2024-2025学年宁夏银川一中高一（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年宁夏银川一中高一（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，，则的真子集的个数为( )
A. B. C. D.
2.已知点在幂函数的图象上，则( )
A. B. C. D.
3.函数的图象是( )
A. B. C. D.
4.函数的单调递减区间是( )
A. B. C. D.
5.已知，，，均为实数，则下列命题正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若且，则
6.函数为定义在上严格减函数，若，则( )
A. B.
C. D.
7.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
8.定义为，，中的最大值，设，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中正确的有( )
A. 命题：，”则命题的否定是，
B. “”是“”的必要不充分条件
C. 命题“，”是真命题
D. “”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件
10.已知函数，则( )
A. B. 的最小值为
C. 的定义域为 D. 的值域为
11.已知函数，则( )
A. 的定义域为
B. 的值域为
C. 的图象关于点对称
D. 若在上单调递减，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数为上的偶函数，当时，，则时， ______．
13.已知函数，则 ______．
14.若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”已知函数是“函数”，则实数的取值范围是______用区间表示．
四、解答题：本题共5小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
求函数的最小值；
已知，且，求使不等式恒成立的实数的取值范围．
16.本小题分
已知函数的解析式为．
画出这个函数的图象，并解不等式；
若直线为常数与函数的图象有两个公共点，直接写出的范围．
17.本小题分
已知函数是奇函数，且．
若函数在区间递增，求实数的取值范围；
设，若对，，使得成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知函数．
证明：函数是奇函数；
用定义证明：函数在上是增函数；
若关于的不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
设函数的定义域为，且区间若函数在区间上单调递增，则称函数在区间上具有性质；若函数在区间上单调递增，则称函数在区间上具有性质．
若函数在区间上具有性质，求实数的取值范围；
试证明：“函数在区间上具有性质”是“函数位区间上单调递增”的充分不必要条件；
若函数在区间上同时具有性质和性质，求实数的取值范围．
参考答案
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15.解：由，得，
因此，
当且仅当，即时取等号，所以原函数的最小值为．
不等式恒成立，即，，，
因为，且，
所以．
当且仅当，即时取到最小值．
故，即．
16.解：根据分段函数的解析式，画出函数的图象，
当时，，所以恒成立，
当时，，所以，
当时，，所以，
综上可知，或，
所以不等式的解集为或；
如图，与有个交点，则或．
17.解：由函数是上的奇函数，且，得，
解得，，
由函数在区间上单调递增，得，解得，
所以实数的取值范围是．
由对，，使得成立，
得函数在区间的值域为在区间上值域的子集，
当，的值域为，
的对称轴为，
当时，函数在区间上单调递增，的值域为，
由，得，解得；
当时，函数在区间上单调递减，的值域为，
由，得，解得，
所以实数的取值范围．
18.解：证明：由函数，可得其定义域为，关于原点对称，
又由，
所以函数为定义域上的奇函数；
证明：当时，
，
任取，，且，
可得
，
因为，，且，
可得，，
所以，
即，
所以函数在上是增函数；
因为函数为定义域上的奇函数，且在上是增函数，
所以函数在上也是增函数，
又因为，
所以函数在上是增函数，
又由，
可得，
因为不等式对于任意实数恒成立，
即不等式对于任意实数恒成立，
可得不等式对于任意实数恒成立，
即不等式对于任意实数恒成立，
当时，不等式即为恒成立，符合题意；
当时，则满足，
解得，
综上可得，，
即实数的取值范围．
19.解：若具有性质，即可知在区间上单调递增．
对任意，，且，
则，
因为，则，，
可得恒成立，则，
所以实数的取值范围是．
若函数在区间上具有性质，
对任意，且，
由条件可知
变形可得，即，
所以在区间上单调递增，即充分性成立；
若函数位区间上单调递增，如在任意区间上单调递增，
但，故不符合性质，即必要性不成立；
所以“在区间上具有性质”是“在区间上单调递增”的充分不必要条件．
由条件可知，具有性质，即在区间上单调递增；
由条件可知，具有性质，即在区间上单调递增；
由对勾函数可知：的增区间为，，
的增区间为，
要使得条件成立，需要或，
所以实数的取值范围是或．
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