2024-2025学年江苏省南通市高一上学期11月期中数学试题（含答案）

2024-2025学年江苏省南通市高一上学期11月期中数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 充要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
3.下列说法正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
4.已知函数的定义域为，则函数的定义域为( )
A. B. C. D.
5.若，则( )
A. B. C. D.
6.已知函数为定义在上的奇函数，当时，，则当时的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.若命题“，不等式恒成立”是真命题，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.存在三个实数，，，满足下列两个等式：，其中表示这三个实数，，中的最大值，则( )
A. 的最大值是 B. 的最小值是
C. 的最大值是 D. 的最小值是
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论正确的有( )
A. B.
C. D. 若，，则．
10.已知函数满足，下列结论正确的是( )
A. B.
C. 为奇函数 D. 为偶函数
11.已知，，，则下列结论正确的有( )
A. 的最小值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.计算 ．
13.若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是 ．
14.如图，边长为的菱形的两条对角线交于点，且动点从点出发，沿着菱形四条边逆时针运动回到点，记运动的路程为，点到点距离的平方为，则函数在上单调递 填“增”或“减”若关于的方程恰有个不等实根，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，集合．
若，求
若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知函数．
若，求的值
若，求函数的最小值．
17.本小题分
已知定义在上的奇函数满足：对，，且，都有成立，且．
若函数．
求证：函数是偶函数
求函数的单调区间
求不等式的解集．
18.本小题分
已知函数
若是上的增函数，求实数的取值范围
若，方程有三个实数解，，
写出实数和的取值范围
求证：．
19.本小题分
已知二次函数满足：有两个实数根，．
若，，，求实数的取值范围
若，，记在时的最小值为，求的表达式
若，，，与都是整数，且，求，的值．
参考答案
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13.
14.减
15.解：集合，
当时，集合，则，或，
所以，或；
“”是“”的充分不必要条件，可得集合是集合的真子集，
可得，解得，
实数的取值范围为
16.解： ．
由，得 ，，解得，即；
，
，
令，当且仅当时等号成立；
，
当，即时，
17.解：奇函数的定义域为，
所以函数的定义域为，关于原点对称，
因为，所以，
所以函数是偶函数
对任意的 ， ，且 ，都有 ，
得 ，所以，函数在 上单调递减，
根据偶函数的对称性可知，函数在上单调递增，
即函数的增区间为，减区间为 ；
因为，所以，
又函数是偶函数，所以，
当时，，可化为，即，
因为函数在 上单调递减，的解为，
当时，，可化为，即，
因为函数在上单调递增，的解为，
综上，不等式的解集为；
18.解：若是上的增函数，则，解得：，
所以实数的取值范围是：；
若，则
方程方程有三个实数解，，，等价于函数图像与直线有三个交点，并且交点的横坐标为，，，在同一坐标系中作出函数图像与直线，如图所示：
这时，，，所以
因此，实数的取值范围是的取值范围是；
因为，，，所以，
因此有
，所以．
19.解：由，，则，因为，所以，
解得：或，所以实数的取值范围是：或．
因为，，所以， 所以，
所以，
时，，对称轴方程为 ，
因为，所以，
，即时，在上单调递减，在上单调递增，
所以，
，即时，在上单调递减所以，
时，，对称轴方程为，
因为，所以，
，即时，在上单调递减，
所以，
，即时，
在上单调递增，在上单调递减，
又，，当时，，所以，
当时，，所以，
综上，
因为有两个实数根，，，，
所以，，
因为与都是整数，所以为整数，即为整数，则为整数，
又，所以，，，当时，，所以的两个实数根为，，
因为，所以，
当时，，所以的两个实数根为舍
当时，，所以的两个实数根为，，
因为，所以，
综上：，或，．
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