
所以，任意两个奇数的平方差都是8的倍数。
【说明】本题的顺利获解是基于这样两点：第一，能从提供的五个等式中归纳概括出规律，而这必须对整数及其性质有深刻的认识；第二，恰当地运用“式子”表示出“任意两个奇数”。
2、 用活“数”、“式”的大小关系
例4 估算的值（ ）
A、在5和6之间 B、在6和7之间 C、在7和8之间 D、在8和9之间
【观察与思考】本题实际上是考查在哪两个整数之间，思考过程可以是这样的：
解：应选C 。
【说明】这里的估算依据是正整数间的大小关系经开方运算所导致的实数间的小大关系。
例5 设是大于1的实数，，在数轴上对应的点分别标为A，B，C，则A，B，C三点在数轴上自左自右的顺序是（ ）
A、 C，B，A B、 B，C，A C、 A，B，C D、 C，A，B
【观察与思考】方法一（性质推导法）
数轴上的点自左自右应为B，C，A。
方法二（特数值法）
可设，则A，B，C表示的数为当然有
解：应选B。
【说明】由本题可以看出，数与式的大小问题，都是以实数的大小关系为基础的，所以，掌握实数的大小关系，是非常重要的。
启示：掌握数，式的构成（即用其他需要的方法表示它）和掌握数，式的大小关系（基本不等关系和在此基础上再经运算的不等关系），是进一步研究和运用数与式的重要根据。
3、 善于将情景中的数量或数量关系抽象为代数式
列式，即将某一情景中蕴含的数量或数量关系，用式表示出来，这是用数学研究该情景问题的基础，也是用式，方程（不等式）、函数解决实际问题的起始步骤，其作用的重要性言而喻，学习好“数与式”，应把善于列式放在第一位。
1、 图示化情景的列式
例1 如图，表中的数据是按一定规律排列的，从中任意框出 五个数字，请你用含其中一个字母的代数式表示这五个数字和为
1 2 3 4 5
9 10 11 12 13
17 18 19 20 21
25 26 27 28 29
33 34 35 36 37
41 42 43 44 45
【观察与思考】选C最好，因可知有
解：
【说明】本题可有多种表示法。
例2 生活中，有人喜欢把传送的便条折成形状，折叠过程是这样的（阴影部分表示纸条的反面）：
如果由信纸折成的长方形纸条（图①）长为26，宽为，分别回答下列问题：
（1）为了保证能折成图④的形状（即将纸条两端均超过点P），试求的取值范围。
（2）如果不但要折成图④的形状，而且为了美观，希望纸条两端超过点P的长度相等，即最终图形是轴对称图形，试求在开始折叠时起点与点A的距离（用表示）
【观察与思考】关键是看到叠成的五边形，每边的长都为原纸条的宽。
解：（1）由折纸过程知
（2）要图④为轴对称图形，则应。即点
可以看出：图示化情景的列式，要从图示的特征（如例1中每列，每行相邻两数的关系，例2的等边五边形等）出发，再结合要求才容易列出相应的代数式。
2、 文字语言情景的列式
对于较为复杂的文字语言情景的列式，可采用“逐步抽象法”。
例3 一种商品的成本为元，按成本增加25%作为销售定价，后因库存积压减价，按定价的9折售出，这种商品可盈利多少元？
【用“逐步抽象法”思考列式】
第一步，从问题情景中，确定出“盈利数额”（所列出的表达对象）的基本表示法：
盈利数额=售出价—成本价
第二步，将表示法中的各项逐步用已知的数量取代，即
盈利数额售出价—成本价
定价 逐步用已知的数量表示
第三步，整理合成，得“盈利数额”的代数式为：
所谓借助于“逐步抽象法”列式，就是不急于一下子写出列的列子，而是如上边的例子那样，先确定出所求式子的基本表示，如上例的盈利数额=售出价—成本价（可用文字，数字，字母，混合的形式表示），然后对其中的每一项逐步拆解，依次用题目中提供的已知数量来替换，最后再以相反的过程“代入”，即得要求的式子。可以看出，用“逐步抽象法”列式，给出了一个可以依循的思考层次和步骤，有助于准确，进而迅速地列出式子。
例4 某同学上学时步行，回家时乘车，路上共用90分钟；若往返都乘车，则共用30分钟，那么，如果往返都步行，需要的时间是多少呢？
【用“逐步抽象法”思考列式】
第一步，先找到“步行一个单程所需的时间”的基本表示法：
第二步，将上述表示法中的各项
用已知数量逐步替换： 90
第三步，整理合成，得一个单程步行所需要的时间为
所以，往返都步行所需的时间为分钟，即150分钟。
方法二：
第一步，根据题意有
第二步，将表示法中的各项用已知
数量逐步替换： 90 30
第三步，整理合成，得（分钟）
【说明】对于比较简单的问题，或对上述的思考过程已经运用的比较熟练和准确后，则像例5中框中的部分，只在头脑中运用即可。
用“逐步抽象法”也可以帮助更好地列出方程（不等式）和函数关系式。
例6 A，B两地间的铁路长为190千米，通过路的改造和机车的改进，使两地间客车行驶速度提高了50%，运行时间比原来缩短了38分钟，现在从A地天B地需要多少小时？
【“用逐步抽象法”思考列方程】
第一步，反映全局的相等关系是：“现在客车的行驶速度现在所需的行驶时间=全路程，”，而“欲求的数量”是“现在所需的行驶时间”。
第二步， （现在客车的行驶速度）（现在需要的行驶时间）=全路程
（原来的速度）（1+50%） 190
190
原来的行驶时间
190
现在所需的行驶时间+
“相等关系”均用已知数量和“欲求的数量”（现在所需的行驶时间）来表示了出来。
第三步，整理合成，设现在从A地到B地需要小时，得方程
解得 （小时）
用“逐步抽象法”的思考来列方程，可以归结为如下的三大步骤：
第一步，根据问题情景，确定出反映全局的相等关系和将要作为方程未知数的“欲求数量”；
第二步，由确定的相等关系出发，逐步将其中各项用已知数量和“欲求数量”所表示；
第三步，整理合成，得到完整的方程。
例6 为了防止水灾后的疫情发生，决定将甲、乙两医药仓库的某药品的80箱和70箱，送给灾区A县100箱，B县50箱。从甲、乙两仓库运往A县和B县的运费情况如下表：
（1）若设甲仓库运往A县的药品箱数为，总运费为元，请写出与的函数关系式；
（2）这150箱药品如何调配运送，既能按要求的数量配发，又能使总费最低？
到站 费用（元/桶）
甲库 乙库
A县 7 4
B县 5 10
【用“逐步抽象法”思考】我们用（甲 A）表示由甲仓库运往A县的药品箱数（其他情况用类似的方式表示），本题就是以（甲 A） 作为自变量，用它的代数式把总运费表示出来，根据题意有
（1）总运费（甲 A）+10（乙 A）+5（甲 B）+4（乙 B） （ ※）
现设（甲 A）为，则（乙 A）=100—，
（甲 B）=80—，（乙 B）=70—（100—）
代入（ ※）式，即得
因为甲仓库有药品80箱，而B县从中最多要50箱，所以，由甲仓库运往A县的药品箱数必须满足
总费用关于的函数为
（2）由于中，项的系数为，可知的值随的值的增大而减小，所以，当在的范围内取最大值80时，取得最小值（元）
这时的配送方法是：
（甲 A）=80，（甲 B）=0，
（乙 A）=100—80=20 ，（乙 B）=70—（100—80）=50
【说明】在这里，先确定出“总费用”（即函数）的基本表达式（可结合文字叙述来表示 ），再逐步将其中的各项都用已知数量和“甲仓库运往A县的箱数”（即）表示出来，这就是“逐步抽象法”在列函数关系式的基本运用方式。
善于列式是数学能力高的重要标志之一，我们介绍的“逐步抽象法”只是对列式思考的一种规范和指引，希望同学们能创造性的理解和运用，以便更有效地提高列式的能力。
练习题
1、请寻找最简约的解法：
（1）若，求值：
（2）能将整除的是（ ）
A、3 B、5 C、7 D、9
（3）先化简，再求值，其中
2．用“□”定义新运算：对于任意实数，有□。例如，7□4=，那么5□3= ；
当为实数时，□（□2）= 。
3、我们常用的数是十进制的数，而计算机程序处理中使用的是只有数码0和1的二进制数。这两者可以相互换算，如将二进制数1101换算成十进制数应为，按此方式，如将十进制数25换算成二进制数应为 。
4、任何一个正整数都可以进行这样的分解：，如果在的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称是的最佳分解，并规定：。例如18可以分解成这三种，这时就有F（18）=。给出下列关于的说法：
（1） （2） （3）若是一个完全平方数，则。其中正确廉洁的个数是（ ）
A、 1 B、 2 C、3 D、4
5、给定下面一列分式：
（1）把任意一个分式除以前面一个分式，你发现了什么规律？
（2）根据你发现的规律，试写出给定的那列分式中的第7个分式。
6、如下图所示，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆（该圆的周长为3个单位长，且在圆周的三等分点处分别标上了数字0，1，2）上：先让原点与圆周上数字0所对应的点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上1，2，3，4……所对应的点分别与圆周上1，2，0，1，……所对应的点重合，这样，正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系。
（1）圆周上的数字与数轴上的数5对应，则= ；
（2）数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周圈（为正整数）后，并落在圆周上数字1所对应的位置，
这个整数是 （用含的代数式表示）
7、每千克元的糖果千克与每千克元的糖果千克混合，成为杂拌糖，这种杂拌糖的每千克售价应为多少元？
8、铁路旁有一与之平行的小路，小路上有一人步行与一人骑自行车沿相同方向行进，步行人的速度是千米/小时，骑车人的速度是千米/小时，有一辆火车从他们的背后开过来，火车通过步行人用了22秒，通过骑车人用了26秒，求火车车身的长度。
9、一报刊销售厅从报社订购某晚报的价格是每份元，销售价是每份1元，卖不掉的报纸可以以每份元的价格退回报社。在一个月内（按30天计），有20天可以卖出100份，其余10天只能卖出60份，但每天报亭从报社订购的份数必须相同，若设报亭每天从报社订购报纸的份数为，每月由此获得的利润为元。
（1）写出与之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围；
（2）当取何值时，可使利润取得最大值，最大利润为多少元？
A
B
D
E
C
将各项均由已知数量和“现在所需行驶时间”来表示
0
2
1
0
2
1
0
1
2
3
0
1
2
3
1
0
2
1
0
2
1
0
2
3
4
5
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关节四
基本图形性质与功能的再认识
所有几何图形问题的解决，几乎都要回归到基本图形的性质，而能否得心应手地运用基本图形，则要靠以下两点：第一点，对基本图形性质掌握的深刻程度；第二点，基本图形的各性质都是以怎样的方式发挥着作用的。
正是为了帮助同学们学好、用好这两点，我们特将最重要的一些基本图形性质与功能加以梳理和解析，以便为各类几何图形问题的解决打下牢固的基础。
一、线段的性质和线段中点的功能
应掌握好：
1、线段的两种变换性质；
2、线段中点的三项功能。
1、线段的变换性质
从“变换”的角度说，线段既是轴对称图形（它所在的直线和它的垂直平分线都是对称轴），又是中心对称图形（中点就是对称中心）
例1 如图，是任意三角形，请画出和具有全等的关系。
【观察与思考】如果把要画的看作是由变换而来的，那么这个变换使线段BC变成自身，联想到线段的变换性质，就应有三种结果。
（1）
（2）
解：如图（2）（其中直线是BC所在的直线，点为点A关于直线的对称点；直线是线段BC的垂直平分线，点为点A关于直线的对称点；点O是线段BC的中点，点和点A关于点O为对称。都和全等。
【证明】正是线段的变换性质成为本题解法的基础和向导的。
2、线段中点的三项功能
（1）构造三角形的中线，特别是直角三角形的中线
三角形的中线，特别是直角三角形斜边上的中线，在相关问题的解决中常有重要的作用。
例2 如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，AG//DB，交CB延长线于点G。
若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论。
【观察与思考】首先，由，GB//AD，AG//DB，知四边形AGBD已是平行四边形，其次，
由四边形BEDF是菱形，而点E是AB的中点，即ED是中AB边上的中线，且
DE=EB=AE，立刻知道，即四边形AGBD是矩形。
解：（略）
【说明】正是由对直角三角形斜边上中线性质的深刻认识，直接诱发出
从DE=EB=AE，导出。
（2）构造三角形的中位线
例3 如图（1），已知，AD是的中线，E是AD上一点，连结CE并延长交AB于点F。
（1）若E是AD的中点，则 ；
（2）若AE：ED ；
（3）若AE：ED，则 ； （1）
【观察与思考】（1）如图（2），作DM//CF，交AB于点M，EF为的中位线，得AF=FM，
DM为的中位线，得BM=MF。可知。
（2）如图（3），作DM//CF，交AB于点M，易知，∽,
得。又DM为的中位线，得DM=FM， （2）
（3）类比于（1）和（2），应有（其实可有与（2）类似的推演过程）
【说明】本题解决的关键就在于构造出的中位线DM。
（3）构造中心对称图形
线段的中点是该线段的对称中心，这一性质的延伸，就是以它为基础作“中心对称构造” （3）
（特别是中心对称型 全等三角形）来使相关问题获得解决。
例4 已知，如图D是的边BA延长线上一点，有AD=BA，E是边AC上一点，且DE=BC
求证：
【观察与思考】以BD及其中点A为基础，构造“中心对称型”三等三角形。
解法提示：如下面图（1），（2），（3）。
（2） （3）
（1）
方法一：如图（1），延长CA到F，使FA=CA，连结FD，有，DF=BC=DE，得
方法二：如图（2），分别作交CA的延长线于N，垂足为M，则有得，DN=BN，进而推得，得
方法三：如图（3）延长CA到G，使得AG=EA，则得再由BG=DE=BC，得。
特别说明：我们借助基本图形的变换性质，能更好更快地发现图形或图形元素之间的关系，但要证明还需要按教材上的演绎形式来论述。简单说就是“借变换发现，按原格式证明”。本书均按此方式来做，以后不再重申。
例5 操作： 如图，点O为线段MN的中点，直线PQ与线段MN相交于点O，利用图（1）画出一对以点O为对称中心的全等三角形。
根据上述操作得到的经验完成下列探究活动。
（1） （2）
探究：如图（2），在四边形ABCD中，AB//CD，E为BC边的中点，与DC的延长线相交于点F，试探究线段AB与AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论。
【观察与思考】对于图（1），只要在直线PQ上点O的两侧分别取点E，F使OE=OF，就有（图略）对于图（2），延长AE到G，使EG=EA，连结CG，如图（2`）。由“操作”的结论可知，
得AB=GC，即CG//AB，而CF//AB，可知点F在GC上，而由，得AF=GF。这样就有
解：（略）
（2`）
由以上题目的解法研究看出：
凡是涉及线段（包括多边形的边）及其中点的的问题，应注意从线段的变换性质和它的中点的三项功能考虑。
二、角平分线的功能
角平分线主要功能有：
1、以角平分线的对称性质作轴对称构造；
2、角平分线与平行线结合构造出等腰三角形。
1、角平分线所在直线为轴构造轴对称图形
角平分线最重要的性质是它所在直线为“角”这个图形的对称轴，其他的性质都可以看作是由此导出的。因此，遇有角平分线的问题时，首先应当想到它的轴对称功能。
例1 如图，在中，，AD，CE分别为的平分线，求证：AC=AE+CD
【观察与思考】根据角平分线轴对称功能，首先想到在AC上作出AE关于AD的
的对称图形AF（如图（2）），进而希望有CF和CD也关于CE对称，这就引导我们
获取了如下的证法。
证明：取AC上的点F，使AF=AE，连结OF。
在中，AF=AE，AO公用，
（1）
又因为
（2）
在中CO公用。
。
【说明】本题的关键步骤就是以“角平分线的轴对称功能”为基础去构造全等三角形。
例2 如图，已知点A（0，1）是轴上一个定点，点B是轴上一个动点，以AB为边，在外部作过点B作交AE于点C，设点C的坐标为（），当点B在轴上运动时，求关于的函数关系式。
【观察与思考】先从几何图形的角度来看，为此作轴
于点D（如图（2）），当点B在的正半轴上时，现
考虑CD与OD之间的函数关系式。
再由AB为的平分线，沿着它是对称轴思考：若作CB的延长线交轴于，由可知和CB关于AB对称，即B为的中点，再结合轴，轴，则关于点B为中心对称，得，。再由的相似关系即可导出欲求的函数关系式。
解：作轴于点D，延长CB，交轴于点，则
的平分线，且，得。 （2）
在中，
。
在（同为的余角）。
∽ 得，
。
容易知道，这个关系在和取负数值时，也是成立的。
可以看出：不论在什么样的综合题中，角平分线的“轴对称功能”，都常是解法获得的有力指导，因此，应当时刻注意发挥角平分线这一功能的重要作用。
2、角平分线与平行线结合构造出等腰三角形
我们知道，若OP是的平分线，则与OA平行，与OB平行，与OP平行的直线，就会分别与另外两直线相交出等腰三角形来：即
情形一，与OA平行的直线MN和OB，OP所在的直线相交如图（1）和（2）：
（1）MN和OB，OP交出等腰三角形COD， （2）MN和OP，OB的反向延长线交出等腰三角形COD，
其中CO=CD。（） 其中CO=CD。（）
情形二，与OP平行的直线MN和OA，OB所在的直线相交如图（3）和（4）
（3）MN和OB的反向延长线及OA交出等腰三角形 （4）MN和OA的反向延长线及OB交出等腰三角形
DCO，其中OC=OD，（） OCD，其中OC=OD。（）
情形三，与OB平行的直线MN和OA，OP所在的直线相交，与情形一完全类似，也可得两种形式的等腰三角形。
由此可知：
①角平分线除了造出“等角之外”，它在许多情况下还可以造出“等边”。
②平行四边形（包括菱形，矩形，正方形）和梯形，本身就有平行线，因此，当这些图形中再有角平分线时（菱形的对角形已经是角平分线），必然就会形成等腰三角形，这对解决许多相关问题提供了依据。
角平分线这一功能有许多应用，如下边的例子；
例3 如图（1），在平行四边形ABCD中，线段AE，BF分别平分，交CD于点E，F，线段AE，BF相交于点M。
（1）试说明：；
（2）判断线段DF与CE的大小关系，并予以说明。
【观察与思考】注意到平行四边形对边平行和角平分线的功能，解法易得。
解：（1）
。
（2）有结论：DF=CE，理由如下：
在中，。
同理有CF=CB。
由以上的例题可以看出：
当题目中有直接给出或隐含的角平分线条件时，除了构成等角外，还应特别注意从角平分线两个方面的功能来分析和认识图形：
Ⅰ。以角平分线为轴，构成怎样的对称图形？
Ⅱ。以角平分线和平行线结合，构成怎样的等腰三角形？思考若以这样的功能作指导，大都会导到问题的恰当的解决方法。
三、等腰三角形的变换性质
等腰三角形具有这样的变换性质
1、等腰三角形是轴对称图形；
2、等腰三角形两腰绕顶点的旋转重合性。
1、等腰三角形的轴对称图形
等腰三角形是以底边上的中线（底边上的高线，顶角的平分线）所在的直线为轴对称的。如图（1）
凡是涉及等腰三角形的问题，都首先应当沿着“轴对称”这一特征去分析，去认识，去寻找解决的方法。
（1）
（2）
例1 如图（2），中，AB=AC，过A作GE//BC，角平分线BD，CF相交于点H，它们的延长线分别与GE交于点E，G，试在图中找出3对全等三角形，并对其中一对全等三角形给出证明。
【观察与思考】找全等三角形，实际上是去找图中关于的对称轴（尽管没有把它画出来）为对称的三角形。
解：全等的三角形有：
以证为例：
在中，BC公用，
，
。
在中，
，
AF=AB-BF=AC-CD=AD，
。
【说明】三角形全等本来只是图形“形状和大小”的问题，现在，在等腰三角形这一特殊（轴对称）背景下，可以借助于“位置的对称”来寻找和认识它们，这就为我们研究和利用它们提供了一个新的视角，新的途径，无疑是非常有帮助的。
例2 如图（1），中，AB=AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF//AB，连结BP并延长，交AC于点E，交CF于点F。
求证：
（1） （1`）
【观察与思考】若作PB关于AD的对称线段PC，则PC=PB，而易知∽，可使问题获解。
证明：连结PC（如图（1`））
在中，AP公用，AB=AC，，
。
在
∽，
。
【说明】可以看出，当问题的基本背景为等腰三角形时，以该三角形的对称轴去探索问题的解决途径，常常是很有效的。
2、等腰三角形的“两腰的旋转重合性”
如图，在等腰三角形ABC中，若顶角，则显然有：
腰AB 与腰AC重合，反之有
腰AC 与腰AB重合。
等腰三角形这一特征，我们称之为等腰三角形“两腰的旋转重合性”，等腰三角形的这一特征，也是解决某结与等腰三角形相关问题的向导。
例3 如图（1），是等边三角形，是顶角的等腰三角形，以D为顶点作
60°的角，它的两边分别与AB，AC交于点M和N，连结MN。
（1）探究：之间的关系，并加以证明；
（2）若点M，N分别在射线AB，CA上，其他条件不变，再探究线段BM，MN，NC之间的关系，在图（2）中画出相应的图形，并就结论说明理由。
（1）
（2）
【观察与思考】对于（1），这时在中，有
为了把BM，MN，NC集中到一个三角形中去，
作： （如图（1`），从而有MB=GC，而此时恰又有，
得。
（2`）
（1`）
对于（2），此时的图形（2`），仍作（1）中的的旋转，类似地可以推得MN=CN—BM
解：（1）关系为MN=BM+NC。
证明：延长AC到G，使CG=BM，连结DG，如图（2`）
。同理也有。
在，BM=CG。
。
在中，ND公用，DM=DG，
。
。
（2）此时，图形如图（2`），有关系式：MN=CN—BM。理由如下：
在CN上截取CG=BM，连结DG，如图（2`）。
与（1）中情况类似，可推得
仍与（1）中情况类似，可推得。
【说明】由本题可以看出，恰当地运用等腰三角形的“两腰的旋转重合性”，可在一定的条件下实现图形
（线段、角）的“转移”，从而使问题解决。
当题目背景为等腰三角形时，应注意充分运用其“轴对称性”和“两腰的旋转重合性”。
四、等边三角形的变换性质
等边三角形是特殊的等腰三角形，因而具有轴对称性，且有三条对称轴，但是，等边三角形具有更为特殊的变换性质，并更多地成为相关问题展开的焦点，那么，充分运用这些变换性质，便成为打开相关问题解决之门的钥匙。
等边三角形具有如下的变换性质
1、它是轴对称图形（有三条对称轴）；
2、它是绕中心的的旋转对称图形；
3、它的两邻边具有60°旋转重合性；
1、等边三角形的“的旋转对称性”
如果一个图形沿某一条直线作轴对称图形与它本身重合，就称这个图形为轴对称图形，完全类似地，如果一个图形以某一点为中心旋转角（）后与它本身重合，就称这个图形为“角的旋转对称图形”。比如说，平行四边形就是“180°的旋转对称图形”（“180°的旋转对称图形”也称“中心对称图形”）。
可以知道，任意的等边三角形ABC，以它的中心（三条中线的交点，也即中心、内心、垂心、外心）为中心旋转，就与自身重合，所以，“等边三角形是的旋转对称图形。”如图
重合于等边三角形BCA，等边三角形的这一变换性质，可以帮助
我们更好地发现与找到许多问题的解决方法。
例1 如图（1），扇形DOE的圆心角为120°，等边三角形ABC的中心恰好为扇形 的圆心，且点B在扇形内
（1）请连结OA，OB，并证明；
（2）求证：与扇形DOE重叠部分的面积等于面积的。
（1）
【 观察与思考】注意到点O为等边三角形ABC的中心，而恰为120°，即
重合于OG。因此，
（1）有 重合于。
（2）由（1）的结论可推得。
【证明】（1）连结OA，OB（如图（1`）。
点O是等边的中心，
。
又知。
。
（2）
【说明】由本题的结论及其推导过程可以进一步概括出：在等边三角形ABC中，
①任意顶点在的中心的120°的角的两边，截下的的部分的面积，都等于面积的。
②任意以的中心O为端点的射线（如上图中的OD），以O为中心旋转120°以后（如上图中的OE），与的边交出的对应线段有着同样的旋转对称关系，当然也就相等（如上图中OF=OG，AF=BG，BF=CG）。
例2 如图，已知，点D是边长为1的等边三角形ABC的内心，点E，F分别在边AB，AC上，且满足。求的周长。
【观察与思考】的三边的长不可能通过分别计算求得，因此，第一个想法
就是把它的三条边等长转化到同一条直线上，利用等边三角形120°的旋转对称性，
先把AF转化到AB上，为此，如图（1`），连结DA（注意到点D就是的中心） （1）
作变换：
重合到。
当然就有AF=BG。在这种情况下，又诱发我们看到，
即有EF=EG，这时就可以看出，的周长应当等于的一条边长。 （1`）
解：如图（1`），连结DA，DB，并在BA上截取BG=AF，连结DG，
在中，
（因为D为的内心）
在中，DE公用，DF=DG，，而
的周长
【说明】正是等边三角形的120°的旋转对称性，启发了整个的解题思路和辅助线的作法。
2、等边三角形“两邻边的60°旋转重合性。
因为等边三角形的每个角都是60°，且三边相等，所以，以其一个顶点（如图的A）为中心，将过该顶点的一条边（如AB）沿适当的方向旋转60°（如这里逆时针旋转60°）就能与顶点的另一条边（如AC）重合。
等边三角形的这一性质，我们可称之为等边三角形“两邻边的60°旋转重合性”。
这一性质，在不少与等边三角形相关的题目中，也有关着很重要的作用。
例3 如图，已知AD和BC相交于点，且均为等边三角形，
以平行四边形ODEB，连结AC，AE和CE。
求证：也是等边三角形
【观察与思考】借助于等边三角形“两邻边的60°旋转重合性”，容易发现：
Ⅰ、 重合于；
Ⅱ、 重合于。
由以上旋转重合中任选一个，都不难使本题获解。
证明方法一：在中，
，
。
又
是等边三角形。
方法二：通过证和全等，请同学们自己完成。
【说明】由上例进一步看出，熟悉并善于运用等边三角形“两邻边的60°旋转重合性”，能更快速、更准确地发现与等边三角形相关问题中的全等关系，进而解决许多有关的问题。
以等边三角形为背景的题目，绝大部分是依以上三种变换性质展开或衍生的。因此，依这三种变换性质去寻找解法，既是正路，也是捷径。
五、等腰直角三角形的变换性质
从变换的视角来看，等腰直角三角形有如下的三种特征：
特征一：它是以斜边上的中线所在直线为轴的对称图形（这是由“等腰”决定的）；
特征二：它是以斜边上的中点为中心的90°旋转重合图形（意义见下文）；
特征三：它的两条直角边关于直角顶点具有90°的旋转重合性。
特征一的应用亦如一般的等腰三角形一样，而与等腰直角三角形相关的问题，更多的却是由其特征二和特征三所引发的，相应地，这些问题的解决也便多以特征二和特征三为思考的依据及落实的线索，以下举例来说明。
1、等腰直角三角形“以斜边中点为中心的90°旋转重合性”。
我们知道，在等腰直角三角形ABC中，若AO是斜边AB的中线（或高线，或顶角的平分线）——即O为斜边的中点，那么，将绕点O顺时针旋转90°，则它与重合（点A重合于点C处，点C重合于点B处）。如图所示，同样地，将绕点O逆时针旋转90°，则它与重合（点C重合于点A处，点B处重合于点C处）。
等腰直角三角形以上的性质，我们称之为“等腰直角三角形以斜边中点为中
心的90°旋转重合性”（以下简称“90°旋转重合性”）。这一性质可以说是
等腰直角三角形最为本质的特征，因此有着极为广泛的应用。
例1 在中，AC=BC，，将一块直角三角板的顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC，CB于D，E两点，图（1），（2），（3）是旋转三角板得的图形中的三种情况。
探究并证明：线段PD和PE之间有什么数量关系？写出结论并证明。
（1） （2）
（3）
【观察与思考】根据题目的条件和要回答的问题，我们首先考虑到等腰直角三角形的“90°旋转重合性”。为此，在三种情况的图形中均连结CP，如下面各图：
（3`）
（1`） （2`）
在图（1），图（2），图（3）中均有：
重合于，从而，得PD=PE，即3种情况有统一的结论
和统一的证法。
解：在3种情况中，均有结论，PD=PE。证明如下：
在图（1），图（2），图（3）中，都连结CP，在和中，CP=BP，（在图（1）和
图（2）中，这两个角都为45°，而在图（3）这两个角都为135°）（在图（1）和图（2）中这两个角同为的余角，而图（3）中，这两个角同为的余角。
，可得PD=PE。
【说明】在本题中，等腰直角三角形的“90°旋转重合性”）引导我们找到如上的既统一又简捷的解决方法，这就是本质特征所揭示的规律的普遍化作用。
例2，如图，在中，，直线经过点C，且于点D，
于点E。
（1）当直线绕点C旋转到图（1）的位置时，求证：DE=AD+BE；
（2）当直线绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：DE=AD—BE；
（3）当直线绕点C旋转到图（3）的位置时，试问：DE，AD，BE有怎样的等量关系？请写出等量关系，并加以证明。
（1）
（2） （3）
【观察与思考】首先想到借助等腰直角三角形的“90°旋转重合性”来探究：
在图（1），图（2），图（3）中，都取斜边AB的中点P如下面的图（1`），图（2`），图（3`）则容易看到：
（1`） （2`） （3`）
在这三个图中均有：
重合于，即， 由此推得：
AD=CE，CD=BE。据此不仅立刻得到图（1）和图（2）情况的结论，并且也使我们很快看到在图（3）的情况应当有DE=BE—AD。
解：在图（1），图（2）和图（3）中，同时考查和
（同为的余角）。
CD=BE。
（1）在图（1）的情况下，DE=CE+CD=AD+BE；
（2）在图（2）的情况下，DE=CE—CD=AD—BE；
（3）在图（3）的情况下，结论为DE=BE—AD，理由是：此时DE=CD—CE=BE—AD
【说明】由于我们从等腰直角三角形的“90°旋转重合性”这一特征出发，就抓住了图（1），图（2）和图（3）各种情况的本质（和关于点P成90°旋转重合），因此，三种情况下不同的结论只是共同性质的不同反映而已，可见，最为优化的解法是由最恰当地运用最为本质的性质而得到的。
2、等腰直角三角形两直角边以直角顶点为中心的90°旋转重合性
如图，等腰直角三角形ABC中，CA，CB是直角边，显然有
有 重合于CB，当然亦有CB绕点C顺时针旋转90°则与CA重合。
我们将等腰直角三角形的这一性质简称为“两直角边90°旋转重合性”。等腰直角三角形的这一特征也有着广泛的应用。
例3 如图，在中，已知D，E为AB上的两点，且。
求证：
【观察与思考】由要证的结论立刻想到应将AD，BE，DE三条线段转化成同一个直角三角形的三条边（且与DE相等的边斜边）。
若作 重合于，如图（1），连结， （1）
这时易知中。
证明：在的外侧作截取连结如图（1`）。
在和中，CA=CB，，
′， （1`）
′′
又在和′中，CE公用，CD=CD′。
′′
在中，有即
【说明】这里就是恰当地运用了等腰直角三角形两直角边关于直角顶角的90°旋转重合性。成功地实现了对线段AD，DE的“转移”，将原本在一条直线的三条线段转化成了同一个直角三角形的三条边。
3、等腰直角三角形的轴对称性
等 腰直角三角形的轴对称图形（斜边上的中线所在的直线为其对称轴），有的题目的解决，
需要借此作“轴对称构造”。
例4 如图，在中，D是内一点，
且 （1）
求证：BD=BA。
【观察与思考】由，启发我们利用等腰直角三角形的轴对称性，作，且取AE=AD，如图（1`），易知而为等边三角形。从中推得进而可有 ，得BA=BD。
证明：在内作，且取AE=AD，连结BE，DE，如图（1`），这时为等边三角形。
在和 中，AB=AC，AE=AD，
在和中，BE公用，AD=DE。 （1`）
【说明】 在本题，尽管没有画出对称轴，但并不妨碍我们利用“等腰直角三角形的轴对称性”去思考问题，这恰恰说明了“变换性质”做为观察和研究图形的一个“视角”，一种“思想意识”，是多么有力有效。
通过以上几例可以看出，等 腰直角三角形的三大特征：“绕斜边中点90°旋转重合性”、“两直角边的90°旋转重合性”、“轴对称性”，是认识等腰直角三角形和解决与之相关问题的重要基础和有力武器。
六、平行四边形的变换性质
从变换的视角来看，平行四边形的基本特征反映在如下的两个方面：
特征Ⅰ：平行四边形是“中心对称图形”，两条对角线的交点就是它的对称中心；
特征Ⅱ：平行四边形的两组对边，分别具有“平移重合”的关系。
与平行四边形有关的的问题，大都可以沿着如上的两个特征去观察、研究，并获得解决。
1、平行四边的“中心对称性”和其应用
如图，若O是平行四边形ABCD对角线的交点，那么平行四边形ABCD 重合于平行四边形CDAB。
在上述的180°旋转变换中，不仅有 , , , ,
还有关于点O所有中心对称的元素都是相互重合的。
平行四边形的这一特征，有着极为广泛的应用。
例1 如图 ，四边形ABCD为平行四边形，于点E，
于点F，在DB的延长线上和BD的延长线上分别有点G和点H，且BG=DH。
（1）请写出图中所有的全等三角形。
（2）请选一个全等三角形给出证明（除外）
【观察与思考】显然，BD的中点O为整个图形的对称中心，即有 ，
，
， 。这样，当任取其中的三点在图中构成三角形时，则分别与它们中心对称的
三点也在图中构成三角形，并且这样的两个三角形是全等的，因此，图中的全等三角形有：
；；
；；。
这些全等三角形的每条依据也是是关于点O为中心对称的。
解：（2）现在证明和全等。
（内错角）
，得AE=CF，BE=DF。
。
【说明】本题中不仅全等三角形是中心对称的，而且应按中心对称去寻找相等的对应元素。
例2 如图，在平行四边形ABCD中，两条对角线相交 于点O，点E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点，以图中的任意四点（即点A，B，C，D，E，F，G，H，O中的任意四点）为顶点画出两种不同的平行四边形，并说明理由。
第二种：
第一种：
【观察与思考】当然，用试着画的方法，不难解答本题，但如果按平行四边形的中心对称性来思考，则可有序地得到全部可能的答案。A，B，C，D，E，F，G，H这八个点关于点O有如下的对称关系：
， ， ， 共四对。从这四对中任意取出两对，
（共四个点），当它们不在同一条直线时，则必构成平行四边形，这就是：
平行四边形ABCD（已知），平行四边形AFCH，平行四边形BEDG，平行四边形EFGH。
【说明】这样依变换性质指导下的思考既有秩序又全面。
2、平行四边形的对边平行关系的应用
平行四边形的对边平行且相等（即可经过平移后重合），其作用常体现在以下两个方面：
Ⅰ、构造相似三角形；
Ⅱ、进行等积变换。
（1）平行四边形基础上的相似三角形
