2024-2025学年广东省广州市黄埔区玉岩中学高一（上）第一次质检数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省广州市黄埔区玉岩中学高一（上）第一次质检
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合，则集合的子集个数为( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.设集合，，，则( )
A. B. C. D.
4.已知，均为的子集，且，则为( )
A. B. C. D.
5.已知，使成立的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
6.某班有名学生参加数学竞赛，名学生参加物理竞赛，名学生参加化学竞赛，他们之中既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有人，既参加数学竞赛又参加化学竞赛的有人，既参加物理竞赛又参加化学竞赛的有人，三科都参加的有人现在参加竞赛的学生都要到外地学习参观，则需要预订多少张火车票( )
A. B. C. D.
7.已知命题为真命题，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.设，若恒成立，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.命题“，”是真命题的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
10.设是有理数集，集合，在下列集合中，与相同的集合有( )
A. B.
C. D.
11.已知，，且，则( )
A. 的最小值是 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，则 ．
13.设集合，，全集，且，则实数的取值范围为______．
14.对于两个正实数，，式子的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设集合，，
若，求，；
若中只有一个整数，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知集合
若，求实数的取值范围．
命题：“，使得”是真命题，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知，，，求证：
；
．
18.本小题分
某食品企业为了提高其生产的一款食品的收益，拟在下一年度开展促销活动，已知该款食品年销量吨与年促销费用万元之间满足函数关系式为常数，如果不开展促销活动，年销量是吨已知每一年生产设备折旧、维修等固定费用为万元，每生产吨食品需再投入万元的生产费用，通过市场分析，若将每吨食品售价定为：“每吨食品平均生产成本的倍”与“每吨食品平均促销费的一半”之和，则当年生产的该款食品正好能销售完．
求值；
将下一年的利润万元表示为促销费万元的函数；
该食品企业下一年的促销费投入多少万元时，该款食品的利润最大？
注：利润销售收入生产成本促销费，生产成本固定费用生产费用
19.本小题分
已知，求函数最小值，并求出最小值时的值；
问题：正数，满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号．学习上述解法并解决下列问题：若实数，，，满足，试比较和的大小，并指明等号成立的条件；
利用的结论，求的最小值，并求出使得最小的的值．
参考答案
1.
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13.
14.
15.解：，，
，
或，
，．
中只有一个整数，
所以，且，
解得：，
实数的取值范围是．
16.解：
当时，，
若，满足，则，解得；
若，因为，所以，所以，
所以时，的取值范围是，
所以时，的取值范围是．
因为“，使得”是真命题，所以，
当时，
若，成立，此时，解得；
若，则有或，解得，
所以时，的取值范围是或，
所以命题为真命题时的取值范围是．

17.解：，，，
，
当且仅当且，即时等号成立，
则；
，，，
，
当且仅当且，即时等号成立，
则．
18.解：由题意，将，代入，解得；
由可得，
当年生产万件时，年生产成本为：，
当销售万件时，年销售收入为：，
由题意，生产万件产品正好销完，且年利润年销售收入年生产成本促销费，
所以，
即：；
由有，
当且仅当，即时，等号成立，所以当促销费投入万元时，企业年利润最大．
19.解：
当且仅当时取“”
所以当函数最小值为
，
又，当且仅当时等号成立，
所以，
所以，当且仅当且，同号时等号成立此时，满足；
令，，构造求出，，
因为，所以，
所以
取等号时，解的，，即
所以时，取得最小值

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