2024-2025学年福建省厦门三中高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年福建省厦门三中高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.过点且倾斜角为的直线方程为( )
A. B.
C. D.
2.已知直线：，直线：，若，则与的距离为( )
A. B. C. D.
3.已知，若共面，则实数的值为( )
A. B. C. D.
4.在直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
5.在棱长为的正方体中，点为棱的中点，则点到直线的距离为( )
A.
B.
C.
D.
6.若直线与曲线恰有一个公共点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知点，，直线：，点在直线上，则的最大值为( )
A. B. C. D.
8.在三棱锥中，，且记直线，，与平面所成角分别为，，，已知，当三棱锥的体积最小时，( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中，正确的是( )
A. 如果且，那么直线不经过第三象限
B. 空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为
C. 过点且和直线垂直的直线方程是
D. 已知直线过定点且与以，为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是
10.如图，在三棱锥中，，，且，点是的中点，是上的一点，且，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
11.如图，矩形所在平面与正方形所在平面互相垂直，，为线段上的动点，则( )
A. 若为线段的中点，则平面
B.
C. 的最小值为
D. 点到平面的距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，，则向量在上的投影向量的坐标是______．
13.在平面直角坐标系中，圆经过点和点，且圆心在直线上，若直线被圆截得弦长为，则实数的值为______．
14.已知：，直线：，为上的动点过点作的切线，，切点分别为，，当最小时，点的坐标为______，直线的方程为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知直线：过定点，点在直线上，求的最小值．
直线经过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的倍，求直线的方程．
16.本小题分
如图，三棱台中，，，，侧棱平面，点是的中点．
求证：平面；
求平面和平面夹角的余弦值．
17.本小题分
已知圆：．
直线截圆的弦长为，求的值．
记圆与、轴的正半轴分别交于，两点，动点满足，问：动点的轨迹与圆是否有两个公共点？若有，求出公共弦长；若没有，说明理由．
18.本小题分
如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点，是边长为的等边三角形，且．
求直线和平面所成角的正弦值；
在棱上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，并求出的值．
19.本小题分
已知圆：，直线：．
若直线与圆相切，求的值；
若直线与圆交于不同的两点，，当为锐角时，求的取值范围；
若，是直线上的动点，过作圆的两条切线，，切点为，，探究：直线是否过定点，若过定点，则求出该定点．
参考答案
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15.解：由，整理得，可知直线过定点．
根据题意，的最小值就是点到直线的距离，
结合点到直线的距离公式，可得．
若直线经过原点，
则直线在轴上的截距是在轴上的截距的倍，符合题意．
设直线的方程为，将代入，解得，
所以直线方程为，即；
若直线不经过原点，设直线方程为，
将代入，解得，
所以直线方程为，即．
综上所述，所求直线的方程为或．
16.证明：由题意知，平面，，
故以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，
所以，
设平面的法向量为，则，
令，则，，所以，
所以，即，
所以平面C.
解：由可知，
设平面的法向量为，则，
令，则，，所以，
设平面与平面的夹角为，则，，
所以平面和平面夹角的余弦值为．
17.解：因为圆心到直线距离为，
所以，解得；
，，设，
由得，
化简得：，即，
所以动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
圆心距，，两圆相交，
所以两圆有两个公共点，
由两圆方程相减得公共弦所在直线方程为，
圆心到公共弦的距离为，则公共弦长为．
18.证明：分别取、的中点为、，连结、，
因为为的中点，是边长为的等边三角形，
所以是直角三角形，，，，
因为、的中点为、，所以，，，
因为，为的中点，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，是三棱锥底面的高，是直角三角形，
因为，解得，
以点为坐标原点，分别以、、所在的直线为，，轴，如图建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，
所以，，
设是平面的一个法向量，则，，
则，即，
令，则，所以，，，
所以，
所以直线和平面所成角的正弦值等于；
解：在棱上存在点，使二面角的大小为．
设，
由知，，，
，，
，
因为是平面的一个法向量，
设是平面的一个法向量，则，，
则，即，
取，，所以，
因为二面角的大小为
所以，
即，
整理得， 解得，或舍去，
所以，，，
所以，在棱上存在点，使二面角的大小为，．
19.解：圆：，直线：直线与圆相切，
圆心到直线的距离等于半径，
即，
解得．
设，的坐标分别为，，
将直线：代入，整理，得，
，，
，即，
当为锐角时，
，
解得，
又，或．
故的取值范围为
由题意知，，，四点共圆且在以为直径的圆上，
设，其方程为，
，
又，在圆：上，
：，即，
由，得，
直线过定点
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