例3 如图，已知平行四边形ABCD中，过点B的直线顺次与AC，AD以及CD的延长线相交于点E，F，G，若BE=5，EF=2，则FG的长是 。
【观察与思考】在图中，由AB//CG，可得∽，从中推得①
而由AF//BC，易知∽，从中推得②。
由①和②得
而
解：。
（2）平行四边形基础上的面积问题
例4 已知如图，平行四边形ABCD中，，点F为线段BC上的一点（端点B，C除外），连结AF，AC，连结DF，并延长DF交AB的延长线于点E，连结CE。
（1）当F为BC的中点时，求证与和面积相等；
（2）当F为BC上任意一点时，与的面积还相等吗？说明理由。
【观察与思考】由四边形ABCD是平行四边形，不难发现
这样一来，（1）和（2）的解决途径同时被发现了，其实，点F为BC上任意一点时被证明了，当然（1）的情况已包含于其中了。
解；在情况（1）和情况（2）中，均有。证明如下：
设F为BC上任意一点，则有
，
（这是因为AE//CD）=。
【说明】如上的解法，一是恰当地运用了“平行四边形对边平行”所带来的三角形面积的转换；二是把不易直接沟通的两个三角形的面积同时加上后，便与原平行四边形的面积巧妙地联系起来了。
七、正方形变换性质
从变换的角度来看，正方形的本质特征可以反映在以下三个方面；
特征Ⅰ、正方形是以其中心（即对角线的交点）为中心的“90°旋转对称”图形；
特征Ⅱ、正方形的邻边以其公共顶点为中心“90°旋转重合”；
特征Ⅲ、正方形是轴对称图形，对边中点连线和两条对角线，都是它的对称轴。
与正方形有关的许多问题，正是要以这些特征为解决的依据和思考的线索。
1、正方形的“90°旋转对称性”及其应用
如图，正方形ABCD的对角线交于点O，若以O为中心，按顺时针（或逆时针）旋转90°，则
，B C， C D， D A。即旋转后的图形与原正方形重合，这就是正方形的“90°旋转对称性”。
这一性质是正方形本质特征的最为典型的表现，因此有着极广的应用。
例1 如图，在正方形ABCD中，O是对角线，AC，BD的交点，过点O作，
OE，OF分别交边AB，BC于点E和F，若AE=4，CF=3。
（1）求EF的长；
（2）求的面积
【观察与思考】（1）根据正方形的“90°旋转对称性”，易知在本题中有： 重合于，在中，可求出EF的长。
（2）由正方形的“90°旋转对称性”，可知：
。
解：（1）在和中，（同为的余角）
在
（2）
【说明】对于正方形的“90°旋转对称性”的认识，不仅帮我们顺利地发现了问题的解决思路，并借助“90°旋转对称性”，规则地找到了全等三角形的对应元素。另外，在求的面积时更是借助正方形的“90°旋转对称性”巧妙而有效地沟通了该面积与正方形ABCD的面积及面积的关系，使问题快速得解。
例2 如图（1），四边形ABCD是正方形，直线，分别经过A，B，C三点，且，若与的距离为的距离为则正方形ABCD的面积等于 。
（1`）
【观察与思考】关键是要把正方形的边长和两个距离沟通起来。
若作点E，作点F，则（如图（1`）），这时容易看到：
可知，在中，由可推得
解：填
【说明】在本题的解法思考中，正方形的“90°旋转对称性”发挥着关键的引导作用。
2、正方形邻边的“90°旋转重合性”及其应用
如图，正方形ABCD中，若以顶点A为中心，将边AB逆时针旋转90°，则与边AD重合，这一性质可简称为正方形邻边“90°旋转重合性”，这一性质在一些关于正方形题目有着很好的作用。
例3 在平面直角坐标系中，四边形OEFG为正方形，点F的坐标为（1，1）。
将一个最短边长大于的直角三角形纸片的直角顶点放在对角线FO上。
（1）如图（1），当三角形纸片的直角顶点与点F重合，一条直线边落在直线FO上时，这个三角形纸片与正方形
OEFG重叠部分（即阴影部分）的面积为 。
（2）若三角形纸片的直角顶点不与点O，F重合，且两条
直角边与正方形相邻两边相交，当这个三角形纸片与正方形
OEFG重叠部分的面积是正方形面积的一半时，试确定三角
形纸片直角顶点的坐标（不要求写出求解过程），并画出此时 （1）
的图形。
【观察与思考】对于（1），易知对于（2），容易想到符合条件的两种情况，图（11）和 （22），其中均有，这时，阴影正方形的边长为。
（11）
（22）
再根据正方形邻边的“90°旋转重合性”，图（11）和图（22）可分别（等积地）演变成一般情况如图（111）和
图（222）。
解：（1）；
（2）直角顶点的坐标为或此时的图形如图（11`）和图（22`）
（22`）
（11`）
【说明】正是对正方形邻的“90°旋转重合性”的深刻认识，使本题的解决顺畅而简捷
3、正方形轴对称性及其应用
我们知道，正方形是轴对称图形，它有四条对称轴，正方形的这一性质，也在许多题目中起着很好的作用。
例4 如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，E，F分别是垂足。
求证：。
（1`）
（1）
【观察与思考】注意到BD是正方形ABCD的一条对称轴，点C和A关于该对称轴对称，立刻有如下的解。
解：如图（1`）连结PC。
根据已知条件四边形CEPF是矩形，得CP=EF。
而在中，DP公用， ，
，有AP=CP，进而有AP=EF
以正方形为背景的题目：大都是沿正方形如上的三种变换性质生成的，其相应的解法从三种变换性质入手，再合适不过，恰当不过！
练习题
1、如图，在中，于D，M为BC的中点，，则MD的长为 。
（1） （2）
（3）
2、如图，在中，，E，F分别是BC，AC的中点，延长BA到点D，使连结DE，DF。
（1）求证：AF与DE互相平分； （2）若BC=4，求DF的长。
3、如图，在中，，D为斜边BC的中点，E为AB上任意一点（ 不与A，B重合），于D，交AC于点F。
求证：
4、如图，在中，，AD，CE分别是的平分线，AD，CE相交于点F。请你判断FE和FD之间的数量关系。并说明理由。
5、已知：如图，平行四边形ABCD中，的平分线交AB于E，交DA的延长线于F。
求证：AE=AF
6、如图，D为等边三角形ABC内一点，E为外部一点，满足：。求的度数。
7、如图，D为等边三角形ABC的BC边上一点，以AD为边作等边三角形ADE，连结BE。
探究：BE和AC有怎样的位置关系？并说明理由。
8、如图，在等腰直角三角形ABC中，P是斜边BC的中点，以P为直角顶点的两边分别与边AB，AC，交于点
E，F，当绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合），也始终是等腰直角三角形，请你说明理由。
9、如图，在等腰直角三角形ABC中，，D为BC的中点，垂足为E，过点B作BF//AC交DE的延长线于点F，连结CF交AD于G。
（1）求证：；
（2）连结AF，试判断的形状，并说明理由。
10、如图，中，，AC=BC，CO为中线。现将一直角三角板顶点放在点O上并绕点O旋转，若三角板的两直角边分别交AC，CB的延长线于点G，H。
（1）试写出图中除AC=BC，OA=OB=OC外其他所有相等的线段。
（2）请你选一组你写出的相等线段给予证明。
11、D是等腰直角内一点，BC是斜边，如果将绕点A按逆时针方向旋转到的位置，则的度数是 。
12、已知，如图，在平行四边形ABCD中，，对角线AC，BD交于O点，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F。
（1）证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形。
（2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；
（3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC
绕点O顺时针旋转的度数 。
13、如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，且AB=AE。
求证：（1）；
（2）若AE平分的度数。
14、已知，如图（1），在平行四边形ABCD中，O为对角线BD的中点，过O的直线MN交直线AB于点M，交直线CD于点N，过O的一条直线PQ交直线AD于点P，交BC于点Q，连结PN，MQ。
（1）试证明与全等；
（2）若点O为直线BD上任意一点，其他条件不变，则与又有怎样的关系？试就点O在图（2）的位置，画出图形，证明你的猜想。
（1）
（2）
15、如图，已知正方形ABCD的对角线AC和BD相交于O，点M，N分别在OA，OD上，且MN//AD。
探究：线段DM和CN之间的数量关系，写出结论并给出证明。
16、如图，在四个动点，P，Q，E，F分别从正方形ABCD的四个顶点出发，沿着AB，BC，CD，DA以同样的速度向B，C，D，A各点移动。
（1）判定四边形PQEF的形状；
（2）PE是否总是经过某一个定点，并说明理由；
（3）四边形 PQEF的顶点位于何处时，其面积最大，最小？各是多少？
17、已知，在的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA，OB（或它们的反向延长线）相交于点D，E。
当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图（1），易证：。
（1）
（2）
（3）
当三角形绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在如图（2），图（3）这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段OD，OE，OC之间又怎样的数量关系？写出你的猜想，并写出理由。
B
A
C
A
B
C
O
C
A
D
G
B
E
F
A
B
D
C
E
F
B
A
D
C
E
F
M
B
A
D
C
E
F
M
A
B
C
E
D
A
B
C
E
D
F
A
B
C
E
D
G
A
B
C
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D
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M
A
B
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C
M
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P
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O
D
F
A
B
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G
F
D
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D
E
O
F
A
B
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C
A
B
E
C
D
O
B
P
A
M
N
C
D
1
2
3
1
B
P
A
O
2
C
N
M
D
3
4
O
B
P
A
N
M
C
D
1
2
2
4
O
B
P
N
M
A
D
C
2
1
3
4
A
B
C
D
M
F
E
A
C
B
A
G
E
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F
D
B
C
A
B
C
D
F
E
P
A
B
C
D
F
E
P
A
B
C
绕点A逆时针
旋转
绕点A顺时针
旋转
A
B
C
D
A
B
C
D
N
M
绕点D顺时针
旋转角
C
D
A
B
M
N
G
C
D
A
B
M
N
绕点O顺（逆）时针
旋转120°角
A
B
C
O
A
O
C
B
E
D
G
F
OF
绕点O逆时针
旋转120°角
A
O
C
B
E
D
G
F
绕点O逆时针
旋转120°角
A
B
C
D
F
E
EMBED Equation.3
绕点D逆时针
旋转120°角
A
B
C
D
F
E
G
A
B
C
O
B
E
D
C
A
O
绕A沿逆时针方向
旋转60°
绕C沿顺时针方向
旋转60°
A
O
B（C）
C（A）
A
B
C
E
P
D
A
B
C
E
P
D
A
B
C
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P
D
A
B
C
E
P
D
A
B
C
E
P
D
A
B
C
E
P
D
绕点P逆时针
旋转90°
B
C
M
N
E
D
A
B
C
N
M
D
E
A
B
C
N
M
D
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M
D
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P
B
C
M
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D
P
A
A
B
C
N
M
D
E
P
绕点P顺时针
旋转90°
CA
以C为中心逆时针
旋转90°
A
B
C
A
D
E
B
C
绕点C逆时针
旋转90°
A
D
E
B
C
A
B
C
D
D
E
A
B
C
绕点O逆（顺）时针
旋转180°
OB
OD
OA
OC
A
C
B
D
A
B
C
D
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B
D
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D
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C
F
B
E
A
B
O
A
B
C
D
O
A
D
C
B
F
E
绕点O逆时针
旋转90°
A
B
D
C
A
B
D
C
O
E
F
绕点O顺时针
旋转90°
重合于 EMBED Equation.3
A
B
C
D
G
E
1
1
F
G
E
F
G
E
F
G
E
F
1
1
G
E
1
F
1
A
B
C
D
E
P
F
A
B
C
D
E
P
F
A
B
C
D
M
A
C
B
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关节十二
探究二：几何图形的不变性
和变化规律以及特殊条件下的特定性
关于几何图形性质方面的探究，已成为近年来各地中考试卷中带有普遍性的热点，细分起来，这样的题目
又可分为两大类：
第一类，设置变化性的图形背景，探究由变化所体现的“图形不变性”或“变化规律”。
第二类，设置附有特殊条件或特殊结论的图形背景，研究由此生产的“特定性质”。
这两类探究问题正好体现着人们扩展认识的两个基本方向：一是由特殊向一般扩充，二是向相对更为特殊的方向深入。
现在我们分别来解析与归纳这两类探究性问题应解的思考特征。
一、探究图形变化引出的不变性或变化规律
从图形变化过程来看，又分为三条途径：
Ⅰ、由“图形变换”形成变化背景，探究其中的不变性或变化规律；
Ⅱ、由“特殊到一般”形成的变化背景，探究其中的不变性或变化规律；
Ⅲ、由“类比”形成的变化背景，探究其中的不变性或变化规律。
从解法的思考来说，三类题目尽管有很多一致性，但因图形变化的背景不同必然带来基本切入点的不同。
1、图形变换引出的不变性或变化规律
我们知道，图形的“轴对称”、“平移”、“旋转”这些变换，是图形运动及延伸的重要途径，研究这些“变换”中的图形的“不变性”或“变化规律”，便是既自然又现成的展开方式。对于这些起源于“变换”的探究性问题，解法的思考当然要围绕“变换”而展开，主要思考方向可有：
Ⅰ、化归到基本图形的“变换性质”；
Ⅱ、沿“变换”考查图形变化中所体现的统一性和差异性。
（1）借助于“化归到基本图形或变换性质”的思考获得解达
例1 如图（1），在中，交BA的延长线于点G。一等腰直角三角尺按如图（1）所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B。
（1） （2）
（1）在图（1）中请你通过观察、测量与的长度，猜想并写出与满足的数量关系，
然后证明你的猜想。
（2）当三角尺沿AC方向平移到图（2）所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交边于点D。过点D作于点E。此时请你通过观察、测量与的长度，猜想并写出与之间满足的数量关系，然后证明你的猜想。
（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平移到图（3）所示的位置时，（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，（2）中的猜想是否仍然成立？（不说明理由）。
【观察与思考】经过仔细审题，排除“三角尺”和其平移的表面 （3）
干扰，题中的图（1），图（2），图（3）对应的几何图形就是：
（1`） （2`） （3`）
它们就是我们早已熟悉的基本模式；“等腰三角形底边上任意一点到两腰的垂线段之和都等于这个三角形一腰上的高”。至此，本题的解法已是显而易见，本题的思考就是“回归到基本模式”，而题目所体现的就是“图形中变换中的不变性”。
例2 用两个全等的正方形和拼成一个矩形，把一个足够大的直角三角尺的直角顶点与这个矩形的边AF的中点D重合，且将直角三角尺绕点D按逆时针方向旋转。
（1）当直角三角尺的两直角边分别与矩形的两边BE，EF相交于点G，H时，（如图（1），通过观察或测量与的长度，你能得到什么结论？并证明你的结论。
（2）当直角三角尺的两直角边分别与BE的延长线，EF的延长线相交于点G，H时，（如图（2）），你在图（1）中得到的结论还成立吗？简要说明理由。
（2）
（1）
【观察与思考】可以有两种化归的思考方法：
方法Ⅰ、若将原图再补上两个全等的小正方形，使基本背景成为一个大正方形，如图（1`）和图（2`）。这时点D就是大正方形的中心。根据“正方形是关于中心90°旋转对称图形”（见关节四），立刻知道绕点D逆时针旋转90°便与重合，当然全等，即均有，进而有。
方法Ⅱ、原图的背景是由两个全等的的正方形拼成，因此，若正方形绕点D逆时针旋转90°，则它与正方形重合，由，可知在此过程中与重合（具体论述略）。
（1`） （2`）
本题的思考也是回归到“基本图形的性质”，而题目体现的也是“图形变换中的不变性”。
解：只需按如上的方法Ⅰ写出相应的三角形全等的理由即可（结论和过程略）。
例3 已知，四边形中，，绕B点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于E，F。
当绕B点旋转到时，（如图（1），易证：。
当绕B点旋转到时，在图（2）和图（3）中这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明。
（1） （2） （3）
【观察与思考】由背景，可知和具有绕点B旋转120°的重合性，依此构造全等三角形。
解：在图（1）和图（2）中均有，理由如下；
如图（1`）和图（2`），作，交DC延长线于点G（这时即有绕点B顺时针旋转120°重合于中，
（1`） （2`） （3`）
在和中，
。
。
在和中，公用。
，。
对于（3）的情况，有结论：。理由是：
如图（3`），作交AD于点G，与情况（1`）、（2`）类似地可证明
，得又可有，可知
由图（1）到图（2）体现的是“不变性”，而由图（1）到图（3），体现的却是“变换过程中的变化规律”。
由以上三个例子可以看出：
许多由图形变换引出的不变性或变化规律问题，解法思考的第一选择是将问题化归到“基本图形的变换性质”。这也进一步说明：“化归到基本”是数学思考的最基本的最重要的原则。
（2）借助于考察图形变换过程中各种形态（情况）的统一和差异性来获得解法
例4 如图，已知矩形，在BC上取两点E，F（E在F左边），以为边作等边三角形，使顶点在上，分别交于点。
（1）求的边长；
（2）若等边三角形的边在线段BC上移动，试猜想：
与有何数量关系？并证明你猜想的结论。
【观察与思考】本题的核心是研究特定的等边在矩形内平移的有关问题，首先，把矩形的情况搞清楚：在已知数据的基础上易知，即
其次，把等边在矩形内平移中的各类形态集中在图（1）中，进行观察和比较，容易看到：
第一，在特殊情况（E重合于B时），由可计算出。即的边长为2。
第二，比较和两种形态对应的图形情况，有，再比较和两种形态所对应的图形情况，有。这就促使我们形成了对和数量关系的猜想，并找到了其根据，至于计算和证明，我们还应按题目提供的一般情况的图形来进行。
（1） （2）
解：（1）过P作于Q，如图（2），在中，
。
（2）和数量关系是。理由如下：
作交AD于，如图（3） （3）
在中，。
。
【说明】正是借助于对特殊情况的考察，特别是不同形态情况的对比，更快地发现了等边平移反映的不变性。
例5 （1）如图，（1），，是⊙的两条半径，且，点C是延长线上的任意一点，过点作切⊙于点，连结交于点求证：。
（2）若将图（1）中的半径所在的直线向上平移交半径于点，交⊙于点，其他条件不变，如图（2），那么的结论还成立吗？为什么？
（2） （3）
（1）
（3）若将图（1）中的半径所在的直线向上平移到与⊙相离的位置，它与半径的延长线交于点G，点E是DA延长线与CF的交点，其他条件不变（如图（3），那么的结论还成立吗？为什么？
【观察与思考】先考虑图（1）这种特殊情况下是如何推得结论的。背景图形中有两个特殊点：一是，二是切⊙于点，若连结——为使切线发挥作用，如图（1`），立刻得到，而分别为它们余角的和自然也就相等，这样，已得到了的保证。
将图（2）、图（3）的情况与图（1）的情况对比，上述的“两个特殊点”仍然保持，因此，结论和根据也理应保持。
解：（1）连结，如图（1`），由得，
。
切⊙于点，。 （1`）
。
。
（2）的结论仍然成立，理由是：
在图（2）中连结。
，。
（3）的结论也是成立的，理由是：
在图（3）中，若连结，与（1）同理，
有，。
【说明】Ⅰ、本题的思考突出了先研究特殊，再去沟通其他的情况和特殊情况的本质联系；
Ⅱ、在本题正是“平移不改变角度”这一特征，保证了题中反映的不变性的成立。
由以上两个例子看出：
相当多由图形变换引出的不变性或变化规律的问题，解法的思考应沿“变换”为线索，探究清楚其各类形态间的统一和差异，以及变换过程中“变”与“不变”间的关系，
2、由背景扩充引出的不变性或变化规律
由背景扩充，尤其是从特殊到一般，是知识形成与发展的重要途径。在这个过程中，重要的课题就是研究哪些性质保持不变，哪些性质发生了变化，又是怎样的规律变化的。
解决这类问题，思考时应该突出如下两点：
Ⅰ、善于构造“特殊”和运用“特殊”；
Ⅱ、善于在比较中把握不同情形下的知识与方法的共同点。
（1）善于构造“特殊”和运用“特殊”
例6 如图（1），在中，是沿BC方向平移得到的，连结BE交AC于点连结AE。
（1）判断四边形是怎样的四边形，说明理由。
（2）如图（2），P是线段BC上一动点（不与B，C重合）。连结并延长交线段AE于点Q，四边形的面积是否随点P的运动而发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出四边形的面积。
（1） （2）
【观察与思考】对于（1），易推得四边形是菱形；对于（2），我们可以借助于点P的极端位置来思考，假定P在B点处（虽然题目P不与B，C重合，但不影响我们把这种情况作为思考的“桥梁”），则此时，如此一来，（2）的结论和理由就一起得到了。
解：（1）四边形是菱形；证明如下：
是由沿BC平移得到的。且，
四边形是平行四边形，
又，四边形是菱形。
（2）四边形的面积不随点P的运动而发生变化，是确定的值。
由菱形的中心对称性知，，，
是平移得到的，，
又。
。
例7 已知，如图（1），以的边，为边分别向外作正方形和正方形，连结，试判断和面积之间的关系，并说明理由。
【观察与思考】在条件中给出的没有任何其他限制，为了获得
和面积关系的认识，我们对从“一般”中取出 （1）
其包含的“特殊”——令中，即直角三角形，
如图“特殊”，明显地看出，这时有，立刻得
，因此，促使我们产生猜想：对于任意的，如
题中操作得到，都应当有。设法验证这个猜想。
因为只需要再有中边上的高和中边 （特殊）
上的高相等，就可推得，而由和为互补，
，以上两个高相等是很多容易推出的。（见图（1`）
解：结论：。理由如下：
作交的延长线于点；作交于点。
则：。 （1`）
，
又和同为的补角，即，
且，
。
由以上两例可以看出：
为了探究“一般情况”的某种不变性，可以构造或选择恰当的“特殊”，先搞清楚这一“特殊”的情况下的结论及根据，再由此获得对“一般”的认识及解决的方法。
（2）善于在情景的比较中把握知识或方法的共同点
例8 如图（1），小明在研究正方形的有关问题时，得出：“在正方形中，如果点是的中点，点是边上一点，且，那么。”他又将“正方形”改为“矩形”、“菱形”、和“任意平行四边形”（如图（2），图（3），图（4），其他条件不变，发现仍然有“”的结论。
（1） （2） （3） （4）
你同意小明的观点吗？若同意，请结合图（4）加以说明；若不同意，请说明理由。
【观察与思考】若在图（1）中证明，应注意利用的中点的“中心对称功能”，可延长交的延长线于点G。如图（1`），由和关于点的中心对称，易得。结合，立刻得。
对于图（2），图（3），图（4）的情况，上述辅助线和相应的结果都有同样的保证。因此，“”的结论也成立，且证明方法也相同。
解：（略）
【说明】在本题，尽管图形背景由特殊扩充到一般，但由于
“AE是的角平分线”，“E是CD的中点”这两个结论
的决定条件不变，使得结论也就具有“不变性”，即“条件本质 （1`）
的不变性”决定了“结论的不变性。”。
例9 如图（1），在梯形中，E为AD边上任意一点，且交于点F，某学生在研究这一问题时发现如下事实：
①当时，有；
②当时，有； （1）
③当时，有；
当时，参照上述研究结论，请你猜想用表示的一般结论，并给出证明；
（2）现有一块直角梯形田地（如图（2）所示），其中米，米，米，若要将这块地分成两块，由农户来承包，要求这两块地均为直角梯形，且它们的面积相等，请你给出具体分割方案。
【观察与思考】对于（1），由①，②，③的情况和结论容易得到 （2）
猜想：当时，应有。为了获得对这个一般
猜想的证明，我们从对时这一“简单”情况的研究入手，
以获得证明方法的启示。
如图（1`），若，作，交于H，交EF于（因为我们总是把梯形的问题转化到平行四边形和三角形中来解决）。易知，而由∽得
，即
，这样就有。
这样的证明手段可以“移植”到“”的情况。
对于（2），实际上是用（1）的结论来解决具体问题。
解：（1）结论为：“当时，有。” （1`）
至于证明，可类比上面的观察与思考进行（略）。
（2）若在上分别有点E，F，且，并且满足。
设，则由得：。
由（1）的结论知：。
得方程：）。
化简为解得（舍去）
即应在AD上取点E，使（米），作交BC于F，则EF就把原直角梯形分成面积相等的两个直角梯形。
【说明】本题的思考是从简单情况获取对一般情况结论和论证方法的启发。
由以上两例说明：
研究“特殊”情况与“一般”情况之间的知识、方法、原理诸方面的共同之处，是解决扩充型不变性或变化规律问题的一种有效策略。
3、由类比引出的图形的不变性或变化规律
“类比”也是人们拓展视野、认识新事物、增长新知识的重要方法和途径，同样，它也是我们在数学中探究图形性质“变中不变”或“变中的变化规律”的重要方法和途径。
例10 已知，⊙与⊙相切于点P，它们的半径分别为。一直线绕P点旋转，与⊙、⊙分别交于点（点P，B不重合）。探索规律：
（1） （2）
（1）如图（1），当⊙与⊙外切时，探究与半径之间的关系式，请证明你的结论。
（2）如图（2），当⊙与⊙内切时，第（1）题探究的结论还是否成立？为什么？
【观察与思考】对于（1），容易想到构造以直径为斜边的直角三角形，如图（1`），则有∽，可知，，
对于（2），类比（1）的解决方法，自然也会想到去构造相似的直角三角形，如图（2`），则两圆内切时的解决方法也就找到了。
（1`） （2`）
解：（1）有结论，证明如下：
设延长后分别与⊙、⊙相交于点和点，连结，如图（1`）。
分别为⊙、⊙的直径，均为直角，又，
∽,。
（2）的结论仍然成立。（理由请同学们自己说明）。
【说明】就两圆相切来说，外切与内切是两种相对的情况，由外切情况下的某性质很自然地去联想内切情况下的相同性质，这就是典型的“类比”，当然，类比的结果可能成立，也可能不成立，但无论成立还是不成立，都会使认识得到拓展和深化，都是有意义的，当然，本题是两种情况 有相同的结论，即“变中的不变”，这也是知识发展的一种形式。
例11 如图，在中，是上任意一点，过分别向引垂线，垂足分别为，是边上高。
（1）的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明。
（2）若在底边的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若不成立，
又存在怎样的关系？请说明理由。 （1）
【观察与思考】（1）是比较熟悉的问题，结论是：。
对于（2），通过画图观察，此时，的结论不再成立，
那新的结论该是怎样的呢？对比（1）的结果证明方法，也容易得到
（2）的结果和证明方法。
解：（1）有结论：，证明如下：
方法一：（面积法）
连结AD（如图（1`），则，即。
因为，所以。
（1``）
（1`）
方法二，（构造全等三角形法或称“截长法”）
作交CG于点M，如图（1``）由四边形为矩形，得。
又，且CD公用。
，得。
。
（2）当点D在BC延长线上时，（1）中的结论不成立，而有。理由如下：
说理一：连结AD，如图（2`）
（2`） （2``）
则，即有，
，即。
当点D在CB的延长线上时，则有，理由如下：
作于点H，则作，交DF于点N，如图（2``）由四边形为矩形，
得，又，DB公用。
，。
【说明】Ⅰ、在本题，点D在直线BC上，可分三种情况：（1）在线段BC上；（2）在线段BC的延长线上，（3）在线段CB的延长线上，由情况（1）的某种性质联想情况（2），（3）的对应性质，是典型的“类比”。本题的类比结果是原结论不成立，但得到了对应的结论，这就是“变中的变化规律”，同样扩展了知识和认识。
Ⅱ、本题类比得到的结论虽然不同，但证明方法具有统一性，或说运用着同样的原理和方法，这又体现着“变中的不变”。
以上三类“不变性”或“变化规律”问题，集中体现了探究能力就是在对“变中不变”和“变中变时变为什么”的辩析和掌握中得到提高的，希望同学们在上述解析的基础上，进一步总结，以形成自我变化的更多更有效的思考策略。
二、探究特定结论或特定条件
很多的探究性问题是这样的：或则是对背景图形加上特殊限定，在此基础上探究有无形成特定的性质（或结论）；或则是对背景图形希望能具备某一特殊性质（即结论），为此去探究应当附加怎样的条件。我们把前一类称作为“探究特定结论”，后一类称为“探究特定条件”。在各地的中考试卷中，这两类题目呈增加的趋势。
1、“探究特定结论”问题的思考特征
这类问题从结构来看其特征是：在背景图形上附加较多或较强的“特殊条件”，而正是这些“特殊条件”才是“特定结论”得以出现的根据和保证。因此，总体上来说，解决这类问题的切入点正在于与“探究”方向结合的情况下对“特殊条件”的深入研究和恰当运用（当然也要同时兼顾其他条件）。
（1）从条件直接推演
例1 已知：如图（1），中，于点D，BE平分且于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G。
（1）求证：；
（2）CE和BF有怎样的数量关系，写出判断并给出证明； （1）
（3）CE与BG的大小关系如何？试证明你的结论。
【观察与思考】在三角形ABC中添加了诸多限制条件，从而使和极为特殊了，即：
ⅰ、由BE平分和，得为等腰三角形，顶角底角。
ⅱ、由，得为等腰三角形，而DH为其底边上的中线；
ⅲ、由，得。
有了这些研究，结论的探究和推证就很多容易了。
简解：（1）由ⅰ、ⅱ、ⅲ、得，。
（2）由（1）知，而由ⅰ知
（3）若连结CG，由DH为BC的对称轴知，而中，CG为斜面边。
。
【说明】在本题，为为顶角是45°的等腰三角形和为等腰直角三角形是各结论成立的决定因素，所
以，由本题的原始条件 如上的ⅰ、ⅱ、ⅲ、是思考的关键步骤，是“条件研究和运用”的主要体现。
例2 如图（1），在中，，，两点分别在，上，，将绕点C顺时针旋转，得到（如图（2），点分别与对应，点在AB上，与AC相交于点M。
（1）求的度数；
（2）判断是怎样的四边形，并说明理由。
（2）
（1）
【观察与思考】结合要求的“结论”，研究本题的条件，可知：
ⅰ、和进而（）都是等腰直角三角形，且腰长分别为；
在此基础上进一步有：
ⅱ、在中，可知
ⅲ、在和中，，。
即∽
对旋转后的图形（2）中出现的新图形有了如上的认识，相应的结论就容易求得和探究了。
简解：（1）由以上的ⅰ、ⅱ、可得；
（2）由ⅲ、得∽，可知，而，可知AB与不平行，所以是梯形。
【说明】在本题，条件的研究侧重在两点：第一，把基本背景（1）对应的情况和旋转结合起来；第二，重在围绕要解决的问题（1）和（2）把相应的新图形（如图（2）中的等）。的有关数量搞清楚。
例3 我们知道：有两条边相等的三角形叫等腰三角形。类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形。
（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；
（2）如图（1），在中，点D，E分别在AB，AC上，设CD，BE相交于点，若。
请你写出图中一个与相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；
（3）在中，如果是不等于的锐角，点D，E分别在AB，AC上，且，探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论。
【观察与思考】在全面审题的基础上很容易解决问题中的（1），而由
（1）
则在时，易知，并容易看到四边形
可能是等对边四边形，因此，问题（2）获解。剩下的核心问题是（3），即如何在“”这个条件下，去推得“。”
ⅰ、观察原图形，容易由“”这个条件结合BC公用，想到去作辅助线：“，交CD延长线于F，作于G。”以构造出，得到。
ⅱ、在ⅰ和基础上，进一步想到应由“”，去导出，也即导出，事实上， ，当然有，由此可推得，得到。
解：（1）等腰梯形，矩形等；
（2） ，四边形是等对边四边形；
（3）四边形是等对边四边形，证明已在“观察与思考”中。 （1`）
【说明】我们看，本题的（3）关键步骤是通过作，构造全等三角形，但这种作法的诱发，却是条件“”。的提示和引导。
结合背景和探究结论的基本方向研究条件，充分发挥特殊条件的特殊作用，是获得特定结论和给出特定结论证明的基础及保证。
