2024-2025学年山东省泰安市新泰一中老校区高二（上）第一次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年山东省泰安市新泰一中老校区高二（上）第一次月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线过，两点，且，则直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，若与、共面，则实数( )
A. B. C. D.
3.在空间直角坐标系中，已知点，则下列说法错误的是( )
A. 点关于坐标原点对称点的坐标为
B. 点关于平面对称点的坐标为
C. 点在平面上的射影点的坐标为
D. 点在轴上的射影点的坐标为
4.设平面内不共线的三点，，以及平面外一点，若平面内存在一点满足，则的值为( )
A. B. C. D.
5.已知直线过定点，向量为其一个方向向量，则点到直线的距离为( )
A. B. C. D.
6.过点作直线与圆：相切于，两点，则直线的方程为( )
A. B. C. D.
7.设直线与圆：交于，两点，若线段的中点为，则圆：上的点到直线的距离的最大值为( )
A. B. C. D.
8.在平行六面体中，，，，，则与所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论正确的有( )
A. 直线关于对称的直线为
B. 若一直线的方向向量为，则此直线倾斜角为
C. 若直线与直线垂直，则
D. 已知点，，若直线与线段相交，则的取值范围是
10.以下四个命题表述正确的是( )
A. 直线恒过定点
B. 圆上有且仅有个点到直线：的距离都等于
C. 曲线：与曲线：恰有三条公切线，则
D. 已知圆：，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，、为切点，则直线经过定点
11.在棱长为的正方体中，点满足，其中，，则( )
A. 当时，
B. 当时，三棱锥的体积为
C. 当时，平面
D. 当时，到平面的距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.直线：与：平行，则的值为______．
13.直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围______．
14.若直线：与：相交于点，过点作圆：的切线，切点为，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的顶点的坐标为，边上的中线所在的直线方程为，的平分线所在的直线方程为．
求点的坐标；
求直线的方程．
16.本小题分
已知圆：，其中．
已知圆与圆：外切，求的值；
如果直线与相交所得的弦长为，求的值．
17.本小题分
已知空间三点，，
已知点，且，求的值
求以，为邻边的平行四边形的面积．
18.本小题分
在如图所示的六面体中，矩形平面，，，，．
设为中点，证明：平面；
求二面角大小的正弦值．
19.本小题分
如图所示，等腰梯形中，，，，为中点，与交于点，将沿折起，使得到达点的位置平面．
证明：平面；
若，试判断线段上是否存在一点不含端点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，确定点位置；若不存在，说明理由．
参考答案
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15.解：设点，则中点的坐标为，
由题意知点在直线上，点在直线上，
所以 ，解得
即点的坐标为．
设点关于直线的对称点为，则由角的对称性知点在直线上，
设点的坐标为，则的中点坐标为，
则 ，解得即点的坐标为．
直线的斜率为，
所以直线即的方程为，即．

16.解：圆标准方程是，圆心为，半径为，
因为圆与圆：外切，
所以，解得；
圆心到已知直线的距离为，
所以根据圆的几何性质有，，．
17.解：由已知，，，
可得，
因为，所以，
解得．
，，，
，，
，，
，．
所以以，为邻边的平行四边形的面积为．
18.解：证明：
如图所示，连接，取线段的中点，分别连接，，
因为，分别为线段，的中点，
则是的中位线，
所以，，
由已知可得，且，
所以且，
故四边形为平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面；
解：因为四边形是矩形，
则，
又平面平面，平面平面，平面，
则平面，又平面，
所以，又，
所以，，两两垂直，
则以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
所以，，，，，，
设平面的法向量为，
因为，
所以，
令，则，，
故，
设平面的法向量为，
因为，
所以，
令，则，，
故，
则，
因为二面角的范围是，所以二面角的正弦值为非负数，
故二面角大小的正弦值为．
19.证明：连接，在等腰梯形中，，为中点，
，四边形为菱形，
，即，，翻折后，
平面，平面，且，平面；
由，在等腰梯形中，
为正三角形，，同理，，．
由可知，，以为原点，，，分别为，，轴正方向，
建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，
设，，
设平面的一个法向量为，则，即，
令，，得，所以，
设直线与平面所成角为，则，
化简得，解得即为线段中点．
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