2024-2025学年广东省深圳市南山外国语学校（集团）高级中学高一（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省深圳市南山外国语学校（集团）高级中学高一（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若且，则( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.设，则“”是的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.( )
A. B. C. D.
5.若函数的定义域为，则函数的定义域为( )
A. B. C. D.
6.设函数，若实数满足，则的值为( )
A. B. C. D. 不存在
7.如果函数对任意实数都有，那么( )
A. B.
C. D.
8.函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列选项正确的是( )
A. 若，则 B. 若，，则
C. 若，则 D. 若，则
10.下列各组函数是同一个函数的是( )
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
11.已知函数设命题：“关于的不等式解集为空集”，则命题的必要条件可以是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知幂函数的图象过点，则______．
13.已知函数，则的单调增区间为______．
14.已知，为正实数，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，．
当时，求；
若，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知是定义在上的奇函数．
求；
求函数在上的值域．
17.本小题分
国庆黄金周期间，旅游潮、探亲潮必将形成高交通压力现象．已知某火车站候车厅，候车人数与时间相关，时间单位：小时满足，经测算，当时，候车人数为候车厅满厅状态，满厅人数为人，当，候车人数相对于满厅人数会减少，减少人数与成正比，且时间为点时，候车人数为人，记候车厅候车人数为．
求的表达式，并求当天中午点时，候车厅候车人数；
铁路系统为了体现“人性化”管理，每整点时会给旅客提供的免费面包数量为，则当为何值时需要提供的免费面包数量最少．
18.本小题分
已知函数．
若，求的取值范围；
解关于的不等式．
19.本小题分
函数的定义域为，对，，都有，且当时，已知．
求，；
判断并证明的单调性；
解不等式：．
参考答案
1.
2.
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13.
14.
15.解：，时，，
或，；
或，且，
时，，解得；
时，，解得，
综上得，实数的取值范围为或．
16.解：是定义在上的奇函数．
则，解得，即，
由得，，
，
经检验得，时，是奇函数，
．
由得，，
令，由得，，
函数可化为，对称轴为直线，
当时，，当时，，
函数值域为．
17.解：当时，设，，则，
，
，
故当天中午点时，候车厅候车人数为人．
当，，当且仅当时等号成立；
当时，．
又，
所以当时，需要提供的面包数量最少．
18.解：可变形为，
由已知在上恒成立，
下面分两种情况讨论：
当时，不等式可化为，不等式不恒成立，与已知矛盾；
当时，由已知可得，即，解得，
综上两种情况，的取值范围是．
不等式化为，
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为．
19.解：因为的定义域为，对，，都有，
令，则，
，
令，，则，
又，
所；
任取，，且，
则，
因为，
所以，
所以，
即，
所以在上是增函数．
由，
即，
即，
即，因为在上是增函数，
所以，
可得不等式解集为或．
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