（2）更灵活的利用条件
例4 我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对对角线四边形。请解答下列问题：
（1）写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；
（2）探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论。
（1`）
（1）
【观察与思考】问题（1）很多容易，而问题（2）的探究，就要从条件“两条对角线相等，且所夹的锐角为60°”出发，进行研究，通过画图，可以知道，符合这个条件的四边形应有两类，如图（1）和（2）分别有和。
而为了探究和的关系，在图（1）这种特殊情况可如图（1`）那样平移到，此时为等边三角形，可推得；这又促使我们想到：在图（2）这样的情况，仍将平移至，如图（2`），连结。据为等边三角形和的三边关系，有。
如此一来，结论为连同证明方法都被我们探究了出来。
（2`）
（2）
解：（略）
【说明】在本题，全面认识与分析条件下图形的类型，并以“特殊”情况的研究为先导，顺利地将问题解决。
以上两例提示我们：条件的研究和运用仍有原则与策略，那就是：一要全面考虑它所涵盖的各种情景；二要善于发挥“特殊”情况的指引和铺垫作用。
2、“探究特定条件”问题的思考特征
探究特定条件常用的思考策略是：
Ⅰ、借助分析法找结论成立的充分条件；
Ⅱ、借助逆向思考的方法由结论倒推条件
（1）借助“分析法”寻找结论成立的充分条件
大家对“分析法”应较为熟悉，现公举一例说明。
例5 如图（1），半圆为的外接半圆，AC为直径，D为弧BC上的一动点。
（1）问添加一个什么条件后，能使得？请说明理由。
（2）若要有点D所在的位置应满足什么条件？
（3）如图（1`），在（1）和（2）的条件下，四边形是什么 （1）
特殊四边形？证明你的结论。
【观察与思考】（1）和（2）是探究特定条件，而（3）是探究特定结论。
对于问题（1），要使成立，只需有∽， （1`）
而在和中，即，故只需，
因此，添加的条件可以是B为弧AD的中点。或；
对于问题（2），要使只需，而这又只
需D为弧BC的中点。
对于问题（3），满足（1）和（2）的条件，即弧弧弧，对应的图形如图（1`），由，得，又已有，且，所以四边形菱形。
解：（略）
【说明】在较简单的情况下，如本题，用“分析的方法”是探究特定条件最常用与最有效的方法。
（2）借助逆向思考由结论倒推条件
即将结论加入已有的条件之中，然后推演，由此得出某一结果，再检验它是否正好为要求的条件。
例6 如图（1），在四边形中，已知和均为锐角，点P是对角线BD上的一点，交AD于点Q，，交DC于点S，四边形是平行四边形。
（1）当点P与点B重合时，图（1）变为图（2），若，求证：；
（2）对于图（1），若四边形也是平行四边形，此时，你能推出四边形还应满足什么条件？
（1） （2）
【观察与思考】问题（1）是一道寻常的证明题，容易解决。
问题（2）就属于一个“探究特定条件”的问题了，用逆向思考的方法，构造一个新命题：条件是：本题的原有条件，再加上“四边形是平行四边形”，探究结论：四边形还具有怎样的性质？该命题相应的图形应是图（3），解决这个命题可获（2）的答案。
解：（1）在图（2）中，。
。
是平行四边形，，
又，
，
（2）这时如图（3），由知，点在QD上，故。
又由知。
，
。 （3）
及。
。
所以，要使四边形也是平行四边形，四边形还应满足。
【需要特别说明的是】像本例用“逆向思考”的方法探究条件，应当再回来验证原题加上该条件后，确能保证欲有结论的成立，只是我们这里的推演过程的确是可逆的，因此没有强调这一点，但在其他情况的使用中，应注意“验证”这一步骤。
练习题
1、如图（1），两个不全等的等腰直角三角形和叠放在一起，并且有公共的直角顶点。
（2）
（1）
（3）
（1）将图（1）中的绕点顺时针旋转90°，在图（2）中作出旋转后的（保留作图痕迹，不写作法，不证明）。
（2）在图（1）中，你发现线段AC，BD的数量关系是 ，直线AC，BD相交成 度角。
（3）将图（1）中的绕点顺时针旋转一个锐角，得到图（3），这时（2）中的两个结论还成立吗？作出判断并说明理由。若绕点继续旋转更大的角时，结论仍然成立吗？作出判断，不必说明理由。
2、如图（1），在直角梯形中，顶点D，C分别在AM，BN上运动，（点D不与A重合，点C不与B重合）。E是AB上的动点（点E不与A，B重合）在运动过程中始终保持且。
（1）证明：∽
（2）当点E为AB边的中点时（如图（2），求证：①；② DE，CE分别平分；
（3）设，请探究：的周长是否与的值有关，若有关，请用含有的代数式表示的周长，若无关，请说明理由。
（1） （2）
3、在中，，。
（1）将一块等腰直角三角形的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，如图（1）和图（2），判断线段PD和PE之间有什么数量关系？并就图形（1）给出证明；
（2）若将三角板的直角顶点放在斜边AB上的M处，且，和前面一样操作，试问线段MD和ME之间有什么数量关系？并结合图（3）加以证明。
（1）
（2） （3）
4、如图（1），（2），（3）中，点E，D分别是正三角形，正四边形，正五边形中以点C为顶点，一边延长线和另一边反向延线上的点，且DB延长线交AE于F。S
（1） （2）
（3） （4）
（1）求图（1）中，的度数；
（2）图（2）中，的度数为 ；图（3）中的度数为 。
（3）根据前面探索，请你将本题推广到一般的正边形情况。
5、（1）在平行四边形中，E，F为对角线DB的两个等分点，连结AE延长交CD于P，连结PF延长产AB于Q，如图，探究：AQ和BQ之间的数量关系，并给出证明。
（2）若将平行四边形改为梯形，），其他条件不变，
此时（1）中的结论还成立吗？（不必说明理由）。
6、已知，，四边形是正方形，其中点A，B分别在射线OM，ON上。
（1）如图，设D为OB的中点，以AD为边在内作正方形；
①求的度数；
②求证：点在直线BC上。
（2）设P为射线ON上任意一点， 以AP为边在内作正方形。请画图，写出与（1）中问题对应的两个问题，作出判断并说明理由。
7、如图（1），已知四边形是菱形，G是线段CD上任意一点时，连结BG交AC于F。过F作交BC于H，可以证明结论成立。
（1） （2）
（1）探究：如图（2），上述条件中，若G在CD的延长线上，其它条件不变时，其结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由。
（2）计算：若菱形中， ，G在直线CD上，且，连结BG交AC所在的直线于F，过F作交BC所在的直线于H，求BG与FG的长。
（3）发现：通过上述过程，你发现G在直线CD上时，结论还成立吗？
8、已知：等腰直角三角形中，，如图（1）E为AB上任意一点，以CE为斜面边作等腰直角三角形，连结AD，则有。
（1） （2） （3）
（1）若将等腰直角三角形改为正三角形，如图（2），E为AB边上任意一点，为正三角形，连结AD，上述结论还成立吗？答： 。
（2）若为任意等腰三角形，，如图（3），E为AB边上任意一点，∽，连结AD，请问AD与BC的位置关系怎样？答： 。
（3）请你在上述3个结论中，任选一个结论进行证明。
9、如图，⊙的直径P是AB延长线上的一点，过P点作⊙的切线，切点为C，连结AC。
（1）若，求PC的长。
（2）若点P在AB的延长线上运动，的平分线交AC于点M，你认为的大小是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，求出的值。
10、如图（1），是的平分线，请你利用该图形画一对以所在直线为对称轴的全等三角形。
（1） （2） （3）
请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题。
（1）如图（2），在中，是直角，，AD，CE分别是的平分线，AD，CE相交于点F，请你判断并写出FE与FD之间的数量关系。
（2）如图（3），在中，如果不是直角，而（1）中的其他条件不变。
请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？请证明；若不成立，请说明理由。
11、如图，在中，，M是AB的中点，。
（1）求证：；
（2）如果把条件“”改为“”，其它条件不变，那么不一定成立，如果再改变一个条件，就能使成立，请你写出改变的条件并说明理由。
A
B
C
G
F
A
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C
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B
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C
E
A
B
C
G
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，D为BC上一点，
于E，于F，
于G。
于，于
D为BC上一点，
于E，于F，
于G。
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D
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（）
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Q
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Q
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关节八
审题与解法探寻的策略
任何一个解题过程都可分为两大环节，第一个环节是“解法的思考与形成”第二个环节是“解法的实施”。越是思维含量大与能力要求高的题目，越重在第一个环节。
审题与解法的探寻是构成第一个环节的两个步骤或说两个侧面，它们各有侧重但又密不可分，我们只是为了更好地进行分析和说明问题，才把二者分开来论述。
1、 审题的策略
1、研究背景
绝大多数的数学题目，在已给的条件中都蕴含了结论的成立或不成立，即使是探究型的题目，要探究出的结论也必以条件为发生的根据。而题目所给的背景，就是最重要的条件，所以研究“背景”是获得解法的前提和启动器。
例1 如图，已知。
（1）请你在BC边上分别取两点D，E，（BC的中点除外）连结AD，AE，写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形。
（2）请你根据使（1）成立的相应条件，证明
【观察与思考】研究背景
对于（1），通过画草图，如图（1`），其中除了外，还有五个三角形，它们由顶点A引的高都相等，易知只有在“”的条件下，才能确保图中“只存在两对面积相等的三角形”。
对于（2），要证明，由“要证线段的不等应借于三角形中三边
的关系”这一基本认识，结合（1`）中的，立刻想到将平移至 （1`）
，再进行推导。
解：（1）略；
（2）证明：如图（1``），分别过点D，B作CA，EA的平行线，
两线交于F点，DF与AB交于G点。
在和中，又有，
在中，，
在中，，
。 （1``）
即
【说明】对于（2）的如上的证法，是以对（1）的基础上背景图形（1`）特点的深入认识和对“用三角形三边的关系证线段的不等关系”这一基本模式的深刻掌握，才自然而顺利地形成的。
例2 一手机经销商计划购进某品牌的A型、B型、C型三款手机共60部，每款手机至少要购进8部，且恰好用完预计的购机款61000元，设购进A型手机部，B型手机部，三款手机的进价和预售价如下表：
手机型号 A型 B型 C型
进价（单位：元/部） 900 1200 1100
预售价（单位：元/部） 1200 1600 1300
（1）用含，的式子表示购进C型手机的部数；
（2）求出与之间的函数关系式；
（3）假设所购进手机全部售出，综合考虑各种因素，该手机经销商在购进这批手机过程中需另外
支出各种费用共1500元。
①求出预估利润（元）与（部）的函数关系式；（注：预估利润=预售总额—购机款—各种费用）。
②求出预估利润的最大值，并写出此时购进三款手机各多少部？
【观察与思考】梳理本题的数量关系背景：
背景一：三款手机的进价和预售价（如题中的表所示）
背景二：购进A型、B型、C型三款手机共60部，即；
背景三：购进60部手机恰好用61000元，即；
对以上三方面的背景进一步研究，可知：
Ⅰ、对于问题（1），由背景二即可明确解答。
Ⅱ、对于问题（2），显然单由背景二不能解决，若将背景二和背景三相结合，则两个交量（和），在两个关系中（背景二和背景三所确定的两个等量关系），便相依存地联系在了一起，——这正是我们在函数部分指出的建立函数关系的第三条途径，——通过等式导出函数关系式。
Ⅲ、对于问题（3），有了问题（1）、（2）的解决，再根据背景三，可由“直接列式法”写出与的函数关系式进而解决最大利润问题。
解：（1）；
（2）由题意和（1）得：，
从中可导出：
（3）由①题意，得，
整理得
②购进C型手机部数为：，根据题意列不等式组得
解得
的范围为，且为整数，
是的一次函数，随的增大而增大。
当取最大值34时，P有最大值，最大值为17500元。
此时购进A型手机34部，B型手机18部，C型手机8部。
【说明】由本题可以看出，只有全面而深入地研究背景，把握每一背景的作用和互相结合的意义，才有助于正确而快速地获得问题的解决方法。
从背景的本质特征，背景的构成层次与相互关系诸方面将其研究透彻，是审题的根本任务，也是解法获得的基础。
2、研究“过程
有的题目的条件或背景的一部分表现为一种活动过程，而在题目的呈现中，这样的“过程”只是被描述出，或部分呈现出，其全部的意义和性质，大都隐含在“过程”之中，在此情况下，深入而全面地研究“过程”，便是解法获得的关键。
例3 如图，边长为1的等边三角形位于坐标系中的Ⅰ的位置，AB在轴上，点A与原点O重合，现将在轴上向右滑动地连续翻转，第次翻转后变换到的位置记为，则的坐标为 。
【观察与思考】 对于的连续翻转过程做如下的研究：
研究Ⅰ：在图上画出更多的后续过程，如图（1`）
研究Ⅱ：找出点的坐标在翻转过程中的变化规律，由（1`）可以看出：
（）当为整数，下同时，的坐标为）
（）当或2）时，的坐标为；
而的坐标为即（）。
解：应填（）
（1`）
【说明】题目所给的图示，不足以形成对规律的观察和归纳，因此从以上两个角度深化对“过程”的研究，促成了规律的得到和解法的形成。
例4 如图（1）和（2），在等腰梯形ABCD中，AB//DC，。等腰直角三角形的斜边A点与N点重合，MN和AB在一条直线上，设等腰梯形ABCD不动，
等腰直角三角形沿AB所在直线以的速度向右移动，直到点N与点B重合为止。
设当等腰直角三角形移动时，等腰直角三角形与等腰梯形ABCD重叠部分的面积为，求与之间的函数关系式。
（1） （2）
【观察与思考】第一，研究背景图形：
Ⅰ、等腰直角三角形的数量与位置（略）
Ⅱ、等腰梯形ABCD的形状、数量和位置（略）
Ⅲ、两个图形的初始位置关系（略）
第二，研究运动的全过程：
Ⅰ、从图形上感知运动的全过程：
（1）
（2） （3）
（4） （5）
Ⅱ、在观察的基础上总结规律：
可以看到重叠部分形状的变化，在和相交时均为等腰直角三角形；在和相交时，均为等腰梯形，因此，重叠部分面积的计算应分相应的两段进行，而两段分界的时间就是过点D的时刻。
Ⅲ、确定出分界的时刻：
在图（6）中，过D作，交于点，作交MB于点。易知：当点移动到时，
移动到D，即和DC交于点D，而，可知过点D的时刻为。
（6）
这样，在时，重叠部分的图形为等腰直角三角形，时，重叠部分的图形为等腰梯形，分别计算面积即可。
简解：当（如 图（2）
当时，（见图（4），为平行四边形，
，
为等腰梯形ABCD的高），易知，
当
当
【说明】当整个过程出现不同的制式或不同的对应规则时，必须分段处理，但为什么分段和如何分段正是建立在对“过程”深入而全面研究的基础上的。
当一个题目和“过程”相关时，必须全面深入地去研究“过程”这是审题活动不可或缺的一部分。
二、关于解法的探寻
解法的探寻是解题活动的中心，它是相关知识与思考策略正确使用及结合的产物，其表现形式丰富多彩，且常因人而异，我们只能择其要者和常用的方法提供给同学们参考。
1、向基本模型和基本模式化归
我们所学的数学知识，集中体现为一些基本模型，如“方程模型”、“函数模型”、“直角三角形模型”、“相似三角形模型”等，以及一些基本模式，如数、式的算法和公式 ，基本图形的基本性质和图形关系等。几乎所有的数学问题都要化归到这些基本模型或基本模式才能解决。因此，“将问题化归到基本模型或基本模式”就是最高超的数学能力，当然也是解法探寻最为重要的思考策略。
例1 在某次数字变换游戏中，我们把整数称为“旧数”，游戏的变换规则是：将旧数先平方，再除以100，所得到的数称为“新数”。
（1）请把旧数80和26按照上述规则变换为新数；
（2）经过上述变换后，我们发现许多旧数变小，有有断言：“按照上述变换规则，所有的新数都不等于它的旧数”。你认为这种说法对吗？若不对，请求出所有不符合这一说法的旧数；
（3）请求出按照上述规则变换后减小了最多的旧数（要写出解答过程）
【观察与思考】对于 （1），按规定计算即可；
对于（2），应化归到方程来解决；
对于（3），为了建立旧数与所变新数之间的差和旧数之间的对应关系，当然要引入“函数”。
解：
（2）不对，设这个数为，满足即。
解得。不符合这一说法的旧数有0和100。
（3）设旧数为，变换后减少的最为，则
时，有最大值25，即变换后减少最多的旧数是50。
【说明】在这里，正是由于正确而及时地将问题化归到方程和函数，才使问题获得规范而迅速的解决。
例2 如图，在矩形ABCD中，线段，在EF上取一点M，分别以EM，MF为一边作矩形EMNH，矩形MFGN，使矩形MFGN∽矩形。令当为何值时矩形EMNH的面积S有最大值？最大值是多少？
【观察与思考】在我们搞清楚题目背景和要解决的问题之后 ，自然地就会形成
如下的几点认识：
第1， 在本题，矩形EMNH的边EM被另一边MN所决定，因而其面积也
就被边MN所决定，也就是说，矩形EMNH的面积是其一边“MN的函数”，
本题就是研究这个函数的“最值”问题的，因此，必须先把这个函数求出来。
第二，由矩形MFGN∽矩形，可知，这样，
矩形EMNH中应有：，因此，矩形EMNH的面积S关于MN的函数表达式容易建立起来。
——解决的方法就这样确立了出来。
解：设MN的长为，则由矩形MFGN∽矩形，得，即
。
当MN的长为时，矩形EMNH的最大值为。
【说明】认识到这是函数，然后建立函数，再利用函数性质（这不就是函数“三个支点”吗？）正是恰当地运用了“函数模型”使本题解答自然流畅，简易明快。
例3 如图，在梯形中，分别是的中点，若与互余，则与的关系是（ ）
A、 B、
C、 D、
【观察与思考】充分审题后知道应把互补的两角集中于一个三角形中，为此将AB平移至DE处，如图（1`），则易知中，MN平移至DF处，则
， （1`）
即F为斜边CE的中点，当然有
。也即有。
解：应选C。
【说明】在这里，根据题目背景，认识到并实施化归到“直角三角形”是关键。
例4 现有一张矩形纸片如图（1），其中，点E是BC的中点，实施操作：将纸片沿直线AE折叠，使点B落在梯形内，记为点。
（1）请用尺规，在图中作出（保留作图痕迹）
（2）试求两点之间的距离。 （1）
【观察与思考】点易作出，要求线段长度，立刻想到寻找
相关的直角三角形。
解：（1）可以从关于对称来作，也可以从来作，作法略，如图（1`）
（2）。
。
在中，。 （1`）
两点之间的距离为。
【说明】为求，始终把寻找相关的直角三角形作为思考的指导。
例5 如图，在中，，经过点C且与边AB相切的动圆与CA，CB分别相交于点P，Q，则线段PQ的长度的最小值是（ ）
A、 B、 C、 D、
（1`）
（1）
【观察与思考】过直角顶点C且与斜边AB相切的圆有无数多个，最小的就是以斜边上的高为直径的圆，即PQ的最小值应等于斜边上的高，因此，本题归于图（1`）这样的基本模式，即求斜边上的高CD的长。
解：应选：B 。
【说明】将图（1）和原问题化归到图（1`）这样的基本模式，转化为求CD的长，就是本题获解的最佳通道。
由以上几例可以看出：
Ⅰ、化归到基本模型或基本模式，是解法探究的第一指导思想，是最重要的思考策略，是最大的“巧”！
Ⅱ、化归意识的强烈，化归方法的有效落实，是以对“方程”、“函数”、“直角三角形”、“相似三角形”等这些模型，和一系列的模式的意义和作用，有深刻认识把握为基础的，达到“似非方程，却恰当地运用方程”，“似非函数，却恰当地运用函数”，“似无直角三角形，却恰当地造出并用直角三角形”，表面上不是某个模式，却恰当地归入并运用这一模式，达到这样的程度，就标志着对知识的掌握上升到了本质和原理的水平。这正是每一个学习者应当追求的目标。
2、把“特殊与一般的关系”用活，用足
特殊与一般的关系是人们认识事物、解决问题最常用的思维方法。在我们探究数学问题的解法时，它同样发挥着至关重要的作用。
（1）注意从背景中的“特殊点”切入
我们知道，在平行四边形的背景下若附加“对角线互相垂直”，它就成了菱形，若附加更特殊的条件“对角线互相垂直且相等”。它就成了正方形，可知，越是特殊的条件，越体现着事物的特殊性，而越是特殊的东西范围越小，相对的就越好解决。
例6 已知：如图，在梯形中，，点分别在边上，。
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当时，求证：四边形是矩形。
【观察与思考】在四边形是等腰梯形的大背景下，对于（1），
就要从“”这个附加的特殊条件切入，去推得
且。
对于（2），就要从更特殊的附加条件“”切入，而为了应用“2倍角”这个关系，想到作于H（如图（1`），目的是将平分，构造出等角和直角三角形。
证明：（1）在梯形中，。
。 （1`）
即又
四边形是平行四边形。
（2）过点G作，垂足为H，（如图（1`）
。
平行四边形是矩形。
【说明】由本例可以看出，最特殊的条件，常常正好是解法探寻的入口处。
（2）善于借特殊窥测一般，解决一般
例7 如图，在中，分别是的中点，为上的点，连结，若则图中阴影部分的面积为 。
（1`）
（1）
【观察与思考】在本题，的三边是确定的，点的位置是确定的，而在上且，
但两点的位置不确定，它们在满足上述条件下是可以在上移动的，这个移动不影响阴影部分面积的大小。现考虑将原图换成图（1`）那样的特殊情况，即E为的中点，D重合于点B，此时立刻看出，
即。
解：应填30 。
例8 现有若干张边长不相等但都大于4的正方形纸片，从中任选一张，如图（1），从距离正方形的四个顶点2处，沿角画线，将正方形纸片分成5部分，则中间阴影部分的面积是 ；若在上述正方形纸片中再任选一张重复上述过程，并计算阴影部分的面积，你能发现什么规律？ 。
（1） （1`）
【观察与思考】若将阴影部分的正方形沿原正方形纸片的对角线平移，使两顶点到正方形纸片两邻边上，如图（1`），立刻看到阴影正方形的边长为，所有有：
解：阴影部分正方形面积为 ；所得阴影正方形是定值：都等于。
（3）正向思考与逆向思考的转化
例 12如图，在中，分别以为边在BC的同侧作等边三角形，等边三角形，等边三角形。
（1）求证：四边形DAEF是平行四边形；
（2）探究下列问题：（只填满足的条件，不需证明）
①当满足 条件时，四边形DAEF是矩形；
②当满足 条件时，四边形DAEF是菱形；
③当满足 条件时，以D，A，E，F为顶点的四边形不存在。
【观察与思考】对于（1），通过证明可推得
解：（1）和都是等边三角形
又，
同理
四边形ADFE是平行四边形
【观察与思考】对于（2），应逆过来思考，即从结论出发寻找条件。
若，则需
若则需，但又不等于BC。
因当时，DAEF在一条直线上，已不构成四边形—— 这正是（3）的情况。
解：（2）①；②；③，且；
【说明】象本题中对（2）的思考，就是运用了“逆向”的形式，当由结论探寻其成立的条件时，常常用这种方法。不过在运用逆向思考得到结果后，还需正过来进行验证。
以上列举的事实可以看到：
获得问题解法的主要思考策略是：
Ⅰ、化归到基本模型或基本模式；
Ⅱ、用活，用足特殊与一般的关系；
Ⅲ、从等价、数与形、正向逆向三个角度考虑将问题转化。
练习题
1、如图，等腰梯形中，，点E是线段AD上的一个动点（E与A，D不重合），G，F，H分别是BE，BC，CE的中点。
（1）试探索四边形EGFH的形状，并说明理由。
（2）当点E运动到什么位置时，四边形EGFH是菱形？并加以证明。
（3）若（2）中的菱形EGFH是正方形，请探索线段EF与线段BC的关系，
并证明你的结论。
2、如图，在等腰直角三角形ABC中，，AD为的平分线。
求。
3、如图（1），在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，AF平分交BD于点F。
（1）求证：
（2）点从点C出发，沿着线段CB向点B运动（不与点B重合），同时点从点A出发，沿着BA的延长线运动，点与点的运动速度相同，当动点停止动动时，另一动点也随之停止运动，如图（2），平分，交BD于点，过点作，垂足为，请猜想，与AB三者之间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）在（2）的条件下，当时，求BD的长。
（2）
（1）
4、如图，正方形ABCD的边长是，一个边长为的小正方形沿着正方形ABCD的边
AB BC CD DA AB连续地翻转，那么这个小正方形第一次回到起始位置时，它的方向是（ ）
A B C D
5、如图（1），在边长为的正方形ABCD中，E，F是对角线AC上的两个动点，它们从点A，点C同时出发，沿对角线以的相同速度运动，过E作EH垂直AC交的直角边于H；过F作FG垂直AC交的直角边于G，连结HG，EB。设围成的图形面积为，围成的图形面积为（这里规定：线段的面积为0），E到达C，F到达A停止，若E的运动时间为，解答下列问题：
（1）当时，直接写出以为顶点的四边形是什么四边形，并求为何值时，
（2）①若是和的和，求与之间的函数关系式。
②求的最大值。
6、给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍，则称这个矩形是给定矩形“加倍”矩形，如图，矩形，矩形是ABCD的“加倍”矩形。
请你解决下列问题：
（1）边长为的正方形存在“加倍”正方形吗？如果存在，求出“加倍”正方形的长，如果不存在，说明理由。
（2）当矩形的长和宽分别为5，12时，它是否存在“加倍”矩形？并说明理由。
7、如图，是两个半圆，点为大半圆的圆心，AB是大半圆与半圆直径平行的弦，与小半圆相切，且。
问：能求出阴影部分的面积吗？若能，求出此面积；若不能，试说明理由。
8、如图，正方形ABCD的边长为，两动点E，F分别从顶点B，C同时开始以相同速度沿BC，DE运动，与相应的在运动过程中始终保持，对应边在一直线上。
（1）若求DH的长。
（2）当E点在BC边上的什么位置时，的面积取得最小值？并求该三角形面积的最小值。
9、如图，已知内接于⊙，AB是直径，D，是BC的中点，连结DO并延长到E，使，探究：当等于多少度时，四边形是菱形，写出结论给出证明。
A
B
C
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
F
G
，
A
B
Ⅰ
A
B
Ⅰ
A
B
C
D
（N）
P
M
A
B
C
D
P
M
（N）
P
M
（N）
A
B
C
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P
M
N
A
B
C
D
P
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B
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P
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（B）
C
P
M
（A）
D
A
B
C
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P
M
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B
C
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E
F
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H
A
D
C
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M
N
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F
E
A
D
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C
E
A
D
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C
E
C
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A
B
C
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B
C
Q
P
A
B
C
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F
G
E
A
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C
D
F
G
E
H
B
C
A
M
N
（D）
E）
O）
A
C
M
N
D
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B
D
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A
E
F
C
A
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C
B
E
G
F
H
A
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A
B
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C
A
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
A
A
A
A
A
A
B
C
D
E
F
G
H
B
A
B
C
D
长：4
宽：3
长：12
宽：2
A
B
O
A
B
C
D
D
D
E
F
G
H
A
B
C
D
E
O
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关节一、数与式的三项要点
1、准确与灵活是运算之魂
2、深入把握“数”、“式”的性质
3、善于将情境中的数量或数量关系抽象为代数式
关节二、充分发挥方程的工具性作用
1、方程用于实际问题中的求值
2、方程用于数学问题中的求值
关节三、函数知识的三个支点
1、明意义
2、定关系式
3、用性质
关节四、基本图形性质与功能的再认识
1、线段的性质和线段中点的功能
2、角平分线的功能
3、等腰三角形的变换性质
4、等边三角形的变换性质
5、等腰直角三角形的变换性质
6、平行四边形的变换性质
7、正方形的变换性质
关节五、几何计算方法与作用的归纳
1、掌握好几何计算的两种主要方法
2、重新认识几何计算的数学功能
关节六、统计问题的“三项注意”和概率法的“一个核心”
1、以“三项注意”指导统计问题的解决
2、概率求法的“一个核心”
关节七、从变换视角提高知识与构图能力
1、从“轴对称”视角识别图形与构造图形
2、从“旋转变换”视角识别图形与构造图形
关节八、审题与解法探寻的策略
1、审题的策略
2、关于解法的探寻
关节九、用代数式表示变化规律
1、借助于以归纳为指导的思想方法，得到表示变化规律的代数式
2、借助于函数思想，得到表示变化规律的代数式
3、借助直接计算，得到表示变化规律的代数式
关节十、图形变换引出的计算与证明
1、图形平移变换引出的计算与证明
2、图形的轴对称变换引出的计算与证明
3、图形的旋转变换引出的计算与证明
关节十一、“存在性”问题和“最值”问题的解决方法
1、关于“存在性”问题
2、关于“最值”问题
关节十二、几何图形的不变性和变化规律以及特殊条件下的特定性
1、探究图形变化引出的不变性或变化规律
2、探究特定结论或特定条件
关节十三、图形引入动点后形成的函数和方程问题
1、图形引入动点形成的函数问题
2、图形引入动点形成的方程问题
3、图形引入动点形成的函数和方程问题
关节十四、坐标系里的几何图形
1、坐标系里的基本几何图形
2、坐标系里的图形引入动点
3、坐标系里的图形变换
关节十五、由函数图象衍生出的问题
1、由图象研究对应的实际问题
2、函数图象和几何图形相结合的问题
关节十六、应用性问题（含“方案”确定）解法研究
1、化归到方程（不等式）模型或函数模型
2、化归到“几何计算”模型
关节十七、图形的分割与剪拼
1、图形的分割
2、将原图形剪拼成新图形
关节十八、研究性问题的思考要点
1、设置“新概念”或“新规定”情景的研究性问题
2、设置“发现新规律”的研究性问题
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关节十七
图形的分割与剪拼
纵观近年来全国各地的中考试卷，图形操作型的问题渐多，而这些题又可分为两大类：一类是围绕“图形变换”展开的（我们已有专题论及），另一类是围绕图形的分割与剪拼展开的。我们现在要研究的，就是这后边的一类，分割与剪拼的形式与依据主要有：
Ⅰ、原图形基础上进行分割，而分割的要求又分为：
（1）借助于“边、角”计算的分割；
（2）依“面积等分”为要求的分割；
Ⅱ、将原图形等面积地变化成新图形的“剪与拼”。
一、图形的分割
1、借助于“边、角”计算的分割
例1 （1）已知中，，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形。
（2）已知中，是其最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求与之间的关系。
【观察与思考】对于（1）只需“构造等角”；对于（2）， （1）
可从“等边”推演角之间的关系。
解：（1）如图①，图②，有两种不同的分割法。
（2）设，，过顶点B的直线 ①
交边AC于D。在等腰三角形中，
①若是顶角，如图③，则，
。 ②
此时只能有，即，
，即与的关系是：
。
②若是底角，则有两种情况。 ③
