2023-2024学年重庆市部分学校高一（上）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年重庆市部分学校高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.设角的始边为轴的非负半轴，则“”是“角的终边在第二象限”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.函数的最小值是( )
A. B. C. D.
4.已知，，则( )
A. B. C. D.
5.设，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
6.设函数，满足，，若存在零点，则下列选项中一定错误的是( )
A. B. C. D.
7.函数，，中，周期是且为奇函数的所有函数的序号是( )
A. B. C. D.
8.已知函数，，，，是函数的个零点，且，给出以下结论：
的取值范围是；
；
的最小值是；
的最大值是．
其中正确结论的个数是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中，假命题是( )
A. ，
B. “”是“”的充分不必要条件
C. ，
D. 命题“，”的否定为“，”
10.已知，，则下列各式成立的是( )
A. B. C. D.
11.我们知道：函数为奇函数的充要条件是的图象关于原点成中心对称：我们还可以将其推广为：若函数为奇函数，则图象关于点成中心对称现已知函数为定义在上的奇函数，又有函数，且函数与的图象恰好有个不同的交点，，，，则下列结论正确的是( )
A. 的图象关于点对称 B. 的图象关于点对称
C. D.
12.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 满足
B.
C. 是周期函数
D. 在上有解，则的最大值是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数的定义域为 ．
14.已知幂函数的图象经过点，则 ．
15.由于我国与以美国为首的西方国家在科技领域内的竞争日益激烈，美国加大了对我国一些高科技公司的打压，为突破西方的技术封锁和打压，我国某科技公司为突破“芯片卡脖子问题”，实现芯片国产化，加大了对相关产业的研发投入若该公司计划在年全年投入芯片制造研发资金亿元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长，则该公司全年投入的研发资金开始超过亿元的年份是______．
参考数据：，，
16.形如的函数被我们称为“对勾函数”具有如下性质：该函数在上是减函数，在上是增函数已知函数在上的最大值比最小值大，则 ______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知集合，．
若，求；
若，求实数的取值范围．
18.本小题分
计算：；
已知函数，求的单调递减区间．
19.本小题分
已知函数．
当时，求函数的零点；
当时，求不等式的解集．
20.本小题分
如图，在直角坐标系中，锐角，的终边分别与单位圆交于、两点，角的终边与单位圆交于点，过点、、分别作轴的垂线，垂足分别为、、．
如果，，求的值；
求证：．
21.本小题分
已知函数的定义域为，若存在实数，使得对于都满足，则称函数为“三倍函数”．
判断函数是否为“三倍函数”，并说明理由；
若函数，为“三倍函数”，求的取值范围．
22.本小题分
已知函数为奇函数．
求实数的值；
判断函数的单调性，并用函数单调性的定义证明；
若存在，，使在区间上的值域为，求实数的取值范围．
参考答案
1.
2.
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4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.解：集合，，
当时，，
；
若，则，
．
实数的取值范围是．
18.解：；
，
令，，
得，，
的单调递减区间为：，．
19.解：当时，，
由，解得或．
当时，函数的零点为和；
，
当时，解得．
不等式的解集为．
20.解：由题意可知，，，
和均为锐角，
，，
；
证明：由题意可知，，，
又，
．
21.解：不是“三倍函数“，理由如下：
因为，，
假设是“三倍函数“，
则存在实数，使得，都满足，
即，即，
因为的值域为的值域为，不满足条件，
故函数不是“三倍函数“．
因为为“三倍函数”，
所以存在，，都，有，
即，
当时，的值域是，
则在的值域包含，
当时，，则，
若，即，则，
此时值域的区间长度不超过，而区间长度为，不满足题意；
于是，即，
要使在的值域包含，
则在的最小值至少要小于等于，
又时，在上单调递减且，
故有，解得，
此时取的值域是，
而，，故在的值域包含，满足题意；
所以的取值范围是．
22.解：因为函数为奇函数，所以，
即，，，
化简得，即，；
当时，，定义域为，不符合题意；
当时，，，定义域为，
定义域关于原点对称，所以满足题意，
综上所述，实数的值为．
函数在，上为增函数；
证明：由知，定义域为，
任取，，不妨设，
则
，
因为，，所以，
因为，，所以，所以，
，所以，
所以，即，所以在上为增函数；
同理可证在上为增函数．
由知，在上为增函数，又因为在区间上的值域为，
所以，，即，是方程的两个实数根，
问题等价于在上有两个不等实根，
令，对称轴为，
则，即，解得，
即实数的取值范围为．
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