2024-2025学年山东省菏泽市定陶一中高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年山东省菏泽市定陶一中高二（上）月考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角( )
A. B. C. D.
2.若直线：与直线：关于轴对称，则( )
A. B. C. D.
3.若点为圆的弦的中点，则弦所在直线的方程为 ( )
A. B. C. D.
4.设动直线与交于两点，若弦长既存在最大值又存在最小值，则在下列所给的方程中，直线的方程可以是( )
A. B. C. D.
5.已知圆，直线与圆相交于两点，若圆上存在点，使得为正三角形，则实数的值为( )
A. B.
C. 或 D. 或
6.一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为 ( )
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
7.已知直线与直线的交点位于第一象限，则实数的取值范围是( )
A. B. 或
C. D.
8.已知直线：与直线：相交于点，则到直线的距离的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线：，直线：，则下列结论正确的是( )
A. 在轴上的截距为 B. 过点且不垂直轴
C. 若，则或 D. 若，则
10.圆和圆的交点为，，则有( )
A. 公共弦所在直线方程为
B. 线段中垂线方程为
C. 为圆上一动点，则的最大值为
D. 经过、两点且圆心在直线上的圆的面积是
11.下列结论正确的是( )
A. 已知点在圆：上，则的最大值是
B. 已知是圆外一点，直线的方程是，则直线与圆相离
C. 曲线与曲线恰有三条公切线，则
D. 若圆：上恰有两点到点的距离为，则的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知两圆相交于两点和，且两圆的圆心都在直线上，则的值是______．
13.写出圆：与圆：的一条公切线方程 ．
14.已知圆的方程为，点是直线上的一个动点，过点作圆的两条切线、，、为切点，则四边形的面积的最小值为 ；直线过定点 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
若直线经过点，且被两条相交直线：和：所截得的线段恰被点平分，求直线的方程；
已知圆：的圆心在直线上，且截轴的弦长为，截轴的弦长为求圆的方程．
16.本小题分
已知圆：，直线过点．
若直线与圆相切，求直线的方程；
若直线分别与轴、轴的正半轴交于、两点，求面积的最小值及此时的直线方程．
17.本小题分
在平面直角坐标系中，三个点，，到直线的距离均为，且．
求直线的方程；
若圆过点，且圆心在轴的正半轴上，直线被该圆所截得的弦长为，求圆的标准方程．
18.本小题分
已知线段的端点的坐标是，端点的运动轨迹是曲线，线段的中点的轨迹方程是．
求曲线的方程；
已知斜率为的直线与曲线相交于异于原点的两点，，直线，的斜率分别为，，且证明：直线恒过定点．
19.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，已知矩形的长为，宽为，，边分别在轴、轴的正半轴上，点与坐标原点重合，将矩形折叠，使点落在线段上，设此时为．
若折痕的斜率为，求折痕所在的直线的方程；
若折痕所在直线的斜率为，为常数，试用表示点的坐标，并求折痕上任一点满足的等式；
当时，求折痕长的最大值．
参考答案
1.
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7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.或或写出其中一个即可
14.
15.解：设直线夹在直线，之间的线段为在上，在上，
设，的坐标分别设为，，
因为被点平分，则，
又因为在上，在上，即，
所以，
解得，，即的坐标是，
又因为直线过点，由，得到直线的方程为，整理得：直线的方程是．
依题意得：，由，解得，
圆的方程为 ．
16.解：由圆：可得：圆心坐标为，半径为，分以下两种情况讨论：
若直线斜率不存在，则直线方程为，此时点到直线的距离为，
故直线与圆相切，符合题意；
若直线斜率存在，设直线方程为，即．
由直线与圆相切可得：，解得．
此时直线的方程为，
综上直线的方程为或；
由题意，设点、，则，，
所以，直线的方程为，则，
由基本不等式可得，即，即，
所以，，
当且仅当，时取等号．
即直线的方程为，即，
所以，面积的最小值为，此时，直线的方程为．
17.解：由几何意义可知，直线为的中位线，
而到边的中位线距离为，
到边的中位线距离为，
到边上的中位线距离，
故直线只能为边上的中位线，
即直线过点，，
故直线的方程，即．
设圆的标准方程为，，，
则，
解得或舍去，，
所以圆的标准方程为．
18.解：设，，由中点坐标公式得，
因为点的轨迹方程是，所以．
整理得曲线的方程为．
证明：设直线的方程为，，，．
由，得，所以，，
所以
．
所以，且，即即，
所以直线的方程为，即直线过定点．
19.解：在平面直角坐标系中，已知矩形的长为，宽为，，边分别在轴、轴的正半轴上，点与坐标原点重合，将矩形折叠，使点落在线段上，设此时为．
因为折痕的斜率为时，点落在线段上，
可知折痕必过点，
所以直线方程为．
当时，此时点与点重合，折痕所在的直线方程．
当时，将矩形折叠后点落在线段上的点记为，，
则与关于折痕所在的直线对称，有，即．
点坐标为，
从而折痕所在的直线与的交点坐标即线段的中点为，
折痕所在的直线方程，即．
综上所述，由得折痕所在的直线方程为：．
当时，折痕长为．
当时，折痕所在直线交于点，交轴于．
因为，
则折痕长的最大值为．
综上所述，折痕长度的最大值为．
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