第一种情况：如图④，当时，则，
中，。
Ⅰ、由，得，此时有，即有关系。 ④
Ⅱ、由，得，此时 ，
即。
Ⅲ、由，得，此时，
即，为小于45°的任意锐角。 ⑤
第二种情况，如图⑤，当时，，
此时只能有，
从而，这与题设是最小角矛盾。
当是底角时，不成立。
【说明】本题是通过特定的分割推导角之间的特殊关系。
例2 如图（1），在和中，，。
（1）判断这两个三角形是否相似？并说明为什么？
（2）能否分别过在这两个三角形中各作一条辅助线，使分割成的两个三角形与
分割成的两个三角形分别对应相似？证明你的结论。
（1）
【观察与思考】对于（1），只需算出即可。
对于（2），可沿着“若有两个角对应相等，则两三角形相似”去作适当的辅助线。
解：（1）不相似。中；
在中，，
。，与不相似。
（2）能分割成两个分别相似的三角形，作如图（1`）所示的辅助线进行分割。
具体操作：作，交BC于；作，交于。
由作法和已知条件可知。
，，，
，
。
，。 （1`）
∽。
【说明】本题是从构造等角出发构造相似三角形，这一方法被普遍采用。
例3 现有一张长和宽之比为2：1的长方形纸片，将它折两次（第一次折后也可打开铺平再折第二次），使得折痕将纸片分为面积相等且不重叠的四个部分（称为一个操作）。如图甲（虚线表示折痕）。除图甲外，请你再给出三个不同的操作（规定：一个操作得到的四个图形，和另一个操作得到的四个图形，如果能够“配对”得到四组全等的图形，那么就认为是相同的操作。如图乙和图甲是相同的操作）。
（甲） （乙）
解：答案例举如下：
【说明】由本题的解法可以看出：要得到面积相等的图形，一可以构造“全等图形”，二可以由面积公式出发。
例4 如图（1）所示的形铁皮，工人师傅想用一条直线将其分成面积相等的两部分。请你帮工人师傅设计三种不同的分割方案（画出示意图）。
【观察与思考】形铁皮可以看成由两个正方形相割而成，又
可以看成由一个矩形和一个正方形拼合而成，应充分利用正方 （1）
形的轴对称性和矩形与正方形的中心对称性，因为“轴对称”
和“中心对称”的两个图形面积都是相等的。
解：如图（1），（2），（3）。
（1） （2）
（3）
【说明】在本题，恰当地运用了基本图形的轴对称性质和中心对称性质。
例5 我们能把平分四边形面积的直线称为“好线”，利用下面的作图，可以得到四边形的“好线”：在四边形中，取对角线的中点，连结，显然，折线能把四边形的面积平分，再过点作，交于，则直线即为一条“好线”。（如图（1）
（1）试证明：确为一条“好线”；
（2）如图（2），若为四边形的一条“好线”，为上一点，请作出过的一条“好线”，并说明理由。
（1） （2）
【观察与思考】对于（1），只需证明即可，而这由很多容易得到。
对于（2），其原理与的作法相同。
解：（1）证明：是对角线的中点，
。
。 （2`）
。
是“好线”。
（2）这样作：连结，作，交于。如图（2`），则直线为“好线”。理由如下 ：
。
。
【说明】在本题，主要借助了“等底等高的三角形面积相等”，这是对图形进行“等面积变形”的重要而常用的手段。
二、将原图形剪拼成新图形
例1 下列各图中，沿着虚线将正方形剪成两部分，那么由这两部分既能拼成平行四边形，又能拼成三角形和梯形的是（ ）
（中点） （中点）
A B C D
【观察与思考】图B中的两部分可拼成：
平行四边形 三角形 梯形
解：应选B。
【说明】思考中可借助图形的“平移”、“旋转”，以及它们的结合。
例2 如图（1），现有两个边长之比为1：2的正方形与，已知点在同一直线上，且点 重合，请你利用这两个正方形，通过裁割、平移、旋转的方法，拼出两个相似比为1；3的三角形。
【观察与思考】已知的两个正方形边长之比为1：2，不妨设它们的边长为
和，则其面积就分别为和，而若剪拼成的两个三角形的相似
比为1：3，则它们的面积比就是1：9，即分别为和。 （1）
这样促使我们想到对原图形作如图（1`）的裁割，其中每一个
小三角形的面积都为，这样就有以下的解：
解：设的中点为，沿将原图裁割，并将绕点顺时针旋转180°至，则得到等腰直角三角形和等腰直角三角形，如图（1``），显然，∽，且有。
（1`） （1``）
【说明】因为剪拼前后保持面积不变，所以许多剪拼问题的思考解决都可如本题以面积作为过渡的桥梁。
例3 请阅读下列材料：
问题：现有5个边长为1的正方形，排列形式如图（1），请把它们分割后拼接成一个新的正方形。要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形。
（1） （2）
（4）
（3） （5）
小东同学的做法是：设新正方形的边长为。依题意，割补前后图形的面积相等，有，解得。由此可知新正方形的边长等于两个正方形组成的矩形对角线的长。于是，画出如图（3）所示的新正方形。
请你参考小东同学的做法，解决如下问题：
现有10个边长为1的正方形，排列形式如图（4），请把它们分割后拼接成一个新的正方形。要求：在图（4）中画出分割线，并在图（5）的正方形网格图（图中每个小正方形的边均为1）中用实线画出拼接成的新正方形。
【观察与思考】设新正方形的边长为，则，可知，边长应等于三个小正方形并在一起的所成矩形的对角线。因此有以下的解：
解：所画图形如图（4`）和图（5`）所示。
（5`）
（4`）
【说明】本题进一步说明，剪拼型的图形操作问题，常以面积做为解法思考的依据。
例4 在图（1）至（5）中，正方形的边长为，等腰直角三角形的斜边，且边和在同一直线上。
操作示例
当时，如图（1），在上选取点G，使，连结和，裁掉和并分别拼接到和的位置构成四边形。
思考发现
小明在操作后发现：该剪拼方法就是先将绕点F逆时针旋转
90°到的位置，易知EH与在同一直线上。连结CH，由
剪拼方法可得，故，从而又可将
绕点C顺时针旋转90°到的位置。这样，对于剪拼得到的四
边形（如图（1），过点F作于点M（图略），利用
公理可判断，易得， （1）
，进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形
是正方形。
（2） （3） （4）
实践探究
（1）正方形的面积是 ；（用含的式子表示）
（2）类比图（1）的剪拼方法，请你就图（2）至（4）的三种情形分别画出剪拼在成一个正方形的示意图。
联想拓展 小明通过探究后发现：当时，此类图形都能剪拼成正方形，且所选取的点G的位置在方向上随着的增大而不断上移。
当时，如图（5）的图形能否剪能一个正方形？若能，请你在图中画出剪拼的示意图；若不能，简要说明理由。
【观察与思考】在所给的图形中（1），（2），（3），（4），（5），均有正方形
的边长为，等腰直角的斜边边区长为，因此，二者
面积分别是和。由它们剪拼成的新正方形的面积应为+，
即其边长应为，以此特征去设计剪拼即可。 （）（5）
解：实践探究（1）+；
（2）剪拼方法如图（2`）~ 图（4`）图（2`）~ 图（3`）中截，
就有。
联想拓展出 能：剪拼方法如图（5`）（图中）。
（2`） （3`） （4`）
（5`）
【说明】本题的核心都是面积为的等腰直角三角形和面积为的正方形剪拼成一个大正方形，大正方形边长易知，相应剪拼方法也随之可得。
例5 蓝天希望学校正准备建一个多媒体教室，计划做长120，宽30的长条形桌面，现只有长80，宽45的木板，请你为该校设计不同的拼接方案，使拼起来的桌面符合要求。（只要求画出裁剪，拼接图形，并标上尺寸。）
【观察与思考】桌面面积为，而每块木板面积为，二者是相等的，另外，考虑截下两块的两块木板的位置搭配，就有
（1） （2）
解：
图形的剪拼问题，应注意以下几下方面的思考途径和解决方法：
1、考虑图形的变换性质和如何利用变换；
2、考虑相似三角形面积比与相似比的关系；
3、考虑“勾股定理”对应的图形面积关系；
4、考虑特定数量的构成形式。
练习题
1、（1）已知：如图（1），在中，，直线平分交AC于点D。
求证：与都是等腰三角形。
（1） （2） （3）
（2）在证明了该命题后，小颖发现：下列两个等腰三角形如图（2）、（3）也具有这种特性。请你在图（2）、（3）中分别画出一条直线，把他们分成两个小等腰三角形并在图中标出所画等腰三角形两个底角的度数；
（3）接着，小颖又发现：直角三角形和一些非等腰三角形也具有这样的特性，如：直角三角形斜边上的中线可把它分成两个小等腰三角形。请你画出两个具有这种特性的三角形的示意图，并在图中标出三角形各内角的度数。
说明：要求画出的两个三角形不相似，而且既不是等腰三角形也不是直角三角形。
2、如果要把正三角形的面积四等分，我们可以先连结正三角形的中心和各顶点（如图（1），这些线段将这个正三角形分成了三个全等的等腰三角形）；再把所得的每个等腰三角形的底边四等分，连结中心和各边等分点（如图（2），这些线段把这个正三角形分成了12个面积相等的小三角形）；最后，依次把相邻的三个小三角形拼合在一起（如图（3），这样就能把正三角形的面积四等分）。
（1） （2） （3）
（1）怎样从正方形中心引线段，才能将这个正方形的面积等分？
（2）怎样从正边形的中心引线段，才能将这个正边形的面积等分？
3、某农场有一块三角形的土地，准备分成面积相等的4块分别承包给农户，请你画出两种不同的设计方案。
4、设计两种不同方案，用一线段将梯形的面积平分。
5、如图的方格图，请以图格线为基础，画出四种不同的将其面积平分的分割线。
6、在中，沿着中位线一刀剪切后，用得到的和四边形可以拼成平行四边形，剪切线与拼图如图示，仿上述的方法，按要求完成下列操作设计，并画出图示。
（1）在中，增加条件 ，沿着 一刀剪切后可以拼成矩形；
（2）在中，增加条件 ，沿着 一刀剪切后可以拼成菱形；
（3）在中，增加条件 ，沿着 一刀剪切后可以拼成正方形；
（4）在中，一刀剪切后也可以拼成等腰梯形，首先要确定剪切线，其操作过程（剪切线的作法）是： 。
7、请将四个全等直角梯形，拼成一个平行四边形，并画出两种不同的拼法示意图（拼出的两个图形只要不全等就认为是不同的拼法）。
8、右图中的方格图均是由边长为1的小正方形组成，将图（1）和图（2）中的阴影部分拼成一个正方形，在图中画出割补方法，附以文字说明。
（1）
（2）
9、操作与探究：
（1）图①是一块直角三角形纸片．将该三角形纸片按如图方法折叠，使点A与点C重合，DE为折痕．试证明△CBE等腰三角形；
（2）再将图①中的△CBE沿对称轴EF折叠(如图②)．通过折叠，原三角形恰好折成两个重合的矩形，其中一个是内接矩形，另一个是拼合(指无缝无重叠)所成的矩形，我们称这样的两个矩形为“组合矩形”．你能将图③中的△ABC折叠成一个组合矩形吗？如果能折成，请在图③中画出折痕；
（3）请你在图④的方格纸中画出一个斜三角形，同时满足下列条件：①折成的组合矩形为正方形；②顶点都在格点(各小正方形的顶点)上；
（4）有一些特殊的四边形，如菱形，通过折叠也能折成组合矩形(其中的内接矩形的四个顶点分别在原四边形的四条边上)．请你进一步探究，一个非特殊的四边形(指除平行四边形、梯形外的四边形)满足何条件时，一定能折成组合矩形？
[解析] 这道题目从特殊到一般，从简单到复杂通过操作实践，探究中点四边形是矩形的条件．我们在平行四边形一章中学习过，中点四边形一定是平行四边形，原四边形对角线的位置关系和数量关系决定中点四边形的形状：原四边形对角线垂直，中点四边形为矩形；原四边形对角线相等，中点四边形为菱形；原四边形对角线垂直且相等，中点四边形为正方形．
在图③中，画△ABC的BC边的高AD和BC边的中位线EF，再画AD边的中位线EM、FN，则折痕为EF、EM、FN．在图④中画一个锐角△ABC，只要一边上的高等于该边上的长就可以了．
一个非特殊的四边形满足对角线垂直时，一定能折成组合矩形．
这道题目体现了中考题源于课本又高于课本的思想．
A
C
A
B
C
A
B
C
A
B
C
D
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B
C
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C
D
A
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E
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C
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2
2
4
4
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B
C
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E
F
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I
II
I
II
I
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B
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（E）
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G
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H
G
80
45
80
45
80
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45
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15
80
80
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30
15
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45
40
15
A
B
C
D
C
A
B
C
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B
C
A
B
A
B
C
D正边形
A
B
C
A
B
C
D
A
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C
P
F
E
（E）
A
A
A
B
C
B
B
D
C
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E
D
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图①
图②
图③
图④
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关节五
几何计算方法与作用的归纳
当以比单纯逻辑论证宽泛得多的思想和视角来研究几何图形及其和相关的问题时，“几何计算”的意义和作用，就被大大地加强了。
第一，几何图形的大小及形状、几何图形间的位置关系，在许多时候本来就需要运用相关的数量来表示，无疑地就会涉及到几何量的计算；
第二，当我们注重研究图形的动点问题，图形的变换及运动问题，在坐标系里研究图形的一些问题时，就愈是不可避免地要借助几何量的计算；
第三，那些基于实际而模型化为几何图形的应用类问题，更是必须依靠几何量的计算来解决。
因此，《课标》理念下的几何学习，几何计算的份量加大了，层次提高了。
在本关节，我们先将几何计算的基本方法加以归纳，为而后的应用作好充分准备。
一、掌握好几何计算的两种主要方法
几何计算的两种主要方法是：
Ⅰ、借助于解直角三角形；
Ⅱ、借助于三角形的相似关系。
1、善于用解直角三角形的方法完成几何计算
（1）要善于依题情恰当地构造直角三角形
例1 如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为，则它们重叠（如图中阴影）部分的面积是（ ）
（1`）
（1）
A、 B、 C、 D、
【观察与思考】将原问题抽象为图（1`），在菱形ABCD中，，顶点A到直线CD和直线CB的距离都为1，求菱形ABCD的面积。
为此，作交CD的延长线于点H，则有
其中
解：应选A。
例2 如图，在中，。将绕点C逆时针旋转30°得到， 与AB相交于点D。求BD的长。
【观察与思考】注意到若作于点G，如图（1`）则 （1）
可得中，DG=BG，同时在，而CB=1，
从而可构造关于BD的方程，求得其值。
解：如图（1`），作于点G，设BD=，
中，
在中，， （1`）
。
即解得。
的长为。
【说明】通过以上两例可以看出，凡涉及到几何图形中量的计算时，应当首先考虑借助于解直角三角形，而在这许多情况下，就需要恰当地构造出相应的直角三角形。
（2）在图形较为复杂的情况下，要善于恰当地将相关数量转化到某直角三角形
例3 如图，在等腰梯形ABCD中，AB//CD，AD=BC，延长AB到E，使BE=DC，连结CE，若于点F，且AF平分求的值。
【观察与思考】首先，在中，剩下的任务
就是去求CF和AC之间的数量关系，如去求出CF用AC表示的代数
式。为此，去研究相应的条件：
①由ABCD为等腰梯形，BECD为平行四边形（BE//CD，BE=CD），可知：AC=BD=EC；
②由知 且AF平分得是等腰三角形，设AF交BD于点G，则
③由BG//EC，知∽,
如此一来，
当然就有。
例4 如图，把一副三角板如图（1）放置，其中，斜边把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到如图（2）， 这时AB与相交于点，与AB相交于点F。
（1）求的度数；
（2）求线段的长；
（3）若把三角形绕着点C顺时针再旋转30°得到，这时点B在的内部，外部，还是边上？证明你的判断。
（1） （2）
【观察与思考】对于（1），如图（2`），设CB与相交于点G，则可通过与内角的关系，求得的值；
对于（2），可先推出，并导出的长；
对于（3），设直线CB交于，应在中计算出的长，为此为基础进行判断。
解：（1）设CB与相交于点G，如图（2`），则：
（2`）
。
（2）连结，
又。
在
。
（3）点B在内部，理由如下：
设BC（或延长线）交于点，
在，
又，即点B在内部。
【说明】从这两个例子可以看出，在图形复合，情况比较复杂时为了在直角三角形中完成计算，还常需要和题目的条件，图形的其他特征相结合，通过有关的性质及定理，把一些数值和数量关系转化到这个直角三角形中去，因此，这样的计算也必须以熟练地掌握几何图形的基本性质为基础。
2、掌握好用两个三角形相似关系实施与完成几何计算
当两个三角形相似时，就会构成相关线段的比例等式，而在比例等式当中，若有一条线段是未知的，而其他线段是已知的或是未知线段的代数式，那么这样的比例等式就成了未知线段的方程，借此方程求出未知线段，因此，用两个三角形之间的相似关系，也可以实施与完成许多几何计算。
（1）要有借助相似三角形完成几何计算的高度意识
例5 已知，三个边长分别为2，3，5的正方形如图排列，则图中阴影分部的面积为 。
【观察与思考】可以用直接法或间接法，但都需要计算出有关线段的长，这就
需要借助于图中的直角三角形的相似关系。
解：如图（1`），∽∽
则
。 （1）
（1`）
【说明】正是借助于图中的相似三角形，使得线段CM，EN，从而线段GM，FN的计算得以落实。
例6 如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于O，于点E，连结ED，交OC于点F，作于点G。
（1）CG和CB有怎样的数量关系？说明理由；
（2）若想在CB上确定一点H，使，请依据（1）得出的结果，说出画图的方法（不必说明理由）
【观察与思考】显然，图中有一些相似三角形，比如：
∽∽（Ⅰ组）；∽（Ⅱ组） （1）
∽（Ⅲ组）；∽（Ⅳ组）等。
通过分析可知，应用到第Ⅰ组，因为其中含有线段CG和CB（即与 ）
而其中的CF又包含在第Ⅲ组的三角形中，这样就有：
解：（1）有结论在和中，由OE//CD，易知∽，
即也即。
在和中，
∽，得 （1`）
（2）应这样确定点H，连结DG，交CO于点M，作于H，则应用 如图（1`）。
【说明】从以上两例可以看出，在不少情况，需从较多的三角形相似关系中选取最为直接的能够实现计算目的的两对或几对相似三角形，这既需要对图形性质有深刻的认识，也需要善于对问题情意及要达到的目的的进行深入分析。
（2）要善于发现和构造相似三角形
例7 如图，已知中，，点E，F在AB上，设的面积为。
求证：
【观察与思考】注意到，就容易发现有
∽。
【证明】在和中，
，
∽，得，即。
。
【说明】利用相似三角形解决问题，首先就要善于从图形中找到相似三角形，这就需要对三角形相似的条件不仅熟悉，且能灵活运用。
例8 如图，在边长为8的正方形ABCD中，P为AD上一点，且BP的垂直平分线分别交正方形的边于点E，F，Q为垂足，则EQ：EF的值是（ ）
A、 B、 C、 D、
【观察与思考】容易看出∽得既 （1）
。
而根据正方形的性质，易知，如图（1`），把FE平移至CG的位置，
由有，
解：选C。
【说明】在本题是将三角形相似、三角形全等结合起来，分别将线段EQ，EF借助BP表示出来，从而算出这两条线段的比。
例9 某装修公司要在如图（1）所示的五角星图形中，沿边每隔20厘米装一盏闪光灯，若米，则共需要装闪光灯（ ）
A 、100盏 B、101盏 C、 102盏 D、103盏
【观察与思考】研究，由计算出AB的长来，如图（2）
在中，（正五边形的外角）=72°，
作交AC于点D，则AD=BD=BC，又∽， （1）
得：，
即，也既 （2）
解得。
。
灯的盏数应为
解：选A。
【说明】在本题，关键是根据特定条件，构造出∽。
可以看出：认识到相似三角形的计算功能，善于选用相似三角形，进而适时又恰当地构造出相似三角形，是充分发挥相似三角形在几何计算中重要作用的思想基础和知识基础。
二、重新认识几何计算的数学功能
通过几何计算，不仅仅是求出几条线段的长，几个角的度数，几个图形的面积，其更多的作用：
几何计算是深入研究图形性质和图形间关系的重要手段；
几何计算是用代数形式刻划变动中图形性质的主要凭借。
也就是说，许多以图形为基础的研究性问题，许多几何与代数相结合的问题，许多图形的变换及其它形式运动的问题，都是以计算为基础，为依据，为桥梁。这里，我们只举两个较简单的例子，实为而后进一步探讨与研究的提示。
例1 如图（1），是边长为4的等边三角形，D为BC边上一个动点，作DE//CA，交AB于点E，于点F，当BD的长取什么值时，可使？
【观察与思考】本题是研究数量与位置关系的对应性，可借助“逆向探究”的方法。如图（1`），假若，则必有从而有∽。由此求出BD的长，再逆过来予以判定。
解：如图，若则进而又有
∽。 （1）
设则，
又。
，解得 （1`）
成立。
【说明】在本题，虽用了直角三角形一些数量关系，但更主要是要借助于三角形相似。
例2 在梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC=AD=6，，点E，F分别在线段AD，DC上，（点E与点A，D不重合）且设。
（1）求的函数表达式；
（2）当为何值时，有最大值，最大值是多少？
【观察与思考】这是由数量关系刻画几何量之间的对应关系，或说是几何
与代数结合的问题，其解决的依据就是通过“几何计算”。
解：（1）在梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC=AD=6，，
∽。
的函数表达式是
；
（2）。
时，有最大值，最大值为。
【说明】象本题这样的几何与代数综合题，正是以“几何计算”作为主要解决工具的。
充分重视解直角三角形和两三角形相似的数学功能吧，让它们在更多的综合型问题中发挥更大的作用！
练习题
1、 已知，如图平行四边形ABCD中，于E，于F，AB=8，AD=6，平行四边形ABCD的面积为40，求的值。
2、一副三角尺如图摆放在一起，连结AD，求的余切值。
3、如图，在正方形ABCD中，M为DC的中点，N为BC上的一点，且BN=3NC，求。
4、如图，四边形ABCD为一梯形纸片，AB//CD，AD=BC，翻折纸片ABCD，使点A与点C重合，折痕为EF。已知。
（1）求证：EF//BD；
（2）若AB=7，CD=3，求线段EF的长。
5、如图，在中，E为斜边AB上一点，AE=2，E B=1，四边形DEFC为正方形
则阴影部分的面积为 。
6、如图，等腰梯形ABCD中，AD//BC，P为BC上一点，连结AP，过点P作PE交DC于点E，使得。
（1）求AB的长；
（2）和是否相似，并说明理由；
（3）若求BP的长。
7、已知多边形ABDEC是由边长为2的等边三角形ABC和正方形BDEC组成，一圆过A，D，E三点，求该圆的半径的长。
8、如图，AB是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，过点B作BC//OP交⊙O于点以C，连结AC。
（1）求证：∽；
（2）若求BC的长。（结果保留根号）
9、如图，AB是半圆O的直径，四边形CDEF是内接正方形，在正方形CDEF的右侧有一正方形FGHK，点G在AB上，H在半圆上，K在EF上，已知正方形CDEF的面积为16，请计算出正方形FGHK的面积。
A
B
C
D
H
A
C
B
D
D
A
C
B
D
D
G
A
B
E
D
C
F
G
A
C
B
F
O
A
C
B
D
E
A
C
B
F
O
G
2
3
5
G
J
A
F
I
H
N
E
D
M
C
B
A
B
C
D
O
E
G
F
A
B
C
D
O
E
G
F
H
M
A
C
B
F
E
A
B
C
D
F
P
E
Q
A
B
C
D
F
P
E
Q
G
A
B
C
A
B
C
D
A
E
F
B
D
C
A
E
F
B
D
C
60°
A
E
D
F
C
B
A
E
B
F
C
D
A
B
D
C
A
B
C
D
M
N
A
B
C
D
E
F
A
B
C
F
E
D
A
D
B
C
P
E
A
B
C
D
E
A
O
B
C
P
A
D
E
H
B
G
F
C
O
K
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关节十一
“存在性”问题和“最值”问题的解决方法
一、关于存在性问题
1、什么样的情况会引发出“存在性问题？
从一个整体情况或一个变化过程中，判断满足某种特殊要求的情况是否存在，并在存在时将其寻找出来，这样的问题就是“存在性”问题。
如：
题1 如某月的月历，像图中那样用方框框住4个数字，是否存在以下情况：使框住的4个数字和为100？为90？若存在，请写出这4个数字，若不存在，请说明理由。
题 2 如图（1），四边形是边长为6的正方形，动点P从
A点P出发，以每秒1个单位的速度沿边向点运动，动点
从点出发，以每秒3个单位的速度沿边
运动，两点同时出发，点P到达处
时两点运动停止，记的运动时间为。
（1）是否存在时刻，使线段将正方形的周长分为相等的两部分？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。
（2）是否存在时刻，，使线段将正方形的面积分为1：2两部分，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。
（1） （2）
题 3 如图（2），在中，，在斜边上是否存在点，使以为圆心，以为半径的圆，恰好与相切？
若存在，请作出⊙（保留作图痕迹）；若不存在，请说明理由。
像以上三个题目都属于“存在性”问题。
2、“存在性”问题的基本类型和解决方法
“存在性”问题大体可分为两类：
Ⅰ、由数量关系确定的“存在性”问题（即要找的是满足一个“特殊”数量方面的要求）；
Ⅱ、由位置关系确定的“存在性”问题（即要找的是满足一个“特殊”位置方面的要求）。
（1）由数量关系确定的“存在性”问题
这种类型的“存在性”问题，解决的方法主要是借助于构造方程。
例1 （见前面的题1）
【观察与思考】第一，框住的4个数字，若设左上角的数字为，则这4个数字的和为。本题就是判断图中有无数字，使和分别为100，90？有这样的数字时，求出的值。
第二，落实的办法就是根据和为100，90分别构造关于的方程，判断相应的方程是否有解，有解时求出解来。
解：设框住的4个数为
则它们的和为：，
令，解得。
即当框住的4个数字为 时，它们的和恰为100。
又，令，解得，这样的不在月历中。
所以，不存在框住的4个数字的和为90的情况。
【说明】在这里，把方框中的第一个数字看作一个变量（范围是1—22），框内的4个数字之和是的函数，而“和为100，为90”就是对函数值的特定要求，从而变成了求特定函数值所对应的自变量的值，那当然就是解方程。
例2 （见前面的题2）
（1`） （1``） （1```）
【观察与思考】容易知道，按点在上，上，上，和的运动全过程可分为三段：
①当时，如图（1`），②当时，如图（1``），③当时，如图（1```）。应分类考虑将正方形分成部分的周长与面积的情况。
解：（1）①当时，点在AB上，点在上，正方形的周长被分成的两部分中，顶点B所在部分显然小于（正方形的周长），而另一部分大于（正方形的周长）。因此，不可能有二者相等的时刻；
②当时，点在上，顶点B所在的部分的“周长”为，另一部分的“周长”为。
令，解得。
（或令12，也得同样的结果）。
③当时，点在AB上，点在AD上，分成的两部分中，含顶点B的部分的“周长”显然
大于（的周长），因此不存在二者相等的时刻。
所以，存在，使将的周长分为相等的两部分（其实，此时和分别为边AB，的中点）。
（2）①当时，，
，
令，解得（与矛盾，舍去）。
②当时，令或
，分别解得（矛盾，舍去），。
③当时，令，解得（舍去），（舍去）。
所以，存在时刻和，使得把正方形的面积分为1：2的两部分。
【说明】在，的运动过程中，正方形的周长与面积总是被分为两部分，且两部分的值在运动中变化着，现对变化着的值提出特定的要求，以确定这种特殊情况是否真的出现在运动过程之中，这正是“存在性”问题的典型特征，而构造出相应的方程来求解。也真是普遍适用的方法。
例3 如图（3）， 在直角梯形中，。动点从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位的速度向点B运动，点，分别从点D，C同时出发，设运动时间为（秒）。
（1）是否存在时刻，使得？若存在，求出的值；
若不存在，请说明理由。
（2）是否存在时刻，使得，若存在，求出的值； （3）
若不存在，请说明理由。
【观察与思考】 （1）和（2）应分别由“”和“”出发构造关于的方程求解。
解：（1）假若有作交射线DA于，如图（3`）则。
在中，
， （3`）
，
，
由，解得（秒）。
即（秒）时。
（2）假若有，如图（3``），易知此时四边形为平行四边形，
，即，解得，但点只在线段CB上运动，即不合题意，舍去。
不存在时刻，使得。
【说明】在的运动过程中，线段和的位置 （3``）
关系是变化的，本题是从中考虑位置关系特定情况的“存在性”，方法也是按
特定情况对应的数量关系去构造相应的方程，用该方程在允许范围内有解、
无解来回答“存在”或“不存在”。
例4 在中，，点D在BC所在的直线上运动，作（A，D，E按逆时针方向）。
（1） 如图①，若点D在线段BC上运动，DE交AC于E。
①
①求证：∽;
②当是等腰三角形时，求的长。
(2) ①如图②，若点D在BC的延长线上运动，DE的反向延长线与AC的延长线相交于点，是否存在点D，使是等腰三角形？若存在，写出所有点D的位置；若不存在，请简要说明理由；
③
②
②如图③，若点D在BC的反向延长线上运动，是否存在点D，使是等腰三角形？若存在，写出所有点D的位置；若不存在，请简要说明理由；
【观察与思考】对于问题（1），就是我们熟悉的几何证明与几何计算问题；
对于问题（2），只要求出满足要求的BD的长，就是确定了D点的位置。为此只需要通过三角形的相似关系去构造关于BD和方程。
解：（1）①，又，即。
∽
②当时，。
。
（2）①若为等腰三角形，只有。
而，得。
∽，，由，得。
，
存在点D使为等腰三角形，点D在BC的延长线上，距点B的处。
②
不存在为等腰三角形的情况。
例5 二次函数的图象如图（1）所示，过轴上一点的直线与抛物线交于两点，过点分别作轴的垂线，垂足分别为。
（1）当点A的横坐标为时，求点B的坐标；
（2）在（1）的情况下，分别过点作轴于，轴于在上是否存在点，使为直角，若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由。
【观察与思考】（1）由∽，可求得点B的坐标。
（2）这时，如图（1`），若在线段上有点使， （1）
那么立刻推得∽依次构造关于点坐标的方程。
解：（1）设点B的坐标为其中，
，
，
∽，，即
，解得（舍去），B的坐标为（8，8）
（2）若满足要求的点存在，设的长为，连结，如图（1`）
。
，（同为的余角）。
∽，即。
解得，。 （1`）
均满足要求。
可以看出：构造方程是解决各种形式的由“数量关系”确定的“存在性”问题的最有效最常用的方法。
（2）由位置关系确定的“存在性”问题
例6 现在来看开始时提出的题3
如图（1），在中，，在斜边上是否存在点，使以为圆心，以为半径的圆，恰好与相切？若存在，请求出⊙（保留作图痕迹）；若不存在请说明理由。
【观察与思考】假设这样的点存在，如图（1`）的情况：点在上，以为圆心
以的半径的⊙和相切于点D，若连结，可知，得 （1）
由得即有
，也就是说，AD是的平分线，如此一来，就找到了确定点的位置方法：先作的平分线AD，交于点D，再由D作交AB于点。
（1`） （1``）
解：这样的点存在，作法如图（1``）
例7 已知，如图（1）四边形是矩形，E和F分别是边AB，BC的中点，P为对角线AC上一个
题`）C动点（不与A，C重合），试问：点能否构成直角三角形？若能，共有几个？并在图中画出所有满足条件的三角形。
【观察与思考】第一，分情况来考虑：
①若要只需； （1）
②若要只需；
③若要只需P为以为直径的圆与的交点，且因所以大于与之间的距离，所以以为直径的圆与必有两个交点。
第二，表示出以上四个点的位置：
解：能使为顶点的三角形成为直角三角形的点P共有四个，如图（1`）。
【说明】其实作图法确定符合某要求的图形，基本思想和用方程求
（1`）
未知数量的值有极大的相仿之处，都是先假定“存在”，按其具有的
特定要求逆推出它应当是怎样的。
二、关于“最值”问题
所谓“最值”问题，就是求一个变动的数量在某范围内取最大或最小值的问题。
“最值”问题大都归于两类基本模型：
Ⅰ、归于函数模型：即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性，确定某范围内函数的最大或最小值。
Ⅱ、归于几何模型，这类模型又分为两种情况：
（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”。凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型。
