2024-2025学年广东省广州市三校高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省广州市三校高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知为纯虚数，则在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.在内将某种药物注射进患者的血液中．在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．能反映血液中药物含量随时间变化的图象是( )
A. B.
C. D.
3.设全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为( )
A.
B.
C.
D. ，
4.设，，且，则( )
A. B. C. D.
5.在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是( )
A. B. C. D.
6.已知点关于直线的对称点为，经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为( )
A. B.
C. D.
7.在平面直角坐标系中，已知点，若直线上存在点，使得，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知，都是定义在上的函数，对任意、满足，且，则下列说法正确的是( )
A. B. 函数的图象关于点对称
C. D. 若，则
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对任意实数，，，下列命题中正确的是( )
A. “”是“”的充要条件
B. “是无理数”是“，都是无理数”的既不充分也不必要条件
C. “”是“”的充分不必要条件
D. “”是“”的必要不充分条件
10.已知函数的图象关于点中心对称，则( )
A. B. 直线是曲线的对称轴
C. 在区间有两个极值点 D. 在区间单调递增
11.两个正方形框架，的边长都是，且它们所在的平面互相垂直，动点，分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记( )
A. 平面
B. 三棱锥的外接球的表面积为
C. 当的长最小时，平面与平面夹角的余弦值
D. 当的长最小时，直线到平面的距离
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.年月日神舟十五号载人飞行任务取得圆满成功，费俊龙、邓清明、张陆这三位航天员在空间站上工作了天，此次神舟十五号载人飞船返回，是我国空间站转入应用与发展阶段后的首次返回任务，掀开了中国航天空间站的历史新篇章为科普航天知识，某校组织学生参与航天知识竞答活动，某班位同学成绩如下：，，，，，，，，若去掉，该组数据的第百分位数保持不变，则整数的值可以是 写出一个满足条件的值即可．
13.圆内有一点，过点的直线与圆交于两点，且弦被点平分，则直线的方程______．
14.已知函数的值域是，若，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在一个盒子中有个白球，个红球，甲、乙两人轮流从盒子中随机地取球，甲先取，乙后取，然后甲再取，，每次取个，取后不放回，直到个白球都被取出来后就停止取球．
求个白球都被甲取出的概率；
求将球全部取出才停止取球的概率．
16.本小题分
已知，，分别为三个内角，，的对边，且．
求；
若为边上的中线，，，求的面积．
17.本小题分
已知的三个顶点分别为，，，直线经过点．
求外接圆的标准方程；
若直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程；
若，是圆上的两个动点，当最大时，求直线的方程．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，，，，
，，．
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值；
在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
19.本小题分
常用测量距离的方式有种设，，定义欧几里得距离，定义曼哈顿距离，定义余弦距离，其中为坐标原点．
若，，求，之间的欧几里得距离和余弦距离；
若点在函数的图象上且，点的坐标为，求的最小值；
若，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.均可
13.
14.
15.解：若个白球都被甲取出记为事件，三种情况：
第一次甲取出白球，第二次乙取出红球，第三次甲取出白球，结束取球，其概率为；
第一次甲取出白球，第二次乙取出红球，第三次甲取出红球，第四次乙取出红球，第五次甲取白球，
其概率为；
第一次甲取出红球，第二次乙取出红球，第三次甲取出白球，第四次乙取出红球，第五次甲取白球，
其概率为；
故．
所以个白球都被甲取出的概率为，
若将球全部取出才停止取球记为事件，则最后一次即第次取出的一定是白球，
四种情况：第次和第次取出的是白球，另外次取出的是红球，
其概率为；
第次和第次取出的是白球，另外次取出的是红球，其概率为；
第次和第次取出的是白球，另外次取出的是红球，
其概率为；
第次和第次取出的是白球，另外次取出的是红球，其概率为；
故．
所以将球全部取出才停止取球的概率为．
16.解：由题意知，，
由正弦定理得：，
由得，
，
则，
又，则，
化简得，，即，
又，所以；
在中，得，
则
由正弦定理得，
设、，
在中，由余弦定理得：
，
，
解得，
则，
所以的面积．
17.解：设圆的方程为，，
则，解得，
则圆的方程为，
整理可得圆的标准方程为；
由得圆心，半径，
又，可知圆心到直线的距离，
当直线斜率不存在时，直线方程为，
此时圆心到直线的距离为，成立；
当直线斜率存在时，设直线方程为，即，
圆心到直线的距离，
解得，则直线方程为，即；
综上，直线方程为或；
由在圆外，当，与圆相切时不重合，
取的最大值，
此时的中点为，，
所以以为直径的半径为，
所以以为直径的圆的方程为，
即，
又圆的方程为，
整理可得：，
所以直线的方程为：．
18.证明：平面平面，且平面平面，
且，平面，
平面，
平面，
，
又，且，、平面，
平面；
解：取中点为，连接，，
，
，
又，
．
平面平面，且平面平面，
且平面，
平面，
以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图：
则，，，，
则，，
设为平面的法向量，
则由，得，令，则．
设与平面的夹角为，则
；
解：假设存在点使得平面，设，，
由知，，，，，，
则有，可得，
，
平面，为平面的法向量，
，即，解得．
综上，存在点，即当时，点即为所求．
19.解：根据定义，可得，
因，
则；
点在函数的图象上且，点的坐标为，
故，
当时，，
函数在上单调递减，
故，当且仅当时取等号；
当时，，
令，由于，故；
当时，，
函数在上单调递增，
故，当且仅当时取等号；
综上可知，的最小值为；
若，
则
，
令，则，
即与有交点，
也即半圆与直线有交点，
如图，先计算直线与半圆相切和经过点时的情况，
由圆心到直线的距离为，
可得，解得，
由图知此时，即，
又由，代入点，解得，
由图知，要使两者有交点，需使，
此时，
故，
所以的取值范围是．
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