2024-2025学年广东省广州市广州一中高一（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省广州一中高一（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则的真子集个数为( )
A. B. C. D.
2.已知，，为实数，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.，，，则下列正确的是( )
A. B. C. D.
4.若对于任意实数都有，则( )
A. B. C. D.
5.已知关于的不等式的解集为，则的解集为( )
A. B.
C. D.
6.函数的图象大致是( )
A. B.
C. D.
7.若函数是上的单调函数，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知函数是定义在上的偶函数，若，，且，都有成立，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若，则下列不等式中正确的为( )
A. B. C. D.
10.下列选项正确的是( )
A. 若，则的最小值是
B. 若，则的最大值为
C. 已知，，，则的取值范围是
D. 已知，，，则的最小值为
11.已知函数的定义域为，对任意，，都有，当时，，且，则( )
A. ，都有
B. 当时，
C. 是减函数
D. 若，则不等式的解集为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，则 ______．
13.若幂函数，且在上是增函数，则实数 ______．
14.若对任意，都存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知非空集合，．
若，求；
若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围．
16.本小题分
已知函数是上的奇函数，且．
求；
用定义证明函数在上为增函数；
若，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知定义在上的奇函数，当时，．
求函数在上的解析式；
画出函数的图象；
若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．

18.本小题分
学习机是一种电子教学类产品，也统指对学习有辅助作用的所有电子教育器材学习机较其他移动终端更注重学习资源和教学策略的应用，课堂同步辅导、全科辅学功能、多国语言学习、标准专业词典以及内存自由扩充等功能成为学习机的主流竞争手段，越来越多的学习机产品全面兼容网络学习、情境学习、随身学习机外教、单词联想记忆、同步教材讲解、互动全真题库、权威词典、在线图书馆等多种模式，以及大内存和卡内存自由扩充功能根据市场调查，某学习机公司生产学习机的年固定成本为万元，每生产万部还需另投入万元设该公司一年内共生产该款学习机万部并全部销售完，每万部的销售收入为万元，且当该公司一年内共生产该款学习机万部并全部销售完时，年利润为万元；当该公司一年内共生产该款学习机万部并全部销售完时，年利润为万元．
写出年利润万元关于年产量万部的函数解析式；
当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．
19.本小题分
若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”．
判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由；
若函数在定义域上为“依赖函数”，求的取值范围；
已知函数在定义域上为“依赖函数”若存在实数，使得对任意的，不等式恒成立，求实数的最大值．
参考答案
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15.解：当时，集合，则或，
集合，解得或，
故或或，
由已知，若“”是“”的充分不必要条件，则，且，
则或，解得或，
综上所述，的取值范围是．
16.解：函数是上的奇函数，
，解得，
，又，
，
；
证明：任取，
则，，
故，
所以，
所以在上为增函数；
若，则，
由知，在上为增函数，
所以，
解得，
故的范围为．
17.解：设，，则，
又因为为奇函数，所以，于是时，
所以．
要使在上单调递增，
结合的图象知，
所以，故实数的取值范围是．
18.解：因为当生产该教学习机万部并全部销售完时，年利润为万元，
所以，解得．
当该公司一年内共生产该款学习机万部并全部销售完时，年利祠为万元，
所以，
解得．
当时，
当时，．
所以
当时，单调递增，所以
当时，，
由于，
当且仅当，即时取等号，
所以此时的最大值为，
综合知，当时，取得最大值为万元．
19.解：对于函数的定义域内存在，
则，故不是“依赖函数”．
因为在递增，
故，即，，
由，故，得，
从而，
设，
当时，函数单调递增，
故；
若，故在上最小值为，此时不存在，舍去；
若，故在上单调递增，
所以，解得或舍．
所以存在，使得对任意的，有不等式都成立，
即恒成立，
由，
得，由，可得，
又在单调递增，
故当时，，
从而，解得，
综上，故实数的最大值为．
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