（2）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型。
1、利用函数模型求最值
由于这类问题在关节三“函数知识的三个支点”已有涉及和说明，这里我们只举一例。
例1 如图（1），平行四边形中，，E为BC上一动点（不与B重合），作于，设的面积为当运动到何处时，有最大值，最大值为多少？
【观察与思考】容易知道是的函数，为利用函数的性质求的最大值，
就应先把关于的函数关系式求出来，而这又需要借助几何计算。 （1）
解：如图（1`），延长交的延长线于易知。
，而，
又，在中，。
。
其中。 （1`）
对称轴当，随的增大而增大。
当，即E与C重合时，有最大值，。
【说明】可以看出，函数是解决“数量”最值问题的最基本的方法。
2、利用几何模型求最值
（1）归入“两点之间的连线中，线段最短”
例2 如图（1）所示，在一笔直的公路的同一旁有两个新开发区，已知千米，直线与公路的夹角新开发区B到公路的距离千米。
（1）求新开发区A到公路的距离；
（2）现从上某点处向新开发区修两条公路，使点到新开发区的距离之和最短，请用尺规作图在图中找出点的位置（不用证明，不写作法，保留作图痕迹），并求出此时的值。
【观察与思考】对于（1），直接归于几何计算。
对于（2），首先利用“轴对称”的性质，把原题中的求“” （1）
最短，转化成求“ ”最短（其中是A关于的对称点。
解：（1）先作垂直于于点如图（1`）
在中，（千米）
在中，（千米）
（千米）
（2）作点A关于的对称点，连结交于点。
（1`）
结果如图（1``），点即为所求。
如图（1``），作交的延长线于点。
在中，（千米），
（千米）。
（千米）。
此时（千米）
【说明】本题的关键在于将“在直线上确定一点，使它到直线
同侧的两点距离之和最短”，转化为“直线异侧两点距离之和最
短”，进而再用“两点之间的所有连线中，线段最短。 （1``）
例3 如图，（1），在中，，为边上一定点，（不与点B，C重合），为边上一动点，设的长为，请写出最小值，并说明理由。
【观察与思考】其实，本题和例2中的（2）基本上是相同的，是“在
直线上求一点，使它到同侧的两个定点和的距离之和
最小”。因此，可由图（1`）（连结关于的对称点与所成线段， （1）
交于。或图（1``）（连结关于的对称点与所成线段，
交于，都同样可得最小值。
（1`） （1``） （1```）
解：如图（1```），作点关于的对称点，连结交于点，易知，
。
在中，，
又，在上任意取一异于的点，连结，则
对边上的动点，最小值为。
【说明】Ⅰ、在本题，关键仍是将最小问题，转化成求线段的长，转化的桥梁仍是利用“轴对称”的性质；
Ⅱ、至于求线段的长，仍是以归入“解直角三角形”为第一选择。
例4 如图（1），抛物线和轴的交点为为的中点，若有一动点，自点处出发，沿直线运动到轴上的某点（设为点），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点），最后又沿直线运动到点，求使点运动的总路程最短的点，点的坐标，并求出这个最短路程的长。
【观察与思考】容易知道，点的坐标为，抛物线的对称轴为
，点的坐标为。实际上是求点E，F位于何处时有
最短，仍归于用“两点之间的所有连线中，线段最短” （1）
来求解，这只需作关于轴的对称点，点A关于对称轴
的对称点连结，如图（1`），即可将原问题解决。
解：如图（1`），由题意可得（0，3），，抛物线的对称点
为，点关于轴的对称点为，点关于抛物线
对称轴的对称点为（6，3）。连结。
根据轴对称性及两点间线段最短可知，的长就是所求点运动中
最短总路程的长，在直线的方程为（过程略）。
设与的交点为则为在轴上所求的点，与直线
的交点为所求的F点。
可得点的坐标为（2，0），F点的坐标为）。
由勾股定理可求出（过程略）
所以点运动的总路程（）最短时间为。
不管在什么背景下，有关线段之和最短问题，总是化归到“两点之间的所有连线中，线段最短”，而转化的方法大都是借助于“轴对称点”。
（2）归于“三角形两边之差小于第三边”
例5 如图（1），直线与轴交于点C，与轴交于点B，点A为轴正半轴上的一点，⊙A经过点B和点，直线BC交⊙A于点D。
（1）求点D的坐标；
（2）过，C，D三点作抛物线，在抛物线的对称轴上是否存在一点，使线段与之差的值最大？若存
在，请求出这个最大值和点P的坐标。若不存在，请说明理由。
【观察与思考】对于（1），可通过解直角三角形求得点D的坐标。
对于（2）如图（1`），过，C，D三点的抛物线的对称轴为。 （1）
对于该对称轴上的任意一点P都有，而只
有当点P恰为直线与抛物线的对称轴
的交点时，，为最大。
解：（1）在中，分别令得B点的坐标为（2，0），C点的坐标为
为⊙A的直径，。
且。 （1`）
在中，由和，得点D的坐标为（）。
（2）如图（1``），当点P为该抛物线的对称轴和所在的
直线的交点处时，，其值最大，而。
由 解得此时点P的坐标为。
点P为时取最大值为。
【说明】这里将求“两线段之差的最大值”，借助“三角形两边之差
小于第三边”转化为求一条特殊线段的长，其间，还借助了抛物线 （1``）
对称轴的性质。
练习题
1、已知：四边形中，分别是上的点，且。设四边形的面积为，。
如图，当四边形为菱形，且时，四边形的面积能否等于若能，求出相应的值，若不能，请说明理由。
（1）
2、抛物线与轴的交点为A，B（点B在点A的右侧），与轴的交点为C，是否存在这样的值，使点B在轴的正半轴上，点C在轴的负半轴上，且为等腰三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由。
3、已知抛物线（为常数，且）。的顶点为A，与轴交于点C；抛物线与抛物线关于轴对称，其顶点为B，连结。
（1）请在横线上直接写出抛物线的解析式： ；
（2）当时，判定的形状，并说明理由；
（3）抛物线上是否存在点P，使得四边形为菱形？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由。
4、如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），直线与该二次函数的图象交于两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在轴上。
（1）求的值及这个二次函数的解析式；
（2）P为线段AB上的一个动点（点P与不重合），过P作轴的垂线与这个二次函数的图象交于E点，设线段PE的长为，点P的横坐标为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使和四边形是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由。
5、已知，中，，是边上的动点（与点A，B不重合）Q是BC边上的动点（与点B，C不重合）。
（1）如图，当且Q为BC的中点时，求线段的长。
（2）当与不平行时，可能为直角三角形吗？若有可能，请求出线段的长的取值范围，若不可能，请说明理由。
6、已知，如图，抛物线，它和轴交点中右侧的一点为和轴的交点为C。在该抛物线上是否存在点，使如果存在，请指明点P所在的位置，如果不存在，请说明理由。
7、已知抛物线
（1）在抛物线上求一点使得为等腰三角形，并写出点的坐标。
（2）除（1）中所求的点外，在抛物线上是否还存在其它的点使得为等腰三角形？若存在，请求出一共有几个满足条件的点（要求简要说明理由，但不证明）；若不存在这样的点，请说明理由。
8、如图，中，，是BC的中点，E是AB边上的一动点，则的最小值 。
9、已知矩形的边长，点是AD边上的一个动点（异于A，D），是BC边上任意一点，连结。过点作交AQ于E，作交DQ于F。
（1）求证：∽；
（2）设的长为试求的面积关于 的函数关系式，并求当点在何处时，取最大值，最大值是多少？
（3）当点在何处时，的周长最小？（指出确定点在何处的过程或方法，不必证明）。
10、已知，如图，抛物线与轴交于A，B两点，交轴于点在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。
11、抛物线交轴于A，B两点，交轴于点已知抛物线的对称轴为。
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点，使点到B，C两点的距离之差最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。
12. 如图所示，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的顶点坐标分别为A（-2，0），O（0，0），B（0，4），把△AOB绕点O按顺时针方向旋转90°，得到△COD。
（1）求C、D两点的坐标；
（2）求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；
（3）在（2）中抛物线的对称轴上取两点E、F（点E在点F的上方），且EF=1，使四边形ACEF的周长最小，求出E、F两点的坐标。
13、如图，已知平面直角坐标系，两点的坐标分别为。
（1）若是轴上一个动点，则当 时，的周长最短。
（2）若是轴上两个动点，则当 时，四边形ABDC的周长最短。
（3）设分别为轴和轴上的动点，请问：是否存在这样的点，使四边形ABMN的周长最短？若存在，请求出 ， ，若不存在，请说明理由。
日 一 二 三 四 五 六
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26
27 28 29 30
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CD
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C
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P
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B
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关节十五
由函数图象衍生出的问题
图象本是函数关系的一种表达方式，现以它为主背景，可以衍生出如下的两类问题：
Ⅰ、由图象反过来研究对应的实际问题，这类问题解决的基本过程是：“图象→对应的函数关系→实际问题”；
Ⅱ、图象和坐标系里的几何图形相结合，这类问题解决的基本方向是：将图象上点的特征和几何图形的相关计算恰当地结合起来。
一、由图象研究对应的实际问题
例1 如图（1），三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同。正常水位时，大孔水面宽度米，顶点M距水面6米（即米），小孔顶点N距水面米（即米）。当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图中的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度。
【观察与思考】读图，并和实际背景对照，可知：
①应先求出大孔对应的抛物线的解析式；
②求出F点的横坐标；
解：设大孔对应的抛物线解析式为，
因为点在该抛物线上，即
解得
令，解得，米。
答；当水位不涨刚好淹没小孔时，大孔的水面宽为10米。
例2 某企业有甲、乙两个长方体形的蓄水池，将甲池中的水以每小时6立方米的速度注入乙水池，甲，乙两个蓄水池中的水的深度（米）与注水时间（小时）之间的函数图象如图（2）的所示，结合图象回答下列问题：
（1）求注水多长时间甲，乙两个蓄水池水深度相同；
（2）求注水多长时间甲，乙两个蓄水量相同；
【观察与思考】由两段图象可求出对应的两函数关系式，
再借两函数关系式去解决（1），（2）两个问题。
解：设。把（0，2）和（3，0）代入，解得
。
设。把（0，1）和（3，4）代入，解得，
（1）根据题意，由力间 解得。
所以注水小时，甲，乙两蓄水池中水的深度相同。
（2）设甲蓄水池的底面积为，乙蓄水池的底面积为，注水小时甲，乙两个蓄水池的蓄水量相同。
先由两池水量的变化情况求出两池的底面积；
，即。，即。
再根据题意，得
，即。
解得。注水1小时甲，乙两个蓄水池的蓄水量相同。
例3 某工厂用一种自动控制加工机制作一批工件，该机器运行过程分为加油过程和加工过程：加工过程中，当油箱中油量为10升时，机器自动停止加工进入加油过程，将油箱加满后继续加工，如此往复，已知机器需运行185分钟才能将这批工件加工完。图（1） 是油箱中油量（升）与机器运行时间（分）之间的函数图象，根据图象回答下列问题：
（1）求在第一加工过程中，油箱中油量（升）与机器运行时间（分）之间的函数关系式（不必写出自变量的取值范围）；
（2）机器运行多少分钟时，第一个加工过程停止？
（3）加工完这批工件，机器油耗多少升？
【观察与思考】先读图象：①折线第一段表示：前10分钟为加油过程，
匀速地由10升加到100升，②折线第二段表示加工过程，其间油量
匀速减少，加工20分钟油量由100升减小到80升。
问题（1）是求折线第二段对应的函数解析式，可用待定系数法。
问题（2）相当于求（1）中的函数在函数值等于10时对应的的值；
问题（3）由题意和（2）知，机器运行100分钟后油箱中的油量为10升，应再用9分钟将油加满，然后再运行（分钟），这批工件加完毕，即185分钟之内，有19分钟是加油过程，有分钟是加工过程，而加工过程每分钟耗油1升。
解：（1）设图象第二段对应的函数关系式为，由
解得
即，
（2）令，解得。
即机器运行100分钟后，第一个加工过程停止。
（3）第一个加工过程停止后，由图象的折线第一段知每分钟加油10升，加到到100升需9分钟，机器运行185分钟内有19分钟加油，有分钟是加工过程，而加工每1分钟耗油1升，可知，加工完毕这批零件，耗油166升。
由以上几例可以看出，解这类图象和实际背景相结合的题目思考要点有三：
第一，图象和实际背景意义的结合与统一；
第二，图象和对应的解析式的结合与统一；
第三，要解决的实际问题是如何反映在图象和解析式上的。
二、函数图象和几何图形相结合的问题
例1 如图所示，直线与坐标轴分别交于点P和点Q，在直线PQ上有一个点A（不与 P，Q重合）。过点A作轴于点B，作轴于点C。设点A的横坐标为，矩形的面积为。
（1）求关于的函数关系式；
（2）点A在线段PQ的什么位置时，矩形的面积有最大值？并求出最大值。
【观察与思考】把“点A在线段PQ上”，用代数方法（即数量关系）
表示出来，进而建立关于的函数关系式。
解：（1）P，Q分别为直线与轴、轴的交点。
点P的坐标为（4，0），点Q的坐标为（0，8），
点A的坐标为），且，
（注：“这是点A在线段PQ上，且不与P，Q重合”的代数方法
的表示）
，
，。
（2），
时，S有最大值8。时，点A的坐标为（2，4），恰为PQ的中点。
当点A为线段PQ的中点时，矩形的面积最大，最大值为8。
【说明】在解答本题的过程中，相关结论的“代数表示法”和“几何表示法”的相互转换，起着极为重要的作用。
例2 如图，直线与轴的交于点，以为边向右作正方形，延长交直线于点，以为边继续作正方形，…重复以上过程，得到点列，，，
（1）求出点，的坐标；
（2）写出的坐标。
【观察与思考】关键是找到的坐标和坐标的关系，
的坐标与坐标的关系……从中获得规律，而这就要充分
利用，，在直线上和正方形四边相等这些条件。
解：（1）坐标为（0，1），而，，
∽，，。
的坐标为）。
从上可知：类似地有：，即，
在中，，
的坐标为。
（2）归纳可知：的坐标为。
例3 如图，抛物线与轴交于点A，轴上的点B的坐标为（0，2）。过点B的一条直线与抛物线交于点P和点Q，过P和Q分别作轴的垂线，垂足为。
（1）求证：，；
（2）判断的形状。
【观察与思考】对于（1），应特别注意点P，Q在抛物线上的表示
方法，并用恰当的方法求出PB，PS的长。
对于（2），应借助（1）的结果和图形的特殊。
解：（1）设点P的坐标为，则。
作于点H，则
。
。同理可得。
（2），，。
。
，
是直角三角形。
例4 如图，在直角坐标平面内，函数是常数）的图象经过），其中。过点A作轴垂线，垂足为C，过点B作轴垂线，垂足为D，连结。
（1）若的面积为4，求出点B的坐标；
（2）求证：；
（3）当时，求直线AB的函数解析式。
【观察与思考】由点在双曲线上，故可求得双曲线的解析式。
对于（1），B点的坐标为，用的面积去构造关于
的方程求解。
对于（2），设相交于点E，可通过去证来推得；
对于（3），实际上由去构造关于B点坐标的方程，求得了B点的坐标。AB的解析式就易得。
解：（1）函数是常数），图象经过，。据题意，可得B点的坐标为，
D点的坐标为，设交于点E，E点的坐标为，
， 。
的面积为4，即，解得，点B的坐标为。
（2）证明：据题意，点C的坐标为（1，0），，
，易得。
∽，。
（3）解：，当时，有两种情况：
①当时，四边形是平行四边形。
由（2）得，，，得。点B的坐标为（2，2）。
设直线AB的函数解析式为，把点A，B的坐标代入，得
解得 直线AB的函数解析式是。
②当AD与BC所在直线不平行时，四边形是等腰梯形，
则点B的坐标为（4，1）。
设直线AB的函数解析式为，把点A，B的坐标代入，得
解得
直线AB的函数解析式是。
综上所述，所求直线AB的函数解析式是或。
【说明】在本题的解法中，充分体现了恰当运用双曲线的性质，点B在该双曲线上的表示方法，以及相关几何图形的性质和有关数量。
例5如图（1），已知平面直角坐标系中，点），）为两动点，其中，连结，。
（1）求证：；
（2）当时，抛物线经过A，B两点且以轴为对称轴，求抛物线对应的二次函数的关系式；
（3）在（2）的条件下，设直线AB交轴于点F，过点F作直线交抛物线于P，Q两点，问是否存在直线，使？若存在，求出直线对应的函数关系式；若不存在，请说明理由。
【观察与思考】对于（1），应从出发，去构造分别以
为边的相似三角形； （1）
对于（2），由这一附加条件求出的值，易得所求
抛物线的解析式；
对于（3），由去构造P点坐标的方程。
解：（1）作轴于C点，于D点，如图（1`）
点坐标分别为，
，
又，∽，
（1`）
，
（2）由（1）得，，又，
。
即，
又，
，
A点坐标为（2，6），B点的坐标为，易得抛物线解析式为。
（3）直线AB为，且与轴交于F（0，4）点，
。
假设存在直线交抛物线于P，Q两点，且使，如图（1`）的所示，
则有，作轴于点M，轴于点N，
在抛物线上，设P坐标为，
则，
∽，，
，，
点坐标为，
Q点在抛物线上，，解得，
坐标为，Q坐标为，
易得直线为。
根据抛物线的对称性可得另解为。
【说明】Ⅰ、在本题（3）中，用表示P点在抛物线上，而当推得Q点的坐标为， 则由Q点在该抛物线上，得，就体现着函数图象“形数结合”的本质含义，准确地运用这一点，是这类题目获解的关键。
Ⅱ、由本题的解可以看出，方程的作用何其大、何其广。问题（1）（2），（3）的解，不都是借助于方程吗？
Ⅲ、在本题中，特别是（1）和（3），方程的构造都是通过直角三角形和三角形的相似，因此，这两项几何计算的法宝堪称几何向代数转化的中介与桥梁。
练习题
A
B
E
M
F
N
正常水位
C
3
4
2
1
甲
乙
（分）
（升）
10
30
80
100
B
A
C
Q
P
M
S
R
H
B
Q
A
P
A
D
B
C
E
A
B
F
A
B
F
P
D
M
N
C
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关节十六
应用性问题（含“方案”确定）解法研究
1、应用性问题思考与解答的过程，最主要的特点就是：①由现实情意（非数学），抽象概括出数学问题，②进而解决数学问题，使原问题获解。其中的“由非数学到数学”是最为关键的一步。
2、“由非数学到数学”，就是将实际问题归属到对应的数字模型，是化归思想的典型表现，绝大多数情况下，或化归到函数模型，或化归到方程（不等式）模型，或化归到基本图形（特别是直角三角形）模型，或者以上的综合，因此，可以这样说：解应用性问题的能力实质就是“化归到数学模型”的能力。
一、化归到方程（不等式）模型或函数模型
凡涉及到数量关系的实际问题，绝大多数都要化归为方程或函数来解决。
1、关键是要有深刻的“方程思想”和“函数思想”
例1 某高速公路收费站，有辆汽车等候收费通过，假设通过收费站的车流量（每分钟通过的汽车量数）保持不变，每个收费窗口的收费速度也是不变的。若开放一个收费窗口，则需要20分钟才能将原来来排队等候汽车及后来接上来的汽车全部收费通过；若同时开放两个收费窗口，则需8分钟也可将原来排队等候的汽车已及后来接上来的汽车全部收费通过，若要求三分钟内将排队等候收费的汽车全部通过，并使后来到站的汽车也随到随时收费通过，请问：至少同时开放几个收费窗口？
【观察与思考】第一，关键是要求出每分钟新来的汽车为多少辆，以及每个窗口每分钟可收费通过多少辆汽车，就是要求这些“未知数量的值”，当然考虑去构造方程。
第二，题目中开放一个收费窗口和开放两个收费窗口情况的斜述就是两个构造方程可依据的等量关系。
解：设每分钟新来的汽车辆，每个窗口每分钟收费通过辆汽车，则
解和
设需开放个窗口，使在3分钟内将排队等候收费的汽车全部通过，并使后来到站的汽车也随到随时
收费通过，则
， 解得。
因为窗口个数为正整数，所以需开窗口5个。
用方程解决实际问题，从思考与实施来看，分为这样的三个衔街的步骤：
步骤Ⅰ、从定向上确认这是一个化归到方程的模型问题，即知道是用方程；
步骤Ⅱ、根据已给出条件或隐含关系布列出相应的方程；
步骤Ⅲ、通过解方程解决原来的实际问题。
例2 小杰到学校食堂买饭，看到A，B两个窗口前排队的人一相样多（设为人，），就站到A窗口队伍的后面，过了2分钟，他发现A窗口每分钟有4人买了饭离开队伍，B窗口每分钟有6人买了饭离开队伍，且B窗口队伍后面每分钟增加5人。
（1）此时，若小杰继续在A窗口排队，则他到达窗口所需的时间
是多少（用含的代数式表示）？
（2）此时，若小杰迅速从A窗口队伍转移到B窗口队伍后面重新排队，
且到达B窗口的所花的时间比继续在A窗口排队到达A窗口所花的时
间少，求的取值范围（ 不考虑其它因素）。
【观察与思考】首先认识到：小杰无论是在A窗口还是在B窗口排队，
他到达窗口所需的时间都决定于已排队的人数，因此，本题实际上
是个“函数”问题；
其次， 这两个函数都好求出，即表示成的代数式；
最后，借助于两个函数（即两个代数式）的关系，求出自变量的取值范围。
解：（1）；
（2）若此时转到B窗口，则到窗口时共用时间：；
令，解得。的取值范围为。
当时，小杰到B窗口比在A窗口用的时间少。
【说明】本题中两个代数式的建立，是“函数思想”的一种体现。
例3 王师傅有两块板材边角料，其中一块是边长为60的正方形板子，另一块是上底为30，下底为120高为60的直角梯形板子（如图（1），王师傅想将这两块板子裁成两块全等的矩形板材，他将两块板子叠放在一起，使梯形的两个直角顶点分别与正方形的两个顶点重合，两块板子的重叠部分为五边形所围成的区域（如图（2），由于受材料纹理的限制，要求裁处的矩形要以点B为一个顶点。
（1）利用图（2）求出矩形顶点B所对的顶点到BC边的距离为多少时，矩形的面积最大？最大面积是多少？
（2）若想裁出的矩形为正方形，试求出面积最大的正方形的边长。
（2）
（1）
【观察与思考】在搞清背景图形各有关数量的情况下，对于问题（1），需对三类矩形的面积做比较（如图2`），而其中的矩形的面积显然是的函数，因此，本题的核心是建立出这个函数并求其最大值。
对于（2），从变动的矩形中确定出正方形，自然也要借助上述函数。
解：（1）在图（2）中，易知∽，且 ，
。
①当点B所对的顶点到BC的距离为60时（即该顶点在线段AE上，），这些矩形中面积最大的就是矩形，其面积等于（）
②当点B所对的顶点到BC的距离等于或小于40时，且该顶点在FC上，
显然，在这些矩形中，面积最大的就是矩形，
③当点B所对的顶点Q在线段EF上时，矩形为，。
∽，
，即。 （2`）
。
可知当时，的面积最大为。此时的点Q即为点F。
综上可知： 当时，也即矩形为时，面积最大为。
（2）面积最大的正方形应当在（1）中③的矩形中，这时应有
，解得（舍去），。
面积最大的正方形的边长为。
【说明】在本题，及时地认识到并正确地建立出矩形的面积关于的函数，是获解的关键。
例4 一园林设计师要使用长度为4的材料建造如图（1）所示的花圃。该花辅是由四个形状、大小完全一样的扇环面组成，每个扇环面如图（2）所示。它是以 点为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点的两条直线段围成，为使得绿化效果最佳，还须使得扇环面积最大。
（1）求使图（1）花圃面积为最大时的值及此时花圃面积，其中分别为大圆和小圆的半径。
（2）若，求使图（2）面积为最大时值。
【观察与思考】在图（2）中，扇环图形的周长是确定的，所以其圆心角和扇形的面积S都随值的确定而确定，因此，他们都是的函数！认清楚了这一点，剩下的问题都可依几何计算和函数的性质来解决了。
（1） （2）
解：（1）若使形如图（1）花圃面积为最大，则必定要求图（2）扇环面积最大。
设图（2）扇环的圆心角为，面积为S，根据题意得：
。 。
。
式中在时为最大，最大值为。
花圃面积最大时的值为，最大面积为。
（2）当时，S取值最大。
。
（度）。
【说明】在本题，能否认识到S是的函数，是解法能否启动的关键！我们年，用函数解决实际问题，从思考与实施来看，也可分为三大步骤：
步骤Ⅰ、从解法定向上认定这是一个函数问题，即要化归到函数模型。
步骤Ⅱ、列出函数关系系的表达式。
步骤Ⅲ、利用列出的函数的性质解决实际问题。
2、关于数量关系的方案问题
数量关系的方案问题，更多的是函数与不等式的结合运用。
“方案问题”其核心是在若干种可供选择的处理方法中，找出最优的方案来。“最优”反映在数学中，大多就是“最大”或“最小”。
解决方案问题，根据问题的类型之特点，基本上可分为四种方法：列举法：“函数——不等式的整数解”“不等式组的整数解”；“两个函数比较”法。
（1）列举法
所谓“列举法”，就是把可选择的方案悉数列出，然后根据要求从中确定出“最优者”，在可选择的方案数量有限、且容易全部确定的情况下，易采用这种方法。
例5 为了提高土地的利用率，将小麦、玉米、黄豆三种农作物套种在一起，俗称“三种三收”，这样种植的方法可将土地每亩的总产量提高40%。
右表是三种农作物的总产量、销售单位及种植成本的对应表：
现将面积为10亩的一块农田进行“三种三收”套种，为保证主要农作物的种植比例，要求小麦的种植面积占整个种植面积的一半。
（1）在保证小麦种植面积不变的情况下，玉米、黄豆的种植面积
小麦 玉米 黄豆
亩产量（千克） 400 680 250
销售单价（元/千克） 2 1 2.6
种植成本（元/亩） 200 130 50
均不得低于一亩，且两种农作物均以整亩数种植，三种农作物
套种的种植亩数，有哪几种种植方案？
（2）在（1）中的种植方案中，采用哪种套种方案，才能使总
销售价最高？最高价是多少？
（3）在（2）中的种植方案中，采用哪种套种方案，才能使总
利润最大？最大利润是多少？
（总利润总销售价－总成本）
【观察与思考】对于问题（1）、（2）、（3）均用列举法，把相应的方案列出来，然后根据要求，选定“最优者”。
解：（1）将种植方案可以列举出来，如下：
方案 一 二 三 四
小麦亩数 5 5 5 5
玉米亩数 1 2 3 4
黄豆亩数 4 3 2 1
（2）先列举出每种方案对应的销售总价：
方案 相应的总销售价
方案一
方案二
方案三
方案四
采用方案四，即小麦5亩，玉米4亩，黄豆1亩，可使总销售价最高，为7370元。
（3）列举出各方案对应的总利润：
方案 相应的总利润
方案一
方案二
方案三
方案四
采用方案一，即小麦5亩，玉米1亩，黄豆4亩，可使总利润最高，最高利润为5950元。
【说明】由本题可以看出：方案的列举，以遵循某个顺序为好，如（1）中“按玉米亩数递增”为序；相应地，（2）中“总销售价”也递增；（3）中的“总利润”递减，这就这最佳方案的选择提供了更大的方便。
（2）化归为“函数——不等式的整数解”
例6 某班到毕业时共结余经费1800元，班委会决定拿出不少于270元但不超过300元的资金为老师购买纪念品，其余资金用于在毕业晚会上给50位同学每人购买一件文化衫或一本相册作为纪念品。已知每件文化衫比每本相册贵9元，用200元恰好可以买到2件文化衫和5本相册。
（1）求每件文化衫和每本相册的价格分别为多少元？
（2）有几种购买文化衫和相册的方案？哪种方案用于购买老师纪念品的资金更充足？
【观察与思考】对于问题（1），可借构造方程组来解决；
对于问题（2），可先列出购买文化衫和相册所用的总钱数关于购买文化衫的数量的函数的关系式，再由对总钱数（函数值）的范围限制，得出相应不等式的整数解（购买文化衫的件数），从而把可行的方案找出来，再从中确定出要求的方案。
解：（1）设文化衫和相册的价格分别为元和元，别
解得
答：文化衫和相册的价格分别为35元和26元。
（2）购买文化衫件，则购买相册本，则共需用钱（元）为，根据题意有：
。解得。
为正整数，，即有三种方案。
第一种方案：购文化衫23件，相册27本，此时余下资金293元。
第二种方案：购文化衫24件，相册26本，此时余下资金284元。
第三种方案：购文化衫25件，相册25本，此时余下资金275元。
所以第一种方案用于购买教师纪念品资金更充足。
【说明】对于本题的问题（2），虽然没有明确要求写出购买文化衫和相册总钱数关于购买文化衫数量间的函数关系式，但它却是本问题解决的核心基础，由此可以看出，许多“不等式问题”实际是建立在“函数”的基础上的，问题（2）的解决方案可称为“函数——不等式的整数解”的确定方案的方法。
例7 某公司经营甲、乙两种商品，每件甲种商品进价12万元，售价14.5万元；每件乙种商品进价8万元，售价10万元，且它们的进价和售价始终不变，现准备购进甲、乙两种商品共20件，所用资金不低于190万元，不高于200万元。
（1）该公司有几种进货方案？
（2）该公司采用哪种进货方案可获得最大利润？最大利润是多少？
（3）若用（2）中所求得的利润再次进货，请直接写出获得最大利润的进货方案。
【观察与思考】对于问题（1），可用“函数——不等式的整数解”，来确定出方案。
对于问题（2），可用函数的增减速性来确定，也可以用列举法来确定。
对于问题（3），可用列举的方法。
解：（1）设购进甲种商品（件），所用资金为（万元），则
。
由，得。
因为是正整数，所以，得三种进货方案：
①方案一，购进甲种商品8件，乙种商品12件；
②方案二，购进甲种商品9件，乙种商品11件；
③方案三，购进甲种商品10件，乙种商品10件；
（2）方法一，设购进甲种商品（件），销售后总获利为（万元），则
。
因为，所以函数随的增大而增大，结合（1）的结果可知：
当时，有最在值为45。
方法二，当购进甲种商品8件，乙种商品12件，总利润为
；
当购进甲种商品9件，乙种商品11件时，总利润为
当购进甲种商品10件，乙种商品10件时，总利润为
；
可知购进甲种商品10件，乙种商品10件，可得最大利润45万元。
（3）用不超过45万元，可进货的方案和相应的利润为：
方案一：甲种商品3件，乙种商品1件，可获利 ；
方案二：甲种商品2件，乙种商品2件，可获利 ；
方案三：甲种商品1件，乙种商品4件，可获利
方案四：乙种商品5件，可获利
可知购进甲种商品1件，乙种商品4件可获最大利润10.5（万元）
【说明】对于（3），仍可用“函数——不等式的整数解”的方法，但在能用列举法且方案种类不多的情况，我们宁愿采用列举法，因为它们的特点是直观、明确。
（3）化归为不等式组的整数解
例8 某班级为准备元旦联欢会，欲购买价格分别为2元、4元、10元的三种奖品，每种奖品至少购买一件，共买16件，恰好用50元，若2元的奖品购买件。
（1）用含的代数式表示另外两种奖品的件数；
（2）请你设计购买方案，并说明理由。
【观察与思考】对于问题（1），由三种奖品共16件和共用50元这两个条件，可构造“另外两种奖品件数”的方程组（含），解出即可；
对于问题（2）由“每件奖品至少购买一件”构造关于的不等式组，由不等式组的整数解确定出方案。
解：（1）设4元钱的奖品买件，10元钱的奖品买件。
由题意，得
4元钱的奖品为件，10元钱的奖品为件。
（2）由题意，得 解得。
为正整数，。
当时，；
当时，，（不合题意，舍去）；
当时，，（不合题意，舍去）；
当时，，。
购买奖品方案一：2元的奖品买10件，4元的奖品买5件，10元的奖品买1件。
方案二：2元的奖品买13件，4元的奖品买1件，10元的奖品买2件。
【说明】在本题，通过对的三个角度的限定（转化为三个不等式）来确定出符合要求的方案来。
（4）化归为两个函数的比较
例9 甲、乙两家商场以同样的价格出售同样的电器，但是各自推出的优惠方案不同，甲商场规定：凡购买超过1000元电器的，超出的金额按90%实收；乙商场规定：凡购买超过500元电器的，超出的金额按95%实收，顾客怎样选择商场购买电器能获得最大的优惠？
【观察与思考】容易知道，甲、乙两个商场的“优惠额”都是购买商品所花“钱数”的函数，那么，建立出这两个函数，进行比较即可解决本问题。
解：甲商场：设购买元的电器，优惠金额为元，则有
当元时，；当时，。
乙商场：设购买元的电器，优惠金额为元，则有
当元时，；当时，。
当时，比较和的大小：
。
可知：当时，；当时，；当时，。
综上可知：
ⅰ、当购买金额为不超过500元和恰为1500元时，在两商场得到优惠金额是相等的。
ⅱ、当购买金额大于500而小于1500元时，在乙商场得到的优惠更大；
ⅲ、当购买金额大于1500元时，在甲商场得到的优惠更大。
【说明】当两类方式各自独立（如从甲商场或乙商场购买电器）时，分别建立各自对应的函数，通过函数的比较得出哪个阶段中何种方式为优。
例10 某果品公司急需将一批不易存放的水果从A市运到B市销售，现有甲、乙两家运输公司提供各自的服务及收费的数据如下：
公司 运输速度（） 运速收费标准（元/） 包装与卸装时间（） 包装与卸装费用（元）
甲公司 60 6 4 1500
乙公司 100 10 3 700
并且，这批水果在包装与卸装以及运输过程中的损耗为300元/，如果A，B两地距离，欲使果品公司支付的总费用（包装与卸装费、运输费、以及损耗费三项之和）最小，应如何选择运输公司？
【观察与思考】应先分别求出甲、乙两公司总费用关于的函数，进而进行比较即可。
解：分别求出甲、乙两公司的总费用，和之间的关系：
；
。
比较和的大小：，
当时，；当时，；当时，。
由此得到结论：
（1）当（）时，应选乙公司；
（2）当（）时，可选甲、乙任一公司；
（3）当（）时，应选甲公司。
【说明】如本题这样的方案问题，“函数”的约束条件较多，切应做到“全面考虑”。
