2023-2024学年江苏省南通市海安市高一（上）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年江苏省南通市海安市高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.命题：“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.若的终边与的终边垂直，且，则( )
A. B. C. D.
4.已知某种放射性元素在一升液体中的放射量单位：与时间单位：年近似满足关系式且已知当时，；当时，，则据此估计，这种放射性元素在一升液体中的放射量为时，大约为参考数据：
A. B. C. D.
5.函数的最小值为( )
A. B. C. D.
6.已知函数在上的图象不间断，则“，”是“在上是增函数”的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
7.已知，，，，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数为偶函数，为奇函数，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.函数的零点所在的区间为( )
A. B. C. D.
10.已知，则( )
A. 的最大值为 B. 的最大值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
11.将函数的图象沿轴向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到函数的图象，则( )
A. 函数的周期为 B. 在上单调递增
C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点中心对称
12.设定义在上的函数满足：当时，；，则( )
A. B. 为减函数
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知扇形的圆心角是，其弧长为，则扇形的面积为______结果保留
14.试写出一个实数 ______，使得函数在上恰有一个零点．
15.设函数与在区间上的图象交于点，过点作轴的垂线，垂足为，直线与函数的图象交于点，则线段的长为______．
16.已知正数，满足，则 ______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知．
化简：；
若，求的值．
18.本小题分
设，集合关于的方程无实根，．
若，求；
若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知函数的最小正周期为，是的图象上的一个最低点．
求，，；
若，，求的值．
20.本小题分
汽车驾驶员发现前方有障碍物时会紧急刹车，这一过程中，由于人的反应需要时间，在汽车的惯性作用下会有一个停车距离记驾驶员的停车距离为单位：，驾驶员反应时间内汽车所行距离为单位：，刹车距离为单位：，则，其中与刹车时的车速单位：满足，与刹车时的车速的部分关系见表：
在坐标平面内画出的散点图，从；；中选择最恰当的一个函数模型拟合与之间的关系，并求出其解析式；
在限速的高速公路上，驾驶员遇障碍物紧急刹车，已知驾驶员的停车距离为，请根据中所求的解析式，判断驾驶员是否超速行驶．
21.本小题分
已知函数，其中．
若恒成立，求；
若，，，试比较与的大小，并证明．
22.本小题分
已知函数，其中．
若，证明：在上单调递增；
求的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.答案不唯一
15.
16.
17.解：，
因为，
所以，
所以原式；
因为，
所以，解得，
所以，
因为，
所以，，可得，
所以，
所以．
18.解：若关于的方程无实根，则，解得，
所以集合关于的方程无实根，
当时，或，
因此，可得或；
由得，
根据题意，可得集合是集合的子集，即不等式对任意都成立．
结合，将整理，得，
因为，
所以当时，即时，的最小值为，的最小值也是．
因此，不等式对任意都成立时，，实数的取值范围是．
19.解：因为，即，又因为，所以．
因为点是曲线上的一个最低点，所以．
将代入得，，
所以，，解得，．
又因为，所以．
由知，，
因为，，所以，，
所以，又因为，
所以，
所以
．
20.解：散点图如下图，
最恰当的一个函数模型为，
将点代，得，
解得，所以，
经检验，表中其余三点的坐标均满足，
所以最恰当的函数模型为；
由知，为的增函数．
法：当时，，
因为，所以该车不超速；
法：当时，，即，
所以，又，所以，
因为，所以该车未超速行驶．
21.解：由得，，
即，
即，
所以，
因为，所以，所以，
所以．
当时，由，得，
由，得，即．
所以，
，
所以，即．
22.解：证明：当时，，
任取，，且，
则，
因为，，所以，得，
而，得，
故，即，
得在上单调递增．
，等号成立时，，
故函数的最小值为．
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