2024-2025学年福建省部分达标学校高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年福建省部分达标学校高二（上）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线在轴上的截距为( )
A. B. C. D.
2.已知数列满足，其前项和为，则( )
A. B. C. D.
3.已知直线过点，，若的倾斜角的取值范围是，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.已知等差数列的前项和为，，则( )
A. B. C. D.
5.已知圆：的圆心为，为坐标原点，则以为直径的圆的方程为( )
A. B.
C. D.
6.已知圆：与圆关于直线对称，则圆的方程为( )
A. B.
C. D.
7.记等比数列的前项和为，若，则( )
A. B. C. D.
8.已知圆：，直线：，为圆上一动点为直线上一动点，定点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知等比数列的首项为，公比不为，若，，成等差数列，则( )
A. 的公比为 B. 的公比为
C. 的前项和为 D. ，，成等差数列
10.已知直线：与：，过定点，则下列说法正确的是( )
A. “”是“”的必要不充分条件 B. “”的充要条件是“”
C. 点的坐标为 D. 点到直线的距离的最大值为
11.在平面直角坐标系中，的顶点，，且，记的顶点的轨迹为，则下列说法正确的是( )
A. 轨迹的方程为
B. 面积的最大值为
C. 边上的高的最大值为
D. 若为直角三角形，则直线被轨迹截得的弦长的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋数学家沈括首创的“隙积术”就是关于高阶等差级数求和的问题现有一货物堆，从上向下查，第一层有个货物，第二层比第一层多个，第三层比第二层多个，以此类推，记第层货物的个数为，则 ______．
13.若点在圆的外部，则正实数的取值范围是______．
14.若等差数列满足，，则当 ______时，的前项和最小．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知点，．
求直线的一般式方程；
求以线段为直径的圆的标准方程；
求中的圆在点处的切线方程．
16.本小题分
已知数列满足，，记．
证明：数列是等比数列．
求的通项公式．
17.本小题分
已知圆：为常数．
当时，求直线被圆截得的弦长．
证明：圆经过两个定点．
设圆经过的两个定点为，，若，且，求圆的标准方程．
18.本小题分
在递增的等差数列中，，．
求的通项公式；
求数列的前项和．
19.本小题分
已知圆：，点在圆上，点，在轴上，且关于轴对称．
圆在点处的切线的斜率为，直线，的斜率分别为，，证明：为定值．
过点作轴，垂足为，，点满足．
直线与圆的另一个交点为，且为线段的中点，，求；
证明：直线与圆相切．
参考答案
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15.解：因为，，
所以直线的斜率为，
则直线的方程为，
即；
由题意可知圆心为线段的中点，即，
半径，
故所求圆的标准方程为；
直线的斜率为，则所求切线的斜率为，
故所求的切线方程为，
即．
16.解：证明：，，，
两边同时除以，可得，
所以，而，
所以，
所以是首项为，公比为的等比数列；
由知，
所以，，，，，
累加可得，
因为，可得，
所以．
17.解：当时，圆：，
可得圆的圆心为，半径，
则圆心到直线的距离，
所以直线被圆截得的弦长为；
证明：由，得，
令，因为为常数，
所以得，
由，
解得或，
所以圆经过两个定点，且这两个定点的坐标为，；
解：方法一设的中点为，
不妨设，，则点的坐标为，
因为，所以，
所以，
即，
即，
解得，
所以圆的标准方程为．
方法二不妨设，，因为，
可得，
即，
解得，
所以圆的标准方程为．
18.解：设的公差为，
由题意可得，解得，
所以，所以．
由可得，
则，
，
得，
则．
19.证明：点，在轴上，且关于轴对称．
设，．，．
记坐标原点为，直线的斜率为，．
．
综上，为定值，定值为．
解：圆：，点在圆上，点，在轴上，过点作轴，垂足为，，点满足．
在中，为斜边，为斜边上的中线，．
又，，．
，，解得．
证明：点在圆上，．
直线的斜率为，直线的斜率为，
直线的方程为．
令，得，则，．
直线的方程为，即，
原点到直线的距离
，
直线与圆相切．
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