纵观上述的各类“方案”问题，不难看出：
以数量关系为核心的“方案问题”，绝大多数在本质上是函数问题，或是一个函数的取值限定，或是同一个自变量的两个（或更多个）函数取值限定，或是同一个自变量的两个函数比较，从这一视角出发，我们就能用更为统一的思想和方法认识与解决更为普遍的“方案”问题。
二、化归到“几何计算”模型
有关图形的实际应用性问题，最重要也是最常用的是化归到“几何计算”模型。“几何计算”即我们一再强调的“解直角三角形”与“相似三角形”。
1、化归到“几何计算”的应用性问题
例1 某大型超市为方便顾客购物，准备在一至二层楼房之间安装电梯（如图（1），楼顶与地面平行，要使身高2米以下的人能笔直站立于坡形电梯上，在B处不碰到头部，请你帮该超市设计电梯与一楼地面的夹角应为多少度？
【观察与思考】将实景图抽象为几何图形，并进一步将相关
数量向“可解的直角三角形”转移与集中，如图（1`），通过
几何计算，使原问题获解。
（1）
解：据题意，图（1`）中有：
在中（，，F为AD边上一点，
交AC于点E，
。那么
， (1`)
得关于AF的方程，解得
在中，
答：电梯与一楼地面的夹角应为30°。
【说明】实际问题化归到基本图形，关键在于把有关数量恰当地集中。
例2 如图（1），某人在山坡坡脚处测得电视塔尖点的仰角为60°，沿山坡向上走到处再测得点的仰角为45°，已知米，山坡坡度为，且点，点在同一条直线上，求电视塔的高度以及此人所在位置点的铅直高度。（测倾器的高度忽略不计，结果保留根号形式）。
【观察与思考】将问题化归到“可解的直角三角形”与“相似三角形”，如图（1`）
解：作于，作于。 （1）
在中，，即
。
在中，。而在中，
由，得。
， （1`）
，解得。
电视塔的高为米，点的铅直高度为米。
【说明】在本题，构造出可解的和，再与结合，使“几何计算”得以实施。
例3 如图（1），是一个路障的纵截面和汽车越过路障时的底盘示意图，点分别是车轮的轴心，是线段的中点（轴心距的中点），两车轮的半径相等。经验告诉人们，只要中点不被点托住（俗称托底盘，对汽车很有危害），线段上的其它点就不会被点托住，汽车就可顺利通过，否则，就要通过其他方式通过。
（1）若某种汽车的车轮半径为50，轴心距为400。通过计算说明，当等于多少度时，汽车恰好能通过斜坡？（精确到，参考数据）。
（2）当＝120°时，通过计算说明要使汽车安全通过，车轮半径与轴心距的比应符合什么条件？
【观察与思考】首先搞清楚，汽车可顺利通过，数学表示
应是。对于问题（1），关键
要求出的度数，这要归入一个恰当的直角三角形。 （1）
对于问题（2），实际上转化为求的三角函数值。
解：（1）设两车轮与坡面的接触点分别为。如图（1`），连结，
由题意知，分别是⊙和⊙的切线，。
在中，，
，。同理可求得。
。
时，汽车恰好能过能斜坡。
（2）由（1）可知，当＝120°时，
， （1`）
即，
因为要使汽车安全通过，就须使，即须使。
即车轮半径与轴心距的比不小于。
【说明】由本题可以看出，解实际性问题重在完成两个转化：一是将原题的基本意义转化为明确的“数学表述”，如“汽车顺利通过”，“车轮半径与轴心距⊙的比”是通过什么样的数学概念和数量来反映的；二是这些概念和数量又应在一个什么样的基本图形中被反映并计算出来，这两个方面的转化能力就是用几何模型解实际应用性问题的能力。
2、关于测量方案
例4 如图（1），为了测量小河的宽度，先在河岸边任意取点，再在河的另一岸取两点，测得，量得的长为20米。
（1）求小河的宽；
（2）请再设计一种测量河宽的方案，画了设计草图，并作简要说明。
【观察与思考】1、对于问题（1），就是通过直角三角形构造
关于河宽的方程；
2、对于问题（2），可以沿着“构造可解的直角三角形”或 （1）
“借助于相似三角形”两条渠道去落实。
解：（1）设河宽为，则由图（1`）可知
，（下略）
（2）①借助于解直角三角形的设计可有：
方案Ⅰ： 方案Ⅱ： 方案Ⅲ：
②借助于相似三角形的设计方案可有：
方案Ⅳ： 方案Ⅴ： 方案Ⅵ：
（全等三角形是相似三角形的特殊情况）
类似的方案还可以有许多。
【说明】测量方案就是能实现几何计算的方案，因此，必以可解的直角三角形和相似三角形为基础。
练习题
1、2001年以来，我国曾五次实施药品降价，累计降价的总金额为269亿元，五次药品降价的年份与相应降价金额如下表所示，表中缺失了2003年、2007年相关数据，已知2007年药品降价金额是2003年药品降价金额的6倍，结合表中信息，求2003年和2007年的药品降价金额。
年份 2001 2003 2004 2005 2007
降价金额（亿元） 54 35 40
2、某蔬菜基地加工厂有工人100人，现对100人进行工作分工，或采摘蔬菜，或对当日采摘的蔬菜进行精加工，
每人每天只能做一项工作。若采摘蔬菜，每人每天平均采摘48；若对采摘后蔬菜进行精加工，每人每天可加工32（每天精加工的蔬菜和没来得及精加工的蔬菜全部售出）。已知每千克蔬菜直接售出可获利润1元，精加工后再出售，每千克可获利润3元，设每天安排名工人进行蔬菜精加工。
（1）求每天蔬菜精加工后再售出所得的利润（元）与（人）的函数关系式；
（2）如果每天精加工的蔬菜和没来得及精加工的蔬菜全部售出的利润为元，求与的函数关系式，并说明如何安排精加工人数才能使一天所获得利润最大？最大利润是多少？
3、工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元，按标价八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等。
（1）该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？
（2）若每件工艺品按（1）中求得的进价进货，标价售出，工艺商场每天可售出该工艺品100件，若每件工艺品降价1元，则每天可多售出工艺品4件，问每件工艺品降价多少元出售，每天获得利润最大？获得的最大利润是多少元？
4、小刚为书房买灯，现有两种灯可供选购，其中一种是9瓦（即千瓦）的节能灯，售价49元/盏。另一种40瓦（即千瓦）的白炽灯，售价为18元/盏。假设两种灯的照明亮度一样，使用寿命都可以达到2800小时，已知小刚家所在的地的电价是每千瓦元。
（1）设照明时间小时时，请用含的代数式表示用一盏节能灯的费用和一盏白炽灯的费用（注：费用＝灯的售价+电费）
（2）小刚想在这两种灯中选购一盏
①当照明时间是多少小时时，使用两盏灯的费用一样多；
②照明时间在什么范围内，选用白炽灯费用低？照明时间在什么范围内，选用节能灯费用低？
5、某校准备组织290名学生进行野外考察活动，行李共有100件，学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共8辆，经了解，甲种汽车每辆最大能载40人和10件行李，乙种汽车每辆最多能载30人和20件行李。
（1）设租用甲种汽车辆，请你帮助学校设计所有可能的租车方案；
（2）如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别为2000元、1800元，请你选择最省钱的一种租车方案。
6、青青商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价15元，售价20元；乙种商品每件进价35元，售价45元。
（1）若该商场同时购进甲、乙两种商品共100件恰好用去2700元，求能购进甲、乙两种商品各多少件？
（2）该商场为使甲、乙两种商品共100件的总利润（利润＝售价—进价）不少于750元，且不超过760元，请你帮助该商场设计相应的进货方案。
（3）在“五．一”黄金周期间，该商场对甲、乙两种商品进行如下优惠促销活动：
打折前一次性购物总金额 优惠措施
不超过300元 不优惠
超过300元且不超过400元 售价打九折
超过400元 售价打八折
按上述优惠条件，若小王第一天只购买甲种商品一次性付款200元，第二天只购买乙商品打折后一次性付款324元，那么这两天他在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？（通过计算求出所有符合要求的结果）
7、某市城市规划期间，欲拆除河岸边的一根电线杆AB（如图），已知距电线杆AB水平距离14米处是河岸，即米，该河岸的坡面CD的坡面的正切值为2，岸高CF为2米，在坡顶C处测得顶A的仰角为30°，之间是宽2的人行道，请你通过计算说明在拆除电线杆AB时，为确保安全，是否将此人行道封上？（地面上以点B为圆心，以AB长为半径的圆形区域为危险区域）。
8、如图，某居民小区内A，B两楼之间的距离米，两楼的高都是20米，A楼在B楼正南，B楼窗户朝南，B楼内一楼住户的窗台离小区地面的距离米，窗户高米。当正午时刻太阳光线与地面成30°角时，A楼的影子是否影响B楼的一楼住户采光？若影响，挡住该住户窗户多高？若不影响，请说明理由。
9、如图，小山上有一棵树，现有测角仪和皮尺两种测量工具，请你设计一种测量方案，在山脚水平地面上测出小树顶端A到水平地面的距离AB。
要求：
（1）画出测量示意图；
（2）写出测量步骤（测量数据用字母表示）；
（3）根据（2）中的数据计算AB。
A
B
…
…
…
A
E
D
F
G
C
B
A
E
D
F
G
C
B
Q
P
M
R
N
一楼
二楼
C
A
D
小心碰头
B
A
D
C
B
F
E
C
A
B
P
水平地面
山坡
C
A
B
F
P
E
A
P
M
B
A
P
M
B
C
D
C
B
河宽AH EMBED Equation.3
A
B
D
60°
HH
60°
A
B
D
45°
A
C
D
30°
河宽ADBD
河宽
A
H
D
O
A
H
D
O
A
H
C
G
B
河宽
其中：
河宽：
A
B
C
D
F
E
A楼
B楼
B
M
N
C
D
A
B
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关节六
统计问题的“三项注意”和概率求法的“一个核心”
一、以“三项注意”指导统计问题的解决
从统计类中考试题（特别是解答类的题）来看，其考查目标主要集中在如下的方面：
方面一、统计图、表的绘制、阅读和使用；
方面二、数据的代表值（众数、中位数、平均数），和离散程度（极差、方差等）的确定；
方面三、根据数据的代表值和离散程度作出决策对总体作出合理推断。
要解决好以上三个方面的问题，就应当落实好如下的“三项注意”；
Ⅰ、注意每个统计图、表的完备性和同一组数据的两个统计图、表之间的一致性；
Ⅱ、注意数据代表值和离散程度确定时的准确性；
Ⅲ、注意决策与推断要求的取向性。
1、注意统计图、表的完备性与一致性的运用
不论统计图还是统计表，都是对全体数据的一种分类表示，因此，各类之间和应等于全体，且各类之间互不交融—这就是它的完备性；而同一组数据的两种统计图、表是对同一全体、同一分类情况的不同表示形式，二者必是一致的，许多统计问题正是以这样的两条性质作为解答的基础的。
例1 小刘对本班同学业余兴趣爱好进行了一次调查，她根据采集到的数据，绘制了下面的图（1）和图（2）
（1）
（2）
请你根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）在图（1）中，将“书画”部分的图形补充完整；
（2）在图（2）中，求出“球类”部分所对应的圆心角的度数，并分别写出爱好“音乐”、“书画”、“其它”的人数占本班学生数的百分数；
（3）观察图（1）和图（2），你能得出哪些结论，（只要写一条结论）
【观察与思考】根据“完备性”，应先求得“全体”，而这个“全体”就隐含在“球类”部分在两种图、表中的
“一致性”之中，而得到“全体”之后，本题的几个问题即可迎刃而解。
解：（1）（人）
本班同学共40人。
爱好书画的同学为
（人）
将图（1）补充完整后如图（1`）。
（2）图（2）中，“球类”部分所对的圆心角为
；
爱好“书画”的同学占，爱好“音乐”的同学占；
爱好“其它”的同学占。
（3）可有结论（一条即可）；
“爱好球类运动的同学比爱好音乐的同学多2人”；
“爱好球类、书画、音乐的同学，合起来占全班人数的90%。
例2 某市第15中学的九年级学生在社会实践中，调查了500位市民某天早上出行上班所用的交通工具，结果用图的扇形统计图表示。
（1）请你将这个统计图改成用折线统计图表示的形式；
（2）请你根据此项调查，对城市交通给政府提出一条建议。
500位市民出行基本交通工具
【观察与思考】根据扇形统计图的完备性和它与折线统计图的一致性可知；
步行人数：（人）；骑自行车人数：（人）；骑电动车人数（人）
坐公交车人数（人）；
乘私家车人数（人）
解：（1）如图（1）
（2）应使公交车更方便，更快捷（答案不唯一）
【说明】由以上两例可以看出，恰当而灵活地运用“完备性”和“一致性”，可以使统计图、表的许多问题的解答更为规范，更为快捷。
2、注意数据的代表值和离散程度的准确求出和运用
平均数、中位数、众数、方差、极差、标准差的确定和计算并不困难，关键是确切的理解和准确的运用。
例3 某单位欲从内部选拔管理人员一名，对甲，乙，丙三名候选人进行了笔试和面试两项测试，三人的测试成绩如下表所示：
测试项目 测试成绩/分
甲 乙 丙
笔试 75 80 90
面试 93 70 68
（1）
根据录用程序，组织200名职工对三人利用投票推荐的方式进行民主评议，三人得票率（没有弃权票，每位职工只能推荐1人）如图（1）所示，每得一票记作一分。
（1）请你算出三人民主评议得分；
（2）如果根据三项测试的平均成绩确定录用人选，那么谁被录用（精确到）？
（3）根据实际需要，单位将笔试，面试，民主评议三项测试得分按4：3：3的比例确定个人成绩，那么谁将被录用？
【观察与思考】对于（1），根据投票总分和扇形统计图的意义可得每人的实得分：对于（2）即是计算每人三项测试的“平均数”；对于 （3），是计算每人三项测试的“加权”平均数。
解：（1）甲，乙，丙的民主评议得分分别为：（分），（人），（人）
（2）甲的平均成绩为：（分）
乙的平均成绩为：（分）
丙的平均成绩为：（分）
候选人乙将被录用。
（3）若将笔试，面试，民主评议三项测试得分按4：3：3的比例确定个人成绩，那么
甲的个人成绩为：（分）
乙的个人成绩为：（分）
丙的个人成绩为：（分）
由于丙的个人成绩最高，所以候选人丙将被录用。
【说明】由本题可明确地看出，统计问题中，“计算”占在重要的地位，而计算的落实必须依赖对相关概念意义的正确把握和运用。
3、注意把准取向，以合理地做出决策和推断
统计的最终目的还是为了作出决策和推断，决策和推断的依据首先是各相关的统计量，再则是决策所围绕的取向，把握好这两点，决策和推断才能做得更好。
例4 某中学举行演讲比赛，根据初赛成绩在七，八年级分别选出10名同学参加决赛，这些选手的决赛成绩如图所示：
团体成绩 众数 平均数 方差
七年级 85.7 39.6
八年级 85.7 27.81
根据折线图和右图提供的的信息,解答下列问题:
(1)请你把右边的表格填写完整;
(2)考虑平均数与方差,你认为 年级的团体成绩更好些;
(3)假设在每个年级的决赛选手中分别选出3人参加总决赛,你认为哪个年级的实力更强一些,请说明理由
【观察与思考】对于(1),可由折线图直接确定出两个年级的众数;对于 (2)平均数相等时,方差小者反映”集中度好”,成绩相对更好些;对于(3),只需考察前三名,可从前三名的平均分(也可用它们的总分)来看.
解:(1)七年级众数是80,八年级众数是85;
(2)填 八 ;
(3)解法一:七年级前三名总分:分；八年级前三名总分：分。
七年级实力更强些。
解法二：由图可以看出七年级的第一、第二、第三名的分数分别比八年级的一、二、三名分数高，所以七年级更强些。
【说明】判断与决策必须依据主题（即“取向”，如本题（2），主题是“哪个年级的团体成绩更好些”，而（3）则是“哪个年级的前三名实力更强些”。紧紧抓住最能体现相应主题的统计量，就能得到最恰当的判断与决策。
4、以“三项注意”解决更多形式的统计问题
例5 甲，乙两支篮球队在集训期内进行了五场比赛，将比赛成绩进行统计后，绘制成如图（1）和图（2）的统计图。
（1）在图（2）中，画出折线表示乙队在集训期内这五场比赛成绩的变化情况；
（2）已知甲队五场比赛成绩的平均分分，请你计算乙队五场比赛成绩的平均分；
（3）就这五场比赛，分别计算两队成绩的极差；
（4）如果从甲、乙两队中选派一支球队参加篮球锦标赛，根据上述统计情况，试从平均分、折线的走势、获胜场数和极差四个方面分别进行简要分析，你认为选派哪支球队参赛更能取得好成绩？
【观察与思考】（1）是“一致性”要求；（2）、（3）是准确性的要求；（4）是体现“取向”
甲、乙两球队比赛成绩条形统计图 甲、乙两球队比赛成绩折线统计图
解：（1）如图（2`）；
（2）（分）；
（3）甲队成绩极差是18分，乙队成绩的极差是30分；
（4）从平均分看，两队的平均分相同，实力大体相当；
从折线走势看，甲队比赛成绩呈上升趋势，而乙队比赛成绩呈下降趋势；
甲队胜三场，乙队胜两场，甲队成绩较好；从极差看，
甲队比赛成绩比乙队比赛成绩波动小，甲队较稳定。
综上，选派甲队参赛更能取得好成绩。
（2`）
例6 某科技产品开发公司现有员工50名，所有员工的月工资情况如下表：
员工 管理人员 普通工作人员
人员结构 总经理 部门经理 科研人员 销售人员 高级技工 中级技工 勤杂工
员工数/名 1 3 2 3 24 1
每人月工资/元 21000 8400 2025 2200 1800 1600 950
请你根据上述内容，解答下列问题：
（1）该公司“高级技工”有 名；
（2）所有员工月工资的平均数为2500元，中位数为 元，众数为 。
（3）小张到这家公司应聘普通工作人员，请你回答右图中小张的问题，并指出用（2）中的那个数据向小张介绍员工的月工资实际水平更合理些？
（4）去掉四个管理人员的工资后，请你计算出其他员工的月平均工资（结果保留整数），并判断能否反映该公司员工的月工资实际水平？
【观察与思考】对于（1），由“完备性”可得；（2）极容易求得；
（3）是数据代表值的准确性另一种表达式；（4）是数据代表值的准确
和判断取向结合的应用。（3）和（4）都是体现“取向性”的。
解：（1）16；
（2）1700；1600；
（3）这个经理的介绍不能反映该公司员工的月工资
实际水平，用1700元和1600元来介绍更合理些。
（4）（元）
能反映该公司员工月工资实际水平。
可以看出，“三项注意”的深入把握及灵活运用，是解决好众多统计问题的保证。
二、概率求法的“一个核心”
中考试卷中求概率的题目，绝大部分都归于用公式是所有可能出现的结果数，是随机事件A可能出现的结果数）来求得概率。因而，如何准确地得到和便成为求出概率的关键，其中以求得更为重要。
用准、用活列举法，是正确求得“所有可能出现的结果数”的根本保证，也是准而快地求出概率的保证。
熟练地掌握和运用好列举法的几种基本模型，恰恰又是用准、用活列举法的保证。
因此，掌握好以下模型便成为概率求法的重心。
1、模型Ⅰ：事件所有的等可能都由一个集合的元素构成，而事件A的每种可能恰是该集合的一个元素 ——可称为“单集单取型”。
例1 在一次促销活动中，某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（如图，转盘被平均分成 16份），并规定：顾客每购买100元的商品，就能取得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准红色，黄色，绿色区域，那么顾客就可以分别获得50元，30元，20元的购物券，凭购物券可以在该商场继续购物。如果顾客不愿意转转盘，那么可以直接获得购物券10元。
（1）求每转动一次转盘所获购物券金额的平均数；
（2）如果你在该商场消费125元，你会选择转转盘
还是直接获得购物券？（说明理由）
例2 在“妙手推推推”游戏中，主持人出示了一个9位数 ，让参与者猜商品价格，被猜的价格是一个4位数，也就是这个9位数中从
左到右连在一起的某4个数字。如果参与者不知道商品的价格，从这些连在一起的所有4位数中，任意猜一个，求他猜中该商品价格的概率。
【观察与思考】例1中的转盘的16等份，就是所有可能的集合；例2中的所有可能的“4位数”集合共有6个元素（以从左至右的前六个数的每一个为千位，可构成要求的4位数）。把这一核心搞清楚了，解法就容易得到了。
解：例1（1）（元）
（2）元＞10元，选择转转盘。
例2 。
2、模型Ⅱ：事件所的等可能都由集合A，B中各取一个元素而合成，而A中元素有个，B中元素有个，则原事件的可能共有个——可称为“乘积型”。
例3 有两个信封，每个信封内各装有四张卡片，其中一个信封内的四张卡片上分别写有1，2，3，4四个数，另一个信封内的四张卡片分别写有5，6，7，8四个数，甲，乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随机抽取一张卡片，然后把卡片上的两个数相乘，如果得到的积大于20，则甲获胜，否则乙获胜。
（1）请你通过列表（或画树状图）计算甲获胜的概率。
（2）你认为这个游戏公平吗？为什么？
例4 某校有A，B两个餐厅，甲，乙，丙三名学生各自随机选择其中的一个餐厅用餐。
（1）求甲，乙，丙三名学生在同一个餐厅用餐的概率；
（2）求甲，乙，丙三名学生中至少一人在B餐厅用餐的概率。
【观察与思考】 例3中两个信封相当于集合A，B，分别有元素4个，4个。因此作成乘积共有种可能；例4中，甲，乙，丙每人都可去A餐厅或B餐厅，相当于3个集合，每个集合有2个元素，因此，三人用餐情况的可能应有种，先搞清如上情况，就抓住了问题的核心，相应的解法就容易得到了。
解：例3利用列表法得出所有可能的结果，如下表：
1 2 3 4
5 5 10 15 20
6 6 12 18 24
7 7 14 21 28
8 8 16 24 32
或树状图：
积大于20的有5种：21，24，24，28，32。
（2），游戏对双方不公平。
例4 所有可能出现的结果如下：
甲 乙 丙 结果
A A A （A，A，A）
A A B （A，A，B）
A B A （A，B，A）
A B B （A，B，B）
B A A （B，A，A）
B A B （B，A，B）
B B A （B，B，A）
B B B （B，B，B）
用树状图：
甲 乙 丙
（1）甲，乙，丙三名学生在同一个餐厅用餐的概率是。
（2）甲，乙，丙三名学生中至少有一人在B餐厅用餐的概率是。
3、模型Ⅲ、事件所有的等可能由同一个集合的两个元素构成——可称为“单集双取型”
例5 从一个装有2个红球，2个白球的盒子里（红球，白球除颜色不同之外，其他均相同），现摸出一个球再放回盒子里，再摸出一个球，求两次都是摸到白球的概率。
例6 甲，乙两超市同时开业，为了吸引顾客，都举行有奖酬宾活动：凡购物满100元，均可得到一次摸奖的机会，在一个纸盒里装有2个红球和2个白球，除颜色之外，其它全部相同，摸奖者一次从中摸出两个球，根据球的颜色决定送礼金券的多少（如下表）。
甲超市：
球 两红 一红一白 两白
礼金券（元） 5 10 5
乙超市：
球 两红 一红一白 两白
礼金券（元） 10 5 10
如果只考虑中奖因素，你将会选择去哪个超市购物？请说明理由。
【观察与思考】 例5中，在第一次取球后放回去再第二次取球，这就相当于“乘积型”，只不过此时A和B是一个集合，故本题全体可能性为。
在例6中，相当于第一次取完球之后不再放进去，第二次取球的集合中就少了一个元素，因此，全体可能性为
抓住了这个核心及特征，解法易得。
解；例5 方法一，用列表法（用表示两个红球，用表示两个白球）。
（
共有16种可能，其中再次摸到的都是白球，共有4种可能（如图中方框）
。
当然也就有：。
方法二，画树状图：
第一次
第二次
结果
可知有。
例6 借助列表法：
；。
也可以用树状图：
仍有，。
；。
因此，购物去甲市场，因其得10元奖金的概率大。
当然，本题也可以直接考虑从4个球中每次取2个的所有可能为：
（ ）， （ ），（ ），（ ），（ ），（ ）
每一对中不分次序，结果和上边的答案是一样的，但用解中的列表或树状图，更能清楚地说明问题，且不易出错。
4、善于将“变形”归入到基本模型
例7 张彬和王华两位同学为得到一张观看足球比赛的入场券，各自设计了一种方案：
张彬：如图，设计了一个可以自由转动的转盘，随意转动转盘，当指针指向阴影区域时，张彬得到入场券；否则，王华得到入场券；
王华：将三个完全相同的小球分别标上数字1，2，3后，放入一个不透明的袋子中，
从中随机取出一个小球，然后放回袋子，混合均匀后，再随机取出一个小球，若两
次取出的小球上的数字之和为偶数，王华得到入场券；否则，张彬得到入场券。
请你运用所学的概率知识，分析张彬和王华的设计方案对双方是否公平。
【观察与思考】张彬设计的方案中，可把转盘的每1°对应的扇形当作 一个元素，王华设计的方案就是“单集有放回的双取”，即同一个集合的自身乘积型。
解：张彬的设计方案：
因为，
，因为，
所以，张彬设计的方案不公平。
王华设计的方案：可能出现的所有结果列表如下：
1 2 3
1 2 3 4
2 3 4 5
3 4 5 6
，
，
因为，所以，王华的设计也不公平。
例8 有6张完全相同的游戏牌，分别写着这6个数，将它们任意放在桌面上（有数字的一面向下），从中任意翻两张牌，翻得数分别记做，若把分别作为A点的横坐标，纵坐标，求点A（）双曲线上的概率。
【观察与思考】属于单集无放回的双取，共有（个）可能。
解：
1 -2 3 4 5 -6
1 -2 3 4 5 -6
-2 -2 -6 -8 -10 12
3 3 -6 12 15 -18
4 4 -8 12 20 -24
5 5 -10 15 20 -30
-6 -6 12 -18 -24 -30
共有乘积30个，其中积等于-6就情况就有4个。
在双曲线上的概率为。
【说明】绝大多数中考试卷中的概率计算题目，都可以借助我们总结的三个“模型”来求解。
练习题
1、某学校为了解该校七年级学生的身高情况，抽样调查了部分同学，将所得数据处理后，制成扇形统计图和频数分布直方图（部分）如下：
（每组只含最低值不含最高值，身高单位：，测量时精确到1）
（1）请根据所提供的信息补全频数分布直方图；
（2）样本的中位数在统计图的哪个范围内？
（3）如果上述样本的平均数为157，方差为；该校八年级学生身高的平均数为159，方差为，
那么 （填“3七年级”或“八年级”）学生的身高比较整齐。
2、水稻种植是某地的传统农业，为了比较甲，乙两种水稻的长势，农技人员从两块试验田中，分别随机抽取5棵植株，将测得的苗高数据绘制成下图：
请你根据统计图提供的数据，计算平均数和方差，并比较两种水稻的长势。
3、某养鸡场分3次用鸡蛋孵化出小鸡，每次孵化所用的鸡蛋数、每次的孵化率（孵化率=）分别如图（1），图（2）所示。
孵化率统计图
孵化所用的鸡蛋数统计图
（1） （2）
（1）求该养鸡场这3次孵化出的小鸡总数和平均孵化率；
（2）如果要孵化出2000只小鸡，根据上面的计算结果，估计该养鸡场要用多少个鸡蛋？
4、如图甲，乙两人在一起射击比赛中击中靶的情况（击中靶中心圆面为10环，靶中各数字表示该数所在圆环被击中所得的环数），每人射击了6次。
（1）请用列表法将他俩的射击成绩统计出来；
（2）请你用学过的统计知识，对他俩的这次射击情况进行比较。
甲射击的靶 乙射击的靶
5、把一副普通扑克牌中的4张：黑桃2，红心3，梅花4，黑桃5，洗均后正面朝下放在桌面上。
（1）从中随机抽取一张牌是黑桃的概率是多少？
（2）从中随机抽取一张，再从剩下的牌中随机抽取另一张。请用表格或树状图表示抽取的两张牌牌面数字所有可能出现的结果。并求抽取的两张牌牌面数字之和大于7的概率。
6、在一个不透明的盒子中放有四张分别写有数字1，2，3，4的红色卡片和三张分别写有数字1，2，3的蓝色卡片，卡片除颜色和数字外完全相同。
（1）从中任意抽取一张卡片，求该卡片上写有数字1的概率。
（2）将3张蓝色卡片取出后放入另外一个不透明的盒 子内，然后在两个盒子内各任意抽取一张卡片，以红色卡片上的数字作为十位数，蓝色卡片上的数字作为个位数组成一个两位数，求这个两位数大于22的概率。
7、如图，有两个可以自由转动的均匀转盘，转盘A被分成面积相等的三个扇形，转盘B被分成面积相等的四个扇形，每个扇形内都涂有颜色。同时转动两个转盘，停止转动后，若一个转盘的指针指向红色，另一个转盘的指针指向蓝色，则配成紫色；若其中一个指针指向分界线时，需要重新转动两个转盘。
转盘A 转盘B
（1）用列表或画树状图的方法，求同时转动一次转盘A，B配成紫色的概率。
（2）小强和小丽要用这两个转盘做游戏，他们想出如下两种游戏规则：
①转动两个转盘，停止后配成紫色，小强获胜；否则小丽获胜。
②转动两个转盘，停止后指针都指向红色，小强获胜；指针都指向蓝色，小丽获胜。
判断以上两种规则的公平性，并说明理由。
8、某电脑公司现有A，B，C三种型号的甲品牌电脑和D，E两种型号的乙品牌电脑。希望中学要从甲，乙两种品牌电脑中各选购一种型号的电脑。
（1）写出所有选购方案（利用树状图或列表方法表示）。
（2）如果（1）中各种选购方案被选中的可能性相同，那么A型号
电脑被选中的概率是多少？
（3）现知希望中学购买甲，乙两种品牌电脑共36台（价格如表所示），
恰好用了10万元人民币，其中甲品牌电脑为A型号电脑，求购买的A
型号电脑有几台。
兴趣爱好内容
人数
2
6
8
4
10
球类
书画
音乐
其它
12
14
书画
球类35%
其它
音乐
兴趣爱好内容
人数
2
6
8
4
10
球类
书画
音乐
其它
12
14
公交车56%
自行车20%
电动车12%
步行6%
私家车6%
步行
电动车
自行车
公交车
私家车
0
50
100
150
200
250
300
人数
交通工具
步行
自行车
电动车
公交车
私家车
丙：35%
甲：25%
乙：40%
0
75
80
85
90
95
100
选手编号
1
2
3
43
53
63
73
83
93
10
七年级
八年级
一
二
三二
五二
四二
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
场次/场
得分/分
甲
场次/场
得分/分
一
二
三
四
五
80
110
86
90
95
83
91
87
98
80
甲队
乙队
一
二
三二
五二
四二
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
场次/场
得分/分
甲
乙
欢迎你来我公司应聘！我公司员工的月工资为2500元，薪水是较高的。
部分经理说：
小张：
这个经理的介绍能反映该公司员工的月工资实际水平吗？
黄
黄
红
绿
绿
绿
绿
2
5
8
3
9
6
4
1
7
A
A
A
B
B
A
B
B
A
A
B
B
A
B
第
一
次
第
一
次
0
10
20
30
40
140
145
150
155
160
6
12
18
32
165
170
175
10
4
植株
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
4
5
甲
乙
0
10
20
30
40
50
60
70
批次
鸡蛋数/个
第一次
第二次
第三次
40
50
60
40%
50%0
60%
70%
80%
90%
批次
鸡蛋数/个
第一次
第二次
第三次
80%
78%
82.5%%
6
8
7
9
6
8
7
9
红
黄
绿
红
蓝
红
蓝
电脑单位
（单位：元）
A型：6000
B型：4000
C型：2500
D型：5000
E型：2000
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第三篇 知识与思考策略结合运用的专题解析
※掌握每类问题中知识和思考策略应用的规律，将有效地提高数学的解题能力。
关节九
探究一：用代数式表示变化规律
用代数式把一列变化着的式或图形的规律表示出来，是探究性题目中很重要的一类，现在我们来研究解决这类题目所用到的主要数学思想和思考方法：
它们是：
Ⅰ、以归纳概括为指导的思考方法；
Ⅱ、以函数思想为指导的方法；
Ⅲ、以直接计算为指导的方法。
一、借助以归纳为指导的思想方法，得到表示变化规律的代数式
这种思想方法的核心是通过分析与研究提供的“变化片断”—— 一些连续的特殊情况，归纳概括出整个变化过程所体现的规律，并用代数式将其表示出来，在实际运用中，又根据题目的实际情况，可分为三种形式：“一般归纳型”；
“分类归纳型”；“递推归纳型 ”。
1、一般归纳型
思考特点是：第一，系统考察所提供的一系列特殊，从每个特殊与其位次的对应关系上找共同的规律，第二，特别注意研究相邻两项之间的相关性。
例1 如图，下列几何体是由棱长为1的小立方体按一定规律在地面上摆成的，若将露出的表面都涂上颜色（底面不涂色），则第个几何体中只有两个面涂色的小立方体共有 。
①
② ③
【观察与思考】我们把上面各图中满足“只有两个面涂色的立方体”用涂色法表示出来：
……
① ②
③
……第个:
解:应选.
例2 如图,是用火柴棒摆出的一系列三角形图案,按这种方式摆下去,当每边上摆10根火柴棒时,
共需要摆 根火柴棒.
……
【观察与思考】本题可以归结为在相应图形中求有多少个涂色的小三角形(所用火柴棒数就等于这样的三角形数再乘以3).为了找到规律,可以将每边4根火柴棒的情况也画出:
…
(1) (2 (3) (4) (10)
涂色三角形 1 …归纳概括:
的个数:
解:应填165 .
【说明】例1和例2，都是统一系列变化的“图形”，首先是要分离出符合要求的部分，使问题简化与明晰化，然后依次观察、对比，找出共同的规律来。
例3 世界上著名的莱布尼茨三角形如图所示：则排在第10行从左边数第3个位置上的数是（ ）
A、 B、 C、 D、
【观察与思考】仔细分析与研究后可以发现：（1）每一行左数从第一个数为该行的倒数；
（2）每行中间及偏左的数，都等于它左上角的数减去它左边的数，如第3行中，，如第7行中，
依（1）和（2）可知：第9行左数第2个数为；第10行左数第2 个数为，第10行左数第3个数应为
解：应选B。
【说明】在本题，研究“系统”和“研究”相互间的关系“体现得极为突出。
例4 探索的正方形钉子板上（是钉子板每边上的钉子数），连接任意两个钉子所得到的不同长度值的线段种数：
当时，钉子板上所连不同线段的长度值只有1与，所以不同长度值的线段只有2种，若用表示不同长度值的线段种数。则
当时，钉子板上所连不同线段的长度值只有五种，比时增加了3种，即。
（1）观察图形，填写下表：
钉子数 值
2
2+3
2+3+（ ）
（ ）
（2）写出和的两个钉子板上，不同长度值的线段种数之间的关系；（用式子或语言表述均可）。
（3）对的钉子板，写出用表示的代数式。
【观察与思考】当时，钉子板上所连不同线段的长度值只有。（这些是时已有的），（新增加的）——即左下角的钉子分别和最上一行四个钉子的所连线段的长——（第一层归纳）；
时比时多出3个种数；时比时多出4个种数;……时比时多出个种数;-----(第二层归纳).
