2024-2025学年甘肃省兰州市兰州大学附中高一（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年甘肃省兰州大学附中高一（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知命题：，，命题：，则( )
A. 和都是真命题 B. 和都是真命题
C. 和都是真命题 D. 和都是真命题
3.地球表面被很厚的大气层包围，大气层的厚度大约在以上，整个大气层高度不同表现出不同的特点，分为对流层、平流层、中间层、暖层和散逸层，再上面就是星际空间了平流层是指地面以上到的区域，下述不等式中，能表示平流层高度的是( )
A. B. C. D.
4.已知函数，且，则( )
A. B. C. D.
5.已知正数、满足，不等式恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.已知函数满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.世界上海拔最高的天然“心形湖”位于四川省康定县的情歌木格措景区，被誉为藏在川西的“天空之心”这个湖泊位于青藏高原，呈现出明亮的蓝绿色，水质清澈宛如明镜湖泊周围环抱着雪山和梅花峰，景色优美迷人如图是这个“心形湖”的轮廓，其形状如一颗爱心图是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为( )
A. B.
C. D.
8.定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列四个图形各表示两个变量，的对应关系，其中表示是的函数关系的是( )
A. B.
C. D.
10.下列说法正确的是( )
A. 已知，，则
B. 命题“，”的否定是“，或”
C. 函数的定义域为，则函数的定义域为
D. 若，，则
11.已知函数的定义域为，且当时，，则下列说法正确的是( )
A. 是奇函数
B. 为增函数
C. 若实数满足不等式，则的取值范围为
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的定义域是______．
13.已知方程的两根一个比大另一个比小，则实数的范围是______．
14.俄国数学家切比雪夫是研究直线逼近函数理论的先驱对定义在非空集合上的函数，以及函数，切比雪夫将函数，的最大值称为函数与的“偏差”若，，则函数与的“偏差”取得最小值时，的值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知全集，集合，．
当时，求，；
若，求的取值范围．
若是的_____条件，求实数的取值集合．
请从下面两个条件中选择一个，填在上面横线中，使得的取值集合非空．
必要不充分
充分不必要
16.本小题分
为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为吨，最多为吨，月处理成本元与月处理量吨之间的函数关系可近似的表示为：，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为元．
该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？
17.本小题分
已知函数是定义在上的奇函数，当时，．
当时，求的解析式；
判断在上的单调性，并用定义证明；
若对于恒成立，求的取值范围．
18.本小题分
已知函数，．
若函数在上单调递减，求的取值范围．
讨论函数的零点个数．
解关于的不等式．
19.本小题分
已知函数的图象过点，且满足．
求函数的解析式；
求函数在上的最大值；
若满足，则称为函数的不动点若函数有两个不相等的不动点，，且，，求的最小值．
参考答案
1.
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4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.，且
13.
14.
15.解：因为，
当时，，
所以或，或，
所以．
因为，
所以或，
所以 的取值范围为或．
若选择必要不充分，则，所以，且等号不会同时成立．
解得，
故的范围为．
若选择充分不必要，则，所以，解得，不符合题意，
所以选择必要不充分使得的取值集合非空．
16.解：由题意可知，
二氧化碳的每吨平均处理成本为：
，
当且仅当，即时，
才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为元．
设该单位每月获利为，
则分
因为，所以当时，有最大值．
故该单位不获利，需要国家每月至少补贴元，才能不亏损．
17.解：当时，
，
当时，，
，
又因为为奇函数，则，则．
函数在单调递增，
证明如下：
设任意的，，且，
，
因为，，且，，，
则，即，所以函数在单调递增．
由可得函数在单调递增，又因为是奇函数，
则在单调递增，由对恒成立，
即对恒成立，
则，即对恒成立，
令，
任取，，
由，，
则，
所以当时，单调递减，则当时，，
所以的取值范围为．
18.解：当时，在上单调递减，符合题意；
当时，对称轴为，开口向上，在上单调递增，不合题意；
当时，在上单调递减，所以，解得，所以．
综上，的取值范围．
当时，，函数有一个零点；
当时，，
当时，解得，
所以当时，函数无零点；
当时，解得或，
所以当或时，函数有一个零点；
当时，解得或，
所以当时，函数有两个零点；
综上，当时，函数无零点；
当或或时，函数有一个零点；
当时，函数有两个零点．
当时，，解得；
当时，，
当时，此时，的取值范围是；
当时，此时，的取值范围是；
当时，此时，的取值范围是．
当时，，的取值范围是；
综上，当时，的取值范围是；当时，的取值范围是；
当时，的取值范围是；当时，的取值范围是；
当时，的取值范围是．
19.解：因为函数的图象过点，所以，
又因为，所以，解得，
所以；
由，，
当时，即，
函数在单调递减，所以；
当时，函数在单调递增，所以；
当时，即，函数在单调递减，在单调递增，
根据二次函数性质可知端点与对称轴的距离比端点与对称轴的距离大，
所以；
当时，即，函数在单调递减，在单调递增，
根据二次函数性质可知端点与对称轴的距离比端点与对称轴的距离小，
所以；
当时，即，函数在单调递减，在单调递增，
根据二次函数性质可知端点与对称轴的距离和端点与对称轴的距离相等，
所以；
综上所述：；
因为函数有两个不相等的不动点，，且，，
所以，即方程有两个不相等的正实根，，
所以，解得．
，
因为，所以，，所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，
所以的最小值为．
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