2023-2024学年河北省唐山市高二（上）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年河北省唐山市高二（上）期末
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线的焦点坐标是( )
A. B. C. D.
2.已知向量，则( )
A. B. C. D.
3.记是等差数列的前项和，若，，则( )
A. B. C. D.
4.已知圆与圆，则两圆公切线的条数为( )
A. B. C. D.
5.已知，均为等差数列，且，，，则( )
A. B. C. D.
6.线段长度为，其两个端点和分别在轴和轴上滑动，则线段中点的轨迹所围成图形的面积为( )
A. B. C. D.
7.如图，在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为( )
A.
B.
C.
D.
8.已知是椭圆上一点，椭圆的左、右顶点分别为，垂直椭圆的长轴，垂足为，若，则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线：与：，则( )
A. 若，则两直线垂直 B. 若两直线平行，则
C. 直线恒过定点 D. 直线在两坐标轴上的截距相等
10.数列满足：，，则( )
A. B.
C. 为单调递减数列 D. 为等差数列
11.已知双曲线：，直线：与交于，两点，点是上异于，的一点，则( )
A. 的焦点到其渐近线的距离为
B. 直线与的斜率之积为
C. 过的一个焦点作弦长为的直线只有条
D. 点到两条渐近线的距离之积为
12.已知正方体的棱长为，，分别是棱，上的动点含端点，则( )
A. 四面体的体积是定值
B. 直线与平面所成角的范围是
C. 若，分别是棱，的中点，则
D. 若，分别是棱，的中点，则经过，，三点作正方体的截面，截面面积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知等比数列的公比为，且，，，则 ______．
14.已知，且，则 ．
15.已知直线与圆：相切，且切点的横、纵坐标均为整数，则直线的方程为______写出一个满足条件的方程即可
16.已知点在抛物线：上，则 ______；过点作两条互相垂直的直线，分别交于，两点不同于点，则直线经过的定点坐标为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知直线：与圆：相交于，两点．
若为圆上一点，求点到直线的最大距离；
求弦的长度．
18.本小题分
数列是首项为，公比为正数的等比数列，且满足．
求数列的通项公式；
求数列的前项和．
19.本小题分
如图，在梯形中，，，，为等边三角形，平面平面，为棱的中点．
证明：平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
20.本小题分
数列满足，，．
求，；
证明：数列是等差数列；
若求数列的前项和．
21.本小题分
如图，三棱柱的侧面和均为正方形，，交于点，为中点，．
证明：；
设，当为何值时，平面与平面夹角的余弦值等于
22.本小题分
已知椭圆：的左、右顶点分别为，，离心率为，长轴长为，过点的直线交于，两点在轴上方．
求的方程；
记的面积为，的面积为，求的取值范围．
参考答案
1.
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8.
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10.
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13.
14.
15.或或或任写一个都对
16.
17.解：圆：，整理得，
所以圆心到直线的距离，
故点到直线的最大距离为．
利用垂弦定理，．
18.解：设等比数列是的公比为，，
，
，，
解得，
；
由可得：数列的前项和
．
19.解：证明：取中点，连结，，如图，
为的中点，，，
，，，，
四边形是平行四边形，，
平面，平面，
平面．
取中点，中点，连接，，则，
是等边三角形，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，
平面，，
分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
，则，，，，
，，，
设平面的一个法向量为，
则，取，得，
设直线与平面所成角为，
则，
直线与平面所成角的正弦值为．
20.解：，，，
，即，
，
同理可得．
证明：，
，又，
数列是等差数列，首项为，公差为；
由可得：，
，
．
，
数列的前项和．
21.解：证明：因为平面为正方形，
所以，
又因为，，平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以；
由知，，，
因为平面为正方形，所以，
所以，，两两互相垂直，
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，
因为为中点，所以，，
因为，所以，
因为，
设平面的法向量为，
则，
令，则，，所以，
由题可知，平面的一个法向量为，
则，
即，
整理得：，即，所以，
所以当时，平面与平面夹角的余弦值为．
22.解：由题意可得，则，，可得，
所以椭圆的方程为：；
显然直线的斜率不为，
设直线的方程为，设，，设在轴上方，
由可得，，，，，
联立，整理可得，
显然成立，
可得，，
可得，
即，
所以，
所以，所以，
可得，
设，则，
可得，即，可得，
所以．
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