有了以上两个层次的归纳概括,三个问题的解都已是水到渠成.
解:(1)两个括号内应分别埴: 4; 2+3+4+5;
(2) 的钉子板比的钉子板中不同长度值的线段种数增加了种;
(3).
【说明】归纳的实质是从若干个特殊中发现共性,因此应从研究特殊和特殊之间的关联入手,这一点,本题体现得比较充分.
2、分类归纳型
思考特点是：第一，先根据背景与问题的特点，选定标准并按其分类；第二，将问题按所属类别做出解答。
例5 观察下列等式：，，，，，通过观察，用你所发现的规律确定的个位数字是 。
【观察与思考】将题目提供的一列数字按“个位数”的情况重新分类：
个位数字 2的乘方
2 …归纳概括为（为自然数，下同）
4 …归纳概括为
6 归纳概括为
8 归纳概括为
而，个位数字应为6。
解：个位数应为6。
例6 如图，已知，，…，则点和点的坐标
分别为 ； 。
【观察与思考】要求点的坐标，一般分两步考虑：第一步先确定该点在哪一个象限；第二步确定该点到两坐标轴的距离，对本题我们也可以从这两步来研究。
第一步，可以看出除了点外，其他各点均在象限内。
按象限分类：
所在象限 点
一 归纳概括为（为自然数）
二 归纳概括为
三 归纳概括为
四 归纳概括为
由，可知在第二象限，在第三象限。
第二步，从题目提供的坐标系里的图示看出：
（1）第一、二、三、象限内各点横、纵坐标的绝对值是相等的；
（2）就坐标的绝对值来说，又是这样对应的：
点 … 归纳概括为
坐标的绝对值 1 2 3 … …
由知其坐标的绝对值应为；
由，知其坐标的绝对值应为502；
将第一步和第二步结合，可得和的坐标。
解：的坐标为，的 坐标为。
【说明】由以上两题的思考过程可以看出：归纳概括是一个积极的活动过程，要观察、要重新分类（分类也是找共性），以便从中获得概括化的规律。为了充分展开相应的思考过程，我们特别用列表法表示分类，而在实际解题中，具体的做法就可以简缩。
3、递推归纳型
思考特点：找到由前一项（或前几项）表示该项的规律。这样，只要知道第一项（或前几项），就可以逐个地将随后的项推出。
例7 下面是某种细胞分裂示意图， 这种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个，根据此项规律可得：
（1）这样的一个细胞经过第四个30分钟后
分裂成 个细胞；
（2）这样的一个细胞经过3个小时后可分
裂成 个细胞；
（3））这样的一个细胞经过（为正整数）小时后
要分裂成 个细胞；
【观察与思考】如果假设,由1个细胞开始,经过次分裂后细胞数记为,且记,依题意有,,,……次分裂后细胞数为，所以本题的结果为：
解：（1） （2）； （3）
【说明】本题当中，即每经过一次分裂，新的细胞数都是前一次分裂后细胞数的2倍。就是一种“递推”关系，可由求得，可由，等等。
不少变化规律就是刻画这种递推关系的，对于这类问题的思考和解决，要点有两条：第一条，第一项等于什么？要搞清楚；第二条，由第一项怎样推得第二项的？由第二项怎样推得第三项的？即把“递推关系”搞清楚，有了这两条，整个问题便解决了。
例8 如图（1），在中，，把边长分别为,……，的个正方形依次放入中，请回答下列问题：
（1）按要求填表：
1 2 3
（1）
（2）第个正方形的边长 ；
【观察与思考】如图（1`），设，则，——相当于搞清楚第一项；由∽,得
，而，
解得即；
完全类似地可得。——搞清楚了递推关系。
把这些都搞清楚了，本题的解就很容易得到了。
解：（1）依次应填；； （2） （1`）
例9 数字解密：第一个数是，第二个数是，第三个 是，第四个数是,……按此规律观察并猜想第六个数是 。
【观察与思考】本题解法获得的关键是从提供的数据中，借助于归纳得到递推规律：后一个数前一个数+（前一个数），如第二个数第一个数（第一个数），而第一个数是3，所以第二个数是，……如此等等。找到这个递推关系，很容易有第五个数，第六个数。
解：应填65。
【说明】在本题，递推关系是通过观察，由归纳概括得到的，这种形式也应引起我们的重视。
例10 将正六边形纸片按下列要求分割（每次分割，纸片均不得有剩余）：第一次分割：将正六边形纸片分割成三个全等的菱形，然后选取其中一个菱形再分割成一个正六边形和两个全等的正三角形；第二次分割：将第一次分割后所得的正六边形纸片分割成三个全等的菱形；然后选取其中一个菱形再分割成一个正六边形和两个全等的正三角形。按上述分割方法进行下去……
（1）请你在图（1）中画出第一次分割的示意图；
（2）若原正六边形的面积为，请你通过操作和观察，将第1次，
第2次，第3次分割后所得的正六边形的面积填入下表： （1）
分割次数 1 2 3 …
正六边形的面积 …
(3)观察所填表格,并结合操作,请你猜想:分割后所得的正六边形的面积与分割次数有何关系 ( 用含和的代数式表示,不需要写出推理过程).
【观察与思考】显然,这是一个探究递推关系的题目,首先应当完成第一次分割操作:如图(1`);其次,由操作和观察容易知道,设原正六边形的面积,则图(1`)中小正六边形(阴影所示)的面积等于所在菱形面积的,从而等于整个大正六边形面积的,即有关系.完全相同的道理,……由此，问题（2）、（3）得解。
解：（1）见图（1`）
（2）依次应填，，；
（3）（实际上是）。 （1）
二、借助于函数思想，得到表示变化规律的代数式
很多情况下所要探究的变化规律，实质上就是建立函数关系，只不过这时的自变量是1，2，3…，…这些表示顺序的正整数，既然是这样，当这些变化规律是正整数的一次函数时，用“待定系数法”来确定关系，既规范，又准确，不失为一种聪明的选择。
首先应当明确这样的事实，对于任意的一个一次函数，有性质：“当自变量增大的数量相等时，对应的函数值增大（或减小）的数量也是相等的”。我们来看例子：
如一次函数，满足的对应值有（3，3）（4，5），（5，7），（6，9），…可以看出：自变量每增大1，对应的函数值就增大2；自变量每增大2，对应的函数值就增大4；……
再如，满足的对应值有，，，（，，，…可以看出：自变量每增大1，对应的函数值就减小3；自变量每增大2，对应的函数值就减小6；……
好了，现在逆过来考虑，就有这样的结论：
如果一个关于的函数满足：当增大的数值相等时，增大（或减小）的数值也相等，那么，就是的一次函数。而一次函数的关系式可以借助待定系数法求出来。
我们可以把这样的方法应用到某些探究变化规律的问题中来。
例1 观察图，（1）至（4）中小圆圈的摆放规律，并按这样的规律继续摆放，记第个图中小圆圈的个数为，则 （用含的代数式表示）。
时 时 时 时
（1） （2） （3） （4）
【观察与思考】题目提供的图形的序数与小圆圈的个数满足（1，5），（2，8），（3，11），（4，14），……序数（自变量）每增大1，对应的函数值就增大3。因此，它们就应当成一次函数关系。这样，我们就可以用待定系数法求其表达式。
设，由（1，5），（2，8）满足关系，可知有：
从中解得
解：应填
【说明】就本题来说，用“一般归纳”的方法也容易求得结果，而应用“待定系数法”不仅多了一种选择方法，更在于它过程规范，结果肯定，把合情“猜想”转变为程序性的执行。提高了确定感。
例2 一根绳子弯曲成如图（1）所示的形状，当用剪刀像图（2）那样沿虚线把绳子剪断时，绳子被剪为5段；当用剪刀像图（3）那样沿虚线把绳子再剪一次时，绳子就被剪成9段。若用剪刀在虚线之间把绳子再剪次（剪刀的方向与平行），这样一共剪次时绳子的段数是（ ）
A、 B、 C、 D、
（1） （2）
（3）
【观察与思考】我们先找出图1，2，3，4中序号和绳子段数的对应情况，有（1，1），（2，5），（3，9），（4，13）。
序号每增大1，段数值就增大4，应呈一次函数关系。设为，由（1，1），（2，5）得：
解得
即。
本题要求的是“剪次”，实际上是序号所对应的图，其中绳子的段数应为。
解：应选A。
【说明】对于本题应特别注意的是，图形序号和剪的次数是不一致的，我们建立的是图形序号与绳子线段的函数，而剪刀则是第个图，二者不应弄混。
当然，本题也可一开始就考虑“剪的次数”与绳子段数之间的关系，那就有（0，1），（1，5），（2，9），
（3，13）…仍借助于待定系数法求出函数关系式,最后的结果是一样的.
例3 将图(1)所示的正六边形进行分割得到图(2),再将图(2)中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割得到图(3),再将(3) 中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割,…，则第个图形中，其有 个六边形。
……
（1） （2） （3）
【观察与思考】图形序号与图形中正六边形的个数满足（1，1），（2，4），（3，7），每增大1，就增大3，
可知是的一次函数，用待定系数法（略）求得
解： 。
由函数思想和待定系数法,将那些可用一次函数表示的变化规律问题用统一而程序化的方式解决,对我们不是一种很好的帮助吗
三、借助于直接计算，得到表示变化规律的代数式
有些情况，其变化规律并不是主要体现在变化过程相邻情况的联系之中，而是明显确切地体现在每个情况之中，这时，思考解法的重点不应再是归纳，而应直接从第个情况中通过计算得出表示规律的代数式。
例1 如图，是用火棍摆成边长分别是1，2，3根火柴棍时的正方形，当边长为根火柴棍时，若摆出的正方形所用的火柴棍的根数为，则= 。（用含的代数式表示，为正整数）。
…
【观察与思考】这只要直接计算第个图形（如上图所示）有多少火柴棒即可，竖着摆放的火柴棍有列，有行，共有根，而横着摆放的和竖着摆放的一样多。因此
例2 如图，已知的面积。
（1）在图（1）中，若则；
（2）在图（2）中，若，则
（3）在图（3）中，若则；
按此规律，若，则 。
（1） （2） （3）
【 观察与思考】其实不用管图（1），（2），（3），可直接计算的面积即可，实际上
表示边上的高）边AB上的高）
同理，，均等于，得
。
【说明】通过以上两例说明，在有些情况，变化规律的表达式，可从第种情况透露的信息中直接获得，一味拘泥归纳，反而会使解决方法曲折起来。
练习题
1、意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组：1，1，2，3，5，8，13，……，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和。现以这组数中的各个数作为正方形边的长度构造如下正方形：
……
再分别依次从左到右取2个、3个、4个、5个正方形拼成如下矩形并记为（1），（2），（3），（4）。相应矩形的周长如下表所示：
（1）
（2） （3）
（4）
序号 （1） （2） （3） （4）
周长 6 10 16 26
若按此规律继续作矩形，则序号为（10）的矩形周长是 。
2、观察下列球的排列规律（其中 是实心球， 是空心球）；
……
从第一个球起，到第2008年球止，共有实心球 个。
3、用火柴棒按下图中的方式搭图形，按照这种方式搭下去，搭第个图形需 根火柴棒。
（第一个图形） （第二个图形） （第三个图形）
4、用火柴棒按如图所示的方式摆图形，按照这样的规律继续摆下去，第4个图形需要 根火柴棒，第个图形需要 根火柴棒（用含的代数式表示）。
…
5、计算：，，，，，……归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测的个位数字是（ ）
A、1 B、3 C、7 D、5
6、探索规律：根据右图中箭头指向的规律，从2006到2007再到2008，箭头方向是（ ）
A、 B、 C、 D、
7、如图，平面内有公共端点的六条射线，从射线开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，……
(1)“17”在射线 上.
(2)请任意写出三条射线上数字的排列规律.
(3)“2008”在哪条射线上
8、如图，将边长为1的正方形沿轴正方向连续翻转1001次，点P依次落在点的位置，则和的横坐标，分别为 和 。
9、已知等边三角形的边长为，以边上的高为
边，按逆时针方向作等边与相交于点。
（1）求线段的长；
（2）若再以为边按逆时针方向作等边三角形，与相交于点，按此作法进行下去，得到，，…，（如图），求的周长。
10、观察图（1）至图（5）中小黑点的摆放规律，并按照这样的规律继续摆放。记第个图形中小黑点的个数为。
解答下列问题：（1）填表：
1 2 3 4 5 …
1 3 7 13 …
(2)当时, .
11、如图（1），为等边三角形，面积为。分别是三边上的点，且，连结，可得是等边三角形，此时的面积的面积。
（2）
（1）
（1）当分别是等边三边上的点，且时，（如图（2），若用表示的面积，则 ；若用表示的面积，则= 。
（2）按照上述思路探索下去，并填空：
当分别是等边三边上的点，且时，（为正整数），若用表示 的面积，则= ；若用表示的面积，则= 。
12、如图，如果以正方形的对角线为边作第二个正方形，再以对角线为边作第三个正方形如此下去，…已知正方形的面积为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为（为正整数），那么第8个正方形面积= 。
…上面一层
…下面层
…下面三层
…上面一层
…上面一层
...下面两层
…上面一层
…下面一层
10根
10根
10根
4
-3
-2
-4
2
……
……
……
……
A
B
C
A
B
C
A
B
C
A
A
A
B
C
A
A
B
C
1
1
2
3
5
1
1
2
3
1
1
1
1
2
1
2
0
3
4
5
6
7
8
9
10
A
B
C
D
E
F
O
1
7
2
8
3
9
4
10
5
11
6
12
A
P
B
（）
O
A
B
A
B
C
C
A
B
C
C
A
B
C
D
E
F
H
G
J
I
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关节三
函数知识的三个支点
函数是“数与代数”部分最重要的内容之一，它在实际问题及综合性问题中都有着极为广泛的应用，而且在以后的数学乃至其他学科的学习中，也都发挥着基础性与工具性的作用。那么，怎样才算较好地掌握了函数知识呢？
从一道简单的数学题说起。
题目：若满足不等式组 那么，代数式
最大值和最小值分别是多少？
简解：由所给的不等式组解得
又
可将其中，看作是一段抛物线，该抛物线的对称轴为且开口向上，可知原式在时有最大值，21，在时有最小值—15。
析评：以上解法的思考基础可分为三层：第一层，认识到这是个求函数最值的问题；第二层，求得这个函数的标准表示式为第三层，用二次函数的性质解决原来的问题。
由此可以看出：把未指明的函数总题恰当地归为函数问题。再定出其表达式，进而应用函数的性质解决问题，正是掌握与运用函数知识的三大支点。
函数知识的三个支点：
一、明意义：指总能在需要的情况下恰如其分地将问题归结为函数，即形成“函数思想”；
二、定表达式；
三、用性质：指恰当地运用函数的性质解决相应的问题。
一、明意义
1、函数“明意义”的基本体现
对函数相关的问题，能够从以下两个方面来观察、认识和把握：
①能从“总体感知”和“具体对应方式”两个视角来认识与考虑问题；
②能从“整体过程”和某些“特殊值的对应情况”来认识与考虑问题；
例1 如图所示：边长分别为1和2的两个正方形，其一边在同一水平纸上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为，大正方形内除去小正方形部分的面积为（阴影部分），那么与的函数图象大致应为（ ）
A B C D
【观察与思考】“总体感知”：大正方形的面积为4，小正方形的面积为1，在小正方形平移的整个过程中阴影部分面积变化的过程是
解：选A。
例2 已知：如图（1），点G是BC的中点，点H在AF上，动点P以每秒的速度沿图（1）的边线运动，运动路径为：
相应的的面积关于运动时间的函数图象如图（2），若则下列四个结论中正确的
个数有（ ）
A、 图（1）中的BC边长是8 B、 图（2）中的M点表示第4秒时的值为24
C、 图（1）中的CD长是4， D、 图（2）中的N点表示第12秒时的值为18
（2）
（1）
A、 1个 B、2个 C、 3个 D、 4个
【观察与思考】若把点 P由 对应的图象分别记为第Ⅰ段、
第Ⅱ段、第Ⅲ段、第Ⅳ段、第Ⅴ段，则从图（1）和图（2）的对应情况可知：
（1）由Ⅰ的两端点横坐标，知由G到C运动2秒，可得GD=4，即BC=8；
（2）M点的纵坐标等于
（3）图象Ⅱ两端点横坐标为2和4，可知；
（4）由Ⅲ的两端点横坐标为4和7，知DE=6，而EF=AB—CD=2，可知Ⅳ的右端点的横坐标为8，再由Ⅴ的
两端点横坐标为8和12，推得FH=8，从而
所以，N点的纵坐标等于
解：应选D。
【说明】对函数“明意义”，就要善于从自变量与函数值的对应关系入手，从原背景、关系式、图象三者的统一来认识和解决问题。
2、“明意义”的更高体现
对于函数意义的掌握，不仅是指对给定的函数能从恰当的角度对其进行研究，更为重要的是遇到具体问题时，能够而且善于把函数作为研究与解决的工具，即确立了这样的意识：
凡是涉及变化的量之间的对应关系的问题，就要想到用函数来研究和解决，这才是“明意义”的更高体现，才是“函数思想”深刻与强烈的表现。
例3 在五环图案内，分别填写五个数，如图 ，其中，是三个连续
偶数是两个连续奇数，且满足例如
请你在0到20之间选择另一组符合条件的数填入下图：
【观察与思考】可以看作一个函数问题，因为：
设表示的三个连续偶数为表示的两个连续奇数为均为整数）。则有，得，只需和都是整数，如此一来，满足要求的、有无穷多对（只需取偶数即可）。如（这就得到题目中所举的例）；……而使五个数均在0和20之间的,除例子之外,就只有这两种情况了.
解:
或
例4 如图,四边形ABCD为边长等于4的菱形,,点M为边AD上一点,点N为边DC上一点,
且AM=DN.
(1)当AM=DN=3时,求的面积.
（2）是否存在点M和点N，使的面积等于？若存在，请指出点M和点N的位置；若不存在，请说明理由。
【观察与思考】问题（1）和问题（2）都涉及到的面积和AM（相应地DN）之间的对应关系，而的面积和AM的值具有函数关系，因此如果把它们之间的函数关系搞清楚了，问题（1）、（2）就可迎刃而解了。
解：菱形的长为4，，菱形的高为。
设AM的长为的面积为S。则
（1）当时，由S与的函数关系式得
（2）由S与的函数关系得。这说明的面积最小值为，因此不存在
点M，N使
——正是函数意识我们看到问题（1）、（2）的共同基础，并借助函数将问题顺利而明快地解决。
由以上诸可知：
时时刻刻都注意从函数的角度来认识研究问题中变量之间的关系，恰当地建立函数关系，并运用函数的性质
将问题解决，这样的“主动精神”和“自觉行动”正体现了“函数思想”的极好确立。
二、定关系式
要用函数，就要善于确定函数关系式，而确定函数关系式的方法，基本上有三种：
1、用待定系数法确定函数关系式
用待定系数法确定函数关系式，应具备以下两个条件：
条件一，已知知道这个函数是一次函数、二次函数、或是反比例函数；
条件二，知道该函数满足的若干组对应值；一次函数需两组；二次函数需三组，反比例函数需一组。
实际上，待定系数法就是通过构造关于函数关系表达式中各项系数的方程，求出它们的值，从而使函数关系的表达式确定下来。
用待定系数法求函数关系地表达式，可分为这们两个层次：基本形式与复合形式。
（1）基本形式的待定系数法
这类问题的条件是直接地给出了确定函数所需要的对应值。现仅举一例。
例1 为了迎接暑期旅游，某旅行社推出了一种价格优惠方案：从现在开始，各条旅游线路的价格每人（元）是原来价格每人（元）的一次函数。现知道其中两条旅游线段原来旅游价格分别为每人2100元和2800元，而现在旅游的价格为每人1800元和2300元。
（1）求与的函数关系式（不要求写出的取值范围）
（2）王老师想参加该旅行社原价格为5600元的一条线路的暑期旅游，请帮王老师算出这条线路现在的价格。
【观察与思考】满足这个一次函数的两组数值为（1800，2100）和（2300，2800）。可用待定系数法求得解析式。
解：（1）设与的函数关系式为，
由题意，得 解之，得
与的函数关系式为
（2）当时，元。
王老师旅游这条线路现在的价格是4300元
（2）复合形式的待定系数法
所谓复合形式的待定系数法是指满足函数关系的“对应值”组，并未直接悉数给出，而是要先从条件中求出需要
的“对应值”，而后再由待定系数求出函数关系表达式；或者通过其他条件直接构造关于函数系数的方程，得出表达式。
例2 如图，已知双曲线经过矩形OABC边AB的中点F，交BC于点E，且四边形OEBF的面积为2，则 。
【观察与思考】因为点F，E均在双曲线上，则
。
设点F的坐标为
解：应填2 。
【说明】本题的解答需要对反比例函数性质以及与之相关矩形及其面积间的关系有深入的认识。
例3 如图，是一张放在平面直角坐标系中的直角三角形纸片，点O与原点重合，点A在轴上，点B在轴上，。将折叠，使BO边落在BA边上，点O与点D重合，折痕为BC；
（1）求直线BC的解析式；
（2）求经过B，C，A三点的抛物线的解析式；若抛物线的顶点为M，试判断点M是否在直线BC上，并说明理由。
【观察与思考】对于（1），先求出点C的坐标，再用待定系数法求BC的解析式；
对于（2），用待定系数法求出过B，C，A三点的抛物线的解析式，再验证它的顶
点是否在BC上。
解：（1）
∽
,点C的坐标为（1，0）。
设直线BC的解析式为，则由 解得
（2）设过点B（），C（1，0），A（3，0）的抛物线的解析式为，
由，解得
所以抛物线的解析式为，
其顶点M的坐标为，
，
点M不在直线BC上。
【说明】由以上两例可以看出，用待定系数法求函数关系式的多种变化与复合形式，解法的恰当选择基于对相关知识的融会贯通。
2、用“列式法”确定函数关系式
所谓用列式法确定函数关系的表达式，就是根据问题中的数量关系直接列出用自变量的代数式来表示函数，这样的情况也是很多的。
例4 学校体育室准备添置20副乒乓球拍和若干乒乓球，两家体育用品商店的零售价都是每副乒乓球拍20元，每个乒乓球元，且都表示对集体购买优惠：甲店买一副乒乓球拍赠送5个乒乓球，再对总价打9折；乙店统一按定价的8折出售。
（1）设体育室外除了买20副乒乓球拍外，再需购买个乒乓球，若在甲店购买付款数额为（元），在乙店购买付款数额为（元），分别写出，关于的函数关系式。
（2）就购买乒乓球数讨论在哪个店购买较合算？
【观察与思考】对于（1），可用直接列式法求出，关于的函数关系式。
对于（2），实际是比较在什么范围时，两个函数中哪个函数值较小。
解：（1）
（2）假设购买个乒乓球时，甲商店合算，即，也即
，解得。
同理可得 。
这就是说，当购买的乒乓球个数不超过233个时，在甲商店买合算；当购买的乒乓球个数超过233个时，在乙店买合算。
【说明】与实际相关的问题需建立函数关系式时，大都需要借助直接列式法。
例5 如图，在P为AC上一个动点，四边形PQRC为矩形，其中点Q，R分别在AB，BC上，设AP的长为，矩形PQRC的周长为，求关于的函数关系式。
【观察与思考】只需用表示出QP和PC即可。
解：∽
。
【说明】相当多的几何图形中变量的对应关系，在建立函数关系式时，也多是利用“直接列式法”。
3、从某个等量关系中导出函数关系式
有时不易用自变量及已知数量把函数直接表示出来，可根据所给条件先建立包括“函数”、自变量、与已知数量的某个（或某些）等式，再从中导出函数关系式来。
例6 如图，已知直角坐标系中三点A（2，0），B（0，2），P。连结BP，过P作交过点A的直线（它与轴垂直）于点C。求之间的函数关系式。
解：在中，
），
∽。
从中解得
【说明】几何图形中有关函数关系式的建立，有不少情况需借助这种“等式导出法”。
例7 某中学足球队参加全市中学足球联赛，比赛记分规则如下表。联赛共进行了12轮（即每队比赛了12场），该中学足球队共得19分。若胜的场数为，负的场数为，求关于的函数关系式。
胜一场 平一场 负一场
积分 3 1 0
【观察与思考】可借助胜、平、负 的场数以及得分的关系导出关于的函数关系表达式。
解：设平的场数为，则根据条件有
从两个等式中消去，得。
【说明】本题是从三个变量的两个等量关系中导出两个变量间的函数关系式。
当我们需要建立函数关系式时，可从以下三条途径中选择：
1、借助“待定系数法”；
2、运用“直接列式法”；
3、运用“等式导出法”。
三、用性质
函数的性质，主要是指一次函数、二次函数和反比例函数增减性和二次函数、反比例函数图象的对称性，以及二次函数图象的顶点坐标等。
对函数性质的考查，主要有两个层面：一是对给定的函数确定其某个方面的性质，二是利用函数的性质，解决某相关的问题。
1、确定指定函数的性质
例1 写出一个图象经过点（-2，1），随的增大而减小的一次函数。
【观察与思考】要使一次函数具有“随的增大而减小”这一性质，且其图象经过点（-2，1），则只需这个一次函数的图象还经过点有无穷多个。因此，本题是开放性的题目，正确的答案有无穷多个，如选过点（0，0），则直线的解析式为。
解：如。
例2 下表给出了代数式与的一些对应值：
… 0 1 2 3 4 …
… 3 -1 3 …
(1)请在表内的空格中添入适当的数;
(2)设=,当取何值时, >0
【观察与思考】当时,均有代数式的值=3,可知对应的抛物线的对称轴为=2,顶点坐标为(2,-1),
因此有以下的解:
解:(1)由已知令,
.
(2),可知抛物线开口向上,并与轴交于点(1,0)和(3,0),
【说明】由以上两例看出,熟练而恰当地运用函数的性质,可使问题的解决思路明晰,过程简捷.
2、运用函数的性质解决相关的实际问题或数学问题
例3 按右图所示的流程，输入一个数据，根据与的关系式就输出
一个数据，这样可将一组数据变换成另一组新的数据。要使任意一组都在
20～100（含20和100）之间的数据，变换成一组新数据后能满足下列两个要求：
（ⅰ）新数据都在60～100（含60和100）之间；
（ⅱ）新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致，即原数据大的对应
的新数据也较大。
（1）若与的关系式是，请说明：当时，这种变换
满足上述两个要求；
（2）若按关系式将数据进行变换，请写出一个满足上
述要求的这种关系式，（不要求对关系式符合题意作说明，但要写出关系式得出的
主要过程）。
【观察与思考】对于（1），只要根据一次函数的性质即可说明。
对于（2），实际上是依据（ⅰ）、（ⅱ）两条要求去确定中的系数。
解：（1）原式即该函数随的增大而增大，满足（ⅱ），又，当=20时，=60，当=100时，
=100，满足（ⅰ）。可知，当时，这种变换满足要求。
（2）可有多种答案。现取
令
解得 满足要求。
【说明】Ⅰ.对于本题的(2).只要抛物线开口向上,对称轴,横坐标在20～100之间的抛物线段夹在直线之间,都是满足要求的.
Ⅱ.由本题可以看出:对函数“明意义”, “定关系式”, “用性质”的统一结合是多么重要和有效!
例4 草莓种植大户张华现在有22吨草莓等售,有两种销售渠道,一是往省城直接批发给零售商,二是在本地市场零售,经过调查分析,这两种销售渠道每天销量及每吨获纯利润见下表:
销售渠道 每日销量(吨) 每吨所获纯利润(元)
省城批发 4 1200
本地零售 1 2000
受客观因素影响,张华每天只能采用一种销售渠道,草莓必须在10日内售出.
(1)若一部分草莓运往省城批发给零售商,其余在本地市场零售,请写出销售22吨草莓所获纯利润(元)与运往省城直接批发给零售商的草莓量(吨)之间的函数关系式;
(2)怎样安排这22吨草莓的销售渠道,才使张华所获纯利润最大 并求出最大纯利润.
【观察与思考】先求出关于的函数关系式,再借助函数的性质,解决相应的实际问题.
