2024-2025学年吉林省长春市吉大附中实验学校高一（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年吉林省长春市吉大附中实验学校高一（上）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知幂函数在区间上单调递增，则( )
A. B. C. D.
3.已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
4.函数的图像大致为( )
A. B.
C. D.
5.对于实数、、有如下命题若则；若则；若则；若，则，其中正确的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
6.已知是定义在上的奇函数，当时，，若，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是( )
A. B. 或 C. D. 或
8.已知函数，若实数，满足，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若函数同时满足：对于定义域内的任意，有；对于定义域内的任意，，当时，有，则称函数为“理想函数”给出下列四个函数是“理想函数”的是( )
A. B.
C. D.
10.已知函数，则( )
A. 函数的定义域为 B. 函数的值域为
C. 函数在上单调递增 D. 函数在上单调递减
11.已知集合是由个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“可分集合”( )
A. 不是“可分集合”
B. 是“可分集合”
C. 四个元素的集合可能是“可分集合”
D. 五个元素的集合不是“可分集合”
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，定义运算，则的解集为______．
13.若关于的不等式在区间上恒成立，则的取值范围为______．
14.已知函数对任意的，有，设函数，且在区间上单调递增若，则实数的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
化简求值：
；
若，求，的值．
16.本小题分
已知集合，集合．
当时，求，；
若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知．
若不等式的解集为，求实数、的值；
若时，对于任意的实数，都有，求的取值范围．
18.本小题分
已知定义域为的函数是奇函数．
求，的值；
判断的单调性，并用定义证明；
若存在，使成立，求的取值范围．
19.本小题分
某药品可用于治疗某种疾病，经检测知每注射药品，从注射时间起血药浓度单位：与药品在体内时间单位：小时的关系如下：当血药浓度不低于时才能起到有效治疗的作用，每次注射药品不超过．
若注射药品，求药品的有效治疗时间；
若多次注射，则某一时刻体内血药浓度为每次注射后相应时刻血药浓度之和已知病人第一次注射药品，小时之后又注射药品，要使随后的小时内药品能够持续有效治疗，求的最小值．
参考答案
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15.解：原式
；
，
，
，
，
，
，．
16.解：因为，
当时，，
所以，
所以或，
所以或；
若“”是“”的必要不充分条件，
则真包含于，
，，
，解得，
实数的取值范围是．
17.解：因为，不等式的解集为，
所以和是一元二次方程的两实数根，
所以，解得，；
当时，，
不等式可化为，
即对于任意的实数都成立；
时，显然成立；
时，化为，即，解得，即；
时，化为，即，解得，即；
综上知，的取值范围是．
18.解：由题意知，，所以，
所以，
因为，所以，化简得，
所以，即，所以．
证明：在上单调递减，证明过程如下：
由知，，
任取，
则，
因为，所以，，，
所以，即，
所以在上单调递减．
解：因为是奇函数，
所以不等式可化为，
又在上单调递减，
所以，即，
原问题等价于存在，使，
设，是开口向上，对称轴为的二次函数，
所以在上递减，在上递增，
所以，
所以，
故的取值范围为．
19.解：注射该药品，其浓度为，
当时，由可得，，
当时，由可得，，
所以一次注射该药品，则药物有效时间可达小时；
设从第一次注射起，经小时后，其浓度，
因为，，
当时，
因为，当时，即时，等号成立，
所以，
解得，
当时，，，
所以不能保证持续有效，
综上所述，的取值范围为，
即要使随后的小时内药品能够持续有效治疗，的最小值为．
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