2024-2025学年福建省泉州市安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验学校高一（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年福建省泉州市安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验学校高一（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.已知，则有( )
A. B.
C. D.
4.函数的单调递增区间是( )
A. B. C. D.
5.函数的大致图象是( )
A. B.
C. D.
6.已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知，若正实数，满足，则的最小值是( )
A. B. C. D.
8.已知不等式的解集为，且不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若，给出下列不等式正确的是( )
A. B. C. D.
10.已知，，则“”是真命题的一个充分不必要条件是( )
A. B.
C. D.
11.已知定义在上的函数满足，当时，，且，则( )
A.
B. 为奇函数
C. 在上单调递减
D. 任意，存在，使得
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若函数，则 ______．
13.若函数为奇函数，则实数 ______．
14.已知正数，，满足，，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数的定义域为集合，集合．
求集合；
设全集，求，．
16.本小题分
已知函数．
用定义证明：函数在上是增函数；
解不等式：．
17.本小题分
某公司为提高企业经济效益，大力进行新产品研发，现计划投入万元，全部用于甲、乙两种产品的研发，每种产品至少要投入万元，在对市场进行调研分析完后发现，甲产品的利润，乙产品的利润与研发投入单位：万元满足，，设甲产品的投入为单位：万元，两种产品的总收益为单位：万元．
求的表达式，并求当甲产品投入万元时，两种产品的总收益为多少万元；
试问如何安排甲、乙两种产品的研发投入，才能使总收益最大？
18.本小题分
已知二次函数满足，且．
求函数的解析式；
解关于的不等式：．
若，对于实数，，记函数在区间上的最小值为，且恒成立，求实数的最小值．
19.本小题分
已知函数与的定义域均为，若对任意的、都有成立，则称函数是函数在上的“函数”．
若，，，判断函数是否是函数在上的“函数”，并说明理由；
若，函数是函数在上的“函数”，求实数的取值范围；
试比较和的大小，并证明：若，，函数是函数在上的“函数”，且，则对任意的、都有．
参考答案
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15.解：要使函数有意义，应满足，
解得，所以的定义域为．
不等式等价于，解得或，
所以或，所以，
所以，
则．
16.解：证明：当时，，
令，则，
，
即，
所以函数在上是增函数．
由函数，定义域为，关于原点对称，
又由，
所以函数为定义域上的奇函数．
由可得函数在上是增函数，
所以函数在上也是增函数，
又因为，所以函数在上是增函数，
由，即
即，
所以，即，
解得，
即实数的取值范围．
17.解：因为甲产品的投入为万元，则乙产品的投入为万元，
所以当时，，
当时，，
所以，
所以当时，，
即当甲产品投入万元时，两种产品的总收益为万元；
当时，令，
则总收益为，
所以当时，取得最大值万元，
当时，
当且仅当，即时，等号成立，
因为，
所以该公司在甲产品投入万元，在乙产品投入万元，总收益最大，最大总收益为万元．
18.解：设，
所以，
对照系数得：，解得，，
又因为，所以，
所以；
由可得：，即，
所以当时，，解得：；
当时，由，可得，
所以，，所以，解得，
当时，，，当，即时，解得：，
当，即时，解得：或；
当，即时，解得：或，
综上：当时，解集为：；
当时，解集为：；
当时，解集为：；
当时，解集为：；
当时，解集为：；
由可得，则函数在上连续．
当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以；
当时，在上单调递增，
所以．
综上，．
当时，恒成立，
即对恒成立，即，
易得函数在上单调递增，，所以，；
当时，恒成立，即恒成立，
因为函数、在上均为增函数，
则函数在上单调递增，且其最大值为，所以．
综上所述，实数的最小值为．
19.解：因为对任意的、都有成立，
则称函数是函数在上的“函数”．
对任意的、，且，又，，，
则，
显然有，
所以函数是函数在上的“函数”．
因为函数是函数在上的“函数”，
所以对任意的、恒成立，
即对任意的、恒成立，
化简得对任意的、恒成立，
即对任意的、恒成立，
即，解得．
因为，，所以．
所以当时，．
当 时，．
综上：．
证明：对于、，不妨设，
当时，
因为函数是函数在上的“函数”，
所以此时成立；
当时，由、得，
因为，函数是函数在上的“函数，
所以
，
此时也成立，
综上可得恒成立．
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