解：（1）所求函数关系式为：
即 。
（2）由于草莓必须在10天内售完，
则有解之，得。
在函数中，随的增大而减小，
当=16时，有最大值31200（元）。
。
答：用4天时间运往省城批发，6天时间在本地零售，可使纯利润最大，最大利润为31200元。
【说明】本题实际问题的解决，正是借助了所求出的函数性质。
借助于函数性质解决实际问题或数学中的问题，主要使用：
1、一次函数在某个范围的增减性；
2、抛物线顶点坐标的意义，抛物线的对称性，抛物线和横轴交点的意义，二次函数的增减性；
3、反比例函数的增减性；
4、函数和方程、 不等式之间的关系。
练习题
1、在物理实验课上，小明用弹簧测力计将长方体铁块A悬于盛有水的水糟中，使铁块完全浸没于水中，（如图所示），然后匀速向上提起。直至铁块完全露出水面一定高度，则图中能反映弹簧测力计的读数（单位：N）与铁块被提起的高度（单位：）之间的函数关系的大致图象是（ ）
A
B
D
C
2、如图是两个形状大小完全相同的等腰直角三角形，，点B，C，E，F在同一直线上，现从点C，E重合的位置出发，让在直线EF上向右作匀速运动，而位置不动，设两个三角形重合部分面积为，运动的距离为，下面表示与的函数关系的图象大致是（ ）
A B C D
3、如图，要使输出值 大于100，则输入最小正整数是 。
4、温度与我们的生活息息相关，你仔细观察过温度计吗？如图是一个温度计
实物示意图，左边的刻度是摄氏度（℃），右边的刻度是华氏温度（℉），
设摄氏温度为（℃），华氏温度为（℉），则是的一次函数。
（1）仔细观察图中数据，试求出与之间的函数表达式；
（2）当摄氏温度为15℃时，求华氏温度为多少？
5、如图，矩形ABCD中，其中BC=2AB，P为边BC上任意一点，（不与B，C重合），连结AP，作，交射线CD于点Q。
探究：当点P在BC边上运动时，点Q可能在边CD的延长线上吗？并说明理由。
6、如图，直线与轴和轴分别交于点A（4，0），点B（0，5），现将直线绕坐标原点O沿顺时针方向
旋转90°，得到直线，则直线的解析为 。
7、已知一次函数与的部分对应值如下表所示：
-2 -1 0 1 2 3
3 2 1 0 -1 -2
那么不等式的解集是（ ）
A、 B、 C、 D、
8、鞋子的“鞋码”和鞋长（cm）存在一种换算关系，下表是几组“鞋码”与鞋长的对应数值：
鞋长 16 19 24 27
鞋码 22 28 38 44
（1）分析上表：“鞋码”和鞋长之间的关系符合你学过的哪种函数？
（2）设鞋长为，“鞋码”为，求与之间的函数关系式？
9、已知抛物线经过点（2，-3），对称轴为，与轴的两个交点距离为4，求这条抛物线的解析式。
10、为了方便市民乘车，公共汽车公司推出了公共IC卡业务，并给予购卡人以下优惠：每购买10元便赠送2元（即卡上显示金额为12元）。但第一次购买需交办卡费10元，以后可直接往上充值，不再交办卡费。
（1）写出首次办卡，卡上显示金额（元）与实际付款（元）之间的函数关系式；
（2）小李用200元新办了这种公共IC卡，发现卡上金额比自己估计的少了2元，你知道小李是怎样计算的吗？卡上显示的会是多少呢？
11、在边长为6的正方形ABCD中，点E，F，G，H分别按
的方向同时出发，以的速度匀速运动。
（1）证明四边形EFGH是菱形；
（2）写出四边形EFGH的面积关于运动时间的函数关系式，取何值时四边形EFGH的面积最小？最小值是多少？
12、在⊙的内接中，AB+AC=12，垂足为D，且AD=3，设⊙的半径为，AB的长为。
（1）求与的函数关系式；
（2）当AB的长等于多少时，⊙的面积最大，并求出⊙的最大面积。
减至
4
3
3
定值
4
增值
G
C
D
E
F
H
2
4
7
12
N
M
A
B
G
C
E
F
D
H
G
C
D
E
F
H
2
4
6
5
7
10
122
142
172
192
6
8
10
11
13
A
B
C
D
M
N
1、 用待定系数法；
2、 用直接列式法；
3、 借助等式导出法。
C
A
B
F
E
C
D
B
A
A
C
B
Q
P
R
C
A
P
B
Q
开始
输入
与的关系式
输入
结束
A
(cm)
(N)
EMBED Equation.3
（N）
(cm)
(cm)
(N)
A
B
C
E
D
F
输入正整数
奇数
偶数
？
+13
输出
-20
0
20
40
-4
32
68
104
℃
℉
A
C
D
B
P
Q
B
A
A
B
，
B
C
，
C
D
，
D
A
A
H
G
E
C
F
B
D
B
C
O
D
A
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关节十四
坐标系里的几何图形
将几何图形置于坐标系，是为了用代数的方法研究图形，因此坐标系里是“数形结合”的大演场，是“几何与代数综合”的新舞台。现在，我们就来研究这类问题的思考与解法特征。
坐标系里的几何图形问题又可分三类：
Ⅰ、坐标系里的基本几何图形；
Ⅱ、坐标系里的几何图形引入动点；
Ⅲ、坐标系里的几何图形实施交换。
※这三类问题围绕的共同核心都是“求点的坐标”与“求线段的长度”，解决的共同依据是“几何图形的性质”（包括变换的性质）和“几何计算”（特别是构造与解直角三角形。）
一、坐标系里的基本几何图形
例1 如图，已知边长为1的正方形在直角坐标系中，B，C两点在第二象限内，与轴的夹角为，那么C点的坐标是 ，B点的坐标是 。
【观察与思考】 去构造合适的直角三角形，如图那样作辅助线，可由求得点C的坐标，由和求得点B的坐标。
解：如图所示，作轴于点M，在
中，，
C点的坐标为。
又设AB与轴的交点为E，轴于N。
在中，。
在中，
。
点B在第二象限，B点的坐标为）。
【说明】从本题可以看出：
Ⅰ、求点的坐标是坐标系里几何图形问题的核心，而求点的坐标的基本过程是分这样的两步走：首先，选定或构造恰当的直角三角形，通过解相关的直角三角形，求得有关的线段的长；然后根据点所在的象限，将有关线段的长转换为点的坐标。
Ⅱ、坐标系里图形问题解法的优或劣，决定因素表现在对相关直角三角形的选取和构造上。
例2 如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，以长为半径作⊙M交轴于A，B两点，交轴于C，D两点，连结并延长交⊙M于P点，连结PC交轴于E。
（1）求出CP所在直线的解析式；
（2）连结AC，求的面积。
【观察与思考】对于（1），要求CP所在直线的解析式，只要求出C点和P点的坐标即可。
对于（2），要求的面积，注意，则可归结为去求线段AC，PC的长度。当然更巧妙的方法是在知道的情况下，转为去求等边三角形的面积。
解：（1）连结是⊙M的直径，。
是⊙M的直径，且垂直弦AB，平分弦AB。
在中，。
又点的坐标为。
又知，设直线CP的解析式为，则
解得： 直线CP的解析式为。
（2）在中，
又为等边三角形，且边，
。
而。
【说明】Ⅰ、本例进一步说明，坐标系里图形式问题，都是以求点的坐标和线段的长度为核心，为基础的。
Ⅱ、要善于抓住背景图形的特征，如本题的第（2）问，正是利用了为等边三角形这一特殊点，从而使计算简化了。
例3 如图（1），在平面直角坐标系中，的斜边AB在轴上，顶点C在轴的负半轴上，点P在线段上，且的长是方程的两根。
（1）求P点的坐标；
（2）求AP的长；
（3）在轴上是否存在点Q，使以点A，C，P，Q为顶点的
四边形是梯形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请
说明理由。 （1）
【观察与思考】对于（1），只要求出题目所给方程的根，则易知P点的坐标；
对于（2），由（1）已求得P点的坐标，再由的长度和，可由中推得A点的坐标，进而可得AP的长；
对于（3）实际上是由P点作与AC的平行的直线和轴的交点Q，或由C点作与AP平行的直线和轴的交点Q，再依作法求Q点的坐标。
解：（1）解方程，得。
又，可知。得P点的坐标为。 （1`）
（2）由（1）知，。又，
在中，。
。
（3）如图（1`），由图上分析可知：当，且交轴于时，四边形是梯形，或者，，且交轴于时，四边形为梯形。
①若在轴上，且，则∽，
）。
②若在轴上，且，则∽，
）。
这就是说，当Q的坐标为（）时，四边形ACPQ为梯形，而当Q的坐标为（）时，四边形AQCP也为梯形。
【说明】1、可以看出，求点的坐标和线段长都是坐标系里图形问题的基础，除了运用解直角三角形的方法之外，借助于相似三角形（特别是相似的直角三角形）也是常用的手段。
11、类似于本题中（3）这样的问题，切要注意先在图形上分析清楚，然后再去进行推导和计算，我们把它概括为“先在图上分析、操作，再用代数的方法表示出来。”
二、坐标系里的图形引入动点
例1 如图（1），直角坐标系中，已知点），），动点从点出发沿向终点运动，动点从点A出发沿AB向终点B运动，两点同时出发，速度均为每秒1个单位，设从出发起运动了。
（1）求Q点的坐标；（用含的代数式表示）
（2）当为何值时，是一个以AP为腰的等腰三角形？ （1）
【观察与思考】对于（1），若作轴于M，作于N，可借助和的相似关系，导出Q点的坐标来。
对于（2），可通过“等腰”（即线段相等）构造关于的方程来解决。
解：（1）如图（1`），作轴于M ，作轴于N，在中，，在中，。
∽，。
， （1`）
，
。
点Q的坐标为）。
（2）见图（1``），P点的坐标为），其中。 （1``）
,，
若是以AP为腰的等腰三角形，则有
①，即也即，得，从中解得。
②即，也即，得
解得（舍去），。
经检验可知，当或时，都是以AP为腰的等腰三角形。
【说明】1、本例说明，坐标系里的图形与动点相关的问题，其基础问题仍然是求点的坐标和线段的长度，只是此时有关的量，可能要用与“运动”有关的数量的代数式来表示。
11、从本题解的过程可以看到，善于构造恰当的直角三角形，以及灵活恰当地实施“坐标”与“线段长”之间的转换，是落实解法的可靠保证。
例2 如图（1），在直角坐标系里，已知点），），以线段AB为一直角边在第一象限内作等腰直角三角形，其中，点）为坐标系中的一个动点。
（1）求的面积； （1）
（2）证明不论取任何实数，的面积是一个常数；
（3）要使得，，求实数的值。
【观察与思考】对于（1），只需求出线段AB的长度即可；
对于（2），容易知道动点），是在这条直线上，如图（1`），而和轴是平行的，所以在中，边上的高是确定不变的值。
对于（3），是由动点P决定的，从而是关于实数的函数，
令这个函数的值和相等，由该方程可解出相应的值，只是 （1`）
的计算需要找到好的落实方法。如图（1``），设点N的坐标
为（1，0），过点N作垂线轴的直线为（也即），P在上，
又设和AB交于点D，可知有。而后两个
三角形面积易求。
解：（1）），），。
是以AB为直角边的等腰直角三角形。
。
（2）如图（1`），设轴于H，则。
为定值。
（3）如图（1``），设点），过点N且垂直于轴的直线为，则动点P在上。
设与AB交于点D，则由∽，得即。
即D点的坐标为。
点B到PD（即直线）的距离为1，点A到PD的距离为。 （1``）
且线段PD的长度为。
。
当或时，均能使。
【说明】由本题可以看出，涉及动点构成的三角形的面积计算，其实和固定的点构成的三角形的面积计算一样，主要是借助“底”和“高”两个线段的计算来实现的。另外，有时需要像（3）的解的过程那样，将一个三角形的面积拆（或拼）成两个（或几个）更易计算的三角形面积。
例3 如图，边长为1的正方形的顶点为坐标原点，点A在轴的正半轴上，点C在轴的正半轴上。动点D在线段BC上移动（不与B，C重合），连结，过点D作，交边AB于点E，连结OE。记CD的长为。
（1）当时，求直线DE的函数表达式。
（2）如果记梯形的面积为S，那么是否存在S的最大值？若存在，请求出这个最大值及此时的值；若不存在，请说明理由。
（3）当的算术平方根取最小值时，求点E的坐标。
【观察与思考】对于（1），只需求出D点的和E点的坐标，这可以
通过解和来实现。
对于（2），首先要求出S关于的函数关系式，然后再由函数的
性质和取值范围看是否有最大值，而面积计算又归结为有关线段
的计算。
对于（3），最小，实际上是OE的长最小，而OE又是的斜边，且在这个三角形中，一直角边OA为定值，因此，斜边OE最小，就会使另一直角边AE最小，进而使（面积）最小，也即梯形面积最大，这便和（2）的结论联系起来，解法也就找到了。
解：（1）易知∽。
，即得即E点的坐标为（）。
设直线DE的函数表达式为，直线经过两点）和），得，。
直线DE的函数表达式为。
（2）存在的最大值。∽，，即， 。
。故时，S有最大值。
（3）在中，，的算术平方根取最小值，也就是斜边OE取最小值。OE也为的斜边，在这个三角形中，当斜边OE取最小值且一直角边OA为定值时，另一直角边AE达到最小值，于是的面积达到最小值，此时，梯形的面积达到最大值。
由（2）知，当时，梯形的面积达到最大值，此时取最小值，故所求E点的坐标是）。
【说明】1、我们反复强调，相似三角形和解直角三角形是“几何计算”的两大法宝，本题的（1）和（2），都恰当地借助了三角形的相似关系。
11、“转化”是数学方法的灵魂，在本题（3）的解法中，一系列的美妙转化使看似复杂的问题获得极为简炼的解法，让人称奇。
坐标系里的图形引入动点，与非坐标系里的图形引入动点研究的问题和解决的方法实质上是一样的，只是动点的刻画、问题的提出 和结果表达，大都是以“坐标”相关的形式出发并落实的。因此可以这样说：坐标系里图形引入动点，就是在非坐标系里图形引入动点的基础上再融合“坐标法”的表示。
三、坐标系里的图形变换
例1 如图（1），在平面直角坐标系中，两个全等的直角三角形的直角顶点及一条直角边重合，点A在第二象限内，点B，点C在的负半轴上，。
（1）求C点的坐标；
（2）如图（2），将绕点C 按顺时针方向旋转30°到的位置，其中交直线于点，分别交直线 ，于点，则除外，还有哪几对全等的三角形，请直接写出答案；（不再另外添加辅助线）。
（3）在（2）的基础上，将绕点C 按顺时针方向继续旋转，当的面积为时，求直线CE的函数表达式。
（1） （2）
【观察与思考】对于问题（1），只需解。
对于问题（2），如果看出整个图形是以CF所在直线为轴为称，则结论立得。
对于问题（3），先借助方程求出点E的坐标，进而可求得CE的函数关系式，但要注意“交直线于点”这样的交点应有两个。
解：（1）在中，。
点的坐标为（）。
（2）有。
（3）当与直线交于第二象限的点时，并将记为，如图（3）。
过点作于点。
。 （3）
在中，，
。
点的坐标为）。 （4）
设直线的函数表达式为，则
解得 。
完全相仿地，与直线交于第四象限的点时，如图（4），点的坐标为）。
直线的函数表达式为：。
【说明】本题中的（3）是坐标系里图形转换的问题，解决的关键是将“变换”的特征与相应的点的坐标恰当地结合起来。
例2 一张矩形纸片平放在平面直角坐标系内，为原点，点在的正半轴上，点在轴的正半轴上，。
（1）如图（1），将纸片沿对折，点落在轴上点处，求点的坐标；
（2）在（1）中，设与的交点为P，若点P和点B都在抛物线上，求的值；
（3）若将纸片沿直线对折，点落在轴上的点F处，与的交点为Q，
若点Q在（2）的抛物线上，求的解析式。
【观察与思考】对于（1），通过解，即可求得D点的坐标；
对于（2），应先求出P点的坐标，再由特定系数法求得的值。 （1）
对于（3），本题实质是由对Q点（它为BF之中点）的特殊约束——它
在（2）中求出的抛物线上——逆过来求“折痕线”的，因此，除了
确定出Q点的坐标外，还必须确出应在上的另外一点，当然，它的
坐标应易求出。
解：（1）沿折叠后，B点重合于D点，，
在中，，
D点的坐标为（3，0）。
（2）过P作轴于G（如图（1`），根据题知，。
。 （1`）
点的坐标为（4，2）。
由点P（4，2），B（4，5）在抛物线上，可得
。
（3）点F在轴上，作轴于N，如图（1``）。
点Q的坐标为），
Q在抛物线上，即，
Q的坐标为），则。
在中，。
设和轴的交点为，则有∽，得，即，
，
。 （1``）
即R点的坐标为）。
设的解析式为，由Q 和R在上，得
解得
的解析式为。
由以上两例可以看出：
坐标系里的图形变换与非坐标系里的图形变换问题相比，相同之处是它们的解决都要紧紧围绕背景及的所作变换的性质来进行，不相同的地方突出表现在坐标系里的图形变换问题结果的体现以及解决过程，大都是通过“坐标计算”来实现的。
练习题
1、如图，在平面直角坐标系中，⊙与轴交于两点，是⊙的直径，过点的直线交轴于点D，连结，已知点的坐标为），直线的函数解析式为。
（1）求点D的坐标和的长；
（2）求点C的坐标和⊙的半径；
（3）是⊙的切线吗？请说明理由。
2、在平面直角坐标系中，A点坐标为（0，4），C点坐标为（10，0）。
（1）如图（1），若直线AB上有一动点P，当P点的坐标为 时，有；
（1） （2）
（2）如图（2）若直线AB与不平行，在过点A的直线上是否存在点P，使，若有这样的点P，求出它的坐标；若没有，请简要说明理由；
（3）若点P在直线上移动时，只存在一个点P使，求出此时中的的值是多少？
3、如图所示，在平面直角坐标系中，四边形是等腰梯形，，点P为轴上的一个动点，点P不与点，点A重合，连结CP，过点P作交AB于点D。
（1）求点B的坐标；
（2）当点P运动到什么位置时，为等腰三角形，求
这时点P的坐标；
（3）当点P运动到什么位置时，使得，且
时，求这时点P的坐标；
4、如图，平面直角坐标系中，四边形为矩形，点A，B的坐标分别为（4，0），（4，3），动点分别从同时出发，以每秒1个单位的速度运动。其中，点M沿向终点A运动，点N沿BC向终点C运动，过点M作，交AC于P，连结，已知动点运动了秒。
（1）P点的坐标为（ ， ）（用含的代数式表示）；
（2）试求面积S的表达式，并求出面积S的最大值及相应的值。
（3）当为何值时，是一个等腰三角形？简要说明理由。
5、如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6），点B（8，0），动点P从点A开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向点移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P，Q移动的时间为秒。
（1）求直线AB的解析式；
（2）当为何值时，与相似？并求出此时
点P与点Q的坐标；
（3）当为何值时，的面积为个平方单位？
6、如图，在平面直角坐标系中，点 A在轴的负半轴上，是直角三角形，，点B的
坐标为（），将绕原点顺时针旋转90°得到。
（1）在旋转过程中，点B的所经过的路径长是多少？
（2）分别求出点的坐标；
（3）连结交于点M，求的值。
7、如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点E的坐标为（4，0），顶点G的坐标为（0，2），将矩形绕点逆时针旋转，使点F落在轴的点N处，得到矩形，与交于点A。
（1）判断和是否相似，并说明理由；
（2）求过点A的反比例函数解析式；
（3）设（2）中的反比例函数图象交EF于点B，求直线AB的解析式。
8、如图（1），矩形的两条边在坐标轴上，点D与原点重合，对角线BD所在的直线的函数关系式为。矩形沿DB方向以每秒1个单位长度运动，同时点P从点A出发作匀速运动，沿矩形的边经过点B到达点C，用了14秒。
（1）求矩形的周长；
（2）如图（2），图形运动到第5秒时，求点P的坐标。
（3）设矩形运动的时间为，当时，点P经过的路线是一条线段，请求线段所在直线的函数解析式。
（4）当点P在线段AB或BC上运动时，过点P作轴，轴的垂线，垂足分别为E，F，则矩形是否能与矩形相似（或位似）？若能，求出的值；若不能，说明理由。
（1） （2）
9、如图，四边形是一张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点与坐标原点重合，点A在轴上，点C在轴上，，点E为BC的中点，点N的坐标为（3，0），过点N且平行于轴的直线与EB交于点M。现将纸片折叠，使顶点C落在MN上，并与MN上的点G重合，折痕为EF，点F为折痕与轴的交点。
（1）求点G的坐标；
（2）求折痕EF所在直线的解析式；
（3）设点P为直线EF上的点，是否存在这样的点P，使得以P，F，G为顶点的三角形为等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
10、如图（1），在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点在原点，点A的坐标为（），点B的坐标为（0，2），点C在第一象限。
（1）直接写出点C的坐标；
（2）将平行四边形绕点逆时针旋转，使OC落在轴的正半轴上，如图（2），得平行四边形（点D与点重合）。FG与边AB，轴分别交于点Q，点P。设此时旋转前后两个平行四边形重叠部分的面积为，求的值；
（2）
（1）
A
B
C
M
N
E
60°
C
P
A
M
B
E
A
B
C
A
B
C
P
B
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Q
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M
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N
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1
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B
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P
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M
（-1，2）
E
F
G
M
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P
A
B
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B
C
A
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B
C
P
A
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关节十
图形变换引出的计算与证明
图形（或部分图形）经“平移”、“轴对称”或“旋转”（包括中心对称）之后，就会引起图形形状，位置关系的变化，就会出现新的图形和新的关系。因此，图形变换引出的问题主要有两类：一类是变换引出的新的性质和位置关系问题；另一类是变换引出的几何量的计算问题。
一、图形平移变换引出的几何计算与证明
这类问题的解法的思考应当突出两点：
Ⅰ、把背景图形研究清楚；
Ⅱ、充分运用图形平移的性质，特别应注意的是：“平移变换不改变角度”（即平移中的线和不平移的线，交角的大小不变）。
两者的恰当结合，就是解法的基础。
例1 如图，若将边长为的两个互相重合的正方形纸片沿对角线翻折成等腰直角三角形后，再抽出一个等腰直角三角形沿移动，若重叠部分的面积是，则移动的距离等于 。
【观察与思考】第一，搞清楚背景图形：和
均为底边长为的等腰直角三角形；第二，由平移搞
清楚新图形的特征：由于平移不改变角度，可知也
是等腰直角三角形，这样一来，
即。解得而，
。
解：填。
【说明】可以看出，由背景和平移的性质相结合得出为等腰直角三角形，是本题迅速获解之关键。
例2 如图（1），已知的面积为3，且现将沿CA方向平移CA长度得到。
（1）求所扫过的图形面积；
（2）试判断，AF与BE的位置关系，并说明理由；
（3）若求AC的长。 （1）
【观察与思考】第一，搞清楚原图形即的特征：
面积为3，第二，搞清楚平移过程：平移沿CA方向进行；平移距离
为CA的长度。注意！这就意味着每一对对应点之间的距离都等于CA，
当然就有。由此可知：
（1）扫过的图形即为菱形的两条对角线；
（2）AF和BE就是菱形的两条对角线；
（3）的条件下，由求出AC的长。 （1`）
各问题解法得到，落实如下：
解：（1）如图（1`）扫过的图形为菱形，
而。
（2）如图（1`），为菱形的两条对角线，，并且AF，BE互相平分。
（3）若则，作于D，如图（1``），则，
由,解得。 （1``）
【说明】由本题可以看出，原图形背景和平移性质的结合是解法获得的基础。
例3 如图（1）所示，一张三角形纸片，。沿斜边AB的中线CD把这线纸片剪成和两个三角形如图（2）所示。将纸片沿直线（AB）方向平移（点始终在同一条直线上），当点与点B重合时，停止平移，在平移的过程中，与交于点E，与分别交于点F，P。
（1） （2） （3）
（1）当平移到如图（3）所示的位置时，猜想图中与的数量关系，并证明你的猜想。
（2）设平移距离为，与重叠部分的面积为，请写出与的函数关系式，以及自变量的取值范围；
（3）对于（2）中的结论是否存在这样的，使得重叠部分面积等于原纸片面积的？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由。
【观察与思考】第一，搞清楚背景图形（即图（2）所示的平移前的图形），（略）
第二，搞清楚平移过程：平移不改变角的大小；任意一对对应点的距离都等于图形平移的距离，按本题要求，平移距离满足：。
对于问题（1），注意到在图（3）中有：和都是等腰三角形（由和为等腰三角形演变而来），以及（由图中（2）的演变而来），相应的猜想及证明都易得到；
对于问题（2），若在图（3）中作辅助线：作交AB于，
如图（3`），易知∽∽（图（1）中）。
（3`）
对于问题（3），由（2）的结果构造相应的方程即可。
解：（1），证明如下：
，又是斜边AB的中线（原图（1）
即
。同理：
又。
（2）作交AB于，如图（3`），由（1）知
。
而∽∽，且它们的斜边长依次为。
其中。
（3）令 即 ，解得
所以存在,使重叠部分的面积为面积的，这时，平移的距离为或5。
【说明】从本题可以看出：
Ⅰ、恰当运用平移变换的性质（如角度不变）极为重要，这体现在问题（1）的解法中。
Ⅱ、充分而灵活运用平移构成的三角形相似很重要（由角度不变易造成相似），这体现在问题（2）的解法中。
图形平移的问题，解决的关键在于运用好“平移变换”的性质。
二、图形的轴对称变换引出的计算与证明
这类问题解决的思考应当突出以下两点：
Ⅰ、把背景图形研究清楚；
Ⅱ、充分注意轴对称的两部分全等，对称轴是任意对称两点连线的垂直平分线。
两者的恰当结合，就是解法的基础。
图形的轴对称问题，解决的关键在于运用好“轴对称变换”的性质！
例1 如图（1），边长为1的正方形中，分别为的中点，将点C折至MN上落在点P的位置，折痕为连结。
（1）求的长；
（2）求的长。 （1）
【观察与思考】第一，搞清楚背景图形：是正方形一组对边的中点；
第二，搞清楚轴对称情况：除正方形外，本题还有两组轴对称图形，一是和关于对称；二是和关于MN对称 ，如图（1`），由此立刻得是边长为1的等边三角形。
有了如上的认识，问题的解法已明朗。
解：（1）连结易知是等边三角形，且其边长为1。 （1`）
。
（2）由（1）知又，
。
例2 如图，在中，，点E，F分别在AB，AC上，把沿着EF对折，恰使点A落在BC上点D处，且使。
（1）猜测AE与BE的数量关系，并说明理由。
（2）求证：四边形AEDF是菱形。
【观察与思考】第一，搞清楚背景图形（略）；
第二，搞清楚这个特殊的“折叠”（轴对称）和新图形的特点：
①（因它们关于EF对称 ）②。
在中，，得。这就是问题（1）的结论和理由。
而由，得，又，立刻推知和均是等边三角形，四边形AEDF当然就是菱形。
【说明】在本题，从背景图形和特殊折叠结合而得出的新图形的性质，成为解法形成的根据。
例3 已知矩形纸片，。将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合。
（1）如果折痕FG分别与AD，AB交于点F，G（如图（1），）求DE的长。
（2）如果折痕FG分别与CD，AB交于点F，G（如图（2），），的外接圆与直线BC相切，求折痕FG的长。
（2）
（1）
【观察与思考】第一，背景图形易搞清楚；第二，（1），（2）两问的折叠方式有差异。
对于（1）来说，折痕一AD交于点F，立刻有①；②∽，且，由此即可求得DE的长。
对于（2），对应的图形如图（2`），可知：①的外接圆的圆心为的中点，则也是FG的中点，且在矩形的中点连线上，而即是过该圆与BC相切切点的半径；②∽，由此可求得。进而可求得FG的长。
解：在矩形中，， （2`）
。
。
在中，。
（2）如图（2`），设AE与FG的交点为，则以为圆心，以OA为半径的圆就是的外接圆。
若取AD的中点M，连结OM并延长交CB于点N。易知点N即⊙和CB相切的切点，。
设OA（即⊙的半径）为，则，
在中，解得。
在和中，
∽
即，得。
【说明】正是恰当地将背景图形和折叠（轴对称）的性质结合，使有关问题（1）的数量关系集中于；使有关问题（2）的数量关系集中于和（且它们又是相似的），使两个问题迅速获解。
例4 已知：矩形纸片中，AB=26厘米，厘米，点E在AD上，且厘米，点P是AB边上一动点，按如下操作：
步骤一，折叠纸片，使点P与点E重合，展开纸片得折痕（如图（1）所示）；
步骤二，过点P作交所在的直线于点Q，连结QE（如图（2）所示）；
（1）无论点P在AB边上任何位置，都有PQ QE（填“＞”、“=”、“＜”号 ）
（2）如图（3）所示，将矩形纸片放在直角坐标系中，按上述步骤一、二进行操作：
①当点P在A点时，与交于点点的坐标是（ ， ）；
②当厘米时，与交于点，点的坐标是（ ， ）；
③当厘米时，在图（3）中画出，（不要求写画法）并求出与的交点的坐标；
（3）点P在在运动过程中，与形成一系列的交点，…观察，猜想：众多的交点形成的图象是什么？并直接写出该图象的函数表达式。
（1） （2） （3）
【观察与思考】充分利用是PE的垂直平分线这一基本特征。
解：（1）
（2）① （0，3）； ② （6，6）；③ 画图，如图（3`），设 （3`）
与EP交于点F。
在中，
。
∽
。
（3）可以多取几个P点，画出相应的Q点，易发现应在同一条抛物线上，由该抛物线过
点（0，3），（6，6），（12，15），可得其函数关系式为。
由以上诸例的解法可以看出：
图形轴对称变换的问题，解决的关键就是把轴对称的性质（对称 的图形全等及对称轴是对应点连线的垂直平分线）和背景图形的特征恰当结合。
三、图形的旋转变换引出的计算与证明
这类问题解决的思考应当遵循以下两点：
Ⅰ、把背景图形研究清楚；
Ⅱ、把图形旋转的基本性质：“对应点与旋转中心连线的夹角都等于旋转角”和“旋转前后对应的两部分是全等的”。始终作为思考的指导。
例1 如图，将绕点A顺时针旋转60°后，得到，且为BC的中点，则等于（ ）
A、 1：2 B、 C、 D、1：3
【观察与思考】联合观察背景图形和旋转后的图形：
（1）中，（旋转角），所以，
是等边三角形；
（2）由恰为BC之中点，知，即中，
为斜边BC上的中线。将（1），（2）结合，则在中，，进而在中，特别地还有。对图形有了这些深入而具体的认识，立刻得出：
解：应选D。
【说明】可以看出，从背景，旋转两者结合的角度深入研究新构成的图形，把握其各种隐性的特征，是迅速，正确地获得解的关键。
例2 将两个含有锐角的全等直角三角板ABC和如图摆放，两个直角顶点C重合，AC和在同一条直线上，将三角板ABC以点C为旋转中心，沿顺时针方向分别旋转到达，的位置。分别和相交于点。
求，， 的值。
【观察与思考】（1）旋转30°时，对应的图形如图（1`），结合
背景图形和旋转的特征，得到中，
解法已清楚。
（2）旋转45°时，对应的图形如图（2`），结合背景图形和旋转的特征，知道：中，，立刻想到应作于借助沟通两个直角三角形和，解法也明朗了。
（3）旋转60°时，对应的图形如图（3`），结合背景图形和旋转的特征，知道：在中，，得，解法几乎是显然的。
（1`） （2`） （3`）
解：（1）旋转30°时，如图（1`），易知。
在中，，。
（2）旋转45°时，如图（2`），作于
在中，。
在中，。
。
（3）旋转60°时，如图（3`），在中，，得，。
【说明】旋转后的几何计算问题，多数情况下要借助旋转后形成的“新图形”，如本题的，而“新图形”的特征正好集中着原背景图形和所作旋转的特性。掌握与恰当运用这一规律，就能又好又快地获得问题的解法。
例3 如图，桌面内，直线上摆放着两个大小相同的直角三角板，它们中较小的直角边的长为6，较小锐角的度数为30°。
（1） 将关于直线对称图形①的位置，与相交于点，
请证明：；
（2）将沿直线向左平移到图②的位置，使点落在上的
点处，你可以求出平移的距离，试试看：
（3）将绕点逆时针旋转到图③的位置，使点落在上的点处，请求出旋转角的度数。
① ②
③
【观察与思考】本题的三问分别是针对图形的“轴对称”、“平移”和“旋转”三种变换的。
对于（1），将背景图形的情况（数量、关系）和“轴对称”（构成全等）结合起来，容易发现，当然结论就推出来了。
对于（2），将原背景图形的情况和“平移”的特征结合起来，容易发现和的相似关系，从中可以推知“平移”的距离。
对于（3）将原背景图形的情况和所作的特殊的“旋转”————使点绕点旋转旋转到恰好在边上，由此不难找到所对应的旋转角度。
解：（1）如图①，在和中，，
。
（2） 如图②∽
，但。
即平移距离
（3） 如图③，在中，在上， 且（因，可知为斜边的中线。，即，
旋转的角度。
【说明】从本题进一步看出：图形作轴对称变换时，多是研究“全等”（相等）关系；图形作平移变换时，多会出现“相似”关系；图形作旋转变换时，更多的是着眼于“角度”。这既是问题构成的特征，当然也是寻找解决时的思考应遵循的规律。
例4 如图，已知正方形与正方形的边长分别是和，它们的中心都在直线上，，在直线上，与相交于点，当正方形沿直线以每秒1个单位的速度向左平移时，正方形也绕以每秒45°顺时针方向开始旋转，在运动变化过程中，它们的形状和大小都不改变。
（1）在开始运动前， ；
（2）当两个正方形按照各自的运动方式同时运动3秒时，
正方形停止旋转，这时 ； ；
（3）当正方形停止旋转后，正方形继续向左平移的时间为秒，两正方形重叠部分的面积为，求与之间的函数表达式。
【观察与思考】对于（1），。
对于（2），这时点在上点的右侧，且，点到的距离为，即。
对于（3），应把运动全过程搞清楚：
（1） （2）
（3）
阴影部分的面积情况可分为四段，如图（1），图（2），图（3），还有图（3）后的两正方形不相交的情况，它们的分界点在～～～，对应的时刻为。然后分段计算出阴影正方形的面积即可。
简解： （1）9； （2）0，6；
（3）（1）如图（1），当时，所以与之间的函数关系式为。
（2）如图（2），当时，与之间的函数关系式为。
（3）如图（3），当时，，
所以与之间的函数关系式为。
（4）当时，与之间的函数关系式为。
【说明】本题突出了按变换分析图形及研究位置关系，只有把这两个方面研究清楚了，才可能有正确的解决方法。
由以上的解析使我们体会到：解答关于图形变换的问题，应注意两个角度的“结合”：
第一个角度，要充分而恰当地将背景图形的性质和变换本身的性质相结合，这样才容易看清楚新图形的性质；
第二个角度，要充分而恰当地将图形的操作与关系的推演相结合，很多情况正是图上的操作才更容易展示变换的全貌和分类、分段情况的。可以说，许多几何图形都是从图上“看出”其性质的，而后才通过计算或证明予以解决的。
练习题
1、将图（1）中的平行四边形沿对角线剪开，再将沿着方向平移，得到图（2）中的，连结，除与外，你还可以在图中找出哪几对全等三角形（不能另外添加辅助线和字母）？请选择其中的一对加以证明。
（2）
（1）
2、如图，矩形中，，将矩形沿对角线平移，平移后的矩形为始终在同一条直线上），当点与重合时停止移动，平移中与交于点与的延长线交于点与交于点与的延长线交于点设表示的面积。表示矩形的面积。
（1）与相等吗？请说明理由。
（2）设写出和之间的函数关系式，并求出取任何值时有最大值，最大 值是多少？
（3）连结，当为何值时，是等腰三角形。
3、如图（1）中，，矩形的长和宽分别为和，点和点重合，和在一条直线上，令不动，矩形沿所在的直线向右以每秒1的速度移动（如图（2），直到点与点重叠为止，设移动秒后，矩形与重叠部分的面积为。求之间的函数关系式。
（1） （2）
4、如图，在矩形中，，若将矩形折叠，使点与点重合，则折痕的长为（ ）
A、 B、 C、 5 D、 6
5、如图，已知边长为5的等边三角形纸片，点E在边上，点F在边上，沿着折痕，使点A落在边上的点的位置，且则的长是（ ）
A、 B、 C、 D、
6、在矩形纸片中，。沿折痕后，点C落在边上
的点处，点落在点处，与相交于点，。
（1）求的长；
（2）求四边形的面积。
7、台球是一项高雅的体育运动，其中包含了许多物理学、几何学知识。图（1）是一个台球桌，目标球F与E之间有一个G球阻挡。
（1）击球者想通过击打E球，让E球先撞台球桌的边，经过一次反弹后再撞击F球，他应将E球打到边上的哪一点？请在图中用尺规作出这一点H。并作出E球的运动路线；（不写画法，保留作图痕迹）。
（2）如图（2），现以为原点，建立直角坐标系，记，求E球按刚才方式运动到F球的路线长度。（忽略球的大小）
（2）
（1）
8、如图，在中，。将绕点C逆时针旋转30°得到，与AB相交于点D。求BD的长。
9、如图，为矩形ABCD的中心，将直角三角板的直角顶点与点重合，转动三角板使两直角边始终与相交，交点分别为。如果，则与的关系式为（ ）
A、 B、 C、 D、
10、把两块全等的直角三角板和叠放在一起，使三角板的锐角
顶点与三角板的斜边中点重合，其中，把三角板固定不动，让三角板绕点旋转，设射线与射线相交于点射线与相交于点
（1）如图（1），当射线经过点B，即点与点B重合时，易证∽。此时 。
（2）将三角板由图（1）所示的位置绕点按逆时针方向旋转，设旋转角为。其中
（如图（2），（3），问的值是否改变？说明你的理由。
（3）在（2）的条件下，设两块三角板重叠面积为，求与的函数关系式。
（1） （2） （3）
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