2024-2025学年河南省郑州第二高级中学等校高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年河南省郑州第二高级中学等校高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的一个方向向量是( )
A. B. C. D.
2.已知空知向量，，则向量在向量上的投影向量是( )
A. B. C. D.
3.已知方程表示一个焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
4.已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是( )
A. B. C. D.
5.直线的倾斜角的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.如图，在棱长为的正四面体四个面都是正三角形中，，分别为，的中点，则直线和夹角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
7.若圆：上恰有个点到直线：的距离为，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.已知实数，满足，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若空间中，，，满足，则，，三点共线
B. 空间中三个非零向量，若，，则
C. 对空间任意一点和不共线三点，，，若，则，，，共面
D. ，，若，则与的夹角为锐角
10.下列说法不正确的有( )
A. 若两条直线与互相平行，则实数的值为
B. 若直线不经过第三象限，则在第二象限
C. 过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为
D. 已知直线和以，为端点的线段相交，则实数的取值范围为或
11.在平面直角坐标系中，，动点满足，得到动点的轨迹是曲线则下列说法正确的是( )
A. 曲线的方程为
B. 若直线与曲线有公共点，则的取值范围是
C. 当，，三点不共线时，若点，则射线平分
D. 过曲线外一点作曲线的切线，切点分别为，，则直线过定点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.方程化简后为______．
13.如图，的二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于，已知，，，则的长为______．
14.阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两定点，的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点为轴上一点，且，若点，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的三个顶点分别为，，，求：
边上中线所在直线的方程；
边的垂直平分线的方程；
的外接圆方程．
16.本小题分
如图，在棱长为的平行六面体中，．
求线段的长度；
求直线与直线的夹角的余弦值．
17.本小题分
已知以点为圆心的圆与直线：相切，过点的动直线与圆相交于，两点．
求圆的方程；
当时，求直线的方程．
18.本小题分
在如图所示的实验装置中，两个正方形框架，的边长都是，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子，分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等．记
求的长；
为何值时，的长最小？
当的长最小时，求平面与平面夹角的余弦值．
19.本小题分
在空间直角坐标系中，已知向量，点，若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程表示为．
已知直线的标准式方程为，平面的点法式方程可表示为，求直线与平面所成角的正弦值；
已知平面的点法式方程可表示为，平面外一点，求点到平面的距离；
若集合，，记集合中所有点构成的几何体为，求几何体的体积．
参考答案
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15.解：设边的中点的坐标为，
则，，
所以边的中线过点，两点，
由截距式得所在直线方程为，
即；
直线的斜率，
则直线的垂直平分线的斜率，
由知，中点的坐标为，
由点斜式得直线的方程为，
即；
设的外接圆方程为，
将，，，
代入方程得，
解得，，，
所以的外接圆的方程为．
16.解：如图所示：
由图可知，
因此
，
；
，
由可知，
，
，
又
，
，由知，
不妨设直线与直线的夹角为，
，
故直线与直线的夹角的余弦值为．
17.解：设圆的半径为 因为圆与直线：相切，
所以，
所以圆的方程为；
当直线与轴垂直时，，满足题意；
当直线与轴不垂直时，
设直线的方程为，即，
由于，于是，
解得，
此时直线的方程为，
综上，直线的方程为或
18.解：如图建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，．
；
，
当时，最小；
由可知，当，为中点时，最短，
则，，取的中点，连接，，
则，
，，，，
是平面与平面的夹角或其补角，
，，
．
平面与平面夹角的余弦值是．
19.解：由已知可得直线的方向向量，
平面的法向量，
记直线与平面所成角为，
则，
即可得直线与平面所成角的正弦值为；
由已知可得平面的法向量，
在平面内任取一点，
又，则，
可得点到平面的距离，
故点到平面的距离；
由集合，可知几何体中点的集合为，，如下图所示：
可知是一个底面以为棱长，高为的正四棱柱，
所以．
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