2024-2025学年云南省昆明市云南大学附中星耀学校高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年云南大学附中星耀学校高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知点为坐标原点，点，则( )
A. B. C. D.
2.已知圆：和圆：，则两圆公共弦所在直线方程为( )
A. B.
C. D.
3.已知空间单位向量，，两两垂直，则( )
A. B. C. D.
4.若点在运动过程中，总满足关系式，则的轨迹方程为( )
A. B. C. D.
5.如图，三棱柱中，为棱的中点，若，，，则( )
A.
B.
C.
D.
6.已知椭圆的左右焦点分别是、，焦距为，若直线与椭圆交于点，且满足，则椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
7.若直线：与曲线：恰有两个交点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.数学家欧拉在年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，这条直线后人称之为三角形的欧拉线．已知的顶点，，，则其欧拉线的一般式方程为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知是椭圆上一点，、分别为的左、右焦点，则下列结论正确的是( )
A. B. 矩轴长为
C. 离心率为 D. 三角形周长为
10.已知直线：，，，则下列结论正确的是( )
A. 直线恒过定点 B. 当时，直线的倾斜角为
C. 当时，直线与平行 D. 当时，直线与直线垂直
11.如图，在棱长为的正方体中，为线段上的动点，则下列结论错误的是( )
A. 直线与所成的角可能为
B. 当时，点到平面的距离为
C. 当时，
D. 点到的最短距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知空间向量，，向量在向量上的投影向量坐标为______．
13.过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为______．
14.阿基米德公元前年公元前年不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴与短半轴的乘积．已知平面直角坐标系中，椭圆：的面积为，两焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形．则椭圆的标准方程______若过点的直线与交于不同的两点，，则面积的最大值______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知圆的圆心在直线上，且过圆上一点的切线方程为 ．
Ⅰ求圆的方程；
Ⅱ设过点的直线与圆交于另一点，以为直径的圆过原点，求直线的方程．
16.本小题分
已知椭圆的离心率为，且短轴长为．
求的方程；
若直线与交于、两点，且弦的中点为，求的一般式方程．
17.本小题分
如图，空间四边形中，，．
Ⅰ求证：；
Ⅱ若为正四面体，是中点，是中点，求与的夹角余弦值．
18.本小题分
将边长为的正方形沿对角线折叠，使得平面平面，平面，且．
Ⅰ求证：；
Ⅱ求与平面所成角的正弦值；
Ⅲ直线上是否存在一点，使得平面，若存在，求点的位置，不存在请说明理由．
19.本小题分
设点、分别是椭圆的左、右焦点，且椭圆上的点与两焦点构成的三角形面积最大值为点、是椭圆上位于轴上方的两点，且向量与向量平行．
Ⅰ求椭圆的方程；
Ⅱ当时，求的面积；
Ⅲ当时，求直线的方程．
参考答案
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15.解：Ⅰ由题意，过点的直径所在直线方程为；
由解得圆心坐标为；
半径；
圆的方程为；
Ⅱ解法一：以为直径的圆过原点，；
又，；
直线方程为；
由，可得点坐标为；
直线方程为，
即直线的方程为；
解法二：当不与轴垂直时，设直线的方程为，
且，；
由
解得，
，；
，，，，
由题意，；
，解得；
当与轴垂直时，解得，与题意不符，
直线的方程为．
16.解：由题意得，，，又，
解得：，
所以的方程为：；
由题，设，
因为的中点为，
则，，
因为点，在椭圆上，
则，
两式作差得：，
即，
所以，
故直线的方程为：，整理得：，
即直线的一般式方程为：．
17.Ⅰ证明：，，
，，可得，．
，
，即；
Ⅱ解：设正四面体的棱长为，则．
正三角形中，是的中点，
，同理可得．
，，
．
与的夹角余弦值为，．
18. 解：Ⅰ以为坐标原点，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，
取的中点并连接，；由题意可得且，
又平面平面，平面平面，平面，平面，
所以的坐标为，
，，
，
故DE；
Ⅱ设平面的法向量为，，，则
，即，
令得 又，
设平面与平面所成角为，
则，；
Ⅲ假设存在点使得面，则
，，得，，，
又因为平面，平面，，，
，，平面，所以平面，
因为面，则 即，
得，．
故点为的中点时面．


19.解：Ⅰ由于三角形的底边长即椭圆的焦距为定值，
所以面积最大时高最大，即三角形的顶点为椭圆的上顶点，
由椭圆方程可得：，
所以，
所以椭圆方程为：；
Ⅱ由Ⅰ可得，，
点、是椭圆上位于轴上方的两点，可设，，
则，，
因为，
则，又，
解得：，，
故，，，
因为向量与向量平行，
所以直线的斜率为，
所以直线 的方程为，
联立，解得，舍去，或，
所以，
所以，
点到直线直线的距离，
所以的面积为；
Ⅲ因为向量 与向量 平行，不妨设 ，
因为，
所以，显然，
设，，
所以，，
所以，
因为，则，
所以，
即，则，
所以，
所以，
所以，
所以，
解得：，或舍去
所以，
，
则，
所以，
所以直线的方程为，
即．
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