2024-2025学年陕西省西安市高新一中高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年陕西省西安市高新一中高二（上）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若复数满足，则复数在复平面内的点的轨迹为( )
A. 直线 B. 椭圆 C. 圆 D. 抛物线
3.抛物线的焦点到其准线的距离为( )
A. B. C. D.
4.已知圆经过，两点，且圆心在直线：，则圆的标准方程是( )
A. B.
C. D.
5.某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量单位：与时间单位：之间的关系式为，其中为初始污染物含量，，均为正的常数，已知过滤前后废气的体积相等，且在前过滤掉了的污染物如果废气中污染物的含量不超过时达到排放标准，那么该工厂产生的废气要达到排放标准，至少需要过滤的时间为( )
A. B. C. D.
6.在平面直角坐标系中，若圆上存在点，且点关于直线的对称点在圆上，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.双曲线的左、右焦点分别为、，过作斜率为正且与的某条渐近线垂直的直线与双曲线在第一象限交于，，则的离心率为( )
A. B. C. D.
8.如图，在直三棱柱中，侧棱长为，，，点在上底面包含边界上运动，则三棱锥外接球半径的取值范围为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，给出下列四个选项，正确的有( )
A. 函数的最小正周期是
B. 函数在区间上是减函数
C. 函数的图象关于点对称
D. 函数的图象可由函数的图象向左平移个单位，再向下平移个单位得到
10.已知点，在圆：上，点在直线：上，则( )
A. 直线与圆相离
B. 当时，的最小值是
C. 当、为圆的两条切线时，为定值
D. 当、为圆的两条切线时，直线过定点
11.画法几何的创始人法国数学家蒙日发现：在椭圆：中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于长、短半轴平方和的算术平方根，这个圆就称为椭圆的蒙日圆，其圆方程为已知椭圆的离心率为，点，均在椭圆上，直线：，则下列描述正确的为( )
A. 点与椭圆的蒙日圆上任意一点的距离最小值为
B. 若上恰有一点满足：过作椭圆的两条切线互相垂直，则椭圆的方程为
C. 若上任意一点都满足，则
D. 若，椭圆的蒙日圆上存在点满足，则面积的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知的三个顶点，，，则边的中线所在直线的一般式为______．
13.已知是定义在上的奇函数，为偶函数当时，，则 ______．
14.历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯公元前年年，大约年后，阿波罗尼斯更详尽、系统地研究了圆锥曲线，并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质：如图甲，从椭圆的一个焦点出发的光线或声波，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，其中法线表示与椭圆的切线垂直且过相应切点的直线，如图乙，椭圆的中心在坐标原点，焦点为，，由发出的光经椭圆两次反射后回到经过的路程为利用椭圆的光学性质解决以下问题：
椭圆的离心率为______；
点是椭圆上除顶点外的任意一点，椭圆在点处的切线为，在上的射影在圆上，则椭圆的方程为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求，某市政府积极鼓励居民节约用水．计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准吨，一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年位居民每人的月均用水量单位：吨，将数据按照，，，分成组，制成了如图所示的频率分布直方图，其中．
求直方图中，的值，并由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数每组数据用该组区间中点值作为代表；
设该市有万居民，估计全市居民中月均用水量不低于吨的人数，并说明理由；
若该市政府希望使的居民每月的用水量不超过标准吨，估计的值，并说明理由．
16.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，已知，．
求；
若的内切圆在上的切点为，求．
17.本小题分
在平面直角坐标系中，已知，两点的坐标分别为，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是．
求动点的轨迹方程；
若点的轨迹与直线相交于两个不同的点，，线段的中点为若直线的斜率为，求线段的长．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点，点在上，且．
求证：平面；
求二面角的正弦值；
设点在上，且判断直线是否在平面内，说明理由．
19.本小题分
在平面直角坐标系中，利用公式其中，，，为常数，将点变换为点的坐标，我们称该变换为线性变换，也称为坐标变换公式，该变换公式可由，，，组成的正方形数表唯一确定，我们将称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母，，表示．
如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针旋转角得到点到原点距离不变，求坐标变换公式及对应的二阶矩阵；
在平面直角坐标系中，求双曲线绕原点按逆时针旋转到原点距离不变得到的双曲线方程；
已知由得到的双曲线，上顶点为，直线与双曲线的两支分别交于，两点在第一象限，与轴交于点设直线，的倾斜角分别为，，求证：为定值．
参考答案
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15.解：由题意得：，
解得，．
由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数为：
．
由频率分布直方图得：
全市居民中月均用水量不低于吨的频率为：，
全市居民中月均用水量不低于吨的人数为：
．
前组的频率之和是，
而前组的频率之和为，
，
由，解得：，
因此，估计月用水量标准为吨时，的居民每月的用水量不超过标准．
16.解：记的内角，，的对边分别为，，，
已知，，
由，则，
整理得：，
则角化边可得：，
整理可得：，
又，因此可得；
由知，，
设的内切圆在，上的切点为，，
则，，，
则，
，
因此可得，即．
17.解：由题，设，因为直线，的斜率之积是，
所以，
化简得：，
即动点的轨迹方程为：；
设，，因为线段的中点为，
所以，
所以，
则，
由题可得，，
两式求差化简得：，
即，
因为，所以，
所以直线的方程为，
联立，解得：或，
不妨取，，
所以．
18.解：证明：因为平面，且平面，所以，
因为，，，平面，所以平面，
因为平面，所以，
又因为，为的中点，所以，
因为，，平面，所以平面．
过点作的垂线交于点，
因为平面，且，平面，则，，
故以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，，
因为为的中点，则，
所以，
又，所以，
故，
设平面的法向量为，则，
所以，即，
令，则，，所以，
又因为平面的一个法向量为，
所以，
所以二面角的正弦值为．
直线不在平面内，理由如下：
因为点在上，且，
又，故，
则，
由可知，平面的法向量为，
因为，所以直线不在平面内．
19.解：设，，则，，，
故，
，
所以坐标变换公式为，
该变换所对应的二阶矩阵为；
设曲线上任意一点在旋转角是的旋转变换下所得点坐标为，
则，即，
得，则，所求曲线方程为；
证明：直线斜率存在时，可设直线的方程为，
设，，
由，得，
所以，且，
当时，取，所以直线方程为：，
直线方程与双曲线方程联立可得，解得或，
所以，
所以，所以，可得；
当时，设，的斜率分别为，，
，
所以，
，
所以，
因为在第一象限，所以，所以，所以；
直线斜率不存在时，可得，
可得，
所以，同理可得，
综上可得，为定值，得证．
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