2024-2025学年重庆八中高一（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年重庆八中高一（上）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.已知全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
3.下列各组函数表示同一函数的是( )
A. ， B.
C. D.
4.已知函数，若，且，则函数的图象可能是( )
A. B. C. D.
5.设，用表示不超过的最大整数，如，，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.对任意两个实数，，定义，若，，则下列关于函数的说法错误的是( )
A. 函数是偶函数 B. 方程有两个根
C. 不等式的解集为 D. 函数的值域为
7.已知函数是定义在上的偶函数，在上单调递增若，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8.对于函数，若存在，，则称为的不动点若函数对恒有两个相异的不动点，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中正确的是( )
A. 若，，则 B. 若则
C. 若，，则 D. 若，则
10.已知，，，则下列选项一定正确的是( )
A. 的最大值为 B. 的最小值为
C. 的最大值为 D. 最小值为
11.已知函数，则以下结论正确的是( )
A. 的值域是
B. 对任意，，都有
C. 对任意，，都有
D. 若规定，，其中，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.不等式的解集为______．
13.定义集合运算：且若集合，，则集合的子集个数为______．
14.设矩形的周长为定值，把沿向折叠，折过去后交于点，如图，则当的面积最大时，矩形的面积为____．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知全集，集合，，．
求；
若，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知关于的不等式的解集为．
求实数，的值；
求关于的不等式的解集．
17.本小题分
重庆市主城区城市公共供水企业不含乡镇水厂服务的“一户一表”居民用水户综合水价按三档分阶梯计价如下表所示阶梯水量以年为计价周期，周期之间不累计、不结转．
阶梯 用户用水量吨 综合水价元吨 其中
自来水费元吨 污水处理费元吨
第一阶梯 含
第二阶梯 含
第二阶梯 以上
求用户水费与用水量的函数解析式，并求当某户一年所交水费为元时其一年的用水量：
为改善生态环境，某污水处理企业对居民用水所产生的污水进行处理已知该企业污水日处理量为百吨，日处理污水的总成本元与百吨之间的函数关系可近似地表示为若该企业每处理百吨污水获收益元，为使该企业可持续发展，政府决定对该污水处理企业进行财政补贴：处理百吨污水补贴元，求该企业每日可获得的最大利润．
18.本小题分
已知函数是定义在上的奇函数且．
求函数的解析式；
判断并用定义证明函数在上的单调性；
若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数是奇函数已知函数．
求函数图象的对称中心；
已知函数关于点对称，且当时，若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围．
参考答案
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15.解：，，
故A；
由可知，，
所以，
故，
若，则，
解得，
若，则或，
解得，
综上所述，实数的取值范围为或．
16.解：因为关于的不等式的解集为，
所以，为关于的方程的两根且，
所以，解得；
不等式，
即，即，
当时，不等式即，
若，即，此时不等式即，解得，所以不等式的解集为；
若，即时，解得或，所以不等式的解集为；
若，即时，解得或，所以不等式的解集为；
当时，解得，所以不等式的解集为；
综上可得：当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为．
17.解：设用水量为吨，则：
当，水费元，
当，水费元，
当，水费元，
由题设，用户水费与用水量的函数解析式为，
当元，而，，
所以，可得吨，
也即一年的用水量为吨；
已知该企业污水日处理量为百吨，日处理污水的总成本元与百吨之间的函数关系可近似地表示为，
由题意可得该企业每日可获得的利润为：
，
，
由二次函数对称轴为，开口向下可知：
当时，取得最大值，最大值为：，
所以该企业每日可获得的最大利润为元．
18.解：因为为上的奇函数，
故，
所以在上恒成立，
所以，即，
则，
而，故，故，．
在上为增函数，证明如下：
设，故，
则，
所以，即，
则在上为增函数，
而在上为奇函数，故在上为增函数．
不等式即为，
故在上恒成立，
所以取，则，
故在上恒成立且，
所以即，
故的范围为
19.解：易知函数的图象是由函数的图象向左平移个单位，再向上平移个单位而得到，
则的对称中心为，
经验证，符合题意．
因为对任意的，总存在，使得，
所以函数的值域是函数的值域的子集，
，
因为函数在上是增函数，
所以函数在上是增函数，
所以的值域为，
设函数的值域为集合，
则原问题转化为，
因为函数关于对称，
又因为，所以函数恒过点，
当，即时，在上递增，则函数在上也是增函数，
所以函数在上递增，
又，，
所以的值域为，即，
又，
所以，解得，
当即时，在上递减，则函数在上也是减函数，
所以函数在上递减，
则，
又，
所以，解得，
当即时，
在上递减，在上递增，
又因函数过对称中心，
所以函数在上递增，在上递减，
故此时，，
要使，
只需要，解得，
综上所述实数的取值范围为．
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