2024-2025学年广东省广州市铁一中学三校联考高一（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省广州市铁一中学三校联考高一（上）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.给出下列命题，其中是正确命题的是( )
A. 两个函数，表示的是同一函数
B. 函数的单调递减区间是
C. 若函数的定义域为，则函数的定义域为
D. 命题“，”的否定是“，”
3.近日，我国某生命科学研究所的生物研究小组成员通过大量的实验和数据统计得出睡眠中的恒温动物的脉搏率单位时间内心跳的次数与其自身体重满足的函数模型已知一只恒温动物兔子的体重为、脉搏率为次，若经测量一匹马的脉搏率为次，则这匹马的体重为( )
A. B. C. D.
4.已知，，，那么下列命题中正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，，则
D. 若且，则
5.关于的不等式的解集为，则下列说法正确的个数是个．
；关于的不等式的解集为；；关于的不等式的解集为．
A. B. C. D.
6.已知函数为定义在上的奇函数，且在为减函数，在为增函数，，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
7.已知是定义域为的函数，，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.若对于定义域内的每一个，都有，则称函数为“双倍函数”已知函数是定义在上的“双倍函数”，且当时，，若函数恰有个不同的零点，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知实数满足，下列选项中正确的是( )
A. B. C. D.
10.已知，，且，则下列正确的有( )
A. 的最大值是 B. 的最小值是
C. 的最大值是 D. 的最小值是
11.定义在上的函数满足下列条件：；当时，，则( )
A. B. 当时，
C. D. 在上单调递增
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. ______．
13.已知幂函数过点，若，则实数的取值范围是______．
14.定义区间，，，的长度均为，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如，，的长度用表示不超过的最大整数，记，其中设，，当时，不等式解集区间的长度为，则的值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合．
若，求；
若存在正实数，使得“”是“”成立的充分不必要条件，求正实数的取值范围．
16.本小题分
设．
若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；
解关于的不等式．
17.本小题分
学习机是一种电子教学类产品，也统指对学习有辅助作用的所有电子教育器材学习机较其他移动终端更注重学习资源和教学策略的应用，课堂同步辅导、全科辅学功能、多国语言学习、标准专业词典以及内存自由扩充等功能成为学习机的主流竞争手段，越来越多的学习机产品全面兼容网络学习、情境学习、随身学习机外教、单词联想记忆、同步教材讲解、互动全真题库、权威词典、在线图书馆等多种模式，以及大内存和卡内存自由扩充功能根据市场调查，某学习机公司生产学习机的年固定成本为万元，每生产万部还需另投入万元设该公司一年内共生产该款学习机万部并全部销售完，每万部的销售收入为万元，且当该公司一年内共生产该款学习机万部并全部销售完时，年利润为万元；当该公司一年内共生产该款学习机万部并全部销售完时，年利润为万元．
写出年利润万元关于年产量万部的函数解析式；
当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．
18.本小题分
双曲函数是工程数学中一类重要的函数，它也是一类最重要的基本初等函数，它的性质非常丰富，常见的两类双曲函数为正余弦双曲函数，解析式如下：
双曲正弦函数，双曲余弦函数：．
请选择下列个结论中的一个结论进行证明：选择_____若两个均选择，则按照第一个计分
请证明双曲正弦函数在上是增函数；
求函数在上的值域．
19.本小题分
已知函数的定义域为，为大于的常数，对任意，都满足，则称函数在上具有“性质”．
试判断函数和函数是否具有“性质”无需证明；
若函数具有“性质”，且，求证：对任意，都有；
若函数的定义域为，且具有“性质”，试判断下列命题的真假，并说明理由．
若在区间上是严格增函数，则此函数在上也是严格增函数；
若在区间上是严格减函数，则此函数在上也是严格减函数．
参考答案
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15.解：，
因，则，．
当时，，所以．
因“”是“”成立的充分不必要条件，则是的真子集．
所以，经检验“”满足．
所以实数的取值范围是．
16.解：由题设，即对一切实数恒成立，
当时，不恒成立；
当时，只需，可得；
综上，实数的取值范围为；
当时，，即，可得，所以解集为；
当时，，
若，则，
若，即时，可得或，解集为；
若，即时，可得，解集为；
若，即时，可得或，解集为；
若，则，可得，解集为．
综上，当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为．
17.解：因为当生产该教学习机万部并全部销售完时，年利润为万元，
所以，解得．
当该公司一年内共生产该款学习机万部并全部销售完时，年利祠为万元，
所以，
解得．
当时，
当时，．
所以
当时，单调递增，所以
当时，，
由于，
当且仅当，即时取等号，
所以此时的最大值为，
综合知，当时，取得最大值为万元．
18.解：证明：若选择：由题意，，
则；
若选择：；
证明：，，，
则
，
因为，所以，，
所以，
即，
所以在上是增函数；
，
令，当且仅当时取等，
令，
所以在上单调递增，
故，
故的值域为．
19.解：函数不具有“性质”，函数具有“性质”，理由如下：
设，，
对任意的，，
所以，所以函数不具有“性质”，
对任意的，，
所以，所以函数具有“性质”．
证明：因为函数具有“性质”，对任意的，，
所以，
又因为，所以，
所以，由不等式的可加性可得，故对任意的，．
解：命题是假命题，命题是真命题，理由如下：
对于命题，取函数，由 可知，函数具有“性质”，
函数在区间上是严格增函数，但该函数在上不单调；
对于命题，对任意的，对任意的，，
所以，
对任意的，且，取，
必存在且，满足，
因为函数在区间上是严格减函数，
所以，即，
所以，
故，即
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