2024-2025学年江苏省无锡市江阴市六校高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省无锡市江阴市六校高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线的一个方向向量为，则的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.若，则( )
A. B. C. D.
3.经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是( )
A. B.
C. 或 D. 或
4.已知直线与直线平行，则这两条平行直线间的距离为( )
A. B. C. D.
5.设为空间的一个基底，，，，若，，共面，则( )
A. B. C. D.
6.圆与圆的公切线条数是( )
A. B. C. D.
7.已知直线与圆交于，两点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.在正四棱柱中，，为棱的中点，为线段上的一点，且，则直线与直线所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 直线的横截距与纵截距之积为
B. 方程能表示平行轴的直线
C. 过点引直线，使点，到的距离相等，则的方程为
D. 点关于直线对称的点为
10.对于复数，下列说法正确的是( )
A. 若，则 B.
C. 一定是纯虚数 D. 若，，则
11.已知曲线：不同时为零，则( )
A. 上的点的到点的距离的最大值为
B. 上的点的横坐标的取值范围是
C. 围成的图形的面积为
D. 若上有四个点到直线的距离等于，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.经过圆：上的点的的切线方程为______．
13.已知斜三棱柱的所有棱长均为，，，分别为，的中点，则 ______．
14.已知两条互相垂直的直线，分别经过点，，公共点为，，则当取最小值时， ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，为棱的中点．
求证：平面；
求直线和平面所成的角的正弦值．
16.本小题分
已知复数，为实数．
求；
若复数在复平面内对应的点在第四象限，且为实系数方程的根，求实数的值．
17.本小题分
已知圆：，点．
过的直线截所得的弦长为，求的方程；
经过点和的圆与外切，过作的两条切线，切点分别为，，求直线的方程．
18.本小题分
如图，直三棱柱中，，，为棱的中点，为棱上一动点．
试确定的位置，使得平面；
求点到平面距离的最大值；
在的条件下，求平面与平面夹角的大小．
19.本小题分
已知圆：，过点的直线与相切，切点在第一象限，在轴上的射影为点．
求的坐标；
过且斜率不为零的另一条直线与交于，两点，在线段上．
若，求的坐标及线段的长；
设为线段的中点，直线交直线于点，证明：与轴平行．
参考答案
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15.解：证明：，且为棱的中点，
，
四边形为正方形，
，
又平面，平面，
，
，，平面，
平面，
平面，
，
又，，平面，
平面；
四边形为正方形，
，
以点为坐标原点，，，，方向分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
又为中点，
，
则，，，
设平面的法向量为，
则，则，
令，即，
，
直线与平面所成角的正弦值为．
16.解：由，为实数，则为实数，
所以，即，，
所以；
由在复平面内对应的点在第四象限，
得，，
又为实系数方程的根，
则，
所以，即，
又，所以．
17.解：圆：，可得圆心，半径，
易知直线斜率存在，设的方程为，即，
设圆心到直线的距离为，
因为截圆所得的弦长为，
即，
所以到的距离为，
即，解得或者，
所以的方程为或者；
因为圆经过点和，所以设，
又圆与圆外切于点，
所以，，与点共线，
则，得，即，
则圆半径为，圆方程为，
又，与圆相切，所以，，，四点在以为直径的圆上，
圆的方程为，即，
直线为圆与圆的公共点所在的直线，
由，
两式相减得直线的方程为：．
18.解：当在中点处时，面，理由如下：
因为在直棱柱中，，
故以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建系如图：
则，，，，
，，，
所以，，
设平面的一个法向量为，
则，取，
设，则，又平面，
令，解得，
故在中点处时，平面；
设，为平面的一个法向量，
又，，，
所以，取，
所以到平面的距离为，
根据一元二次函数的性质可得：
当时，到平面的距离的最大值为；
由知平面的一个法向量为，
又平面的一个法向量为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为，
则平面与平面夹角的大小为．
19.解：圆：，过点的直线与相切，切点在第一象限，
，
由，，为以为斜边的等腰直角三角形，
由第一象限的点在轴上的射影为，为的中点，
点的坐标为．
设，，则，
即，，
又，
解得，，
的坐标为或者，
此时，取为线段的中点，则，由，
且为中点，则，．
证明：为线段的中点，，
设，，直线方程为，，
联立方程组，得，
由韦达定理结合直线方程可得，
，且，，，
直线方程为，直线方程为，得，
则
，
，又，与轴平行．
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