2023-2024学年甘肃省高二（上）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年甘肃省高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
2.等差数列的前项和为，，则( )
A. B. C. D.
3.已知为抛物线：的焦点，为原点，点在抛物线上，且，则的周长为( )
A. B. C. D.
4.有名学生志愿者到个小区参加疫情防控常态化宣传活动，每名学生只去个小区，每个小区至少安排名学生，则不同的安排方法为( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
5.周髀算经记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度，夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为尺，这十二节气的所有日影子长之和为尺，则大雪的日影子长为( )
A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺
6.若直线和直线平行，则( )
A. 或 B. 或
C. D.
7.已知圆：，点在直线：上运动，直线，与圆相切，切点为，，则下列说法正确的是( )
A. 的最小值为 B. 最小时，弦长为
C. 最小时，弦所在直线的斜率为 D. 四边形的面积最小值为
8.已知双曲线的左、右焦点分别为，，若在上存在点，使得，则双曲线渐近线斜率的取值范围为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知等差数列的前项和是，且，，则( )
A. B. C. D. 的最小值为
10.已知点关于直线的对称点在直线上，则实数的值为( )
A. B. C. D.
11.瑞士数学家伯努利于年发现了双纽线，即在平面直角坐标系中，点到两个定点，的距离之积等于的点的轨迹称为双纽线，则当时，下列结论正确是( )
A. 点在双纽线上
B. 点的轨迹方程为
C. 双纽线关于坐标轴对称
D. 满足的点有个
12.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点，则( )
A. 椭圆上的点到的最短距离为 B. 到直线距离的最大值为
C. 的最大值为 D. 的取值范围为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.直线过点且与直线：平行，则直线和之间的距离是______．
14.的展开式中的系数为______．
15.“莺啼岸柳弄春晴，柳弄春晴夜月明：明月夜晴春弄柳，晴春弄柳岸啼莺”这是清代女诗人吴绛雪的一首回文诗，“回文”是汉语特有的一种使用语序回环往复的修辞手法，而数学上也有类似这样特征的一类“回文数”，如，等，那么在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是偶数的“回文数”共有______个
16.等比数列的前项和为，下列结论正确的是______填序号．
若，公比为，则；
数列一定是等比数列；
数列一定是等比数列；
对任意正整数，；
数列，，，一定是等比数列．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
某校高二年级开设了数学建模电影赏析经典阅读英语写作四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学打算在上述四门课程中随机选择一门进行学习，已知三人选择课程时互不影响，且每人选择每一门课程都是等可能的．
求三位同学选择的课程互不相同的概率；
若至少有两位同学选择数学建模，则三人共有多少种不同的选课种数？
18.本小题分
已知正项等比数列的方前项和为，且．
求数列的通项公式；
若，数列的前项和，求证．
19.本小题分
已知在圆上．
求圆的标准方程；
若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程．
20.本小题分
已知数列的各项均为正数，记为的前项和，若数列是等差数列，且，．
求证：数列是等差数列；
若，求数列的前项和．
21.本小题分
已知直线：和圆：．
判断直线和圆的位置关系，并求圆上任意一点到直线的最大距离；
过直线上的点作圆的切线，切点为，求证：经过，，三点的圆与圆的公共弦必过定点，并求出该定点的坐标．
22.本小题分
已知椭圆的焦点在轴上，且长轴长为，离心率为．
求椭圆的方程；
若点，直线：与椭圆交于，两点，求面积的最大值．
参考答案
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17.解：三位同学选择课程共有种情况，三位同学选择的课程互不相同共有种情况，
所以三位同学选择的课程互不相同的概率为．
分两种情况讨论：有两位同学选择数学建模，共有种不同的情况；
有三位同学选择数学建模共有种情况，
由分类加法计数原理得总共有种不同的选课种数，
所以三人共有不同的选课种数是．
18.解：设等比数列的公比为，则，
又，所以，解得或舍，
所以；
证明：由得：，
所以，
对于任意的有，，
则数列为递增数列，所以，所以．
19.解：设圆的方程为，因为点，，在圆上，
所以，解得，，
所以圆的方程为，整理得圆的标准方程为；
由题意，可知圆心到直线的距离．
若直线的斜率不存在，则直线的方程为，符合题意；
若直线的斜率存在，设斜率为，则直线的方程为，即，
根据题意，可得，解得，所以直线的方程为，即，
综上所述，直线的方程为或．
20.解：证明：因为数列是等差数列，且，
所以，
所以的首项为，公差为，
所以，所以，
当时，，
所以常数，
所以数列是以为公差的等差数列．
由知数列是以为公差的等差数列，
因为，所以公差为，
所以，
由，所以，
所以，
，
所以，
即，
化简可得，
所以．
21.解：由条件直线：和圆：知：圆心到直线的距离，
故直线和圆相离，则有圆上任意一点到直线的最大距离为；
证明：设点，
过点，，三点的圆，即以为直径的圆，
其方程为，
与相减得到直线的方程为，
为过，，三点的圆与圆的公共弦所在直线方程，
整理得；
由于，解得，
故点，
即经过，，三点的圆与圆的公共弦必过定点
22.解：因为椭圆的焦点在轴上，且长轴长为，离心率为，
，，又，所以，
所以椭圆的方程为．
设，，
由，得，，
，，
，
点到直线：的距离为，
所以面积为
令，则，，
所以在单调递减，
所以当时，取最大值，最大值为．
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