2024-2025学年重庆市田家炳中学高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年重庆市田家炳中学高二（上）月考数学试卷（10月份）
1.已知，则点关于平面的对称点的坐标是( )
A. B. C. D.
2.若直线经过两点，则直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
3.已知，，且，则 ( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
4.为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则( )
A. B. C. D.
5.如图，空间四边形中，，，，点在上，且，点为中点，则等于( )
A.
B.
C.
D.
6.过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为( )
A. B.
C. D.
7.下列命题中，正确的命题有( )
A. 是，共线的充要条件
B. 若，则存在唯一的实数，使得
C. 对空间中任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面
D. 若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底
8.菱形的边长为，，为的中点如图，将沿直线翻折至处如图，连接，，若的体积为，点为的中点，则到直线的距离为( )
A. B. C. D.
9.已知，，，，则下列说法正确的是 ．
A. 是平面的一个法向量 B. 四点共面
C. D.
10.已知直线：，直线：，则下列结论正确的是( )
A. 在轴上的截距为 B. 恒过定点
C. 若，则或 D. 若，则
11.如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，，分别是线段，的中点，是线段上的一个动点含端点，，则下列说法正确的是( )
A. 存在点，使得
B. 存在点，使得异面直线与所成的角为
C. 三棱锥体积的最大值是
D. 当点自向处运动时，直线与平面所成的角逐渐增大
12.已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则两平面的夹角的余弦值为______．
13.在空间直角坐标系中，点为平面外一点，其中、，若平面的一个法向量为，则点到平面的距离为______．
14.如图，在圆锥中，是底面圆的直径，，，为的中点，点在上，若，则 ．
15.已知点，，，设，，．
若实数使与垂直，求值．
求在上的投影向量．
16.已知的三个顶点为，，．
求边上的高所在直线的方程；
求边上的中线所在直线的方程．
17.已知平行六面体，底面是正方形，，，，，，设．
试用表示；
求的长度．
18.如图，在多面体中，梯形与平行四边形所在平面互相垂直，，，，，．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求二面角的余弦值；
Ⅲ判断线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值，若不存在，说明理由．
19.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，，且平面平面，在平面内过作，交于，连接．
求证：平面；
求二面角的正弦值；
在线段上存在一点，使直线与平面所成的角的正弦值为，求的长．
参考答案
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14.
15.解：依题意，，
，
由与垂直，得，解得，
所以．
由知，，，
所以在上的投影向量为．
16.解：由题，如图
的三个顶点为，，，
直线的斜率为，
，，
直线的方程为，
化为一般式为：；
，，
的中点为，又，
直线的斜率为，
直线的点斜式方程为，
化为一般式为：．
17.解：
；
，是线段的中点，
、、三点共线，且是线段的中点，
，
，
，，，，，，
．
即的长度为．
18.解：Ⅰ由底面为平行四边形，知，
又因为平面，平面，
所以平面，
同理平面，
又因为，平面，
所以平面平面；
又因为平面，
所以平面；
Ⅱ连接，因为平面平面，平面平面，，
又平面，
所以平面，
又平面，则，
又因为，，，平面，
所以平面，
又平面，
则，
故两两垂直，
所以以所在的直线分别为轴、轴和轴，如图建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，为平面的一个法向量，
设平面的一个法向量为，
由，，得
令，得
所以，
如图可得二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为
Ⅲ结论：线段上存在点，使得平面平面，
证明如下：
设，所以，
设平面的法向量为，又因为，
所以，，即，
若平面平面，则，即，解得．
所以线段上存在点，使得平面平面，且此时．
19.证明：因为，
所以，四边形为矩形，
在中，，，，
则
，
，
且平面平面，平面，
平面平面，
平面；
以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
，，可得，
则，，，，，
设平面的法向量为，，，
由，得．
设平面的法向量为，，
由，得，
．
二面角是钝角，
二面角的正弦值为．
设，
则
，
又平面的法向量为，
直线与平面所成的角的正弦值为，
解得，
．
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