2023-2024学年上海大学附中高二（下）期中数学试卷（含答案）

2023-2024学年上海大学附中高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线的方程为，，焦点为，点为上一点，且，则的值为( )
A. B. C. D.
2.某校组队参加辩论赛，从名学生中选出人分别担任一、二、三、四辩，若其中学生甲必须参加且不担任四辩，则不同的安排方法种数为( )
A. B. C. D.
3.下列命题正确的有个．
函数在上存在导函数且在上为严格增函数则对所有的恒成立
周期函数在上存在导函数，则导函数也为周期函数
定义在上的函数，满足且对所有的恒成立，则对所有恒成立
A. B. C. D.
4.已知圆的圆心为，过点且与轴不重合的直线交圆于、两点，点在点与点之间，过点作直线的平行线交直线于点，则点的轨迹是( )
A. 圆的一部分 B. 椭圆的一部分 C. 双曲线的一部分 D. 抛物线的一部分
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.已知等差数列，，则 ______．
6.已知直线的方程为，则直线的倾斜角为______．
7.函数的极值点为______．
8.若排列数，则 ______．
9.已知空间向量与夹角为钝角，则实数的取值范围为______．
10.若无论实数取何值，直线与圆恒有交点，则的取值范围为______．
11.已知全集，集合，为的子集，则有序集合一共有______组
12.关于的方程有两个不同实数根，则的取值范围是______．
13.若函数在上为严格增函数，则实数的取值范围为______．
14.给定数列，则对所有，最大值为______．
15.在平面直角坐标系中，椭圆：的左、右焦点分别是、，椭圆的弦与分别平行于轴与轴，且相交于点已知线段，，，的长分别为，，，，则
的面积为______．
16.已知空间向量均为单位向量，且与夹角为与夹角为，则的最大值为______．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知函数．
求函数在点处的切线方程；
求的最小值；
18.本小题分
已知数列，它的通项公式为．
若，求数列的各项和；
若数列为严格增数列，求实数的取值范围．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，平面．
求异面直线与所成角的大小；
求二面角的余弦值．
20.本小题分
已知椭圆：的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆相交于、．
求的周长；
设点为椭圆的上顶点，点在第一象限，点在线段上，若，求点的横坐标；
设直线不平行于坐标轴，点为点关于轴对称点，直线与轴交于点求面积的最大值．
21.本小题分
已知函数．
若，求函数的严格减区间；
若方程在实数集上有四个解，求实数的取值范围；
若，数列满足是否存在使得数列严格递减？存在的话求出所有这样的；不存在的话，说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.解：，故可得，
所以，，
故在点处的切线方程为，即；
，
则，
令，解得，
故当，，单调递减；当，，单调递增，
又，
故的最小值为．
18.解：当时，，
则，
所以数列的各项和为；
若数列为严格增数列，
则，，
所以时，恒成立，
所以，
所以，
故的范围为．
19.解：在四棱锥中，底面为直角梯形，，
，，，，平面．
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
，，，，
，，
，，
异面直线与所成角的大小为．
，，
，，
设平面的法向量，
则
取，得，
设平面的法向量，
则
取，得，
设二面角的平面角为，
．
二面角的余弦值为．
20.解：由题意可得，
则的周长，
设，，
，
，，
直线的方程为，
设的坐标为，
，
，
，
，，
，
即，代入到，整理化简可得，
解得舍去或，
故点的横坐标为，
设，，设直线的方程为，
联立，得．
，，
由题设知，，
直线的方程为
令，得，
点．
，
面积，
，
当时，面积最大，最大值为．
21.解：当时，，函数的定义域为，
可得，
令，
解得，
则函数的单调递减区间为；
易知是方程的一个解，
此时方程有三个解，
不妨设，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
又，，
当时，；当时，，
此时函数与有个不同的交点，
即，
解得，
则实数的取值范围为；
假设严格递减，
因为，
此时对任意正整数，记，
则，
所以，
则且，
所以，
解得，
此时对每个都有，对每个都有，
即，
则，
记，
可得，，
整理得，
所以，
此时，
则，
不妨设，
可得，，单调递减，
因为，
所以，
则，
此时，
所以，
因为，
所以，
故恒成立，
但当时，该表达式不成立，
所以假设不成立，
故不存在所求的满足条件．
第1页，共1页