2024-2025学年广东省广州市联考高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省广州市联考高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.向量，，若，则( )
A. B. ，
C. ， D. ，
2.已知，则( )
A. B. C. D.
3.若直线经过两直线和的交点，则( )
A. B. C. D.
4.已知点，则点关于轴对称的点的坐标为( )
A. B. C. D.
5.从装有红球、白球和黑球各个的口袋内一次取出个球，给出以下事件：
两球都不是白球；
两球中恰有一白球；
两球中至少有一个白球．
其中与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是( )
A. B. C. D.
6.如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，，则点到直线的距离为( )
A.
B.
C.
D.
7.如图，二面角等于，、是棱上两点，、分别在半平面、内，，，且，则的长等于( )
A. B.
C. D.
8.在古装电视剧知否中，甲、乙两人进行一种投壶比赛，比赛投中得分情况分“有初”“贯耳”“散射”“双耳”“依竿”五种，其中“有初”算“两筹”，“贯耳”算“四筹”，“散射”算“五筹”，“双耳”算“六筹”，“依竿”算“十筹”，三场比赛得筹数最多者获胜．假设甲投中“有初”的概率为，投中“贯耳”的概率为，投中“散射”的概率为，投中“双耳”的概率为，投中“依竿”的概率为，乙的投掷水平与甲相同，且甲、乙投掷相互独立．比赛第一场，两人平局；第二场，甲投了个“贯耳”，乙投了个“双耳”，则三场比赛结束时，甲获胜的概率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知事件，发生的概率分别为，则下列说法正确的是( )
A. 若与互斥，则
B. 若与相互独立，则
C. 若，则与相互独立
D. 若发生时一定发生，则
10.下列说法正确的是( )
A. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件
B. “”是“直线与直线互相平行”的充要条件
C. 直线的倾斜角的取值范围是
D. 若点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是
11.如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是( )
A. 三棱锥的体积为定值
B. 异面直线与所成角的取值范围是
C. 平面与平面所成夹角的余弦值取值范围是
D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若直线的倾斜角为，则 ______．
13.已知平面的一个法向量为，点是平面上的一点，则点到平面的距离为______．
14.甲、乙两队进行答题比赛，每队名选手，规定两队的每名选手都完成一次答题为一轮比赛，每名选手答对一题得分，答错一题得分已知甲队中每名选手答对题的概率都为，乙队中名选手答对题的概率分别为在第一轮比赛中，甲队得分，乙队得分，则在这一轮中，满足且的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知点，，．
求直线的倾斜角，并写出直线的点斜式方程；
求点到直线的距离．
16.本小题分
从甲、乙、丙、丁位同学中选取位去参与项公益活动，试求下列事件的概率：
甲被选中；
丁没被选中；
甲、丁至少有人被选中．
17.本小题分
在长方体中，，，点在上，且．
求直线与平面所成角的正弦值；
求点到平面的距离．
18.本小题分
如图所示，平行六面体中，，，．
用向量表示向量，并求；
求．
19.本小题分
在中，，，，，分别是，上的点，满足，且经过的重心将沿折起到的位置，使，存在动点使如图所示．
求证：平面；
当时，求二面角的正弦值；
设直线与平面所成线面角为，求的最大值．
参考答案
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15.解：因为点，，，
所以，，
所以直线的倾斜角为，
直线的点斜式方程为，或写成注：写一个即可．
由可得直线的一般式方程为，
所以点到直线的距离．
16.解：基本事件总数为，
甲被选中包含的基本事件数为，
甲被选中的概率为；
丁没被选中包含的基本事件数为，
丁没被选中的概率为；
甲、丁至少有人被选中包含的基本事件数为，
甲、丁至少有人被选中的概率为．
17.解：以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，，
可得，，，
设平面的法向量为，
则，
令，则，可得，
可得，，
所以直线与平面所成角的正弦值为 ；
由可得：，
所以到平面的距离为
18.解：，
因为，，，
所以，，
所以，
所以．
由知，，，
而，，
所以，
所以．
19.证明：翻折前，由，，知，，
翻折后，，，
因为，、平面，
所以平面，
又平面，所以，
因为，，、平面，
所以平面．
解：因为经过的重心，且，，
所以，，，
由知平面，
所以，，
所以，
以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
当时，点是的中点，所以，
所以，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，，所以，
设平面的法向量为，则，
令，则，，所以，
设二面角的夹角为，
则，，
所以，
故二面角的正弦值为．
解：由知，，，，
所以，
所以，
设平面的法向量为，则，
令，则，，所以，
所以，，
当，即时，取得最大值．
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